排列组合--插板法、插空法、捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)

插板法(m为空得数量)

【基本题型】

有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？

图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,

【总结】ﻫ需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。ﻫ

注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。

插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法.

应用插板法必须满足三个条件:

(1) 这n个元素必须互不相异

(2)所分成得每一组至少分得一个元素ﻫ(3)分成得组别彼此相异

举个很普通得例子来说明

把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？

问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ﻫ下面通过几道题目介绍下插板法得应用

e二次插板法ﻫ例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？ﻫ－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ

可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位

所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种

【基本解题思路】

将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到m组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。

【基本题型例题】

【例１】共有1０完全相同得球分到7个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法？ﻫ解析:我们可以将10个相同得球排成一行,１0个球之间出现了9个空隙,现在我们用６个档板”插入这9个空隙中,就“把１0个球隔成有序得7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置得几个球(可能就是1个、2个、3个、4

ﻫ【基本题型得变形(一)】

个),这样,借助于虚拟“档板”就可以把1０个球分到了７个班中。ﻫ

ﻫ题型:有ｎ个相同得元素,要求分到ｍ组中,问有多少种不同得分法?

解题思路:这种问题就是允许有些组中分到得元素为“0",也就就是组中可以为空得。对于这样得题,我们就首先将每组都填上1个,这样所要元素总数就m个,问题也就就是转变成将(n＋m)个元素分到ｍ组,并且每组至少分到一个得问题,也就可以用插板法来解决。ﻫﻫ【例2】有8个相同得球放到三个不同得盒子里,共有()种不同方法、ﻫＡ.3５ B.２８C.21 D.４5ﻫ解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加１个,则球得总数为8＋３×１=11,此题就有Ｃ(10,２)=45(种)分法了,选项D为正确答案。ﻫ

【基本题型得变形(二)】

题型:有n个相同得元素,要求分到m组,要求各组中分到得元素至少某个确定值S(s＞1,且每组得s值可以不同),问有多少种不同得分法？ﻫﻫ解题思路:这种问题就是要求组中分到得元素不能少某个确定值s,各组分到得不就是至少为一个了、对于这样得题,我们就首先将各组都填满,即各组就填上对应得确定值s那么多个,这样就满足了题目中要求得最起码得条件,之后我们再分剩下得球。这样这个问题就转变为上面我们提到得变形(一)得问题了,我们也就可以用插板法来解决。

【例3】１5个相同得球放入编号为1、2、3得盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同得放法？ﻫ解析:ﻫ编号1:至少1个,符合要求。

编号２:至少２个:需预先添加1个球,则总数—1

编号3:至少3个,需预先添加2个,才能满足条件,后面添加一个,则总数—2ﻫ则球总数15－1-2＝1２个放进3个盒子里

所以C(１1,2)=55(种)

【例】1０个学生中,男女生各有5人,选４人参加数学竞赛。

(1)至少有一名女生得选法种数为__＿_________＿__。

(２)A、B 两人中最多只有一人参加得选法种数为___________

解法1:10名中选4 名代表得选法得种类:C１04, 排除４名参赛全就是男生:C54 (排除法)Ｃ1０4--—-C5４=205解法2:选1女生时,选2个女生时,选3、4个女生时得选法,分别相加

(2010年国考真题)某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放９份材料、问一共有多少种不同得发放方法？( ) A.7 B、９ C、１0 D。1２

解析:每个部门先放８个,后面就至少放一个,三个部门则要先放８×3＝２4份,还剩下３0—24＝6份来放入这三个部门,且每个部门至少发放１份,则C(5,2)=10

插空法

插空法就就是对于解决某几个元素要求不相邻得问题时,先将其她元素排好,再将所指定得不相邻得元素插入它们得间隙或两端位置。首要特点就就是不相邻。下面举例说明。

一、数字问题

【例】把1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻得五位数,则所有不同排法有多少种?

解析:本题直接解答较为麻烦,因为可先将3,4,５三个元素排定,共有种排法,然后再将1,2插入四个空位共有种排法,故由乘法原理得,所有不同得五位数有

二、节目单问题

【例】在一张节目单中原有六个节目,若保持这些节目得相对顺序不变,再添加进去三个节目,则所有不同得添加方法共有多少种?

解析:-o - o —o —o - o - o —六个节目算上前后共有七个空位,那么加上得第一个节目则有种方法;此时有七个节目,再用第二个节目去插八个空位有种方法;此时有八个节目,用最后一个节目去插九个空位有种方法、由乘法原理得,所有不同得添加方法为:。

三、关灯问题

【例】一条马路上有编号1,2,3,４,5,6,7,8,9得九盏路灯,为了节约用电,可以把其中得三盏灯关掉,但不能同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同得关灯方法有多少种？

解析:如果直接解答须分类讨论,故可把六盏亮着得灯瞧作六个元素,然后用不亮得三盏灯去插七个空位(用不亮得3盏灯去插剩下亮得６盏灯空位,就有７个空位)共有种方法,因此所有不同得关灯方法为种。

四、停车问题

【例】停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同得停车方法有多少种?

解析:先排好8辆车有种方法,要求空位置连在一起(剩下４个空位在一起,来插入８辆车,有9个空位可以插),将空位置插入其中有种方法。所以共有种方法。

五。座位问题

【例】3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法得种类有多少种？

解法:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,再让3个人每人带一把椅子去插空,于就是有种。