高二数学双曲线知识点及高考例题

高二数学双曲线知识点及高考例题

1. 双曲线第一定义：

平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义：

平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：

x a y b

a b 222

2100-=>>()，

（2）焦点在y 轴上的：

y a x b

a b 222

2100-=>>()，

（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2

线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e c

a

e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±

5渐近线：y b a

x = <>=±62

准线方程：x a c

5．若双曲线的渐近线方程为：x a

b y ±

= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(22

22≠=-λλb

y a x

【典型例题】 例1. 选择题。

121

122

.若方程

表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=

A m

B m m ..-<<-<->-2121或

C m m

D m R ..≠-≠-∈21

且

2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）

A. 必要但不充分条件

B. 充分但不必要条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=

A. 焦点在x 轴上的椭圆

B. 焦点在y 轴上的椭圆

C. 焦点在y 轴上的双曲线

D. 焦点在x 轴上的双曲线

416913

221212.双曲线

上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (9)

63

33

93

例2. ()

已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭

⎪

例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且

sin sin sin B C A -=3

5

，求顶点A 的轨迹方程。

例4. （1）求与椭圆x y 2294152

+=有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。

（2）求与双曲线x y M 2294

1921-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪有共同渐近线，且经过点，的双曲线

的标准方程。

例5. 已知双曲线方程x y 22

42

1-

= （1）过点M （1，1）的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为AB 的中点，

求直线AB 的方程；

（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝ ⎫

⎭

⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，

若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

例六：1. 若x k y k 22

211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c

的取值范围是（ ） A. ()1，+∞

B. （0，2）

C. ()2，+∞

D. （1，2）

2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（ ） A. 2或

23

3

B. 2

C.

23

3

D. 3

3. 圆C 1：()x y ++=312

2和圆C 2：()x y -+=392

2，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

[例题答案]

例一：

解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照

易知：2+m 与m+1应同号即可。

∴+>+>⎧⎨⎩+<+<⎧⎨

⎩20102010m m m m 或 ∴>->-⎧⎨⎩<-<-⎧⎨

⎩m m m m 2121或 ∴>-<-m m 12或

2022. 若表示双曲线，则一定有；ax by c ab +=<

若当时，表示双曲线

当时，表示直线ab c c <≠=⎧⎨⎩000

∴选A

300.sin cos ααα是第二象限角，，∴>< ∴

α

0 原方程化为：

x y 221⋅-=sin cos sin cos ααα

α

易知：x 2的系数为负，y 2的系数为正

∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a ＝4，b ＝3，c ＝5

设，，则，PF m PF n m n F F c 12128210==-=== 由余弦定理：(223

222c m n mn )cos =+-⋅π

()10022

=-+-m n mn mn ∴=mn 36 ∴=

⋅︒=⋅⋅=S mn F PF ∆121260123632

93sin 、 例二：

解：设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1，（AB>0）