轴对称知识点总结知识讲解
第2章轴对称知识点
第2章《图形的轴对称》知识点总结知识点一：轴对称（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
画对称点的方法：先向对称轴作垂线段，再延长，使延长部分等于垂线段，即可得到对称点。
4、轴对称图形的性质：（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．（4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：（1）找到关键点（2）画出关键点的对应点（3）按照原图顺序依次连接各点。
（二）轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
（三）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；3、点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。
关于谁，谁相反；关于原点都相反（四）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）(五）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；知识点二：线段的垂直平分线与角平分线的性质（一）线段的垂直平分线（1）线段的垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
轴对称知识点的归纳
轴对称与轴对称图形一、知识点：1 .什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2 .什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3 .轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰二角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4 •线段的垂直平分线：1垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
--------- ---------A B（也称线段的中垂线）5 .轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6 .怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1 :判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁例2 :下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形方法1 方法2 方法3例4 :如图，已知：A ABC和直线丨，请作出A ABC关于直线丨的对称三角形例3:如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形:例5 :如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图例6:如图，四边形ABCD是长方形弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点位置上，试问怎样撞击黑球E,才能使黑球先碰撞台边AB反弹后再击中白球F？确定发光点S的位置，并将光路图补充完整也B例7:如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。
轴对称知识点的总结
轴对称与轴对称图形、知识点:1 .什么叫轴对称:如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2 。
什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系;轴对称图形是反映一个图形的特性.联系：①两部分都完全重合,都有对称轴,都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰二角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等.4. 线段的垂直平分线：I 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线） A B5. 轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等.⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.6. 怎样画轴对称图形:画轴对称图形时,应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1 :判断题:①角是轴对称图形,对称轴是角的平分线; （）②等腰三角形至少有1条对称轴,至多有3条对称轴; ( ）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2 :下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题•请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形•例3 :如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4 :如图，已知：方法ABC和直线I ，请作出法Δ^BC关于直线I的对法三角形.例5 :如图，DA 、CB 是平面镜前同一发光点 S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确例6：如图，撞击黑球E ,才能使黑球先碰撞台边AB 反弹后再击中白球F ？例7：如图,要在河边修建一个水泵站,向张庄 送水。
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点1．轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。
【轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。
成轴对称的两个图形一定全等。
】2．轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
【轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。
】3．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的主要区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.。
4．轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等。
5．线段的轴对称性①线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
②线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【①线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。
②三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。
】6．线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
7．角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C-轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
专题13 轴对称的性质(知识点串讲)(解析版)
专题13 轴对称的性质知识网络重难突破知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．典例1（2019春•青羊区期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．典例2如图，ABC∠的度数为（）∆与△A B CC∠'=︒，则B'''关于直线l对称，98A∠=︒，28A．28︒B．54︒C．74︒D．78︒【解答】解：ABC'''关于直线l对称，∆与△A B C∴∆≅△A B C'''，ABC∴∠=∠'，C CC∠'=︒，∠=︒，28A98∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．180180982854B A C故选：B．典例3（2019春•陕西期末）下列说法：（1）线段的对称轴有两条；（2）角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；（3）两个全等的等边三角形一定成轴对称；（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；（5）到直线L距离相等的点关于L对称．其中说法不正确的有()A．3 个B．2 个C．1 个D．4 个【解答】解：（1）线段的对称轴有两条，说法正确；（2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，说法错误；（3）两个全等的图形不一定组成轴对称图形，说法错误；（4）两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，说法错误；（5）到直线l距离相等的两点不一定关于l对称，说法错误；其中不正确的有4个；故选：D．知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．典例1（2019春•金牛区期末）如图，在正方形网格上有一个ABC．（1）画ABC ∆关于直线MN 的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）ABC ∆关于直线MN 的对称图形如图所示；（2）ABC ∆的面积11145141453222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，20227.5=---， 8.5=．典例2（2019春•罗湖区期末）如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC ∆（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出ABC ∆关于直线l 对称的△111A B C （要求：A 与1A ，B 与1B ，C 与1C 相对应） （2）在（1）的结果下，连接1BB ，1AB ，则△11A BB 面积是 ；（3）在对称轴上有一点P ，当PBC ∆周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；（2）如图，△11A BB 面积是12442⨯⨯=，故答案为：4；（3）如图所示，点P 即为所求．知识点三 轴对称的应用（最短路径）基本问题：在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A 、B 的距离之和最小．变式1：在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小．变式2：直线m、n交于O，P是两直线间的一点，在直线m、n上分别找一点A、B，使得PAB的周长最短．典例1（2019秋•南开区期末）如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A．B．C．D．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．典例2（2017•花都区一模）四边形ABCD中，130B D∠=∠=︒，在BC、CD上分别找一点M、N，∠=︒，90BAD使三角形AMN周长最小时，则AMN ANM∠+∠的度数为()A．80︒B．90︒C．100︒D．130︒【解答】解：延长AB到A'使得BA AB''=，连接A A'''与BC、CD分别交于'=，延长AD到A''使得DA AD点M、N．∠=∠=︒，ABC ADC90∴、A'关于BC对称，A、A''关于CD对称，A此时AMN∆的周长最小，⊥，='，MB ABBA BA∴='，同理：NA NAMA MA=''，∴∠'=∠，A NADA MAB∠''=∠，∠=∠''+∠=∠''，ANM A NAD A∠=∠'+∠=∠'，22AMN A MAB A∴∠+∠=∠'+∠''，2()AMN ANM A A∠=︒，BAD130∴∠'+∠''=︒-∠=︒A A BAD18050∴∠+∠=⨯︒=︒．AMN ANM250100故选：C．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•金牛区期末）下列图形中，为轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（2019春•光明区期末）石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名．下列石鼓文，是轴对称的是( )A．B．C．D．【解答】解：A中图形是轴对称图形，B、C、D中图形都不是轴对称图形，故选：A．3．（2019春•陕西期末）如图下面镜子里哪个是他的像？()A．A B．B C．C D．D【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．故选：B．4．（2019春•罗湖区期末）下列说法中正确的是()①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的中线也是它的高；④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【解答】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等是正确的．②根据三角形面积公式即可得到等腰三角形两腰上的高相等，说法是正确；③等腰三角形的中线不一定是它的高，说法是错误；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，说法正确．故选：C．5．如图，ABC∆关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是()∆与DEFA ．//AB DF B ．B E ∠=∠C ．AB DE =D ．AD 的连线被MN 垂直平分【解答】解：A 、AB 与DF 不是对应线段，不一定平行，故错误；B 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，则ABC DEF ∆≅∆，B E ∠=∠，正确；C 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，则ABC DEF ∆≅∆，AB DE =，正确；D 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，A 与D 的对应点，AD 的连线被MN 垂直平分，正确．故选：A ．6．（2019秋•路北区期末）已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠内部，点1P 与点P 关于OA 对称，点2P 与点P 关于OB 对称，则△12POP 是( ) A ．含30︒角的直角三角形 B ．顶角是30︒的等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：P 为AOB ∠内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为1P 、2P ， 12OP OP OP ∴==且12260POP AOB ∠=∠=︒，∴故△12POP 是等边三角形．故选：C ．7．（2017•青羊区校级自主招生）在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川80808A ，川22222A ，川12321A 等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A ”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作( )A．500个B．300个C．100个D．50个【解答】解：以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照，即牌照是99ABA，则A有09-共10种可能，B有09-共10种可能，所以9开头的组合最多是1010100⨯=个．故选：C．8．（2018春•锦江区期末）如图，ABCBD=，过点D作AB的垂线∆的周长为16．点D是AB边的中点，2∆的周长最小值为()l，E是l上任意一点，则AECA．12B．14C．16D．18【解答】解：点D是AB边的中点，2BD=，∴==，AB BD24∆的周长为16，ABC12∴+=，AC BC如图，连接BE，点D是AB边的中点，l AB⊥，l∴是AB的垂直平分线，∴=，AE BE∴+=+，AE CE BE CEBE CE BC+，+的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴当B，E，C在同一直线上时，BE CE+=，AC BCAEC∴∆的周长最小值等于12故选：A．二、填空题（共3小题）9．（2018春•深圳期末）如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若//AD BC，则下列结论：（1）//=．∠；（4）AO CO=；（3）BD平分ABCAB CD；（2）AB BC其中正确的有（填序号）．【解答】解：如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，∴∠=∠，3412∠=∠，AD BC，//∴∠=∠，23∴∠=∠=∠，134∴，AB BC=，故（1）（2）正确；//AB CD由轴对称的性质，AC BD⊥，∴平分ABCBD∠，AO CO=（等腰三角形三线合一），故（3）（4）正确．综上所述，正确的是（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．10．（2019春•金牛区期末）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，当12ABC S ∆=，8AC =时，BM MN +的最小值等于 ．【解答】解：如图，AD 是BAC ∠的平分线，∴点B 关于AD 的对称点B '在AC 上，过点B '作B N AB '⊥于N 交AD 于M ，由轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM MN +最小的点，B N BM MN '=+， 过点B 作BE AC ⊥于E ，8AC =，20ABC S ∆=， ∴18122BE ⨯=， 解得3BE =，AD 是BAC ∠的平分线，B '与B 关于AD 对称，AB AB ∴='，ABB ∴∆'是等腰三角形，3B N BE ∴'==，即BM MN +的最小值是3．故答案为：3．11．（2019春•市中区期末）如图，AD为等边ABC∆的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE CF=，当BF CE∠=︒．+取得最小值时，AFB【解答】解：如图1，作CH BC⊥，且CH BC=，连接BH交AD于M，连接FH，⊥，∆是等边三角形，AD BCABC∠=︒，DAC∴=，30AC BC∴=，AC CHACB∠=︒，60∠=︒，BCH90∴∠=︒-︒=︒，906030ACH∴∠=∠=︒，DAC ACH30=，AE CF∴∆≅∆，()AEC CFH SAS+=+，CE FH∴=，BF CE BF FH+的值最小，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF CE此时45FCB∠=︒，∠=︒，60FBC∴∠=︒，AFB105故答案为：105．三、解答题（共2小题）12．（2019春•青羊区期末）下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，ABC∆的顶点A、B、C 均在小正方形的顶点上．（1）作出ABC∆关于直线m对称的△A B C'''；（2）求ABC∆的面积．【解答】解：（1）如图，△A B C'''为所作；（2）ABC∆的面积11133132123 3.5222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．13．（2019春•商河县期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，网格中有一个ABC∆．（1）请直接写出ABC∆的面积为．（2）利用方格找出点A、B、C关于直线MN的对称点D、E、F，并顺次连接D、E、F三点．（3）若点P是直线MN上的一个动点，则PC PA+的最小值为．【解答】解：（1）ABC∆的面积为：12442⨯⨯=；故答案为：4；（2）如图所示：EDF∆即为所求；（3）PC PA+的最小值为：6PA PC DC+==．故答案为：6．。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是指物体具有在某一平面上的镜像对称性质。
在数学和几何学中，轴对称是一种特殊的对称形式，是对称性的重要表现形式之一。
下面将对轴对称的知识点进行总结。
一、轴对称的概念轴对称是指物体或图形在某一平面上的镜像对称性质。
这个平面被称为轴线或对称轴。
沿着轴线对物体进行镜像变换，使得物体的每一个点与镜像点相关联，二者之间的距离保持不变。
轴对称可以存在于二维图形、立体物体以及其他几何结构中。
二、轴对称的特点1. 图形的每一点都关于轴线对称，对称点在轴线上。
2. 对称图形的延长线与轴线重合，对称图形的每一条直线都是轴线上两个对称点的中垂线或垂直平分线。
3. 对称图形的面积、周长和内角和与其镜像图形相等。
4. 对称图形的对称中心与图形的每一个点距离的平方和最小。
三、轴对称的判定方法1. 观察图形是否有明显的对称形状，例如正方形、圆等。
2. 通过自身对折或平移观察是否可以重合。
3. 镜像变换：通过将图形投影到一个平面上，并观察是否与投影前的图形重合完成。
四、轴对称的应用1. 图案设计：轴对称的图案可以给人以和谐、美感的感受，常用于服装、陶瓷、织物等设计中。
2. 建筑设计：许多建筑物在设计中运用了轴对称的原则，例如古代的宫殿、寺庙等，可以使建筑更加庄重、稳定。
3. 生物学：许多生物体的结构具有轴对称性，例如动物的身体结构，植物的花朵等都存在轴对称现象，这也是生命体的一种基本特征。
4. 数学研究：轴对称是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何、代数和图论等领域的研究中。
特别是在图论中，轴对称是许多图形算法的基础。
五、轴对称的相关定理1. 轴对称的性质可以应用于线段、角、多边形、三角形等几何概念的研究中，例如轴对称定理、轴对称三角形定理等。
2. 轴对称可以通过镜像变换来实现，这也与线性变换和矩阵运算有关。
研究轴对称问题可以进一步理解和应用线性代数等数学知识。
六、轴对称与其他对称性质的关系1. 轴对称是平移对称的一种特殊形式。
轴对称知识点及习题
第十三章轴对称轴对称知识要点1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠;直线两旁的部分能够互相重合;这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠;如果它能够与另一个图形重合;那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称;这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称;那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点;在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点x;y关于x轴对称的点的坐标为x;－y；点x;y关于y轴对称的点的坐标为－x;y；温馨提示1．轴对称图形是针对一个图形而言;是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言;它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中;关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同;纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数;纵坐标相同．等腰三角形知识要点1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合简写成“三线合一”．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等;那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等;并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中;如果一个锐角等于30°;那么它所对的直角边等于斜边的一半．温馨提示1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中;在两个三角形中时;上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：1必须是在直角三角形中；2必须有一个锐角等于30°．方法技巧1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法;当要证明同一个三角形的两个内角相等时;可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法;当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时;可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题;本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．13.1轴对称13.2画轴对称图形专题一轴对称图形1．2012·连云港下列图案是轴对称图形的是2．众所周知;几何图形中有许多轴对称图形;写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．答案不唯一3．如图;阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形;请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形;使它们成为轴对称图形．专题二轴对称的性质4．如图;△ABC和△ADE关于直线l对称;下列结论：①△ABC≌△ADE；②l垂直平分DB；③∠C=∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上．其中错误的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图;∠A=90°;E为BC上一点;A点和E点关于BD对称;B点、C点关于DE对称;求∠ABC 和∠C的度数．6．如图;△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．1结合图形指出对称点．2连接A、A′;直线m与线段AA′有什么关系3延长线段AC与A′C′;它们的交点与直线m有怎样的关系其他对应线段或其延长线的交点呢你发现了什么规律;请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图;在Rt△ABC中;∠ACB=90°;AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F;若∠F=30°;DE=1;则EF的长是A．3 B．2 C D．18．如图;在△ABC中;BC=8;AB的垂直平分线交BC于D;AC的垂直平分线交BC与E;则△ADE的周长等于________．9．如图;AD⊥BC;BD=DC;点C在AE的垂直平分线上;那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P－2;3关于y轴的对称点为Qa;b;则a+b的值是A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P23－2a;2a－5是第三象限内的整点横、纵坐标都为整数的点;称为整点;则P1点的坐标是__________．13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中;BF、CF是角平分线;DE∥BC;分别交AB、AC于点D、E;DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．填序号3．如图;已知△ABC是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BE是∠ABC的平分线;DE⊥BC;垂足为D．1请你写出图中所有的等腰三角形；2请你判断AD与BE垂直吗并说明理由．3如果BC=10;求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图;在等边△ABC中;AC=9;点O在AC上;且AO=3;点P是AB上一动点;连接OP;以O为圆心;OP长为半径画弧交BC于点D;连接PD;如果PO=PD;那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中;∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O;且OD∥AB;OE∥AC．1试判定△ODE的形状;并说明你的理由；2线段BD、DE、EC三者有什么关系写出你的判断过程．6．如图;△ABC中;AB=BC=AC=12 cm;现有两点M、N分别从点A、点B同时出发;沿三角形的边运动;已知点M的速度为1 cm/s;点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时;M、N同时停止运动．1点M、N运动几秒后;M、N两点重合2点M、N运动几秒后;可得到等边三角形△AMN3当点M、N在BC边上运动时;能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN 如存在;请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图;A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置;直线a表示输水总管道;直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点;安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼;要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中;点A′是点A关于直线b的对称点;A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点;B′A 分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图;现准备在一条公路旁修建一个仓储基地;分别给A、B两个超市配货;那么这个基地建在什么位置;能使它到两个超市的距离之和最小保留作图痕迹及简要说明。
生活中的轴对称(知识点总结+基础+变式+提高)
生活中的轴对称(知识点总结+基础+变式+提高)知识要点梳理轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线线段的垂直平分线轴对称实例等腰三角形等边三角形生活中的轴对称轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质图案设计轴对称的应用镶边与剪纸一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
【例2】下列四个判断：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②两个全等三角形一定成轴对称；③轴对称的两个圆的半径相等；④半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（）三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
【例3】如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB 于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A. ①B. ②C. ①②D.①②③四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
【例4】下列各语句中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等【变式4】有公路l1异侧、l2同侧的两个村庄A，B，如图．高速公路管理处要建一处服务区，按照设计要求，服务区到两个村庄A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，符合条件的服务区C有（）处．五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
人教版数学轴对称知识点总结
人教版数学轴对称知识点总结一、轴对称的概念轴对称是反映物体在某种变换下保持某种性质的一个基本概念。
如果一个物体或图形关于某条直线（称为对称轴）进行翻折，翻折后的图形与原图形完全重合，那么这个物体或图形就称为关于这条直线的轴对称。
二、轴对称的性质1. 轴对称图形的任意一点关于对称轴都有一个对称点，两点连线垂直于对称轴。
2. 轴对称图形的两个特殊点：连接对角顶点的线段的中点就是对称轴。
3. 轴对称图形的两个特殊线段：垂直于对称轴并且平分图形面积的两个线段互相平行。
4. 轴对称图形的两个特殊角：对应角相等，对应边互为反向延长线。
5. 若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等。
三、轴对称的判断判断一个图形是否具有轴对称性，一般步骤如下：1. 观察图形，看是否存在一条直线，使得图形关于这条直线翻折后与原图形完全重合；2. 如果存在这样的直线，那么这个图形就是轴对称图形；否则，就不是轴对称图形。
四、轴对称的应用轴对称在几何问题中的应用非常广泛，例如：1. 利用轴对称性质可以简化计算和证明过程。
如，求一个复杂多边形的面积时，可以先找出多边形的一条对称轴，将其分割成几个简单的三角形，然后分别求出这些三角形的面积并相加。
2. 利用轴对称性质可以解决一些几何构造问题。
如，已知一个四边形的两条对角线和一个角的大小，要求构造这个四边形。
这时，可以利用轴对称性质先构造出这个四边形的一半，然后再通过翻折得到整个四边形。
3. 利用轴对称性质可以进行图形的变换和设计。
如，可以通过改变图形的对称轴来改变图形的形状和位置，从而实现图形的变换和设计。
五、轴对称的重要性理解和掌握轴对称的概念和性质，对于提高我们的几何思维能力，解决实际问题具有重要的意义。
它不仅能帮助我们更好地理解和把握几何图形的内在规律，而且能培养我们的空间想象能力和逻辑推理能力。
同时，轴对称也是许多其他数学知识的基础，如函数图像的对称性、概率论中的对称性等。
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。
3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。
(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。
二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。
在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。
2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。
可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。
3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。
三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。
(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。
因此B点到直线m的距离为2.5cm。
例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。
求三角形ABC 的面积。
解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。
《轴对称》知识点总结及章节检测解析
《轴对称》知识点总结及章节检测解析一、知识点总结：1.轴对称的定义：如果一个图形经过其中一条直线折叠后，能够与自身完全重合，则这条直线被称为这个图形的轴对称线，这个图形是轴对称的。
2.旋转对称：如果一个图形能够围绕其中一点旋转一定的角度后，能够与自身完全重合，则这个图形是旋转对称的。
3.轴对称图形的特点：轴对称图形的特点是，对称轴两侧的各点关于对称轴对应，即对称轴上的一点与对应点互为图形的对称点。
4.轴对称的判定方法：判断一个图形是否为轴对称图形，可以按照以下方式进行判定：(1)观察是否能找到一个或多个对称轴；(2)沿对称轴将图形折叠，看是否能够重合。
5.制作轴对称图形：制作一个轴对称图形可按照以下步骤进行：(1)在纸上画出一条轴对称线；(2)沿着对称线将图形的一边折叠；(3)检查折叠后的图形与未折叠的图形是否重合，如重合则完成。
二、章节检测解析：以小学三年级数学教材为例，进行《轴对称》的章节检测解析。
教材章节：第三章图形与设计1.知识点掌握情况：首先，学生需要了解轴对称的概念、特点和判定方法，并能够制作轴对称图形。
2.基础练习题：对于基础的练习题，要求学生绘制给定图形的对称线，并判断是否为轴对称图形。
3.综合应用题：在综合应用题中，要求学生设计自己的轴对称图形，并描述其特点。
4.拓展思考题：为了拓展学生的思维，可以提出一些拓展思考题，如“如何判断一个图形是否为旋转对称图形”、“如何找到一个图形的所有对称轴”等。
总结：通过针对《轴对称》这一章节的检测解析，学生可以对轴对称的知识点进行复习和巩固。
同时，综合应用题和拓展思考题能够提高学生的思维能力和创造力。
初二数学知识点详解之轴对称
初二数学知识点详解之轴对称一、轴对称图形1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系4.轴对称与轴对称图形的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
⑤两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
二、线段的垂直平分线1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数;④与X轴或Y轴平行的'直线的两个点横(纵)坐标的关系;⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为_(x,-y)_____.点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为___(-x,y)___.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
轴对称课本知识点总结
轴对称课本知识点总结一、轴对称的概念轴对称是指一个图形围绕某条中心轴线旋转180度，旋转后的图形和原图形完全重合。
在二维几何中，轴对称是一种重要的对称形式，常见于各种图形和实物之中。
二、轴对称的性质1. 轴对称图形的两个部分互相对称，互为镜像。
2. 轴对称图形的对称中心为图形的轴心。
3. 轴对称图形每一点的对应点与对称中心的距离相等。
三、轴对称的图形1. 对称图形：直线对称图形是最简单的轴对称图形，常见的有点、线段、正多边形等。
2. 音符：音符是一个常见的轴对称图形，它围绕中心轴线旋转180度后，可以和原音符完全重合。
3. 字母、数字：如字母A、M、H等和数字0、8等都是轴对称图形。
四、轴对称的判断方法1. 观察法：观察图形围绕某一条中心轴线旋转180度后是否和原图形重合。
2. 设坐标法：设定坐标轴，通过图形的对称特点来判断是否轴对称。
3. 折叠法：将图形折叠在对称轴上，判断折叠后两部分是否完全重合。
五、轴对称的应用1. 轴对称图形的设计：在各种设计中，轴对称图形的运用可以使设计更加美观。
2. 轴对称图形的制作：通过手工制作，可以制作各种轴对称图形的手工作品。
3. 轴对称图形的应用：在建筑、工程、美术、工艺等领域都有轴对称图形的应用。
六、轴对称的作用1. 保持图形的对称美：轴对称可以使图形保持一定的对称美。
2. 方便图形的绘制：对称图形通过轴对称可以方便地进行绘制和复制。
七、轴对称的练习1. 描绘轴对称图形：通过规定的对称轴来描绘对称图形。
2. 判断轴对称图形：判断给定图形是否对称，并找出对称轴。
3. 补全轴对称图形：在已知半图形的基础上补全对称图形。
八、轴对称的拓展知识1. 轴对称的组合：两个或多个轴对称图形组合成一个新的轴对称图形。
2. 轴对称的面积计算：轴对称图形的面积计算可以通过对称轴进行分割和计算。
九、轴对称的应用案例1. 建筑设计中的轴对称图形应用：在建筑设计中，轴对称图形的应用可以使建筑更加美观大方。
八年级上册数学第十三章 轴对称 知识点总结
第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (x, y) 关于x 轴对称的点的坐标为P ' (x, y) .②点P (x, y) 关于y 轴对称的点的坐标为P " ( x, y) .⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1 条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3 条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.。
八年级轴对称知识点讲解
八年级轴对称知识点讲解在初中数学中，轴对称是一种重要的几何概念，也是学生需要掌握的常识之一。
本文将为八年级学生详细讲解轴对称的概念、性质以及常见应用。
一、轴对称的概念轴对称是指一种对称方式，在平面内将图形分为两部分，其中一部分通过某个轴的旋转后可以恰好重合于另一部分，这个轴就被称为轴对称轴。
换言之，轴对称是指一种图形上下左右对称的状态。
二、轴对称的性质1. 坐标关系对于坐标系中的轴对称，其轴与坐标轴的交点处的坐标为(a, 0)或(0, a)，其中a为实数。
2. 图形特征轴对称有以下几个特征：对称轴上的点不变；对称轴上的任何点到图形内的对应点的距离相等；对称轴将图形分为两个完全相同的部分。
3. 作图方法作图一个图形的轴对称需要以下几个步骤：确定对称轴的位置和方向；确定图形中所有对称的点或线段；将每个点或线段依次沿对称轴复制，直至构成整个轴对称图形。
三、常见应用1. 绘制轴对称图形轴对称在绘制各种图形时都可以派上用场。
所以，掌握绘制轴对称图形的技能是至关重要的。
2. 模拟新图形通过所给轴对称图形和轴对称轴，可以模拟出新的图形。
比如说，拥有线段CB、直线AB和DE且过点A的轴对称轴，通过绘制一条ADE的边来构建新的轴对称图形。
3. 发现轴对称图形性质在解题时，掌握轴对称图形的性质可以给我们提供更多的思路。
比如说，对于轴对称图形来说，它们的对称轴和对称图形上的任何一个点的坐标都是对应的；轴对称图形的面积等于其对称轴两侧图形面积之和。
以上是对轴对称的概念、性质以及常见应用的详细讲解。
希望通过本文的阐述，能够帮助八年级学生更好地理解轴对称的知识点，掌握轴对称应用技巧，从而提高其数学成绩。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结一、轴对称1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．注意：（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．3.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．4.轴对称和轴对称图形的区别与联系5.轴对称的性质：（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．二、线段垂直平分线的性质和判定1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．如下图所示，点P在线段AB 的垂直平分线上，则P A=PB.3.线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如上图所示，若P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上三、尺规作图（线段的垂直平分线）1.作图步骤：（1）以A为圆心，以大于线段AB一半的长度画弧（2）再以B为圆心，以相同长度为半径画弧，交前弧于C、D两点（3）连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线四、尺规作图（轴对称）1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；（2）连接这对对应点；（3）画出对应点所连线段的垂直平分线．这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．注意：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．2.在坐标系中画轴对称图形的方法：（1）计算——计算对称点的坐标；（2）描点——根据对称点的坐标描点；（3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形五、关于坐标轴对称的点的坐标1.关于坐标轴对称的点的坐标特点：（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．2.已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＝x2，y1＋y2＝0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1＋x2＝0，y1＝y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立。
轴对称知识点总结讲解
轴对称知识点总结讲解一、基本概念1. 定义轴对称是指平面上的一图形能在某一条直线上旋转180°后仍然与原图形完全重合，这条直线称为轴线，而旋转180°的变换称为轴对称变换。
2. 轴对称图形根据轴对称的定义，我们可以知道，任意轴对称图形关于轴线对称后，都能与原图形重合。
常见的轴对称图形有：正方形、长方形、圆形、各种多边形等。
3. 轴对称线轴对称图形关于轴对称线的对称性可以从两个方面来考虑：一是图形上对称点的位置关系，二是图形上对称点间的距离关系。
二、性质1. 和轴对称相关的性质有哪些？轴对称图形的性质主要表现在对称性质上，轴对称图形的性质可以总结为以下几点：（1）轴对称图形的对称中心即为轴对称线；（2）轴对称图形上对称点的位置关系相互对称；（3）轴对称图形上对称点间的距离互相一致。
2. 轴对称图形的判定方法在进行几何问题的推导和解决中，常常需要判定一个图形是否为轴对称图形。
在平面几何中，我们可以用以下方法来判定一个图形是否为轴对称图形：（1）根据定义判定；（2）通过图形的性质和特点来判定；（3）通过观察对称性质来判定。
三、特殊图形1. 正方形正方形是最简单的轴对称图形之一，它具有多个轴对称线，其中包括对角线、中垂线和两条对边的中线。
2. 长方形长方形也是轴对称图形，在长方形中，对角线也是一条轴对称线，并且长方形具有更多的对称性质。
3. 圆形圆形是最具有轴对称性质的图形之一，圆形的轴对称线无数，且每一条直径都是圆形的轴对称线。
圆形的轴对称性质对于构图和解题有很多重要的应用，比如圆形的轴对称性质在圆锥曲线中有重要的应用。
四、应用1. 几何中的应用轴对称在几何中有广泛的应用，可以用来判断图形的性质、构造图形、解决几何问题等。
轴对称的性质和特点对于构造几何图形有很大的帮助，同时在解题过程中，也常常利用图形的轴对称性质来简化问题。
2. 艺术中的应用轴对称的概念也在艺术中有着重要的应用。
在美术创作中，轴对称的性质常常能够帮助艺术家构图，使画面更加和谐、对称。
轴对称知识点概念总结
轴对称知识点概念总结一、轴对称的概念轴对称是指平面上的任意一点到某条直线的距离等于它的对称点到同一条直线的距离。
这条直线就称为轴对称的轴线。
在轴对称的变换中，图形关于轴线对称，即通过某条直线进行对称变换后，两个图形完全重合。
轴对称变换是一种保持图形形状和大小不变的变换，即如果原图形关于轴对称，则对称后的图形大小、形状和位置都不变。
在平面几何中，轴对称是指通过一条直线，将一个图形对称折叠，并使得折叠后的两部分完全重合。
在三维空间中，轴对称是指通过一个平面，将一个立体图形对称折叠，并使得折叠后的两部分完全重合。
而对于更高维度的空间，轴对称的概念也有相应的推广。
二、轴对称的性质1. 图形经过轴对称变换后仍然保持不变，即大小、形状和位置都不变。
2. 轴对称的轴线可取任意直线，轴对称的性质不随轴线的选取而改变。
3. 轴对称是一种对称变换，它保持了图形的对称性质。
4. 轴对称变换是一种保角变换，保持了图形的内角和外角不变。
5. 如果一个图形关于一条直线轴对称，那么它关于这条直线的对称轴线的对称关系也是轴对称的。
6. 如果两个图形分别关于两条无交点的直线轴对称，那么这两个图形的对称关系也是轴对称的。
7. 如果两个图形分别关于同一条直线轴对称，那么它们之间的对称关系也是轴对称的。
轴对称的性质是轴对称变换在数学、物理和工程等领域中应用的基础，是轴对称图形和轴对称函数等概念的重要基础。
三、轴对称的应用1. 在几何学中，轴对称是通过对称折叠和对称变换等方法，研究图形的性质、构造和证明等问题的基本手段。
2. 在物理学中，轴对称是通过对称抽象和对称分析等方法，研究物理系统的对称性、守恒律和相互作用等问题的基本工具。
3. 在工程学中，轴对称是通过对称设计和对称加工等方法，研究零件的制造、组装和检测等问题的基本技术。
4. 在数学分析和代数中，轴对称是通过对称函数和对称方程等方法，研究函数的性质、解的性质和对称结构等问题的基本手段。
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轴对称知识点总结
轴对称知识点总结
1、轴对称图形：
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：
两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：
（1）区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线：
（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
（2）判定：
与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6、等腰三角形：
（1）定义。
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
（2）性质。
等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。
等边对等角。
三线合一。
（3）判定。
有两条边相等的三角形是等腰三角形。
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
7、等边三角形：
（1）定义。
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（2）性质。
等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。
三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定。
三条边都相等的三角形是等边三角形。
三个内角都相等的三角形是等边三角形。
有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（4） 重要结论。
在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
8、平面直角坐标系中的轴对称：
(1)),(),(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 ),(),(b a y b a -横反向，纵不变
轴对称关于 说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。
对称点的作法见11（1）。
9、对称轴的画法：
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。
注意：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。
成轴对称的两个图形只有一条对称轴。
10、常见的轴对称图形：
（1）英文字母。
A B D E H I K M O T U V W X Y
（2）中文。
日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。
（3）数字。
0 3 8
图
（4）图形。
说明：圆有无数条对称轴。
正n边形有n条对称轴。
11、掌握几个作图：
（1）作出点A关于直线m对称的点A/ 。
作法：如图
以点A为圆心，适当的长为半径画圆弧。
使圆弧与直线MN交
1的长为半径画于两点C、D。
分别以点C,D为圆心，大于CD
2
圆弧，设两条圆弧交于点E。
作射线AE，设交直线mn于点F。
○4在射线AE上截取FA/=FA，点A/即为所求。
（2）课本34页例题。
（3）课本37页9、10题。
（4）课本42页12.2-8 图2。