函数奇偶性的判定方法

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函数的奇偶性与定义域的判定

函数的奇偶性与定义域的判定函数的奇偶性与定义域的判定是数学中的重要概念，它们在函数的性质分析和问题求解中具有重要的作用。

本文将详细讨论函数的奇偶性和定义域的判定方法。

一、函数的奇偶性的概念及判断方法函数的奇偶性是指函数在定义域内是否满足某种对称性质。

具体而言，设函数 f(x) 在定义域内有定义，对于任意 x，若有 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 是偶函数；若有 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 是奇函数；若对于任意 x 都不满足以上两种对称性质，则称函数 f(x) 为非奇非偶函数。

判断函数的奇偶性的方法有两种：代数判断法和几何判断法。

1. 代数判断法代数判断法是通过函数的表达式进行判断。

对于函数 f(x)，若有以下两种情况之一成立，则可以判断函数的奇偶性：（1）当 x 替换为 -x 时，f(x) 的表达式不变，即 f(x) = f(-x)，则函数f(x) 为偶函数；（2）当 x 替换为 -x 时，f(x) 的表达式的正负号发生改变，即 f(x) = -f(-x)，则函数 f(x) 为奇函数。

2. 几何判断法几何判断法是通过函数的图像进行判断。

对于函数 f(x)，若其图像关于 y 轴对称，则函数 f(x) 为偶函数；若其图像关于坐标原点对称，则函数 f(x) 为奇函数。

二、定义域的判定方法定义域是指函数中自变量 x 可取的实数范围。

在确定函数的定义域时，需要考虑函数中存在的根号、分式、对数等特殊运算。

1. 根号的定义域当函数中存在根号运算时，需要满足被开方数大于等于零，即被开方数的取值范围应大于等于零。

例如，函数f(x) = √(x-1)，则 x-1 ≥ 0，解得x ≥ 1，因此函数的定义域为[1, +∞)。

2. 分式的定义域当函数中存在分式运算时，需要满足分母不等于零，即分母的取值范围不能包括使分母为零的数。

例如，函数 f(x) = 1/(x-2)，则 x-2 ≠ 0，解得x ≠ 2，因此函数的定义域为 (-∞, 2) U (2, +∞)。

奇偶函数的判断口诀

奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。

这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。

另外，还可以通过函数的定义来判断。

奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。

此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。

如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。

综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。

函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法（周口卫生学校马爱华 466000）摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）法判断；3、用求商法判断。

关键词：奇函数偶函数定义域求和（差）法求商法函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(x f 与)(x f -的关系。

判断方法有以下三种：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）定义：如果对于函数y=f （x ）的定义域A 内的任意一个值x ，都有f （-x ）=-f （x ）则这个涵数叫做奇函数f （-x ）=f （x ）则这个函数叫做偶函数2、用求和（差）法判断若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=-- 则)(x f 为偶函数3、用求商法判断若()0)(1)()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数若()0)(1)()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性（对口升学07年高考题）解法一（定义法）函数的定义域为R ，关于原点对称()x x x f -+=-21lg )(=()1221lg 11lg -++=++x x x x= )x - ()f x =-)(x f ∴为奇函数解法二（求和（差）法）()()x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()(()()x x x x -+++=2211lg=01lg =)(x f ∴为奇函数解法三（求商法） ()()()()()x x x x x x x x x x x x x f x f ++++-=+++=++-+=-2222221lg 1lg 1lg 11lg 1lg 1lg )()( )0(1≠-=x)(x f ∴为奇函数例2判断函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=21121)(x x x f 的奇偶性（对口升学08年高考题）解法一（定义法）函数的定义域为0≠x 的全体实数，关于原点对称⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--2121221121)(x x x x x x f为偶函数而)()()(2(221)12(212221121)()12(212)21(212)21(22122x f x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x ∴=-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+•-=解法二（求和（差）法）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--21121)()(x x x f x f 为偶函数)(012)21(122122212212x f x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ∴=+-=+--=+-⋅-+-=+-⋅++-=解法二（求商法）211212122211212112221121212122112121121)()(1+--=+---=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=---x x x x x x x x x x x x x x f x f 1121212(2122)12(21222=++=--+-+-⋅=x x x x x x x 为偶数函数)(x f ∴例3已知0)(=x f 是定义在R 上的函数，试判断)(x f 的奇偶性解：)(x f 的定义域为R ，关于原点对称为偶函数)()(0)(x f x f x f ∴==-又)(00)(x f x f -=-==-为既奇偶函数为奇函数)()(x f x f ∴∴由例3可知，确实存在既是奇函数又是偶函数的函数，这种函数的值恒为零。

函数的奇偶性

函数的奇偶性第一部分知识梳理1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；2.函数奇偶性的判定方法①定义法：ⅰ)若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；ⅱ)若函数的定义域关于原点对称，在判断()f x -是否等于()f x ±-，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()()f x f x -是否等于1±；判断函数奇偶性一般步骤：ⅰ)求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称ⅱ）用x -代替x ，验证()()f x f x -=-，奇函数；若()()f x f x -=，偶函数；否则，非奇非偶。

②图像法③性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍奇函数；奇数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇函数；一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数3.奇偶函数图像的性质①()()()()0f x f x f x f x ⇔-=-⇔+-=奇函数⇔函数的图像关于中心原点对称；⇔偶函数()()()-()0f x f x f x f x -=⇔-=⇔函数的图像关于y 轴对称②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．③()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=④奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.第二部分精讲点拨考点1 奇偶函数的概念与性质1、下列说法错误的个数（）①图像关于坐标原点对称的函数奇函数 ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点 ④偶函数的图像一定与y 轴相交.1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个[].1EX (1)已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和是（）A ．4 B.2 C.1 D.0（2）已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图，那么()f x 的值域是___________[].2EX （1）设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x < 的解是____________(2)设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（）.()()A f x f x -是奇函数 .()()B f x f x -是奇函数 .()()C f x f x --是偶函数 .()()D f x f x +-是偶函数(3)若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a 等于（）.2A - .1B - .1C .2D(4)已知2()1x f x m x =++为奇函数，则(1)f -的值是________考点2 奇偶函数的判断判断下列函数的奇偶性（1）()f x = （2）()11f x x x =++- （3）()(f x x =-（4）23()f x x x =- (5)2223(0)()0(0)23(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩考点3 函数奇偶性的应用（1）已知53()8f x ax bx cx =++-，且()10f d =，求()f d -的值。

函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法函数的奇偶性，指的是一个函数图象关于坐标系原点或y轴的对称性。

判断函数奇偶性的方法主要有图象法、定义法、奇偶函数的四则运算性质、奇偶函数的复合函数性质等。

1、图象法（1）若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。

（2）若一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。

【注意事项】（1）若奇函数()y f x=在0x=处有定义，则其函数图象必定过原点，即必有()00f=。

（2）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

2、定义法（1）若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=-，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。

【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x-+=，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。

【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()1f xf x-=-（分母不为0），那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。

（2）若函数()y g x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。

【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x--=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。

【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x 都有()()1f x f x -=（分母不为0），那么函数()y f x =为定义域上的偶函数。

3、奇偶函数的四则运算性质（1）两个奇函数的和或差仍为奇函数。

【例】sin y x x =+，3sin y x x =-等。

（2）两个偶函数的和或差仍为偶函数。

【例】1cos y x =+，2cos y x x =-等（3）两个奇函数的积或商（除数不为0）奇函数为偶函数。

究竟如何判别函数的奇偶性附判断方法与8字口诀

究竟如何判别函数的奇偶性?附判断方法与8字口诀
函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？下面是组合教育张老师整理的关于函数奇偶性知识点，希望对考生复习有帮助。

一般地，对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函
数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

(5) 若f(x)=0，既是奇函数，又是偶函数。

说明：
1.奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言；
2.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验期定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义函数奇偶性知识点的全部知识点就分享到这里，更多精彩敬请点击视频查看详解。

函数奇偶性口诀：
内偶则偶，内奇同外。

奇函数+奇函数=奇函数
偶函数+偶函数=偶函数
奇函数*奇函数=偶函数
偶函数*偶函数=偶函数
奇函数*偶函数=奇函数。

数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用

数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用数学复习：函数的奇偶性与单调性的判定与应用一、引言在数学中，函数是一种重要的概念，用于描述数值之间的关系。

函数的奇偶性与单调性是研究函数特性的重要方面。

本文将对函数的奇偶性与单调性的判定方法和应用进行复习和总结。

二、函数的奇偶性的判定与应用1. 奇函数与偶函数的定义奇函数指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。

2. 函数奇偶性的判定方法（1）对于已知函数 f(x)，可根据奇函数和偶函数的定义，通过验证f(-x)与f(x)的关系，来判定函数的奇偶性。

（2）特殊情况下，例如幂函数、正弦函数等具有明显的对称特点的函数，可以直接判断其奇偶性。

3. 奇偶函数的性质（1）奇函数与奇函数相加、相减仍为奇函数。

（2）偶函数与偶函数相加、相减仍为偶函数。

（3）奇函数与偶函数相乘为奇函数。

4. 奇偶函数的应用（1）对称轴：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

根据奇偶函数的性质，可以确定图像的对称轴位置。

（2）函数的简化：奇函数与偶函数的特殊性质，可用于简化复杂的函数表达式。

（3）函数的积分：在某些情况下，奇函数在对称区间上的积分为0，而偶函数在关于y轴对称的区间上的积分具有简化求解的特点。

三、函数的单调性的判定与应用1. 单调递增与单调递减的定义（1）单调递增指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)<=f(x2)，当x1<x2时。

（2）单调递减指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)>=f(x2)，当x1<x2时。

2. 函数单调性的判定方法（1）求导：对于已知函数 f(x)，求其导函数 f'(x)。

若在定义域上f'(x)>=0，则函数在该区间上单调递增；若 f'(x)<=0，则函数在该区间上单调递减。

（2）二阶导数：当一阶导数无法确定函数的单调性时，可求二阶导数，通过二阶导数的正负来判定函数的单调性。

函数的奇偶性

函数的奇偶性定义：设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发y=f(x)f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数注：1 函数y=f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y=f(x)具有奇偶性2 定义域不关于原点对称或得不出y=f(x)和 f(-x)=-f(x)，则称f(x)不具有奇偶性一判断函数奇偶性的几种方法1.直接利用定义判定如果函数f(x)的定义域关于原点对称，则可验证是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，从而判定f(x)是奇函数还是偶函数。

注：a:既是奇函数又是偶函数只能f(x)=0f(x)=0,但定义域的不同。

f(x)=0有无穷个b:若函数是奇函数则f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0例1．判断下列函数的奇偶性 (1) 11)(--+=x x x f ； (2) xx x x f -+-=11)1()( ; (3)221)(2---=x x x f ; (4) ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f ④33)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数 ⑤2)(2+--=a x x x f a=0时偶函数，a ≠0时非奇非偶函数 ⑥22)(+--=x x x f5．(2008年高考上海卷)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________________.2.间接利用定义判定（定义的等价命题）f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数，f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数或当f(x)≠0时，1)()(-=-x f x f ⇔)(x f 是奇函数。

1)()(=-x f x f ⇔)(x f 是偶函数注：函数以对数形式或根式出现时，可考虑此方法。

判断函数奇偶性的方法

判断函数奇偶性的方法对于一个给定的函数，我们常常需要判断它的奇偶性。

判断一个函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质，从而更好地解决问题。

在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们具有一些特定的性质和规律。

本文将介绍判断函数奇偶性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。

一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。

其中，D表示函数的定义域。

接下来，我们将介绍几种常见的判断函数奇偶性的方法。

方法一，利用函数图像判断。

对于一个给定的函数，我们可以通过观察它的图像来判断它的奇偶性。

具体来说，如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数的图像关于坐标轴原点对称，那么这个函数就是奇函数。

例如，对于函数y=x^2，它的图像是一个关于y轴对称的抛物线，因此它是偶函数；而对于函数y=x^3，它的图像是关于原点对称的曲线，因此它是奇函数。

方法二，利用函数的性质判断。

除了通过观察函数的图像来判断奇偶性外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。

具体来说，我们可以利用函数的定义和性质来进行推导和证明。

以多项式函数为例，我们知道，一个多项式函数可以表示为f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0为常数，n为非负整数。

对于一个多项式函数，如果它满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数；如果它满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。

方法三，利用导数判断。

另外，我们还可以利用函数的导数来判断函数的奇偶性。

具体来说，如果一个函数f(x)是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数；如果一个函数f(x)是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数。

函数的对称性与奇偶性的判断方法

函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。

判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。

本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。

一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。

这意味着函数图像关于y轴对称。

为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。

2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。

这表示函数图像关于x轴对称。

同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。

3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。

同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。

二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。

换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。

2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。

这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。

3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。

对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。

此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。

三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。

例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。

由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。

将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。

所以该函数关于y轴对称。

例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。

由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。

如何运用定义法判断函数的奇偶性

我们知道，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )是偶函数；都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )是奇函数.奇偶性是函数的重要性质之一.判断函数的奇偶性，我们一般用定义法，其基本思路是：第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称.若函数的定义域不关于原点对称，则该函数不具有奇偶性.第二步，将-x 替换x ，求得f (-x )的表达式.第三步，将f (-x )的表达式与f (x )、-f (x )进行比较，若f (-x )=f (x )，则函数为偶函数；若f (-x )=-f (x )，则函数为奇函数.下面，我们结合实例来说明.例1.判断函数f (x )=x -1x3的奇偶性.解：由题意可知，该函数的定义域为()-∞,0⋃(0,+∞)，且关于原点对称，所以当x ∈(-∞,0)⋃(0,+∞)时，-x ∈(-∞,0)⋃(0,+∞)，又f (-x )=(-x )-1(-x )3=-x +1x 3=-(x -1x3)，所以函数f (x )=x -1x3为奇函数.在求出函数的定义域后，我们就会发现函数的定义域关于原点对称，所以接下来就可以直接根据函数奇偶性的定义来判断其奇偶性.例2.判断函数f (x )=ìíîïïx 3-3x 2+1,x >0,0,x =0,x +3x 2-1,x <0,的奇偶性.解：由题意知，函数的定义域为R ，且关于原点对称.当x >0时，-x <0，f (-x )=-x 3+3x 2-1=-(x 3-3x 2+1)=-f (x )，当x =0时，-x =0，f (-x )=f (0)=0,f (x )=f (0)=0，f (-x )=-f (x )，当x <0时，-x >0，f (-x )=-x 3-3x 2+1=-(x 3+3x 2-1)=-f (x )，综上，当x ∈R 时，总有f (-x )=-f (x )，所以该函数f (x )为奇函数.由于该函数为分段函数，所以需将函数的定义域分成三段，然后将-x 与x 代入相应区间的函数表达式中，得到f (-x )=-f (x )，所以可以判定该函数为奇函数.在判断分段函数的奇偶性时，很多同学经常会误用函数在定义域的某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性，大家要警惕.例3.已知函数f (x )的定义域为R .若对于任意实数a 、b 都存在f (a +b )+f (a -b )=2f (a )f (b )，请判断该函数的奇偶性.分析：由于该函数没有给出具体的解析式，属于抽象函数，需通过讨论f (x )±f (-x )是否等于0，以及f (x )与f (-x )之间的关系来判断其奇偶性.解：由题意可知函数的定义域为R ，所以函数的定义域关于原点对称.由任意a 、b ∈R ，都存在f (a +b )+f (a -b )=2f (a )f (b )可令b =0,则2f (a )=2f (a )f (0)，若f (a )=0，a 为任意实数，则f (x )=0，所以函数为偶函数.若f (a )≠0，则f (1)=0.令a =0，则f (b )+f (-b )=2f (0)f (b )=2f (b )，f (-b )=f (b ).所以该函数为偶函数.利用定义法判断抽象类函数的奇偶性有两种思路.一种是通过判断f (x )±f (-x )是否等于0来进行判断，当f (x )-f (-x )=0时，函数为偶函数；当f (x )+f (-x )=0时，函数为奇函数.另一种方法是根据f (x )与f (-x )之间的关系来进行判断，当f (-x )=-f (x )时，函数为奇函数；当f (-x )=f (x )时，函数为偶函数.判断函数奇偶性的方法还有很多，如数形结合法、转化法、导数法等.虽然有些题目中函数的解析式和类型并不相同，但运用定义法判断函数奇偶性的步骤和思路是一致的.希望同学们在学习了这篇文章后，能熟练运用定义法判断函数的奇偶性.(作者单位:江苏省东海县房山高级中学)何永知识导航39。

判断函数奇偶性

判断函数奇偶性函数奇偶性是一种常用的数学概念，它是在函数和其变换后的对称性之间存在的关系。

也就是说，函数奇偶性是提供一种理解和判断函数是否是变换后的对称图像的方法。

函数奇偶性定义如下：函数f(x)是奇函数，当且仅当f(-x)=-f(x)成立；函数f(x)是偶函数，当且仅当f(-x)=f(x)成立。

讨论奇函数一般来说，奇函数是一类具有变换性质的函数，它通常对称于y 轴或原点，而当函数的变换结果与原函数的图像形状完全一致时，就表示该函数是一个奇函数。

例如在二维平面中，函数f(x)=-x，它具有以下特性：若x给定，则f(-x)=-f(x)成立，即函数具有奇函数的特性。

另外，当函数具有如下关系时，函数也是一个奇函数：f(x+2a)=f(x)，其中a是常量。

例如函数f(x)=x^3，在常量a=1时：f(x+2)=f(x)，即f(-x)=(-x)^3=x^3=f(x)，此时函数f(x)也是一个奇函数。

讨论偶函数偶函数也是一类具有变换性质的函数，它的定义是当函数的变换结果与其原函数的图像镜像（对称）时，即表示该函数为一个偶函数。

例如函数f(x)=x^2，当x给定时，f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)，即函数具有偶函数的性质。

另外，当函数有如下关系：f(x+2a)=f(x)，其中a是常量。

例如函数f(x)=x^4，在a=1时：f(x+2)=f(x)，即f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)，此时函数f(x)也是一个偶函数。

关于判断函数奇偶性的方法（1）可以利用函数的变换性质，奇函数的变换结果和原函数的图像形状完全一致，而偶函数的变换结果与原函数的图像形状是镜像所成的，可以根据这一特性来判断函数的奇偶性。

（2）可以利用变换后的函数的值来判断函数的奇偶性，使用函数f(x)=-f(-x)，如果函数定义域上的点满足上述关系，则函数为奇函数；反之，函数f(-x)=f(x)，如果函数定义域上的点满足上述关系，则函数为偶函数。

函数的周期性与奇偶性的判定

函数的周期性与奇偶性的判定函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种数值之间的关系。

函数的周期性与奇偶性是函数的重要特征之一，对于函数的分析和应用具有重要的意义。

本文将介绍函数的周期性和奇偶性的概念，并讨论判定函数周期性和奇偶性的方法。

一、函数的周期性周期函数在数学中起到了重要的作用，它们具有重复出现的性质。

一个函数f(x)被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，都有f(x+T) = f(x)成立。

这个正数T被称为函数f(x)的周期。

周期函数具有重复出现的形式，可以描述各种重复现象，如正弦函数、余弦函数等。

判定函数周期性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否重复出现。

如果函数的图像在一个特定的间隔内重复出现，并且没有其他额外的变化，那么函数很可能是周期函数。

2. 分析函数公式：有些函数的周期性可以通过函数的公式来判断。

例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而指数函数和对数函数则没有周期性。

二、函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的对称性质，反映了函数的特定规律。

一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。

奇函数和偶函数是两类特殊的函数，它们具有对称性的特征。

判定函数奇偶性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否具有对称性。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

因此，通过观察函数的图像可以初步判定函数的奇偶性。

2. 分析函数公式：有些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。

例如，幂函数的指数为奇数时，函数是奇函数；指数为偶数时，函数是偶函数。

综上所述，函数的周期性和奇偶性是函数的重要特征。

通过观察函数的图像和分析函数的公式，我们可以判定函数的周期性和奇偶性。

这些特征在函数的分析和应用中起着重要的作用，帮助我们理解和描述各种数值之间的关系。

判断函数奇偶性知识点总结

判断函数奇偶性知识点总结判断函数奇偶性知识点总结函数奇偶性是高中数学中的一类重要的概念和方法，对于理解函数的性质和解题有着重要的指导作用。

掌握函数奇偶性的判断方法，可以帮助我们更好地分析和解决数学问题。

本文将总结判断函数奇偶性的相关知识点，包括奇偶函数的定义、判断方法及常见函数的奇偶性。

一、奇偶函数的定义1. 定义函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。

具体而言，对于定义域中的任意实数x，若函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

2. 奇函数的性质（1）奇函数在原点对称，即函数图像关于原点对称；（2）如果函数是奇函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。

3. 偶函数的性质（1）偶函数在y轴对称，即函数图像关于y轴对称；（2）如果函数是偶函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。

二、判断函数奇偶性的方法1. 使用定义判断要判断函数奇偶性，可以使用定义进行判断。

即对于定义域中的任意实数x，如果满足f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；如果无法满足以上两个条件，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

2. 使用图像判断利用函数图像的对称性质，我们可以判断函数的奇偶性。

具体而言，对于函数的图像图形，如果它关于y轴对称，则函数为偶函数；如果它关于原点对称，则函数为奇函数；如果既不关于y轴对称也不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 使用性质判断对于一些特定的函数，可以利用其性质来判断其奇偶性。

（1）多项式函数：多项式函数中的偶次幂项为偶函数，奇次幂项为奇函数。

（2）三角函数：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

（3）指数函数和对数函数：指数函数和对数函数既可以是奇函数，也可以是偶函数，具体与函数的定义和参数相关。

函数增减性与奇偶性一般快速判断方法

函数增减性与奇偶性一般快速判断方法在高数课上，关于函数的增减性和奇偶性，大家一定不陌生，它们可以帮助我们快速求解函数，如当我们挪动图像，只需要知道它的增减性和奇偶性，便可以找出新图像的近似位置。

它们是我们学习函数时最基本的东西。

下面我们以快速判断函数增减性和奇偶性为例，来说明它们的基本规律：
一、判断函数增减性
1、当函数是常数时，其增减性为恒定，即f(x+h)=f(x)；
2、当函数的特定点处有明显的拐点时，即函数在该点的斜率值变化程度很大时，那么该函数在该点的增减性也会发生变化；
3、针对函数的斜率变化，可以通过函数导数的局部极值的计算，来判断函数的增减性，其原理是：当函数在其中一点处有极值，则该函数的导数在该点处以及其附近一定有零点存在，也就是说，函数的斜率在该点处发生变化；若函数的其中一局部有极大值（极小值），则函数在该点处为减性（增性）；若函数的其中一局部既无极大值，又无极小值，则函数在该点的增减性不变。

二、判断函数奇偶性
奇偶性可以简单的判断，通过将函数的绝对值计算一下，如果绝对值函数的图像和原函数的图像重合，则该函数为偶数函数，否则，则为奇数函数。

函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法可以通过以下步骤进行：
1. 对函数进行求导，求得函数的导函数。

根据函数导数的性质，奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

2. 对导函数进行判断。

如果导函数是奇函数，则原函数是偶函数；如果导函数是偶函数，则原函数是奇函数。

这是因为奇函数的导函数是偶函数，而偶函数的导函数是奇函数。

3. 对函数进行奇偶性的验证。

可以选择任意一个点，例如选择$x=0$或$x=1$，计算函数在这个点上的值。

如果函数在选定
的点上的函数值与该点的对称点的函数值相等，则函数是偶函数；如果函数在选定的点上的函数值与该点的对称点的函数值相反，则函数是奇函数。

4. 对函数进行数学性质的分析。

对于多项式函数，可以通过观察多项式的幂次、系数的奇偶性来判断函数的奇偶性。

例如，对于只包含偶次幂的多项式函数，它是偶函数；对于只包含奇次幂的多项式函数，它是奇函数。

5. 对函数进行图像观察。

通过绘制函数的图像，观察函数的对称性和变化趋势来判断函数的奇偶性。

奇函数的图像通常具有关于原点对称的特点，而偶函数的图像则具有关于y轴对称的特点。

通过以上方法的一个或多个的综合应用，可以准确地判断一个函数的奇偶性。

函数奇偶性结论

函数奇偶性结论函数奇偶性：1.概念:函数奇偶性是指函数在坐标轴上对称，即对称轴是原点（0，0），其中一半的函数图像是另一半的镜像。

例如y=x^2函数的图像是一个“U”形，左半部分是右半部分的一个镜像。

该函数可以判定为奇函数。

2.判别依据:通过检测函数的图像是否是原点（0，0）对称来判断函数是奇函数还是偶函数。

3.奇偶属性定义:（1）如果函数f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。

即f（x）图像是以原点（0，0）为中心的镜像等价，此时函数f（x）在（-∞，+∞）上是一个奇函数。

（2）如果函数f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数。

即f（x）在x=0处是垂直对称的，此时f（x）在（-∞，+∞）上是一个偶函数。

4.奇偶性特征:（1）区域可导性:如果f（x）为常数，则其区域可导性为0；如果f （x）为奇函数，则区域可导性为1；如果f（x）为偶函数，则区域可导性为2。

（2）局部有界性:如果函数f（x）有周期性，即局部变化绝对值的最大值恒定，则有f（x）的局部有界性；奇函数的局部有界性比偶函数要弱，他们的局部变化绝对值不一定会收敛。

（3）数值变化表现:奇函数的数值变化是周期性的，而偶函数的数值是单调性的，即在（-∞，+∞）之间是一次函数。

（4）函数值法则:如果x>0时，函数f（x）为奇函数，则f（0）=0；而如果x>0时，函数f（x）为偶函数，则f（0）≠0。

5.奇偶性应用:（1）函数和反函数:函数和函数的反函数定义上是相反的，但是由于函数的奇偶性，很多时候，函数的反函数也具有相同的奇偶性特征。

（2）分部和积分:函数的分部变换的结果受到函数的奇偶性特征的影响；在积分运算中，奇函数和偶函数则会抵消。

（3）图像处理和分析:在图像处理和分析中，利用各类函数的不同奇偶性，可以进行图像的平滑操作；并且函数奇偶性也是进行图像共振及图像滤波器设计中一个非常重要的研究方向。