平面图形的性质
附录1：平面图形的几何性质new
（3）求整个截面的惯性矩：
§ I - 4 转轴公式 主惯性轴 主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 y1
y
x x1
dA y y1
x1 x
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：如坐标旋转到= 0 时；恰好有
则与 0 对应的旋转轴x0 ,y0 称为主惯性轴。即平面图形
则 dA=b dy
C
x
同理
注：对于高度微h平行四边形，对形心 x的主惯性矩同样成立。
b y (a)
C
x
b (b)
§ I - 3 平行移轴公式
一、平行移轴定理：
y
yC
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
x
dA
a
C
xC
rb y
x
同理:
注意: C点必须为形心
图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积.
对其惯性积为零的一对坐标轴. 平面图形对主轴之惯性矩为主惯性矩。
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩.
形心主惯性矩：
若平面图形有两个对称轴,此二轴均为形心主轴; 若平面图形有一个对称轴,则该轴为一形心主轴, 另一形心主轴 过形心, 且与该轴垂直.
y
四、惯性半径
图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径:
x dA
y
r
x
例I-2 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴） 的惯性矩。
解： y
由于圆截面有极对称性，
材料力学平面图形的几何性质
y
c
h
b
z
例 试拟定下图旳形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200, z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
I z
y 2 dA
A
I y
z 2 dA
A
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩旳取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
12
64 4
24
I yc
I 矩yc
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
Y（对称轴）
d yc O
z1
Z（矩形旳对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴旳惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A
平面图形的性质与分类
平面图形的性质与分类平面图形是几何学中的重要概念，它们是由一系列线段或曲线组成的二维形状。
平面图形的性质与分类对于几何学的研究和应用具有重要意义。
本文将探讨平面图形的性质与分类，并讨论它们在日常生活和实际应用中的应用。
一、基本性质平面图形具有一些基本性质，这些性质是我们理解和研究平面图形的基础。
首先，平面图形具有形状和大小两个方面。
形状是指图形的外观，可以通过边的长度和角度来描述。
大小是指图形的面积和周长，可以通过计算边长和角度来确定。
其次，平面图形具有对称性。
对称性是指图形具有某种轴或中心对称，即可以通过某种变换使得图形保持不变。
最后，平面图形具有一些特殊的性质，如直角、等边、等腰等。
这些性质对于分类和描述平面图形非常重要。
二、分类方法平面图形可以根据不同的特征进行分类。
最常见的分类方法是根据边的形状和长度。
例如，三角形是一个有三条边的图形，可以根据边的长度和角度进一步分类为等腰三角形、等边三角形等。
四边形是一个有四条边的图形，可以根据边的长度和角度进一步分类为矩形、正方形等。
此外，还有圆形、椭圆形、五边形等各种形状的平面图形。
这些分类方法可以帮助我们更好地理解和描述平面图形。
三、应用与实例平面图形的性质与分类在日常生活和实际应用中有着广泛的应用。
首先，平面图形的性质与分类在建筑设计中起着重要的作用。
建筑师在设计建筑物时需要考虑到平面图形的形状和对称性，以确保建筑物的稳定性和美观性。
例如，圆形的柱子可以提供更好的支撑力，而对称的建筑物可以给人以和谐的感觉。
其次，平面图形的性质与分类在地图制作中也起着重要的作用。
地图是一种平面图形，它是地球表面的缩影。
制作地图需要考虑到地理要素的形状和相对位置，以便人们更好地理解地理信息和导航。
例如，道路和河流的形状和走向可以通过平面图形来表示，使人们更容易理解和使用地图。
另外，平面图形的性质与分类在数学教育中也有着重要的作用。
学生在学习几何学时需要理解和掌握平面图形的性质与分类，以便解决几何问题和证明几何定理。
平面图形的基本概念与性质
定义：直角三角形是有一个角为直角的三角形，等腰直角三角形是两边相等且有一个角为直角的三角形。
性质：直角三角形具有斜边最长的特点，等腰直角三角形除了具有直角三角形的性质外，还具有两边相等的特点。
面积计算：直角三角形的面积可以通过底和高来计算，等腰直角三角形的面积可以通过直角边来计算。
特殊性质：等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，它具有一些特殊的性质，如两个锐角相等，两条直角边相等，斜边最长且等于直角边的平方和的平方根。
根据轴对称性分类：轴对称图形、中心对称图形等
根据是否封闭分类：封闭图形、开放图形等
02
平面图形的性质
形状与大小
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平面图形的大小由其面积和周长衡量，表示平面图形所占据的区域大小。
平面图形的形状由其边界决定，可以是圆形、椭圆形、多边形等。
平面图形的形状和大小是描述平面图形的基本属性，对于确定图形的位置、关系和性质具有重要意义。
平面图形可以是封闭的，即由线段围成的区域，也可以是开放的，即由线段组成但没有形成封闭区域。
平面图形具有多种分类方式，如按照形状、边数、对称性等进行分类。
平面图形只存在于二维平面中，不具有三维空间中的深度和高度。
平面图形的分类
根据边数分类：三角形、四边形、五边形等
根据角数分类：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形等
形状与大小是平面图形的基本性质之一，对于几何学、图形学等领域的研究和应用具有基础性作用。
边与角
边长：连接两个顶点的线段的长度
角度：两条射线之间的夹角大小
平行线：不相交的两条直线
对角线：连接一个角的顶点与其对边上一点的线段
对称性
定义：平面图形关于某一直线或点对称
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面的基本性质课件
性质
正n边形的内角和总是等于(n-2) × 180度。
三角形及其性质
1
定义
由三条线段连接的图形。
2
等边三角形
三条边相等的三角形。
3
等腰三角形
两边相等的三角形。
直角三角形及其性质
定义 勾股定理 特殊直角三角形
一个角为90度的三角形。 直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。 45-45-90三角形和30-60-90三角形。
平面上任意两点可确定一条直线，平面上的三个点不共线，可确定一个平面，且任意两 个平面相交于一条直线。
3 平行性质
平面上的两条直线要么相交于一点，要么平行。
平面图形的分类
三角形
由三条线段连接的图形。
四边形
由四条线段连接的图形。
圆
由一个固定点到平面上任意一点 的距离相等的点的集合。
正多边形及其性质
定义
运用平面图形基本性质的例题
通过解决一些实际问题，我们将学习如何运用平面图形的基本性质。
平面的基本性质ppt课件
这个PPT课件将帮助您了解平面的基本性质，包括平面的定义和分类，各种图 形及其性质，三角形的角度定理，四边形的性质以及圆的性质和周长面积计 算。
什么是平面？
平面是一个无限延伸的二维空间，由无数个点和直线组成。
平面的基本定义和性质
1 定义
平面由至少三个不共线的点确定。
2 性质
四边形及其性质
定义
由四条线段连接的图 形。
正方形
四条边相等，四个角 都是90度。
矩形
有四个角都是90度的 四边形。
平行四边形
没有角度为90度的四 边形。
圆及其性质
第四章 平面图形的几何性质
D
12
组合图形的惯性矩：
I y I yi
i 1
n
I z I zi
i 1
n
空心圆截面：
I y Iz
D4 d 4
64
D 1 64
4 4 4 4
d ( ) D
z
Ip
D4 d 4
32
D 1 32
D
O d
zC z
100
1
20
C(yc,zc) 140 2
yC
zc
(2)求T形截面对形心轴yC的惯性矩Iyc
I y c I y i ( I y ci a Ai )
2 i
20
y
100 203 20 1403 2 ( 150 103.3 ) 100 20 ( 103.3 70 )2 20 140 12 12
A
I y1z1 y1 z1 dA
A
y
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin y1 y cos z sin z1 y sin z cos
23
z1 z
z
形心主轴唯一
y
形心轴 y’、z’ 不是形心主轴 形心轴 y、z 是形心主轴
C
y
15
公式(formula of parallel axis)
已知：Iyc，Izc，Iyczc；求： Iy，Iz，Iyz。
z
b
y zc
2 2 I zc y1 dA I yc z1 dA A A
形心坐标为:
平面图形的性质与特征
平面图形的性质与特征一、点、线、面的基本概念及关系1.点：平面上的位置，没有长度、宽度和高度。
2.线：点的移动轨迹，有长度，没有宽度和高度。
3.面：线的移动轨迹，有长度和宽度，没有高度。
4.点、线、面的关系：点构成线，线构成面。
二、直线与射线的性质1.直线：无端点，无限长，同一平面内，直线外一点与直线上一点确定一条直线。
2.射线：有一个端点，无限长，从端点出发，沿直线方向延伸。
三、线段的性质1.线段：有两个端点，有限长。
2.线段的长度：两个端点之间的距离。
3.线段的垂直平分线：线段的中垂线，将线段平分为两个相等的部分，且与线段垂直。
四、角度的性质1.角度：由两条射线的公共端点和这两条射线的非公共部分组成的图形。
2.角度的度量：用度（°）作为单位，180°为直角，90°为锐角，小于90°为锐角，大于90°小于180°为钝角。
3.角度的补角：两个角的度数之和为180°。
4.角度的余角：两个角的度数之和为90°。
五、平行线的性质1.平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线。
2.平行线的性质：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
3.平行线的判定：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
六、三角形的性质1.三角形：由三条边和三个角组成的多边形。
2.三角形的内角和：180°。
3.三角形的分类：根据边长关系，分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根据角度关系，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
4.三角形的高：从顶点到对边的垂线段。
七、四边形的性质1.四边形：由四条边和四个角组成的多边形。
2.四边形的内角和：360°。
3.四边形的分类：根据边长关系，分为矩形、正方形、平行四边形和普通四边形；根据角度关系，分为锐角四边形、直角四边形和钝角四边形。
4.四边形的角度性质：对角线互相平分，对边平行。
八、圆的性质1.圆：平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。
平面图形的性质
平面图形的性质在我们的日常生活中，平面图形无处不在。
从我们居住的房屋形状，到书本页面的轮廓，再到手机屏幕上的图标，平面图形构成了我们所见世界的一部分。
那么，什么是平面图形？平面图形又具有哪些独特的性质呢？平面图形，简单来说，就是在一个平面内由线段、曲线等构成的封闭或不封闭的图形。
常见的平面图形包括三角形、四边形、圆形、多边形等等。
先来说说三角形。
三角形是最为基础和常见的平面图形之一。
它具有稳定性，这一性质在建筑和工程领域有着广泛的应用。
比如，很多桥梁的结构中就运用了三角形的稳定性来确保桥梁的稳固。
三角形的内角和总是180 度，无论其形状大小如何。
根据边的长度和角的大小，三角形又可以分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形等不同类型。
等边三角形的三条边长度相等，三个角也都为 60 度；等腰三角形有两条边长度相等，对应的两个角也相等；直角三角形则有一个角为90 度，其两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
四边形是另一种常见的平面图形。
其中，平行四边形具有两组对边分别平行且相等的性质。
矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个角都是直角。
菱形也是特殊的平行四边形，其四条边长度相等。
正方形则更加特殊，它既是矩形又是菱形，具有矩形和菱形的所有性质。
圆形是一种优美而独特的平面图形。
圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离被称为半径。
圆的周长与直径的比值是一个固定的数，称为圆周率，通常用π表示。
圆的面积等于π乘以半径的平方。
在实际生活中，我们常见的车轮、井盖等很多物品都做成圆形，这是因为圆形在滚动时能够保持平稳，而且在相同周长的情况下，圆形所围成的面积最大。
多边形也是平面图形家族中的重要成员。
多边形可以根据边的数量分为三角形（三边）、四边形（四边）、五边形（五边）等等。
多边形的内角和公式为：（n 2) × 180 度，其中 n 为多边形的边数。
平面图形的性质在数学、科学、工程、艺术等多个领域都发挥着重要作用。
平面几何形的性质
平面几何形的性质在数学中，平面几何形是指在二维平面上的图形。
平面几何形包括点、线、线段、射线、角、多边形等。
每种平面几何形都有其独特的性质和特点。
本文将探讨平面几何形的性质，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、点（Point）点是平面几何形的最基本元素，它没有大小和形状。
点常用大写字母表示，如A、B、C等。
任意两点可以唯一确定一条直线，同时任意三点不共线。
二、线（Line）线由无数个点按照一定规律连接而成，具有长度但没有宽度。
线常用小写字母表示，如l、m、n等。
一条直线上的任意两点可以唯一确定这条直线。
三、线段（Line Segment）线段是直线的一部分，由两个端点和这两个端点之间的所有点组成。
线段常用小写字母表示，并用这两个端点的大写字母表示，如AB表示线段AB。
线段的长度可以通过端点的坐标计算得出。
四、射线（Ray）射线只有一个端点，另一端沿着直线无限延伸。
射线常用小写字母表示，并用起点的大写字母表示，如r表示起点为A的射线。
射线也可以用两个点表示，如AB表示以A为起点，经过B的射线。
五、角（Angle）角是由两条相交的线段组成的几何形状，其中一条线段称为角的边，相交点称为角的顶点。
角常用大写字母表示，如∠ABC表示以B为顶点的角。
根据角所夹的弧度不同，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。
六、多边形（Polygon）多边形是由直线段相连组成的封闭图形。
多边形的边是线段，角是锐角或者直角。
多边形的端点称为顶点。
根据边的个数不同，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。
三角形是最简单的多边形，有三条边和三个顶点。
可以通过数学公式计算多边形的性质，如三角形的面积可以通过海伦公式进行计算，四边形的面积可以根据其属性判断使用何种公式进行计算。
除了上述基本的平面几何形，还有圆和椭圆等特殊的平面几何形。
圆是由平面上所有到一个固定点距离相等的点组成的图形。
圆的性质包括半径、直径、弧度等。
椭圆是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
第10章平面图形的几何性质ppt课件
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
Ix0
Ix
Iy 2
1 2
Ix Iy
2
4
I
2 xy
I y0
Ix
Iy 2
1 2
Ix
Iy
2
4
I
2 xy
极大值Imax 极小值Imin
例 计算所示图形的形心 主惯性矩.
120 40 z 20
25 20 10
解：该图形形心C的位置已
确定，如图所示.
过形心C选一对座标轴
C
y
y z 轴，计算其惯性矩(积).
1.5d (2d )3 3d 2(0.177d )2 [πd 4 πd 2 (0.5d 0.177d )2 ]
12
64 4
2d
0.685d 4
I zC I矩zC I圆zC
(1.5d )3 2d πd 4 0.513d 4
12
64
I yC zC 0
所以 yCzC 便是形心主轴
——反映平面图形的形状与尺寸的几何量
如：
在轴向拉（压）中：
FN A
l FNl EA
本章介绍：平面图形几何性质的定义、计算方法和性质
§10.1 静矩与形心
平面的基本性质
平面的基本性质什么是平面？平面是指没有厚度的、笔直无限延伸的二维图形，它具有无限条直线，任意两条直线都可以被平面内一条直线所交叉，从而产生无限多个交点。
在平面上可以进行各种几何操作，如画直线、画线段、画射线、作图等。
平面的基本性质定义平面有以下基本性质：1.任意两点间只有一条直线与这两点相连。
2.任意一直线上有无数个点。
3.任意两条直线可以相交并在交点处确定一条平面。
4.三点不共线的情况下，可以确定一个唯一的平面。
相关概念在介绍平面的基本性质之前，我们需要先了解一些与平面相关的基础概念。
直线直线是无限长度、无限延伸的线段，任意一点到直线的距离都相等，直线上的任意两点可以通过直线相连。
线段线段是有限长度的部分直线，线段两端点可以通过线段连接。
射线射线是由一个起点开始，只有一个方向的无限长度的直线。
交点两条不平行的直线相交时，它们的交点是这两条直线的交点。
共面如果三个或多个点在同一个平面上，则这些点共面。
基本性质解析性质一：任意两点间只有一条直线与这两点相连。
任意两点之间距离不为零，因此这两点之间只能画出一条直线连接它们。
性质二：任意一直线上有无数个点。
对于一条直线上任意两点来说，直线上仍然可以找到一点，因此直线上有无数个点。
性质三：任意两条直线可以相交并在交点处确定一条平面。
任意两条直线可以在一点相交，如果在这一点的同时连上第三个点，那么这三个点可以确定一个平面。
性质四：三点不共线的情况下，可以确定一个唯一的平面。
如果三点不共线，那么它们会确定一个唯一的平面。
通过上述对平面的定义以及基本性质的解析，我们可以清晰地了解平面的基本概念和特征，从而更好地理解几何学中的相关概念和问题，为后续的学习奠定优秀的基础。
平面图形的性质与应用
平面图形的性质与应用在数学中，平面图形是指由点和线构成的二维几何图形。
它们具有独特的性质，广泛应用于几何学、工程学、建筑学等领域。
本文将探讨平面图形的一些主要性质，并介绍它们在实际生活中的应用。
一、点、线和平面在平面图形中，点是最基本的要素。
它没有大小和形状，只具有位置信息。
线由两个点确定，可以看作是一条无限延伸的路径。
而平面由无数个点和线组成，是一个无限大的二维空间。
二、多边形的性质多边形是由线段相连而成的封闭图形。
它有许多重要的性质，如：边数、顶点数、内角和外角等。
1. 边数和顶点数一个多边形的边数等于它的顶点数，代表了多边形的复杂程度。
例如，三角形有三个边和三个顶点，矩形有四个边和四个顶点。
2. 内角和外角内角是多边形内部的角度，而外角则是多边形内部一条边的延长线与相邻边之间的角度。
对于一个n边形（n≥3），它的内角和外角满足以下关系：内角和= (n-2) × 180°，外角和= 360°。
这些性质有助于我们计算多边形内部和外部的角度。
三、常见平面图形的性质与应用除了多边形，还有许多其他常见的平面图形，它们也具有自己独特的性质和应用。
1. 圆形圆形是由一条固定半径的弧线围成的平面图形。
它有以下重要性质：半径、直径、周长和面积。
- 半径是由圆心到圆上任意一点的线段，它决定了圆的大小。
- 直径是通过圆心并且两端均在圆上的线段，等于两倍的半径。
- 周长是圆的边界长度，等于2πr（r为半径）。
- 面积是圆内部的空间大小，等于πr²。
圆形的应用非常广泛，如在建筑设计中，圆形的柱子可以提供更好的支撑力；在工程中，圆形的轮胎可以减少摩擦力。
2. 正方形正方形是一种具有四个相等边的矩形，它具有许多特点性质，并广泛应用于实际生活中。
- 边长和周长：正方形的四条边长度相等，周长等于4a（a为边长）。
- 面积：正方形的面积等于a²。
- 对角线：正方形的对角线相等，长度为√2a。
七年级数学知识点平面图形
七年级数学知识点平面图形七年级数学知识点——平面图形数学是一门需要大量观察和思考的科学，而平面图形就是数学中一个非常重要的知识点。
它能十分生动地展现出计算的形式和思维逻辑，并且它在实际生活中也有着广泛的应用，例如在建筑、装修、设计等各个领域中都离不开它。
在七年级的数学中，平面图形是必修的课程之一。
下面，让我们一起来详细了解平面图形的知识点吧。
一、平面图形的分类平面图形是指具有平面属性的图形，可以分为以下几类：1. 线段：线段是指在平面上两点之间的部分。
线段是平面图形的基本单元，也是其他平面图形的组成部分之一。
2. 射线：射线是指一个起点和一个方向，在平面上构成的图形。
射线上的点除了起点以外，其他的点都必须位于同一侧。
3. 直线：直线是指在平面上无始无终的一条线。
直线是平面图形的重要构成部分之一。
4. 角：角是指平面上由两条线段构成的部分。
角分为锐角、直角、和钝角三种类型。
5. 三角形：三角形是指平面上由三条线段构成的图形。
三角形的性质是平面图形中最关键的部分之一。
6. 四边形：四边形是指平面上由四条线段构成的图形。
四边形分为平行四边形、长方形、正方形、菱形、梯形、和不规则四边形等几种类型。
二、平面图形的性质平面图形的性质是在学习平面图形时需要重点掌握的部分。
下面，我们来详细了解一下平面图形的性质。
1. 垂直、平行、相交：在平面图形中，不同的线段之间有着不同的相对关系，包括垂直、平行、相交等。
2. 对称：平面图形有着不同的对称性。
例如，如果一条可以从一个点开始旋转180度后仍然和原来的线重合，那么这条线就是以该点为对称轴的线。
3. 相似：相似是指两个平面图形在形状上有着相似的特点。
如果两个平面图形，任意一条相似比两边之比相等，那么这两个平面图形就是相似的。
4. 圆：圆是平面上最基本的图形之一。
圆的中心是指圆心，半径是指圆心到圆上任意一个点之间的距离。
圆的性质十分丰富，例如圆心角、弧、扇形、和圆滑等等。
材料力学第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心
一、静矩，即面积对轴的矩：(与力矩类似)
z
是面积与它到轴的距离之积。
图形对y轴和z轴的静矩为
dA
Sz
ydA
A
z
Sy
zdA
A
特点：
y▲静矩的量纲为长度的三次方；
第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心 §4.2 惯性矩和惯性半径 §4.3 惯性积 §4.4 平行移轴公式 §4.5 转轴公式 主惯性轴
第四章 平面图形的几何性质
【基本内容】
一、静矩、形心 二、惯性矩、惯性积、惯性半径 三、主轴、主惯性矩、形心主惯性平面的概念 四、平行移轴公式、转轴公式
跟踪训练
1.图示矩形截面的I．Ⅱ两部分对z轴的静矩的关 系是( )
例 1 求下列各图的图形形心位置。
za
y1
1 2
a,
y2
3 2
a
z1
a,
z2
1 2
a
2a o
A1
y
n
Ai yi
i 1
n
Ai
2a2
1a 2 2a2
a2 a2
3 2
a
5 6
a
i 1
A2
a
yz
n
Ai zi
i 1
n
Ai
2a2 a a2 1 a 2
I z1
Iy
2
Iz
Iy
Iz 2
cos2
I yz sin 2
I y1z1
Iy
2
平面图形
平面图形平面图形是指只有长和宽两个维度的图形，不具有高度的特点。
在几何学中，平面图形是研究的重要内容之一。
本文将围绕平面图形的基本概念、分类和性质展开详细介绍。
平面图形是指在平面上表示的图形，包括三角形、矩形、圆、梯形、菱形等。
这些图形都有自己独特的性质和特点。
三角形是由三条线段组成的图形，其中有直角三角形、等腰三角形等不同类型。
矩形是具有四个直角的四边形，具有对角线互相垂直的特点。
圆是由一个固定点到平面上任一点的距离都相等的点的集合。
梯形是具有两边平行的四边形，其中包括等腰梯形、矩形梯形等不同类型。
菱形是具有四个边相等的四边形，对角线互相垂直。
除了上述分类的平面图形外，还有一些特殊的平面图形，如正多边形、正四面体等。
正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形，其中包括正三角形、正四边形等。
正四面体是由四个全等的三角形组成的立体图形。
平面图形具有一些基本的性质。
首先，平面图形的边界由线段或曲线组成，而线段和曲线都具有长度。
其次，平面图形的面积是用来衡量图形大小的概念，它是一个非负实数。
不同图形的面积计算方式各不相同，但都可以通过特定的公式计算得出。
例如，三角形的面积可以通过底边长度和高的乘积再除以2来计算。
再如，矩形的面积可以通过长和宽的乘积得出。
平面图形还具有一些特殊的性质。
首先，平面图形的形状可以通过一些变换发生改变，如平移、旋转、翻转等。
这些变换不改变图形的面积和形状。
其次，平面图形的边和角可以通过一些关系来确定，如三角形的三个内角和为180°，而四边形的四个内角和为360°。
这些关系可以帮助我们解决一些相关问题，如求解平面图形的未知变量。
在实际生活中，平面图形有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，设计师需要根据建筑平面图来设计建筑物的平面布局。
在地图制作中，制图师需要利用平面图形来表示地理信息，如道路、河流、湖泊等。
在机械制图中，工程师需要使用平面图形来表示机械零件的结构和尺寸。
平面图形的性质分析
平面图形的性质分析引言：平面图形是我们数学学科的基础，也是日常生活中经常遇到的对象。
通过对平面图形的性质分析，我们可以更好地理解它们的特点和关系，进而运用到实际问题中。
本文将从几何形状、边界特征、对称性以及其他相关性质等方面进行分析和讨论。
一、几何形状的性质分析1.1 直线和曲线直线是最简单的平面图形，具有无限延伸的特点。
曲线则有各种各样的形态，如圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
它们的性质不同，但都有共同的特点，比如曲率、切线和法线等。
1.2 多边形多边形是由若干条线段连接而成的封闭图形，有三角形、四边形、五边形等。
不同类型的多边形有不同的性质，如角度和边长等。
此外，还有一些特殊的多边形，如正多边形和等腰三角形，它们具有特殊的对称性和边长关系。
1.3 圆形圆形是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。
圆形的性质有很多，如半径、直径、弧长和面积等。
此外，还有一些与圆相关的概念，如切线、切点和切圆等，它们的性质也是我们需要了解的。
二、边界特征的性质分析2.1 边长边长是指多边形的边的长度。
在分析平面图形的性质时，边长是一个重要的指标。
通过比较边长的大小和关系，我们可以判断图形的形状和特征，比如等腰三角形的边长相等、正方形的四边边长相等等。
2.2 周长周长是指多边形的边长之和。
它是一个图形的外部特征，可以用来衡量图形的大小。
通过计算周长，我们可以比较不同图形的大小，进而分析它们的相对关系。
2.3 弧长弧长是指圆形的弧的长度。
在分析圆形的性质时，弧长是一个重要的指标。
通过计算弧长，我们可以比较不同弧的长度，进而分析它们的相对大小和关系。
三、对称性的性质分析3.1 线对称线对称是指图形相对于某条直线对称。
线对称的性质有很多，如对称轴、对称中心和对称图形等。
通过分析线对称的性质，我们可以判断图形的对称性和特征，进而运用到实际问题中。
3.2 点对称点对称是指图形相对于某个点对称。
点对称的性质有很多，如对称中心、对称轴和对称图形等。
平面图形的种类及性质
相似性
定义：两个平 面图形在形状 和大小上完全
相同
性质：具有相 同的角度、边
长和面积等
判定方法：通 过度量、比较 和计算等方法
进行判断
应用：在几何 学、工程学和 日常生活中广
泛应用
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应用：在几何学、 工程学、建筑设 计等领域中广泛 应用。
定理：平行线段 之间的距离最短， 且平行线段之间 的角度相等。
垂直性
定义：垂直性 是指两条直线 或线段在平面 上相交，并且 它们之间的夹 角为90度。
性质：垂直的 两条线段互相 垂直，且它们 之间的夹角为
直角。
应用：在几何 学中，垂直性 是研究平面图 形的重要性质 之一，它在解 决几何问题中 具有广泛应用。
平面图形的性质
对称性
定义：平面图形 关于某一直线或 点对称的性质
分类：轴对称和 中心对称
性质：对称的图 形具有稳定性、 平衡性和美观性
应用：在建筑设 计、艺术创作和 自然界中广泛存 在
平行性
定义：平行性是 指平面图形中， 一组直线段在平 面上无限延伸， 且永远不相交的 性质。
性质：平行线段 之间的距离保持 不变，平行线段 之间的角度保持 不变。
矩形
定义：矩形是一个四边形，其中相对边相等且相对角相等 性质：矩形的对角线相等且互相平分，四个角都是直角 面积计算公式：面积 = 长 × 宽 周长计算公式：周长 = 2 × (长 + 宽)
正方形
定义：四条边相等且四个角为直角的平行四边形 性质：对角线相等且互相平分，面积等于边长的平方 应用：建筑材料、包装盒、地板等 与其他图形的区别和联系
平面图形的性质
壹、基本名詞1.垂足：兩直線或線段互相垂直時，交點就是垂足。
2.垂直：如果兩直線或線段相交成直角，就稱它們互相垂直。
(記法：L ⊥M 讀作“L 垂直於 M ＂)3.平行：兩直線間的垂直距離相等。
(1)平行線的性質①任何線段，如果垂直於平行線中的一條直線，必定垂直於平行線中的另一條直線。
②兩平行線之間的距離處處相等。
③平行線永不相交。
(2)平行線角度的性質①兩角互補，則它們角度和為180˚。
②對頂角相等。
③平行線被一截線所截之同位角相等。
④平行線被一截線所截之內錯角相等。
⑤平行線被一截線所截之同側內角互補。
(3)畫平行線的作法：經過已知直線Ｌ外一點Ｐ，作一直線與Ｌ平行。
畫法一 (工具：直尺一把、三角板一塊。
)作法： 作圖：(1)將一塊三角板平放，使它的斜邊與直線Ｌ密合。
(2)將直尺的一邊緣與三角板的一股靠緊並用手按住直尺，使它不會移動。
(3)將三角板往上推，使它靠緊直尺邊緣移動，一直到三角板的斜邊和Ｐ點密合為止。
(4)沿三角板的斜邊畫出一直線1L ，則1L 即為所求。
畫法二(尺規作圖)作法： 作圖：(1)過點Ｐ任意作一直線Ｍ，與Ｌ相 交於點Ａ，設所成的一個角為∠１。
(2)以Ｐ為頂點，PR 為一邊，作∠２，使得∠２＝∠１。
(3)PQ 的延長線1L 即為所求。
延伸：等角作圖的應用。
4.三角形的分類ABC60°60°60°M N(1)以邊分類：①等邊三角形：三邊都等長的三角形，也叫做正三角形。
每個正三角形也都是等腰三角形。
②等腰三角形：有兩邊等長的三角形。
其中等長的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊或底，與底邊相對的角叫做頂角，其餘的兩個角都叫做底角(兩底角相等)。
延伸：a.摺痕把頂角分成兩個等角。
b.摺痕和底邊形成90︒的交角。
c.摺痕把底邊分成等長的兩線段。
(2)以角分類：(0︒＜銳角＜90︒＜鈍角＜180︒)①銳角三角形：三個角都是銳角的三角形。
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壹、基本名詞1.垂足：兩直線或線段互相垂直時，交點就是垂足。
2.垂直：如果兩直線或線段相交成直角，就稱它們互相垂直。
(記法：L ⊥M 讀作“L 垂直於 M ＂)3.平行：兩直線間的垂直距離相等。
(1)平行線的性質①任何線段，如果垂直於平行線中的一條直線，必定垂直於平行線中的另一條直線。
②兩平行線之間的距離處處相等。
③平行線永不相交。
(2)平行線角度的性質①兩角互補，則它們角度和為180˚。
②對頂角相等。
③平行線被一截線所截之同位角相等。
④平行線被一截線所截之內錯角相等。
⑤平行線被一截線所截之同側內角互補。
(3)畫平行線的作法：經過已知直線Ｌ外一點Ｐ，作一直線與Ｌ平行。
畫法一 (工具：直尺一把、三角板一塊。
)作法： 作圖：(1)將一塊三角板平放，使它的斜邊與直線Ｌ密合。
(2)將直尺的一邊緣與三角板的一股靠緊並用手按住直尺，使它不會移動。
(3)將三角板往上推，使它靠緊直尺邊緣移動，一直到三角板的斜邊和Ｐ點密合為止。
(4)沿三角板的斜邊畫出一直線1L ，則1L 即為所求。
畫法二(尺規作圖)作法： 作圖：(1)過點Ｐ任意作一直線Ｍ，與Ｌ相交於點Ａ，設所成的一個角為∠１。
(2)以Ｐ為頂點，PR 為一邊，作∠２，使得∠２＝∠１。
M N(3)PQ 的延長線1L 即為所求。
延伸：等角作圖的應用。
4.三角形的分類 (1)以邊分類：①等邊三角形：三邊都等長的三角形，也叫做正三角形。
每個正三角形也都是等腰三角形。
②等腰三角形：有兩邊等長的三角形。
其中等長的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊或底，與底邊相對的角叫做頂角，其餘的兩個角都叫做底角(兩底角相等)。
延伸：a.摺痕把頂角分成兩個等角。
b.摺痕和底邊形成90︒的交角。
c.摺痕把底邊分成等長的兩線段。
(2)以角分類：(0︒＜銳角＜90︒＜鈍角＜180︒)①銳角三角形：三個角都是銳角的三角形。
②直角三角形：有一個角是直角的三角形。
其中直角所對的邊叫做斜邊，其餘兩邊叫做股。
③鈍角三角形：有一個角大於90︒的三角形。
5.三角形邊角間的不等關係：(1)任意兩邊的差＜三角形的第三邊＜任意兩邊的和。
(2)一個三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角。
(3)一個三角形中若有兩角不相等，則大角對大邊。
6.三角形角的名詞：(1)內角：三角形中兩邊所夾的角。
(2)外角：三角形中一邊的延長線和另一邊所夾的角。
(3)內對角：三角形中，與一外角頂點不同的內角稱為這個外角的內對角，一外角有兩個內對角。
7.三角形外角與內角的定理：(1)三角形的外角和定理：三角形一組外角的和是360︒。
(2)三角形的內角和定理：三角形三個內角的和是180︒。
(3)三角形的外角定理：三角形的任一外角等於它的兩個內對角之和。
8.對角線：四邊形中不相鄰的兩個頂點的連線。
9.正方形：四邊都等長的長方形。
摺痕ABC60°60°60°＊重要＊頂角底角底邊腰腰底角股斜邊股B性質：(1)是長方形的一種。
(2)兩對角線相等且互相垂直平分。
10.長方形：四個角都是直角的四邊形，也叫做矩形。
長方形相對的兩邊都是等長。
性質：(1)相對的兩個邊都等長。
(2)兩對角線相等且互相平分。
11.平行四邊形：有兩雙平行邊的四邊形。
性質：(1)兩雙對邊分別相等。
(2)兩雙對角分別相等。
(3)一條對角線把它分成兩個全等的三角形。
12.梯形：一雙對邊平行，另一雙對邊不平行的四邊形。
要素：(1)底：梯形中平行的兩邊，叫做梯形的上底和下底。
(2)腰：梯形中不平行的兩邊，叫做梯形的兩腰。
(3)中線：梯形兩腰的中點所連成的線段，叫做梯形的中線。
(4)等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
性質：(1)兩個全等的梯形恰可拼成一個平行四邊形。
(2)梯形的中線平行於上、下底且等於上、下兩底和的一半。
13.菱形：四邊等長。
(面積：2對角線相乘)性質：(1)兩對角線互相垂直平分。
(2)兩對角線平分其頂角。
(3)兩對角線將菱形分成4個全等的三角形。
14.箏形：兩雙鄰邊分別等長。
(面積：2對角線相乘)性質：(1)對角線互相垂直，其中一對角線被另一對角線平分。
(2)一對角線平分其頂角。
15.多邊形外角與內角的定理：(1)多邊形的外角和定理：任意多邊形一組外角的和是360︒。
(2)四邊形的內角和定理：四邊形四個內角的和是360︒。
16.對頂角：如右圖，兩直線相交所成的角中，∠２的兩邊是∠１兩邊的延長線，反過來看，∠１的兩邊也是∠２兩邊的延長線，就稱∠１和∠２ 為對中線下底上底腰腰腰腰中線上底下底等腰梯形頂角。
圖中的∠３和∠４也是對頂角。
每一組對頂角都相等。
17.補角：若兩角之和為一平角，也就是說，兩角度數之和為︒180時，稱做兩角互補，而其中一角就稱做另一角的補角。
1.四邊形對角線性質的討論2.各種四邊形的因果關係3.各種四邊形的包含關係有兩組對邊有一角是90︒鄰邊相等鄰邊相等僅一組對邊平行兩腰相等四邊相等貳、活動觀察活動：觀察下表中蘊含的規律，找出n邊形內角和的公式：表(一) 表(二)表(三) 表(四)由表(一)可知：n 邊形內角和＝(n －2)×180°。
由表(二)、(三)可知：n 邊形內角和＝n ×180°－360°。
由表(四)可知：n 邊形內角和＝(n －1)×180°－180°。
但(n －2)×180°＝n ×180°－2×180°＝n ×180°－360°＝(n －1)×180°－180°＝n ×180°－180°－180° ＝n ×180°－360°1.n 邊形內角和公式如右：n 邊形內角和＝(n －2)×180°。
2.正多邊形每一內角nnn ︒-︒=︒⨯-=360180180)2(；正多邊形每一外角n︒=360。
3.過n 邊形的一個固定頂點，可畫出(n -3)條對角線，並將原形分為(n -2)個三角形。
4.n 邊形對角線總數為2)3(-⨯=n n 條。
自我評量✍一、算算看1. 求角A？2. 求角A？3. 不用量角器，求出圖中（）裡的角度：4. 不用量角器，求出圖中（）裡的角度：5. 在沒有任何工具的情況下，求出圖中（）裡的角度：6. 在沒有任何工具的情況下，求出圖中（）裡的角度：7. 在沒有任何工具的情況下，求出圖中（）裡的角度：8. 求出下列圖形的角度：9. 求出下列圖形的角度：10. 求出下列圖形的角度：11. 求出下列圖形的角度：12. 求出下列圖形的角度：13. 不使用量角器，算出正確的角度：14. 在（）裡填入正確的答案：15. 在（）裡填入正確的答案：16. 在（）裡填入正確的答案：17. 在（）裡填入正確的答案：18. 在沒有任何工具的情況下，求出圖中（）裡的角度：19. 求出下列圖形的角度：20. 求出下列圖形的角度：22. 不使用量角器，算出正確的角度：23. 在（）裡填入正確的答案：24.一個等腰三角形，其中一個內角是90度，那麼另外二個內角各是幾度？25.正五邊形的內角和是幾度？每個角是幾度？26.六邊形的內角和是幾度？27. 下圖是由2個三角形組成的梯形，求出：①角A的度數。
②角B的度數。
二、畫畫看1. 畫出下列線段的平行線：2. 請畫出一條和虛線垂直的線、及一條和虛線平行的線：3.畫出通過A點且和直線BC垂直的線。
4. 請利用三角板畫二條同時和黑色實線垂直的線，且這二條畫出來的線要互相平行：5. 利用三角板畫出「垂直」於黑色實線的直線：6. 在下圖中畫出1條和虛線平行並且和實線垂直的直線：7.用筆畫2條同時與下列線段垂直的線，且畫出來的這2條線要互相平行：8.利用三角板畫出和直線A垂直的線：9.畫1個長方形：10.畫1個梯形：三、做做看1.⑴上圖中的虛線可將圖形分成兩個（）形。
⑵ㄅ角是（）度，ㄆ角是（）度。
⑶拿掉虛線，兩個圖形可以組成（）形。
⑷是否有和黑色虛線互相垂直的邊？（）有的話是幾條？（）條⑸此四邊形的內角和是（）度。
2. 看圖回答問題①甲組吸管可以排成（）形和（）形。
②（）組吸管可以排成梯形。
③丙組吸管可以排成（）形、（）形和（）形。
3. 看圖回答下列問題：⑴在甲圖中，（）線的垂直線是B線。
⑵在乙圖中，（）線和（）線互相平行；垂直於A線的是（）線。
⑶在上列各圖中，哪個圖形有2對平行線？（）圖⑷在丁圖中，B線與C線是否平行？（）⑸在丁圖中，和D線互相平行的是（）線。
4. 請利用三角板或量角器檢查，並回答下列問題：⑴在甲圖中，直線（）和直線（）互相垂直。
⑵在乙圖中，直線（）和直線（）互相垂直。
⑶在丙圖中，直線DE的延長線會和直線（）垂直。
⑷在丁圖中，直線（）和直線（）沒有和他線垂直。
⑸在戊圖中，直線（）和直線（）同時垂直於直線（），所以這兩條線互相（）。
⑹在己圖中，直線AB和直線CD互相（）。
5. 回答下列問題：⑴圖中有直角的是（）。
⑵有2雙對邊互相平行的是（）。
⑶哪一個三角形有2個角一樣大？（）⑷四邊等長的是（），名稱是（）。
⑸ㄈ圖形的名稱是（）。
⑹哪個圖形是梯形？（）。