高二数学双曲线知识点及高考例题

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高考数学专题复习:双曲线(含解析)

高考数学专题复习:双曲线(含解析)

高考数学专题复习:双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题,需要进行修正和删减。

修正后的文章如下:研究目标:1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点,点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上,且 $F_1P=F_2P=c$,则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为:A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值,结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义,根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点,$A(0,b)$ 为左顶点,点$P$ 为双曲线右支上一点,且 $AP=\frac{a}{2}$,则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为:A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,再求出点 $P$ 的坐标,最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算,考查双曲线方程的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$,且$l: y=x\tan\theta$,直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点,$OA\perp$轴,$OB\perp$轴(其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点),则该双曲线的离心率为:A。

双曲线知识点及例题

双曲线知识点及例题

双曲线知识点一:双曲线的定义: 在平面内,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数(大于0且)的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意:注意:1. 1. 双曲线的定义中,常数双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”,常数若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;若(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;的一支;3. 3. 若常数若常数满足约束条件:,则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点);端点的两条射线(包括端点); 4.若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在;,则动点轨迹不存在;5.若常数,则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。

的垂直平分线。

知识点二:双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点, ,焦距范围,,对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=,虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时,我们称这样的双曲线为等轴双曲线。

其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为(,焦点在轴上,,焦点在y 轴上)轴上)4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ,其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系:椭圆、双曲线的区别和联系:椭圆、双曲线的区别和联系:椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|-|MF 2|=|=±±2aa >c >0, a 22-c 22=b 22(b >0)0<a <c , c 22-a 22=b 22(b >0), ,(a>b>0)(a>0,b>0,a不一定大于b)典型例题1、已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为()D.A.B.C.试题分析:由题意可知,因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点,过做垂直于轴的直线交双曲线于两点,若为钝角三角形,则双曲线的离心率的范围是A.B.C.D.试题分析:由题意为钝角三角形,则,所以,又,,所以,所以,所以.考点:双曲线离心率.3、已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线为,则它的离心率为()A.B.C.D.试题分析:由已知得,又在双曲线中有,所以得到;故选A.4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的,则双曲线的离心率为_________. 试题分析:双曲线的两准线的距离为:,两焦点间的距离为:,根据题意可由:化简为:解得:,所以答案为:. 5、双曲线的离心率 .试题分析:双曲线即为,其中6、如图,、是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A.4B.C.D.试题分析:因为为等边三角形,不妨设,为双曲线上一点,,为双曲线上一点,则,,由,则,在中应用余弦定理得:,得,则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.试题分析:的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点,把代入中,得,由,,则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ,|PQ|=7,F1是左焦点,那么△F1PQ的周长为()A.18B.C.D.试题分析:可化为;由双曲线的定义,得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________.试题分析:双曲线的顶点为,渐近线方程为,即;则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率,则的取值范围是()A.B.C.D.试题分析:由题意知,又,∴,∴. 11、双曲线的实轴长是()A.2B.2C.4D.4试题分析:双曲线方程可变形为,所以. 12、双曲线:的渐近线方程是()A.B.C.D.试题分析:由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是.13、斜率为的直线过双曲线的右焦点,且与双曲线的左右两支都相交,则双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.试题分析:如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点,且与双曲线的左右两支都相交,必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点,则直线的斜率的取值范围为()A.B.C.D.试题分析:双曲线的焦点在y轴上,通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1,因此答案选B。

双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)

双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)

双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

(1)距离之差的绝对值.(2)当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支;当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支;当2a =|F 1F 2|时,轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线;当2a >|F 1F 2|时,动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹( )A .椭圆B .线段C .双曲线D .两条射线 第二定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1(-)0,c ,F 2()0,c F 1(),0c -,F 2(),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴,y 轴和原点对称顶点 (-a ,0)。

(a ,0) (0,-a )(0,a )轴 实轴长2a ,虚轴长2b离心率)1(>=e ace (离心率越大,开口越大) 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意:等轴双曲线(1)定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线 (2)方程:222x y a -=或222y x a -= (3)离心率e =渐近线y x =±(4)方法:若已知等轴双曲线经过一定点,则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-,求此双曲线方程 3双曲线中常用结论(1)两准线间的距离: 22a c (2)焦点到渐近线的距离为b (3)通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法(1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应a b c 、、即可求得方程; (2)待定系数法,其步骤是①定位:确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上;②设方程:根据焦点的位置设出相应的双曲线方程; ③定值:根据题目条件确定相关的系数。

高考数学双曲线性质典型例题

高考数学双曲线性质典型例题

(二)双曲线性质典型例题例1 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-,A 点的双曲线方程及离心率. .例2 求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为12的双曲线的标准方程.例3 已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ,两条准线间的距离为131316,求双曲线标准方程. 例4 中心在原点,一个焦点为()01,F 的双曲线,其实轴长与虚轴长之比为m ,求双曲线标准方程.例5 求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点()31-,P 且离心率为2的双曲线标准方程.例6 已知点()03,A ,()02,F ,在双曲线1322=-y x 上求一点P ,使PF PA 21+的值最小. 例7 已知:()11y x M ,是双曲线12222=-by a x 上一点.求:点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离.例9 如图所示,已知梯形ABCD 中,CD AB 2=,点E 满足EC AE λ=,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点,当4332≤≤λ时,求双曲线离心率的取值范围. 例10 设双曲线12222=-by a x )0(b a <<的半焦距为c ,直线l 过)0,(a 、),0(b 两点, 且原点到直线l 的距离为c 43,求双曲线的离心率.例11 在双曲线1131222=-x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差. (1)求31y y +; (2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点,并求出定点的坐标.例12 根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程. (1)过点)2,3(-P ,离心率25=e . (2)已知双曲线的右准线为4=x ,右焦点为)0,10(F ,离心率2=e .(3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点,P 是双曲线上一点,且︒=∠6021PF F ,31221=∆F PF S ,又离心率为2. 例13 已知双曲线12222=-by a x 的离心率21+>e ,左、右焦点分别为1F 、2F ,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找到一点P ,使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项?例14 直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ,B 两点,设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围.例15 已知1l ,2l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线,且1l ,2l 与双曲线122=-x y 各有1A ,1B 和2A ,2B 两个交点. (1)求1l 的斜率1k 的取值范围;(2)若22115B A B A =,求1l ,2l 的方程; (3)若1A 恰是双曲线的一个顶点,求22B A 的值. 例16 已知双曲线的渐近线方程是043=+y x ,043=-y x ,求双曲线的离心率.例17 已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点,且与以)0,2(A 为圆心,1为半径的圆相切,双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称,设直线l 过点A ,斜率为k .(1)求双曲线S 的方程;(2)当1=k 时,在双曲线S 的上支求点B ,使其与直线l 的距离为2;(3)当10<≤k 时,若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2,求斜率k 的值及点B 的坐标. 例18 如右图,给出定点)0,(a A )0(>a 和直线1-=x l :, B 是直线l 上的动点,BOA ∠的角平分线交AB 于C ,求点C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系\例19 已知双曲线C 的实轴在直线2=x 上,由点)4,4(-A 发出的三束光线射到x 轴上的点P 、Q 及坐标原点O 被x 轴反射,反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点1F 、2F 和双曲线的中心M .若4=PQ ,过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为98,求双曲线C 的方程和入射光线AP 、AQ 所在直线的方程.。

双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期

双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期

3.2.2双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质.1.范围,x a y R ≥∈,即,x a x a y R ≥≤-∈或.双曲线位于两条直线x a =±的外侧.讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围,由不等式222211x y a b =+≥,得||x a ≥,由222211y x b a--≥-,得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象,当x 无限增大时,y 也无限增大,所以双曲线是无限伸展的,不像椭圆那样是封闭的.2.对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称,关于原点成中心对称,我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴,原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心,简称中心. 提示(1)把双曲线标准方程中的x 换成x -,方程并没有发生变化,说明当点(,)P x y 在双曲线上时,它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上,所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.(2)同理,把双曲线标准方程中的y 换成y -,可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称;把双曲线标准方程中的x 换成x -,y 换成y -,可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. (3)如果曲线具有三种对称性的其中两种,那么它就具有另一种对称性.(4)对于任意一个双曲线而言,对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线,且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3.顶点与实轴、虚轴如图所示.(1)双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点,双曲线的顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a . (2)线段12A A 叫做双曲线的实轴,线段12B B 叫做双曲线的虚轴.(3)实轴长122A A a =,虚轴长122B B b =,,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形:(1)当双曲线焦点在x 轴上时,a 是半实轴长,b 是半虚轴长,且222c a b =+,所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形,如图2.3-10所示,其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形,双曲线的焦点永远在实轴上.(2)当双曲线的焦点在y 轴上时,可得类似的结论.4.渐近线(1)渐近线画法:经过点1(,0)A a -,2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±,经过点1(0,)B b -,2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±,四条直线围成一个矩形,矩形 两条对角线,这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近.(2)渐近线方程:by x a =±.拓展(1)双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±,双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±,两者容易混淆,可先将双曲线方程中的“1”换成“0”,再因式分解即可得渐近线方程,这样就不容易记错了.(2)双曲线与它的渐近线无限接近,但永远不相交.(3)与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠;与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5.离心率(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,定义式c e e a =⇒(2)范围:1e >.由等式222c a b =+,得b a ==e 越大,b a 也越大,即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大,这时双曲线的形状就越陡,由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔. 提示因为c e a =,c ,所以e =,b a222(1)b a e =-,在,,,a b c e 四个参数中,只要知道其中两个,就可以求出另两个,关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,等轴双曲线有如下性质:(1)方程形式为22(0)x y λλ-=≠;(2)渐近线方程为y x =±,它们互相垂直,并平分双曲线实轴和虚轴所成的角;(3.2. 以双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是一对共轭双曲线.例如,双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线,其性质如下: (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线; (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系:(1)无公共点,此时直线有可能为双曲线的渐近线.(2)有一个公共点,分两种情况:①直线是双曲线的切线,特别地,直线过双曲线一个顶点,且垂直于实轴;②直线与双曲线的一条渐近线平行,与双曲线的一支有一个公共点. (3)有两个公共点,可能都在双曲线一支上,也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时,先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标,从而根据距离公式求出弦长,再结合双曲线的定义,还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时,涉及中点问题,可首先设出直线与双曲线两交点的坐标,然后分别代入双曲线方程,最后作差,即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程,并画出该双曲线的草图.解:将双曲线化为221 419x y-=,可知半实轴长4293a=,半虚轴长1b=,于是有2241319c a b=+=+=,所以焦点坐标为13(,离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±,即32y x=±.为画出双曲线的草图,首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±,且顶点坐标为2(,0)3±,然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标,如取1y=,算出230.94x=≈.由题意,知点(0.94,1)±在双曲线上,将三点(0.94,1)-,2(,0)3,(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线,画出第一、第四象限内双曲线的一支,最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支,得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,这样便于直观写出,a b的值,进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)一个焦点为(0,13),且离心率为135;(2)渐近线方程为12y x=±,且经过点(2,3)A- .解:(1)由题意,知双曲线的焦点在y 轴上,且13c =,由于135c a =,所以5a =,12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.(2)因为双曲线的渐近线方程为12y x =±,若焦点在x 轴上,设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>,则12b a =.(Ⅰ)因为点(2,3)A -在双曲线上,所以22491a b -=. (Ⅱ) 联立(Ⅰ)(Ⅱ),无解.若焦点在y 轴上,设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>,则12a b =.(Ⅲ)因为点(2,3)A -在双曲线上,所以22941a b -=. (Ⅳ) 联立(Ⅲ)(Ⅳ),解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应分类讨论.为了避免讨论,也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>,从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±,则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠,避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1.求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦,如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解:设1(,0)F c ,将x c =代入双曲线方程,得22221c y a b -=,所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =,22b ac =,所以2220c ac a --=.即2210e e --=,解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出,a c ,计算c e a=; (2)依据条件建立关于,,a b c 的关系式,一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解;另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程,求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ,直线l 过点(,0)A a ,(0,)B b 两点,已知原点到直线l的距离为34c ,则双曲线的离心率为 . 解析:如图所示,在△OAB 中,OA a =,OB b =,34OE c =,22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=,两边同除以2a 233()0b b a a -=, 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案:2223)a b ab +=,此方程可称为关于,a b 的齐次方程,转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2.求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ,直线l 过点(,0)a ,(0,)b 两点,且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥,求双曲线的离心率e 的取值范围.解:由题意,知直线l 的方程为1x ya b +=,即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+,点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+,所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥,得2ab c 45c ≥,即252c .于是得22e ,即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >,所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时,要根据题意挖掘题中隐含的不等关系,构造不等式,从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ,则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解:由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩,消去y ,得到2222(1)220a x a x a -+-=,由题意知,24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩,解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===,所以(2,)e ∈+∞.答案:(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法,另外也可利用基本不等式构建不等关系,线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点,求实数则k 的取值范围.解:由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩,消去y ,得到22(1)220k x kx -+-=,由题意,知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩,解得k <,且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题,常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。

08 高二数学重难点知识汇总 双曲线

08 高二数学重难点知识汇总 双曲线

高二数学重难点知识汇总第八讲 双曲线一.重难点讲解知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点的 轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

注意(1)在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去掉。

(2)如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。

(3)如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。

(4)如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。

(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。

(6)设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ;若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。

知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式(1)通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a b y a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a bx a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上;如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。

对于双曲线,a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。

焦点在x 轴上的方程,只要将y x ,互 换就能得到焦点在y 轴上的方程。

(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上,标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。

双曲线知识点及例题

双曲线知识点及例题

双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\(F_1\)、\(F_2\)的距离之差的绝对值等于常数\(2a\)(\(0 <2a <|F_1F_2|\))的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点\(F_1\)、\(F_2\)叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离\(|F_1F_2|\)叫做焦距,记为\(2c\)。

二、双曲线的标准方程焦点在\(x\)轴上的双曲线标准方程为:\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2} = 1\)(\(a > 0\),\(b > 0\)),其中\(c^2 = a^2 + b^2\)。

焦点在\(y\)轴上的双曲线标准方程为:\(\frac{y^2}{a^2}\frac{x^2}{b^2} = 1\)(\(a > 0\),\(b > 0\)),其中\(c^2 = a^2 + b^2\)。

三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\(x\)轴上的双曲线,\(x\)的取值范围是\(x \leq a\)或\(x \geq a\);\(y\)的取值范围是\(R\)。

焦点在\(y\)轴上的双曲线,\(y\)的取值范围是\(y \leq a\)或\(y \geq a\);\(x\)的取值范围是\(R\)。

2、对称性双曲线关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点都对称。

3、顶点焦点在\(x\)轴上的双曲线的顶点坐标为\((\pm a, 0)\);焦点在\(y\)轴上的双曲线的顶点坐标为\((0, \pm a)\)。

4、渐近线焦点在\(x\)轴上的双曲线的渐近线方程为\(y =\pm \frac{b}{a}x\);焦点在\(y\)轴上的双曲线的渐近线方程为\(y =\pm \frac{a}{b}x\)。

5、离心率双曲线的离心率\(e =\frac{c}{a}\)(\(e > 1\)),它反映了双曲线的开口大小。

四、例题解析例 1:已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{9} \frac{y^2}{16} =1\),求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。

双曲线知识点总结及练习题

双曲线知识点总结及练习题

双曲线知识点总结及练习题Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义:到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长(<|F 1F 2|)的点的轨迹(21212F F a PF PF <=-(a 为常数))。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点:(1)距离之差的绝对值。

(2)2a <|F 1F 2|。

当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支; 当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支;当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线;用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a >|F 1F 2|时,动点轨迹不存在。

2、第二定义:动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l (准线2ca )的距离之比是常数e (e >1)时,这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程(222a c b -=,其中|1F 2F |=2c )焦点在x 轴上:12222=-b y a x (a >0,b >0)焦点在y 轴上:12222=-bx a y (a >0,b >0)(1)如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上;如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上(2)与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x (3)双曲线方程也可设为:221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程:sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。

高二数学双曲线知识点及例题

高二数学双曲线知识点及例题

高二数学双曲线知识点及例题一知识点1. 双曲线第一定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e (e>1)的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线,常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程:(1)焦点在x 轴上的:x ay ba b 2222100(),(2)焦点在y 轴上的:y ax ba b2222100(),(3)当a =b 时,x 2-y 2=a 2或y 2-x 2=a 2叫等轴双曲线。

注:c 2=a 2+b24. 双曲线的几何性质:()焦点在轴上的双曲线,的几何性质:11002222x x ay ba b ()yxF 1F 2A 2A 1O1范围:,或x a x a<2>对称性:图形关于x 轴、y 轴,原点都对称。

<3>顶点:A 1(-a ,0),A 2(a ,0)线段A 1A 2叫双曲线的实轴,且|A 1A 2|=2a ;线段B 1B 2叫双曲线的虚轴,且|B 1B 2|=2b 。

41离心率:ec a e()e 越大,双曲线的开口就越开阔。

5渐近线:y b a x=62准线方程:xac5.若双曲线的渐近线方程为:xa b y则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成:)0(2222by ax 【典型例题】例1.选择题。

121122.若方程表示双曲线,则的取值范围是()x m ym m A m B m m ..2121或C m mD m R..21且2022.abax byc 时,方程表示双曲线的是()A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.s i n s i nc o s 设是第二象限角,方程表示的曲线是()x y A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点,、是双曲线的焦点,且,xyP F F F PF 则△F 1PF 2的面积为()A B C D (9)633393例2. 已知:双曲线经过两点,,,,求双曲线的标准方程P P 12342945例3.已知B (-5,0),C (5,0)是△ABC 的两个顶点,且sin sin sin BCA 35,求顶点A 的轨迹方程。

高二数学双曲线复习专题及考试题型

高二数学双曲线复习专题及考试题型

双曲线---专项复习 【1、基本知识点】 双曲线的第一定义: 双曲线的第二定义:注意点:(1)双曲线定义中,“距离的差”一定要加绝对值,否则只表示双曲线的一支。

(2)定义中的小于||21F F 这一限制条件 标准方程:【2、几何性质】【 3、弦长公式】1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ,且12,x x 分别为A 、B 的横坐标,则221212()()AB x x y y =-+-,()22221212121141||AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+, 若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标,则()21212122211114AB y y y y y y k k =+-=++-。

2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,则弦长ab AB 22||=。

3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+,则AB =2121ky y +-。

4、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 【4、常见双曲线题型】题型一 双曲线定义的应用1、如图所示,在△ABC 中,已知|AB|=42,且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ,建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.解 :如图所示,以AB 边所在的直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系,则A(-22,0)、B(22 , 0 ).由正弦定理得sinA =2a R ,sinB =2b R ,sinC =2c R . ∵2sinA+sinC=2sinB ,∴2a+c=2b ,即b -a=2c .从而有|CA| - |CB|=21|AB|=22<|AB|.由双曲线的定义知,点C 的轨迹为双曲线的右支. ∵a=2,c=22,∴b 2= c 2 - a 2= 6.所以顶点C 的轨迹方程为221,26x y -= (x>2). 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”,即||PF 1|-|PF 2||=2a ,而|PF1|-|PF2|=2a 表示一支.2、P 是双曲线x216-y220=1上一点,F1、F2是双曲线的两个焦点,且|PF1|=9,求|PF2|的值.解 在双曲线x216-y220=1中,a =4,b =2 5.故c =6.由P 是双曲线上一点, 得||PF1|-|PF2||=8. ∴|PF2|=1或|PF2|=17.又|PF2|≥c -a =2,得|PF2|=17.3、已知双曲线116922=-y x 的左右焦点分别是1F 、2F ,若双曲线上一点P 使得02190=∠PF F ,求21PF F ∆的面积。

(完整版)双曲线知识点归纳总结例题分析

(完整版)双曲线知识点归纳总结例题分析

双曲线基本知识点直线和双曲线的位置双曲线12222=-byax与直线y kx b=+的位置关系:利用22221x ya by kx b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩转化为一元二次方程用判别式确定。

二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。

相交弦AB的弦长2212121()4AB k x x x x=++-通径:21AB y y=-补充知识点:等轴双曲线的主要性质有:(1)半实轴长=半虚轴长(一般而言是a=b,但有些地区教材版本不同,不一定用的是a,b这两个字母);(2)其标准方程为x^2-y^2=C,其中C≠0;(3)离心率e=√2;(4)渐近线:两条渐近线y=±x 互相垂直;(5)等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项;(6)等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段,必被P所平分;(7)等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2;(8)等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后,可以得到XY=a^2/2,其中C≠0。

所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。

例题分析:例1、动点P 与点1(05)F ,与点2(05)F -,满足126PF PF -=,则点P 的轨迹方程为( )A.221916x y -= B.221169x y -+=C.221(3)169x y y -+=≥ D.221(3)169x y y -+=-≤同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34y x =±,则离心率为( ) A.53B.54C.53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <,则k 的范围为( )A.121k -<< B.0k < C.50k -<<D.120k -<<同步练习二:双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为 .例3、设P 是双曲线22219x y a -=上一点,双曲线的一条渐近线方程为320x y -=,12F F ,分别是双曲线的左、右焦点,若13PF =,则2PF 的值为 .同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-,,,,且经过点(2,则双曲线的标准方程为 。

双曲线知识点总结例题

双曲线知识点总结例题

(二)双曲线知识点及巩固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数 (小于两定点 间的距离),那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数, 常数的绝对值小于两定点间的 距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支F i ,F 2为两定点,P 为一动点,⑴若||PF|-|PF 2||=2a① 0<2a<|F i F 2|则动点P 的轨迹是 _________________________________ ② 2a=|F i F 2|则动点P 的轨迹是 _________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是 ________________________________ (2) 若|P F|-|PF 2|=2a① 0<2a<|F i F 2|则动点P 的轨迹是 _________________________________ ② 2a=|F i F 2|则动点P 的轨迹是 _________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是 ________________________________3.双曲线的性质(1)焦点在x 轴上的双曲线 标准方程 ________________________ x,y 的范围 ____________________________________ 顶点 __________ 焦点 _________________ 对称轴 _______________ 对称中心 _____ 实半轴的长 _____________ 虚半轴的长_________________ 焦距 ________________ 离心率e= ____ 范围 _______ e 越大双曲线的开口越 —乞 越小双曲线IPF 2|= ________ (F 一点)(1)焦点在y 轴上的双曲线标准方程 _______________________ x,y 的范围 ____________________________________ 顶点 __________ 焦点 _________________ 对称轴 _______________ 对称中心 _____ 实半轴的长 _____________ 虚半轴的长_________________ 焦距 ________________2.双曲线的标准方程渐近线 _______________ 焦半径公式|PF i |=F 2分别为双曲线的左右两焦点,P 为椭圆上的离心率e= ____ 范围_______ e 越大双曲线的开口越—二越小双曲线的开口越 _________ 准线 __________________ 渐近线 _______________________ 焦半径公式|PF i |= IPF2F ____________ (F __________ 1, F 2分别为双曲线的下上两焦点,P 为椭 圆上的一点)1. 等轴双曲线特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直卩1’③离心率为 _____2. 共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线 的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆—J双曲线 的共轭双曲线是 ________________________6.双曲线系(2)共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件 差的绝对值”,弄清是指整 条双曲线,还是双曲线的哪一支 考点1、双曲线定义例1、已知动圆 M 与圆C1: (x + 4)2 + y2= 2外切,与圆C2: (x — 4)2+ y2 = 2内 切,求动圆圆心M 的轨迹方程F 2,P 是两条曲线的一个交点,贝U |PF 1| • |PF 2|的值是(1)共焦点的双曲线的方程为(0<k<c 2,c 为半焦距)—=l(jn>n>0)【例2】若椭圆'与双曲线a b3有相同的焦点F 1,A. m ~aB. D.② 若双曲线的渐近线方程是y =±3X ,则双曲线的方程可表示为a2 — b2= t(t M 0);x2 y2x2 y2oo③ 与双曲线a2 — b2= 1共焦点的方程可表示为a2 — k — b2 + k = 1(— b 2V k V a 2);x2 y2④ 过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为 m + n = 1(mn v 0);一x2 y2x2 y2 ⑤ 与椭圆a2 + b2= 1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2-入+ b2-入=1(b 2V V a 2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.x2 y2⑴与双曲线9 —16= 1有共同的渐近线,且过点(一3, 2); ⑵与双曲线16— y2= 1有公共焦点,且过点(3 , 2).1•在双曲线的标准方程中, 若x2的系数是正的,那么焦点在x 轴上;如果2的系数是正的, 那么焦Z_ = i【例3】已知双曲线与点M(5, 3)F 为右焦点,若双曲线上有一点考点2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法 1. 定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应 2. 待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法a 、b 、c 即可求得方程.x2 ①与双曲线a2-Wb2有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2 — b2 = t(t 丰0);则P 点的坐标为点在y轴上,且对于双曲线,a不一定大于b.例6、【活学活用】3.(2012北京期末检测)若双曲线a2Wb21(a >0, b > 0)的两个焦点分别为F i 、F 2, P 为双曲线上一点,且|PF i |= 3|PF 2|,贝U 该双曲线的 离心率e 的取值范围是 _________ .【例7】直线,过双曲线的右焦点,斜率k=2.若;与双曲线的两个交点分别在左右两支A.e> 4B.1<川C.1<e< 川D.e> ■D宀—1尺F【例8】设户为双曲线丄」上的一点,」 -是该双曲线的两个焦点,若I f 、I 7,则’尸也的面积为()A."2•若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,可设双曲线方程为: mx2 + ny2 = 1(mn v 0),以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、 平面几何的知识联系密切,解题时要深刻理解确定双曲 线的形状、大小的几个主要特征量,如 a 、b 、c 、e 的几何意义及它们的相互关系,充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程x2 y2例5、(12分)双曲线C:a2 — b2= 1(a >0,b >0)的右顶点为A,x 轴上有一点Q(2a,0),AP PQ若C 上存在一点P ,使T 0,求此双曲线离心率的取值范围.上,则双曲线的离心率 e 的范围是【评注】解题中发现△ PFF 2是直角三角形,是事前 不曾想到的吧?可是,这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的. 将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力,这正是命题人的高明之处 . 渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线,渐近线为双曲线所独有 .双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 .双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交,这一特有的几何性质不仅很好地界定了 双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多,所以这一性质被广泛应用于有关解题之中Jt ?_ J? _ J : . J/ —2—— =1——-j- = 0 n 一♦一—0【评注】在双曲线中,令^即为其渐近线.根据这一点,可<4-以简洁地设待求双曲线为口 h,而无须考虑其实、虚轴的位置共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄齐名“Ph将双曲线口 白 的实、虚轴互易,所得双曲线方程为: .这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同; 样;它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一【例10】两共轭双曲线的离心率分别为设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求[例 11】双曲线‘屮.1的一弦中点为(2,1),则此弦所在的直线方程为【例9】过点(1, 3)且渐近线为+ 一X的双曲线方程是.请看下例:“设而不求”具体含义是:在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,只要有可能,可以 用虚设代替而不必真地去求它.但是,“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用,/丄=1【例12】在双曲线- 上,是否存在被点 M ( 1,线方程;如不存在,请说明理由.女口果不问情由地利用“设而不求”的手段,会有如下解法:练习1. (2011安徽高考)双曲线2X 2— y 2= 8的实轴长是(B . 2x2 y22. (2011山东高考)已知双曲线a2 — b2= 1(a > 0,b >0)的两条渐近线均和圆 C : x 2+ y 2xOy 中,已知△ ABC 的顶点A ( — 5,0)和C (5,0),顶点B x2 y2 sin B16— 9 = 1 上,贝U |sin A — sin C| 为()x2 y2也会出漏子.请看:1)平分的弦?如果存在,求弦所在的直—6x + 5= 0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为()x2 y2A. 5 — 4 = 1x2 y2B. 4 — 5 = 1x2 y2x2 y2C. 3 — 6 = 1D.6 — 3 = 13.(2012嘉兴测试)如图,P 是双曲线 x24 — y 2= 1右支(在第一象限内)上的任意一点,A 1, A 2分别是左、右顶点, O 是坐标原点,直线 PA 1, PO , PA 2的斜率分别为 k 1, k 2, k 3,则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是() A . (0,1)1B . (0, 8) 1C . (0, 4) 1D . (0, 2)4.(金榜预测)在平面直角坐标系 在双曲线 3A.22 B.3 5 C.4 4 D.55. P为双曲线9 —16 = 1的右支上一点,M、N分别是圆(x+ 5)2+ y2= 4和(x—5)2+ y2=1上的点,贝U |PM|—|PN|的最大值为()A . 6 B. 7 C. 8 D. 96. (2012南宁模拟)已知点F I,F2分别是双曲线的两个焦点,P为该曲线上一点,若△ PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为()A. +1B. +1C. 2D. 2x2 y27. __________________________________________________________ 方程2—mi+ |m| — 3 = 1表示双曲线•那么m的取值范围是________________________________ .& (2012大连测试)在双曲线4X2— y2= 1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA| OB| =15,其中O为双曲线的中心,贝U AB中点的轨迹方程是 _____________ .X2 y2 b2+ 19.双曲线a2 —b2= 1(a>0, b>0)的离心率是2,贝V 3a的最小值是______________ .10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(—3,0), —条渐近线的方程是X — 2y= 0.(1)求双曲线C的方程;⑵若以k(k z 0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M , N,且线段MN的81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,求k的取值范围.11.(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).(1) 求双曲线C的方程;(2) 若直线:y= kx+ m(k丰0, 0)与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0, —1),求实数m的取值范围.72112已知中心在原点,顶点A l、A2在x 轴上,离心率e= 的双曲线过点P(6, 6) (1)求双曲线方程,动直线I经过△ A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问是否存在直线I,使G平分线段MN,证明你的结论.宀X"13•已知双曲线' ,问过点A ( 1, 1)能否作直线',使"与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线 '的方程,若不存在,说明理由。

《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 分析:由于9≠k ,25≠k ,则k 的取值范围为9<k ,259<<k ,25<k ,分别进行讨论.解:(1)当9<k 时,025>-k ,09>-k ,所给方程表示椭圆,此时k a -=252,k b -=92,16222=-=b a c ,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0).(2)当259<<k 时,025>-k ,09<-k ,所给方程表示双曲线,此时,k a -=252,k b -=92,16222=+=b a c ,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),)(4,0).(3)25<k ,9=k ,25=k 时,所给方程没有轨迹.说明:将具有共同焦点的一系列圆锥曲线,称为同焦点圆锥曲线系,不妨取一些k 值,画出其图形,体会一下几何图形所带给人们的美感.典型例题二例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153,P ,⎪⎭⎫⎝⎛-5316,Q 且焦点在坐标轴上. (2)6=c ,经过点(-5,2),焦点在x 轴上.(3)与双曲线141622=-y x 有相同焦点,且经过点()223,解:(1)设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. (2)∵焦点在x 轴上,6=c ,∴设所求双曲线方程为:1622=--λλy x (其中60<<λ) ∵双曲线经过点(-5,2),∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ(舍去)∴所求双曲线方程是1522=-y x说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.(3)设所求双曲线方程为:()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223,,∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ(舍)∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明:(1)注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后,便有了以上巧妙的设法. (2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ,求21PF F∠的大小.分析:一般地,求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形. 解:∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明:(1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化. (2)题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索.典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ,求21PF F ∆的面积.分析:利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积.解:∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点.∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中,202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F说明:双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.典型例题五例5 已知两点()051,-F 、()052,F ,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.分析:问题的条件符合双曲线的定义,可利用双曲线定义直接求出动点轨迹. 解:根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. ∵5=c ,3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线. 说明:(1)若清楚了轨迹类型,则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算.(2)如遇到动点到两个定点距离之差的问题,一般可采用定义去解.典型例题六例6 在ABC ∆中,2=BC ,且A B C sin 21sin sin =-,求点A 的轨迹.分析:要求点A 的轨迹,需借助其轨迹方程,这就要涉及建立坐标系问题,如何建系呢?解:以BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系,则()01,-B ,()01,C .设()y x A ,,由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得:121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为:()0012222>>=-b a b y a x , ∴12=a ,22=c ∴21=a ,1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程:(1)与⊙()2222=++y x C :内切,且过点()02,A(2)与⊙()11221=-+y x C :和⊙()41222=++y x C :都外切.(3)与⊙()93221=++y x C :外切,且与⊙()13222=+-y x C :内切.分析:这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点,即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离.如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >,则当它们外切时,2121r r O O +=;当它们内切时,2121r r O O -=.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解:设动圆M 的半径为r(1)∵⊙1C 与⊙M 内切,点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ,r MA =,2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支,且有:22=a ,2=c ,27222=-=a c b∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x (2)∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ,22+=r MC ,112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支,且有:21=a ,1=c ,43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为:⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422y x y(3)∵⊙M 与⊙1C 外切,且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ,12-=r MC ,421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支,且有:2=a ,3=c ,5222=-=a c b∴所求双曲线方程为:()215422≥=-x y x 说明:(1)“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法.(2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小,提高了解题的速度与质量. (3)通过以上题目的分析,我们体会到了,灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中,︒=∠90MPN ,43tan =∠PMN ,求以M 、N 为焦点,且过点P 的双曲线方程.分析:首先应建立适当的坐标系.由于M 、N 为焦点,所以如图建立直角坐标系,可知双曲线方程为标准方程.由双曲线定义可知a PN PM 2=-,c MN 2=,所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键.解:∵MPN ∆的周长为48,且43tan =∠PMN , ∴设k PN 3=,k PM 4=,则k MN 5=. 由48543=++k k k ,得4=k . ∴12=PN ,16=PM ,20=MN .以MN 所在直线为x 轴,以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系,设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a .由4=-PN PM ,得42=a ,2=a ,42=a . 由20=MN ,得202=c ,10=c .由96222=-=a c b ,得所求双曲线方程为196422=-y x . 说明:坐标系的选取不同,则又曲线的方程不同,但双曲线的形状不会变.解题中,注意合理选取坐标系,这样能使求曲线的方程更简捷.典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点,1F 、2F 是双曲线的两个焦点,且171=PF ,求2PF 的值.分析:利用双曲线的定义求解.解:在双曲线1366422=-y x 中,8=a ,6=b ,故10=c . 由P 是双曲线上一点,得1621=-PF PF . ∴12=PF 或332=PF . 又22=-≥a c PF ,得332=PF .说明:本题容易忽视a c PF -≥2这一条件,而得出错误的结论12=PF 或332=PF .典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ,而P 是这两条曲线的一个交点,则21PF PF ⋅的值是( ) .A .s m -B .)(21s m - C .22s m - D .s m -分析:椭圆和双曲线有共同焦点,P 在椭圆上又在双曲线上,可根据定义得到1PF 和2PF的关系式,再变形得结果. 解:因为P 在椭圆上,所以m PF PF 221=+. 又P 在双曲线上,所以s PF PF 221=-.两式平方相减,得)(4421s m PF PF -=⋅,故s m PF PF -=⋅21.选(A). 说明:(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系.(2)注意方程的形式,m ,s 是2a ,n ,t 是2b .典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ,讨论点P 的轨迹.分析:本题的关键在于讨论a .因21=AA ,讨论的依据是以0和2为分界点,应讨论以下四种情况:0=a ,)2,0(∈a ,2=a ,2>a .解:21=AA .(1)当0=a 时,轨迹是线段1AA 的垂直平分线,即y 轴,方程为0=x . (2)当20<<a 时,轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线,其方程为14142222=--a y a x .(3)当2=a 时,轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y . (4)当2>a 时无轨迹. 说明:(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确,而造成讨论不全面.(2)轨迹和轨迹方程是不同的,轨迹是图形,因此应指出所求轨迹是何种曲线.典型例题十二例12 如图,圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ,以A 、B 为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ,当梯形ABCD的周长最大时,求此双曲线的方程.分析:求双曲线的方程,即需确定a 、b 的值,而42=c ,又222b a c +=,所以只需确定其中的一个量.由双曲线定义a BC AC 2=-,又BCA ∆为直角三角形,故只需在梯形ABCD 的周长最大时,确定BC 的值即可.解:设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a ),),(00y x C (00<x ,00>y ),t BC =(220<<t ).连结AC ,则︒=∠90ACB .作AB CE ⊥于E ,则有AB BE BC ⋅=2.∴4)2(02⨯-=y t ,即4220t y -=.∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l .当2=t 时,l 最大.此时,2=BC ,32=AC .又C 在双曲线的上支上,且B 、A 分别为上、下两焦点, ∴a BC AC 2=-,即2322-=a . ∴13-=a ,即3242-=a . ∴32222=-=a c b .∴所求双曲线方程为13232422=--x y .说明:解答本题易忽视BC 的取值范围,应引起注意.。

数学高二双曲线全部知识点笔记

数学高二双曲线全部知识点笔记

数学高二双曲线全部知识点笔记一、引言双曲线是高二数学中的一个重要概念,通过研究双曲线的性质和特点,可以帮助我们更好地理解函数图像和方程的解。

本文将全面介绍高二数学中涉及的双曲线知识点,以帮助学生们更好地掌握相关内容。

二、双曲线的定义与性质1. 双曲线的定义:双曲线是平面上的一类曲线,其定义为平面上满足特定条件的点集。

2. 双曲线的方程:当双曲线的中心为原点(0,0)时,其方程可以表示为:\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]或\[ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \]其中,a和b分别为双曲线的半轴长度。

3. 双曲线的性质:- 双曲线关于x轴和y轴对称;- 双曲线存在两条斜渐进线;- 双曲线上的点到两个焦点的距离差等于常数2a;- 双曲线的焦点到曲线的任意一点的距离差等于常数2a。

三、双曲线的图像与特殊情况1. 双曲线图像的分类:- 当\[ 0 < a < b \]时,双曲线开口于x轴和y轴;- 当\[ a > b > 0 \]时,双曲线开口于y轴和x轴;- 当\[ a = b \]时,双曲线变为一对直线。

2. 双曲线图像的特殊情况:- 缺口双曲线:当\[ b^2 - a^2 > 0 \]时,双曲线的两个分支之间存在缺口;- 无缺口双曲线:当\[ b^2 - a^2 < 0 \]时,双曲线的两个分支之间不存在缺口。

四、双曲线的参数方程1. 普通双曲线的参数方程:\[ x = a\sec{t} \]、\[ y = b\tan{t} \]2. 缺口双曲线的参数方程:\[ x = a\sec{t} \]、\[ y = b\tan{t} \pmc \](其中c为双曲线的偏移量)3. 无缺口双曲线的参数方程:\[ x = a\cosh{t} \]、\[ y = b\sinh{t} \]五、双曲线的常见问题及解法1. 求双曲线的焦点坐标和方程的参数:- 焦点坐标可通过\[ 2ae = 1 \]和\[ e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \]计算得到;- 双曲线的参数a和b可通过已知焦点坐标计算。

双曲线知识点总结及练习题

双曲线知识点总结及练习题

一、双曲线的定义1、第一定义:到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长<|F 1F 2|的点的轨迹21212F F a PF PF <=-a 为常数;这两个定点叫双曲线的焦点; 要注意两点:1距离之差的绝对值;22a <|F 1F 2|;当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支; 当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支;当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线;用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a >|F 1F 2|时,动点轨迹不存在;2、第二定义:动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 准线2ca 的距离之比是常数ee >1时,这个动点的轨迹是双曲线;这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程222a c b -=,其中|1F 2F |=2c焦点在x 轴上:12222=-b y a x a >0,b >0焦点在y 轴上:12222=-bx a y a >0,b >01如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上;如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上; a 不一定大于b ;判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上2与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3双曲线方程也可设为:221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程:sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 五、 弦长公式2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,则弦长ab AB 22||=;3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线12222=-by a x a >0,b >0上有一动点00(,)M x y左焦半径:r=│ex+a │ 右焦半径:r=│ex-a │当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex=-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号,右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则:与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-注:焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-,2||MF c a =+,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+,2||MF c a =-七、等轴双曲线12222=-b y a x a >0,b >0当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1; a b =; 2;离心率2=e ;3;两渐近线互相垂直,分别为y=x ±; 4;等轴双曲线的方程λ=-22y x ,0λ≠; 八、共轭双曲线以已知的虚轴为,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线;λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:02222=-by a x . 九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证,如221x y -=点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2、直线与双曲线 代数法:设直线:l y kx m =+,双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得10m =时,b bk a a -<<,直线与双曲线交于两点左支一个点右支一个点; b k a ≥,bk a≤-,或k 不存在时,直线与双曲线没有交点;20m ≠时,k 存在时,若0222=-k a b ,abk ±=,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;相交 若2220b a k -≠,222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时,22220m b a k +->,直线与双曲线相交于两点; 0∆<时,22220m b a k +-<,直线与双曲线相离,没有交点;0∆=时22220m b a k +-=,2222m b k a+=直线与双曲线有一个交点;相切 k 不存在,a m a -<<时,直线与双曲线没有交点;m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点;十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程:22220x y a b -=⇔x aby ±=2>0,b >0⇒渐近线方程:22220y x a b -= ay x b=±3、若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠;4、若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,则双曲线的方程可设为λ=-2222b y a x 0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=;2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=;3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=;椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线; 椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55;1、A 、B 两点在X 轴上时2、A 、B 两点在Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角解:在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α.图3解:在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r b r r α=- 即21221cos br r α=+,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α. 十四、双曲线中点弦的斜率公式:设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB AB 不平行y 轴的中点,则有22AB OM b k k a⋅=证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212ABy y k x x -=-,22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得:22221212220x x y y a b ---=整理得:2221222212y y b x x a -=-,即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012001222OMy y y y k x x x x +===+,所以22AB OM b k k a⋅= 椭圆中线弦斜率公式22AB OMb k k a⋅=-图1双曲线基础题1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是A.2 B.2错误!C.4 D.4错误!2.设集合P=错误!,Q={x,y|x-2y+1=0},记A=P∩Q,则集合A中元素的个数是A.3 B.1 C.2 D.43.双曲线错误!-错误!=1的焦点到渐近线的距离为A.2 B.3 C.4 D.54.双曲线错误!-错误!=1的共轭双曲线的离心率是________.5.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点4,-2,则它的离心率为6.设双曲线错误!-错误!=1a>0的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为A.4 B.3 C.2 D.17.从错误!-错误!=1其中m,n∈{-1,2,3}所表示的圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为8.双曲线错误!-错误!=1的渐近线与圆x-32+y2=r2r>0相切,则r=B.3 C.4 D.6图K51-19.如图K51-1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈错误!,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2=________.10.已知双曲线错误!-错误!=1a>0,b>0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________.11.已知双曲线错误!-错误!=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=错误!x,它的一个焦点为F6,0,则双曲线的方程为________.12.13分双曲线C与椭圆错误!+错误!=1有相同焦点,且经过点错误!,4.1求双曲线C的方程;2若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积.13.16分已知双曲线错误!-错误!=1和椭圆错误!+错误!=1a>0,m>b>0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形26分已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=A.2 B.4 C.6 D.8双曲线综合训练一、选择题本大题共7小题,每小题5分,满分35分1.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是A .双曲线B .双曲线的一支C .两条射线D .一条射线2.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于A .2B .3C .2D .33.过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e等于A .12-B .2C .12+D .22+ 4.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A .14-B .4-C .4D .145.双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A .1351222=-y x B .1312522=-y x C .1512322=-y x D .1125322=-y x 6.若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的右准线上,且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ,则该双曲线的离心率为A .2B .3C .2D .37.如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是A .2212x y q p q +=+B . 2212x y q p p+=-+C .2212x y p q q+=+ D . 2212x y p q q+=-+二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,满分15分8.双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________;9.若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线,则k 的取值范围是 ; 10.若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=,则双曲线的焦点坐标是_________. 三、解答题:本大题共2小题,满分30分11. 本小题满分10分双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程;12.本小题满分20分已知三点P5,2、1F -6,0、2F 6,0; 1求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;2设点P 、1F 、2F 关于直线y =x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ,求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.基础热身1.C解析双曲线方程可化为错误!-错误!=1,所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.2.B解析由于直线x-2y+1=0与双曲线错误!-y2=1的渐近线y=错误!x平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合A中只有一个元素.故选B.3.B解析双曲线错误!-错误!=1的一个焦点是5,0,一条渐近线是3x-4y=0,由点到直线的距离公式可得d=错误!=3.故选B.解析双曲线错误!-错误!=1的共轭双曲线是错误!-错误!=1,所以a=3,b=错误!,所以c=4,所以离心率e=错误!.能力提升5.D解析设双曲线的标准方程为错误!-错误!=1a>0,b>0,所以其渐近线方程为y=±错误!x,因为点4,-2在渐近线上,所以错误!=错误!.根据c2=a2+b2,可得错误!=错误!,解得e2=错误!,所以e=错误!,故选D.6.C解析根据双曲线错误!-错误!=1的渐近线方程得:y=±错误!x,即ay±3x=0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y=0且a>0,所以有a=2,故选C.7.B解析若方程表示圆锥曲线,则数组m,n只有7种:2,-1,3,-1,-1,-1,2,2,3,3,2,3,3,2,其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P=错误!.故选B.8.A解析双曲线的渐近线为y=±错误!x,圆心为3,0,所以半径r=错误!=错误!.故选A.9.1解析作DM⊥AB于M,连接BD,设AB=2,则DM=sinθ,在Rt△BMD中,由勾股定理得BD=错误!,所以e1=错误!=错误!,e2=错误!=错误!,所以e1·e2=1.10.2,+∞解析依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是60°,90°,所以错误!≥tan60°=错误!,即b2≥3a2,c2≥4a2,所以e≥2.-错误!=1解析错误!=错误!,即b=错误!a,而c=6,所以b2=3a2=336-b2,得b2=27,a2=9,所以双曲线的方程为错误!-错误!=1.12.解答1椭圆的焦点为F10,-3,F20,3.设双曲线的方程为错误!-错误!=1,则a2+b2=32=9.①又双曲线经过点错误!,4,所以错误!-错误!=1,②解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=-27舍去,所以所求双曲线C的方程为错误!-错误!=1.2由双曲线C的方程,知a=2,b=错误!,c=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,平方得m2-2mn+n2=16.①在△F1PF2中,由余弦定理得2c2=m2+n2-2mn cos120°=m2+n2+mn=36.②由①②得mn=错误!,所以△F1PF2的面积为S=错误!mn sin120°=错误!.难点突破13.1B2B解析1依题意有错误!·错误!=1,化简整理得a2+b2=m2,故选B.2在△F1PF2中,由余弦定理得,cos60°=错误!,=错误!,=错误!+1=错误!+1.因为b=1,所以|PF1|·|PF2|=4.故选B.一、选择题1.D 2,2PM PN MN -==而,P ∴在线段MN 的延长线上2.C 2222222,2,2,2a c c c a e e c a===== 3.C Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,22PF F F c PF c === 4.A.5. A 思路分析:设),(00y x p ,则1,2,2100000==-=+cy cx yc x y ,命题分析:考察圆锥曲线的相关运算6. C 思路分析:由PM O F =1知四边形OMP F 1是平行四边形,又11(OF OF OP λ=)OMOM +知OP 平分OM F 1∠,即OMP F 1是菱形,设c OF =1,则c PF =1.又a PF PF 212=-,∴c a PF +=22,由双曲线的第二定义知:122+=+=ec c a e ,且1>e ,∴2=e ,故选C .命题分析:考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性.7.D .由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭圆的焦点都在x轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2c p q =--,双曲线的焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.二、填空题8.221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠,焦距2210,25c c == 当0λ>时,221,25,2044x y λλλλλ-=+==;当0λ<时,221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 9.(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.10. (7,0) 渐近线方程为my x =,得3,7m c ==且焦点在x 轴上.三、解答题11.解:由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,可设椭圆方程为2222125y x a a +=-; 双曲线方程为2222125y x b b +=-,点(3,4)P 在椭圆上,2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为225b y x b =-,即2243,1625b b b =⨯=-所以椭圆方程为2214015y x +=;双曲线方程为221169y x += 12.1由题意,可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ,其半焦距6=c ;||||221PF PF a +=56212112222=+++=, ∴=a 53, 93645222=-=-=c a b ,故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ; 2点P5,2、1F -6,0、2F 6,0关于直线y =x 的对称点分别为:)5,2(P '、'1F 0,-6、'2F 0,6设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ,由题意知半焦距61=c ,|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=, ∴=1a 52,162036212121=-=-=a c b ,故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x .。

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高二数学双曲线知识点及高考例题1. 双曲线第一定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e (e>1)的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线,常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程: (1)焦点在x 轴上的:x a y ba b 2222100-=>>(),(2)焦点在y 轴上的:y a x ba b 2222100-=>>(),(3)当a =b 时,x 2-y 2=a 2或y 2-x 2=a 2叫等轴双曲线。

注:c 2=a 2+b 2线段A 1A 2叫双曲线的实轴,且|A 1A 2|=2a ; 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴,且|B 1B 2|=2b 。

<>=>41离心率:e cae () e 越大,双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线:y b ax = <>=±62准线方程:x a c5.若双曲线的渐近线方程为:x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成: )0(2222≠=-λλby a x【典型例题】 例1. 选择题。

121122.若方程表示双曲线,则的取值范围是()x m y m m +-+=A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2022.ab ax by c <+=时,方程表示双曲线的是()A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.sin sin cos 设是第二象限角,方程表示的曲线是()ααααx y -=A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点,、是双曲线的焦点,且,x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为( ) A B C D (9)633393例2. ()已知:双曲线经过两点,,,,求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭⎪例3. 已知B (-5,0),C (5,0)是△ABC 的两个顶点,且sin sin sin B C A -=35,求顶点A 的轨迹方程。

例4. (1)求与椭圆x y 2294152+=有公共焦点,并且离心率为的双曲线的标准方程。

(2)求与双曲线x y M 22941921-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪有共同渐近线,且经过点,的双曲线的标准方程。

例5. 已知双曲线方程x y 22421-= (1)过点M (1,1)的直线交双曲线于A 、B 两点,若M 为AB 的中点,求直线AB 的方程;(2)是否存在直线l ,使点N 112,⎛⎝ ⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点,若存在求出直线l 的方程,若不存在说明理由。

例六:1. 若x k y k 22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线,那么它的半焦距c的取值范围是( ) A. ()1,+∞B. (0,2)C. ()2,+∞D. (1,2)2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为( ) A. 2或233B. 2C.233D. 33. 圆C 1:()x y ++=3122和圆C 2:()x y -+=3922,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程。

[例题答案]例一:解:1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照易知:2+m 与m+1应同号即可。

∴+>+>⎧⎨⎩+<+<⎧⎨⎩20102010m m m m 或 ∴>->-⎧⎨⎩<-<-⎧⎨⎩m m m m 2121或 ∴>-<-m m 12或2022. 若表示双曲线,则一定有;ax by c ab +=<若当时,表示双曲线当时,表示直线ab c c <≠=⎧⎨⎩000∴选A300.sin cos ααα是第二象限角,,∴>< ∴<sin cos αα0 原方程化为:x y 221⋅-=sin cos sin cos αααα易知:x 2的系数为负,y 2的系数为正∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知:a =4,b =3,c =5设,,则,PF m PF n m n F F c 12128210==-=== 由余弦定理:(223222c m n mn )cos =+-⋅π()10022=-+-m n mn mn ∴=mn 36 ∴=⋅︒=⋅⋅=S mn F PF ∆12126012363293sin 、 例二:解:设所求双曲线方程为Ax 2-By 2=1,(AB>0)依题意:9321811625119116A B A B A B -=-=⎧⎨⎪⎩⎪⇔=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ∴-=所求双曲线方程为:y x 221691 例三:分析:在△ABC 中由正弦定理可把sin sin sin B C A -=3转化为b c a -=35,结合∴-=<-顶点的轨迹方程为A x y x 2291613() 注:(1)利用正弦定理可以实现边与角的转换,这是求轨迹方程的关键; (2)对于满足曲线定义的,可以直接写出轨迹方程; (3)求轨迹要做到不重不漏,应删除不满足条件的点。

例四:解:(1)由椭圆方程知: a b c ===325,, ()()∴-焦点,,,F F 125050∴-=设双曲线的标准方程为:x a y b 2122121由已知条件得:c ca c ab a b 1111212121155221===+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩ ∴-=所求双曲线的标准方程为:x y 2241 (2)解法一: M 921,在第四象限-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 又双曲线的渐近线为 x y y x 2294123-==± 将点的横坐标代入M x y x ==-=-92233 ∴双曲线的焦点必在x 轴上 ∴-=设双曲线方程为:x a y b22221()∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩b a a ba b 239211188222222∴-=所求双曲线标准方程为:x y 221881 解法二: 所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线y x =±23∴-=≠设所求双曲线方程为:x y 22940λλ() 又所求双曲线过点, M 921-⎛⎝ ⎫⎭⎪ ()∴⎛⎝ ⎫⎭⎪--=∴=92914222λλ, ∴-=所求双曲线方程为:x y 221881例五:解:(1)设AB 的方程为:y -1=k (x -1)y kx k x y y =+--=⎧⎨⎪⎩⎪142122,消去()()124424602222-+--+-=k x k k x k k()()设,,,,则,A x y B x y M x x y y 1122121222++⎛⎝ ⎫⎭⎪∴+=--+=--=x x k k k x x k k k122212224412222121,即 ∴=k 12()()()又 ∆=----+-444122462222k k k k k 将代入k =>120∆ ∴-+=所求直线的方程为:AB x y 210 (1)另解法:()()设,,,,则,A x y B x y M x x y y 1122121222++⎛⎝ ⎫⎭⎪A B x y 、在双曲线上22421-= ∴-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x y x y 1212222242114212()()()()<>-<>+--+-=122012121212:x x x x y y y y 又, x x y y 121222+=+= ()()∴-=-241212x x y y当x 1=x 2时,直线AB 与双曲线没有交点。

∴≠--=∴=x x y y x x k AB 1212121212,那么,∴-+=直线的方程为:AB x y 210 双曲线的一条渐近线为y x =22又,直线与双曲线有两个交点1222<∴ ∴-+=x y AB 210即为的方程(2)假设过N 112,⎛⎝ ⎫⎭⎪的直线l 交双曲线于C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)两点则x y x y 3232424242134214-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()()<>-<>+---+=342034343434:x x x x y y y y 依题意,又,x x x x y y 34343421≠+=+= ∴--==y y x x k CD 34341双曲线的一条渐近线为y x =22∴>∴122,直线与双曲线没有公共点l ∴⎛⎝ ⎫⎭⎪使点,为弦的中点的直线不存在N 112例六:1. 答案:A2. 答案:A3. 分析:解决本题的关键是寻找动点M 满足的条件,对于两圆相切,自然找圆心距与半径的关系。

解:条件知:MC MC MA MBMC AC MC BC MC MC BC AC 1211222121312-∴=∴-=-∴-=-=-=即动点M 与两定点C 1、C 2的距离的差是2根据双曲线定义,动点M 的轨迹是双曲线左支(点M 与C 2的距离大于与C 1的距离)这里a c b ==∴=1382,, 设M (x ,y )∴轨迹方程为x y x 22810-=<()。

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