带电粒子在磁场中的运动：动态圆问题
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电荷量的最大值；
(3)绝缘板CD上被带电粒子击中区域的长度。
训练2 在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域 的匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面,O点为该圆 形区域边界上的一点.现有一质量为m，带电荷量为＋q的带电粒 子(重力不计)从O点开始以初速度v0沿＋x方向进入磁场,粒子经 过y轴上P点时的速度方向与＋y方向夹角为30°.已知OP＝L，
C
由几何关系得：
R sin R a ，R sin a R cos
2
sin2 cos2 1
R (2
6 )a，v (2 2
6 2
)
aqB m
，sin
=
610
6
题型四：磁场非规则区域有界
如图所示，在xOy平面内有许多电子（质量为m， 电量为e），从坐标原点O不断的以相同大小的速 度沿不同方向射入I象限，现加一个垂直于xOy平 面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电 子穿过该磁场后都能平行于x轴向+x方向运动，试 求符合该条件的磁场的最小面积？
入射点位置、 V的大 小以及磁感应强度B
2、带电粒子运动 轨迹所经过的区
三 V的大小和方向、带 入射点的 域？
电粒子电性、电量 位置（平
以及磁感应强度B
移）
B
V
三种基本情景
情景
动态图形
动态效果
一
缩放
二
旋转
三
平移
题型一：磁场直线有界
如图所示，A、B为水平放置的无限长平行板，板间距 离为d，A板上有一电子源P，Q点为P点正上方B板上 的一点，在纸面内从P点向Q点发射速度大小不限的电 子，若垂直纸面向里方向加一匀强磁场，磁场感应强 度为B，已知电子质量为m，电量为q，不计电子重力 及电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收， 并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围？
B A
A
A
A
A
C v
D
v
v
v
v
B AA
C vv
R D
1．如图，电子源S能在图示纸面360°范围内发射速
率相同的电子（质量为m，电量为e），M、N是足够
大的竖直挡板，与S的水平距离OS＝L，挡板左侧是
垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。
（1）要使发射的电子能到达挡板，
M
电子速度至少为多大？
（2）若S发射的电子速率为eBL/m
求： (1)磁感应强度的大小和方向； (2)该圆形区域的最小面积．
感谢指导！
三 V的大小和方向、带 入射点的 域？
电粒子电性、电量 位置（平
以及磁感应强度B
移）
B
F
v
三种基本情景
情 确定量 景
不确定量
问题
一 带电粒子电性、 电量 V的大小 1、所有带电粒子
入射点位置、 V的方 向以及磁感应强度B
圆周运动圆心构 成怎样图形？
二 带电粒子电性、 电量 V的方向
入射点位置、 V的大 小以及磁感应强度B
2、带电粒子运动 轨迹所经过的区
三 V的大小和方向、带 入射点的 域？
电粒子电性、电量 位置（平
以及磁感应强度B
移）
B
v
三种基本情景
情 确定量 景
不确定量
问题
一 带电粒子电性、 电量 V的大小 1、所有带电粒子
入射点位置、 V的方 向以及磁感应强度B
圆周运动圆心构 成怎样图形？
二 带电粒子电性、 电量 V的方向
用“动态圆”处理 带电粒子在磁场中的运动问题
三种基本情景
情 确定量 景
不确定量
问题
一 带电粒子电性、 电量 V的大小 1、所有带电粒子
入射点位置、 V的方 向以及磁感应强度B
圆周运动圆心构 成怎样图形？
二 带电粒子电性、 电量 V的方向
入射点位置、 V的大 小以及磁感应强度B
2、带电粒子运动 轨迹所经过的区
B
A.
2R
B. 2R
O
O
M
2R R
N
M R 2R
N
M
O
N
C.
D.
2R
R
O
O
M
2R
2R
N
M
2R
2R N
解： 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方 向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动 的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、 以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的运动轨迹 如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示
y
v0
x
y
V
x
小结
一、思维过程：
通过动态圆建 立物理情景
渐变到突变 （注意边界 情况或者是 约束条件
二、物理思想和方法：
旋转法 缩放法 平移法
临界状态 （利用几何关系）
补充讲评
热点考向1 带电粒子在磁场中的运动之多解问题
【典例1】(18分)(2015·延安一模)如图所示，在x<0与x>0的区域 中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直 于纸面向里，且B1大于B2，一个带负电、比荷为k的粒子从坐标原 点O以速度v沿x轴负方向射出，粒子重力不计。 (1)求粒子在两个磁场中运动的轨道半径； (2)如果B1=2B2，则粒子再次回到原点时运动了多长时间？ (3)要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什 么条件？
B
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Q
E
A
P
F
题型二：磁场三角形有界
如图所示，等腰直角三角形 OPQ，直角边 OP、OQ 长度均为 L，直角平面 内(包括边界)有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.在 PQ 边下方放置一带电粒子发射装置，它沿垂直 PQ 边的方向发射出一束具有 相同质量、电荷量和速度 v 的带正电粒子，已知带电粒子的比荷为：mq ＝B2vL. (1)粒子在磁场中运动的半径； (2)粒子从 OQ 边射出的区域长度．
训练1:(2014·西安模拟)如图甲所示,竖直挡板MN左侧空间有 方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场,电 场和磁场的范围足够大,电场强度E=40N/C,磁感应强度B随时 间t变化的关系图像如图乙所示,选定磁场垂直纸面向里为正方 向。t=0时刻,一质量m=8×10-4kg、电荷量q=+2×10-4C的微 粒在O点具有竖直向下的速度v=0.12m/s,O′是挡板MN上一点, 直线OO′与挡板MN垂直,g取10m/s2。求： (1)微粒再次经过直线OO′时与O点的距离; (2)微粒在运动过程中离开直线OO′的最大高度; (3)水平移动挡板,使微粒能垂直射到挡板上,挡板与O点间的距 离应满足的条件。
质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)，以速度 v 3qBL 从AB 边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入，然4后m 从BC边
上某点Q射出。若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
A.PB 2 3 LB.PB 1 3 LC.QB 3 LD.QB 1 L
知∠AOC＝60°，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最长
时间等于 T/2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界 OC
射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( ABC )
T
T
A. 3
B.4
T
T
C.
D.
6
8
O’
题型三：磁场矩形有界
如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内有垂直于xy平面向外的匀强 磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时 刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小
相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～
90°范围内，已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之 间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁 场中做圆周运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子 源射出时的 （1）速度的大小及方向？
y a/2
θ
Oθ
x
θ
a
C
2R
M
2R O R N
即时应用
(2015·成都七中高三月考)如图所示，边界 OA 与 OC 之间分布
有垂直纸面向里的匀强磁场，边界 OA 上有一粒子源 S.某一时
刻，从 S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒
子 (不计粒子的重力及粒子间的 相互作用)，所有粒子的初速度
大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界 OC 射出磁场．已
时，挡板被电子击中的范围有多大？
v eBL 2m
．
S
L
O
PQ (1 3)L
N
2．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感 应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为 m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各 个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的 相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区 域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的?
1.(单选)比荷为的电子以速度v0沿AB边射入边长为a的等边 三角形的匀强磁场区域中，如图所示，为使电子从BC边穿
出磁场，磁感应强度B的取值范围为( B )
A．B＞
B．B＜
C．B＞
D．B＜
【典例2】(多选)(2015·黄冈一模)如图所示，有一垂直于纸面向 外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的 正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点。现有一
训练2:如图所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀 强磁场a和b，OP为分界线，在区域a中，磁感应强度为2B， 方向垂直于纸面向里；在区域b中，磁感应强度为B，方向垂 直于纸面向外，P点坐标为(4l、3l)。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从P点沿y轴负方向射入区域b，经过一段时间 后，粒子恰能经过原点O，不计粒子重力，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8。求：
(1)粒子从P点运动到O点的时间最少是多少？ (2)粒子运动的速度可能是多少？
热点考向2 带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动临界问题的三种几何关系 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹 与边界相切。 (2)当粒子的运动速率v一定时，粒子经过的弧长(或弦长)越长， 圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当粒子的运动速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中的运动 轨迹对应的圆心角越大，其在磁场中的运动时间越长。
4
4
4
2
3 LC.QB 3 LD.QB 1 L
4
2
训练1.(2015·唐山一模)如图所示，两平行金属板AB中间有互相垂直 的匀强电场和匀强磁场。A板带正电荷，B板带等量负电荷，电场强度 为E；磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B1。平行金属板右侧有 一挡板M，中间有小孔O′，OO′是平行于两金属板的中心线。挡板右 侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B2。CD为磁场B2边界上 的一绝缘板，它与M板的夹角θ=45°，O′C=a，现有大量质量均为m， 含有各种不同电荷量、不同速度的带电粒子(不计重力)，自O点沿 OO′方向进入电磁场区域，其中有些粒子沿直线OO′方向运动，并进 入匀强磁场B2中，求： (1)进入匀强磁场B2的带电粒子的速度； (2)能击中绝缘板CD的粒子中，所带
(3)绝缘板CD上被带电粒子击中区域的长度。
训练2 在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域 的匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面,O点为该圆 形区域边界上的一点.现有一质量为m，带电荷量为＋q的带电粒 子(重力不计)从O点开始以初速度v0沿＋x方向进入磁场,粒子经 过y轴上P点时的速度方向与＋y方向夹角为30°.已知OP＝L，
C
由几何关系得：
R sin R a ，R sin a R cos
2
sin2 cos2 1
R (2
6 )a，v (2 2
6 2
)
aqB m
，sin
=
610
6
题型四：磁场非规则区域有界
如图所示，在xOy平面内有许多电子（质量为m， 电量为e），从坐标原点O不断的以相同大小的速 度沿不同方向射入I象限，现加一个垂直于xOy平 面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电 子穿过该磁场后都能平行于x轴向+x方向运动，试 求符合该条件的磁场的最小面积？
入射点位置、 V的大 小以及磁感应强度B
2、带电粒子运动 轨迹所经过的区
三 V的大小和方向、带 入射点的 域？
电粒子电性、电量 位置（平
以及磁感应强度B
移）
B
V
三种基本情景
情景
动态图形
动态效果
一
缩放
二
旋转
三
平移
题型一：磁场直线有界
如图所示，A、B为水平放置的无限长平行板，板间距 离为d，A板上有一电子源P，Q点为P点正上方B板上 的一点，在纸面内从P点向Q点发射速度大小不限的电 子，若垂直纸面向里方向加一匀强磁场，磁场感应强 度为B，已知电子质量为m，电量为q，不计电子重力 及电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收， 并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围？
B A
A
A
A
A
C v
D
v
v
v
v
B AA
C vv
R D
1．如图，电子源S能在图示纸面360°范围内发射速
率相同的电子（质量为m，电量为e），M、N是足够
大的竖直挡板，与S的水平距离OS＝L，挡板左侧是
垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。
（1）要使发射的电子能到达挡板，
M
电子速度至少为多大？
（2）若S发射的电子速率为eBL/m
求： (1)磁感应强度的大小和方向； (2)该圆形区域的最小面积．
感谢指导！
三 V的大小和方向、带 入射点的 域？
电粒子电性、电量 位置（平
以及磁感应强度B
移）
B
F
v
三种基本情景
情 确定量 景
不确定量
问题
一 带电粒子电性、 电量 V的大小 1、所有带电粒子
入射点位置、 V的方 向以及磁感应强度B
圆周运动圆心构 成怎样图形？
二 带电粒子电性、 电量 V的方向
入射点位置、 V的大 小以及磁感应强度B
2、带电粒子运动 轨迹所经过的区
三 V的大小和方向、带 入射点的 域？
电粒子电性、电量 位置（平
以及磁感应强度B
移）
B
v
三种基本情景
情 确定量 景
不确定量
问题
一 带电粒子电性、 电量 V的大小 1、所有带电粒子
入射点位置、 V的方 向以及磁感应强度B
圆周运动圆心构 成怎样图形？
二 带电粒子电性、 电量 V的方向
用“动态圆”处理 带电粒子在磁场中的运动问题
三种基本情景
情 确定量 景
不确定量
问题
一 带电粒子电性、 电量 V的大小 1、所有带电粒子
入射点位置、 V的方 向以及磁感应强度B
圆周运动圆心构 成怎样图形？
二 带电粒子电性、 电量 V的方向
入射点位置、 V的大 小以及磁感应强度B
2、带电粒子运动 轨迹所经过的区
B
A.
2R
B. 2R
O
O
M
2R R
N
M R 2R
N
M
O
N
C.
D.
2R
R
O
O
M
2R
2R
N
M
2R
2R N
解： 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方 向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动 的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、 以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的运动轨迹 如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示
y
v0
x
y
V
x
小结
一、思维过程：
通过动态圆建 立物理情景
渐变到突变 （注意边界 情况或者是 约束条件
二、物理思想和方法：
旋转法 缩放法 平移法
临界状态 （利用几何关系）
补充讲评
热点考向1 带电粒子在磁场中的运动之多解问题
【典例1】(18分)(2015·延安一模)如图所示，在x<0与x>0的区域 中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直 于纸面向里，且B1大于B2，一个带负电、比荷为k的粒子从坐标原 点O以速度v沿x轴负方向射出，粒子重力不计。 (1)求粒子在两个磁场中运动的轨道半径； (2)如果B1=2B2，则粒子再次回到原点时运动了多长时间？ (3)要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什 么条件？
B
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Q
E
A
P
F
题型二：磁场三角形有界
如图所示，等腰直角三角形 OPQ，直角边 OP、OQ 长度均为 L，直角平面 内(包括边界)有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.在 PQ 边下方放置一带电粒子发射装置，它沿垂直 PQ 边的方向发射出一束具有 相同质量、电荷量和速度 v 的带正电粒子，已知带电粒子的比荷为：mq ＝B2vL. (1)粒子在磁场中运动的半径； (2)粒子从 OQ 边射出的区域长度．
训练1:(2014·西安模拟)如图甲所示,竖直挡板MN左侧空间有 方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场,电 场和磁场的范围足够大,电场强度E=40N/C,磁感应强度B随时 间t变化的关系图像如图乙所示,选定磁场垂直纸面向里为正方 向。t=0时刻,一质量m=8×10-4kg、电荷量q=+2×10-4C的微 粒在O点具有竖直向下的速度v=0.12m/s,O′是挡板MN上一点, 直线OO′与挡板MN垂直,g取10m/s2。求： (1)微粒再次经过直线OO′时与O点的距离; (2)微粒在运动过程中离开直线OO′的最大高度; (3)水平移动挡板,使微粒能垂直射到挡板上,挡板与O点间的距 离应满足的条件。
质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)，以速度 v 3qBL 从AB 边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入，然4后m 从BC边
上某点Q射出。若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则( )
A.PB 2 3 LB.PB 1 3 LC.QB 3 LD.QB 1 L
知∠AOC＝60°，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最长
时间等于 T/2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界 OC
射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( ABC )
T
T
A. 3
B.4
T
T
C.
D.
6
8
O’
题型三：磁场矩形有界
如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内有垂直于xy平面向外的匀强 磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源，在某时 刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小
相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～
90°范围内，已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之 间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁 场中做圆周运动周期的四分之一，求最后离开磁场的粒子从粒子 源射出时的 （1）速度的大小及方向？
y a/2
θ
Oθ
x
θ
a
C
2R
M
2R O R N
即时应用
(2015·成都七中高三月考)如图所示，边界 OA 与 OC 之间分布
有垂直纸面向里的匀强磁场，边界 OA 上有一粒子源 S.某一时
刻，从 S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒
子 (不计粒子的重力及粒子间的 相互作用)，所有粒子的初速度
大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界 OC 射出磁场．已
时，挡板被电子击中的范围有多大？
v eBL 2m
．
S
L
O
PQ (1 3)L
N
2．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感 应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为 m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各 个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的 相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区 域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的?
1.(单选)比荷为的电子以速度v0沿AB边射入边长为a的等边 三角形的匀强磁场区域中，如图所示，为使电子从BC边穿
出磁场，磁感应强度B的取值范围为( B )
A．B＞
B．B＜
C．B＞
D．B＜
【典例2】(多选)(2015·黄冈一模)如图所示，有一垂直于纸面向 外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的 正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的三个顶点。现有一
训练2:如图所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀 强磁场a和b，OP为分界线，在区域a中，磁感应强度为2B， 方向垂直于纸面向里；在区域b中，磁感应强度为B，方向垂 直于纸面向外，P点坐标为(4l、3l)。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从P点沿y轴负方向射入区域b，经过一段时间 后，粒子恰能经过原点O，不计粒子重力，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8。求：
(1)粒子从P点运动到O点的时间最少是多少？ (2)粒子运动的速度可能是多少？
热点考向2 带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动临界问题的三种几何关系 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹 与边界相切。 (2)当粒子的运动速率v一定时，粒子经过的弧长(或弦长)越长， 圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当粒子的运动速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中的运动 轨迹对应的圆心角越大，其在磁场中的运动时间越长。
4
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2
3 LC.QB 3 LD.QB 1 L
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2
训练1.(2015·唐山一模)如图所示，两平行金属板AB中间有互相垂直 的匀强电场和匀强磁场。A板带正电荷，B板带等量负电荷，电场强度 为E；磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B1。平行金属板右侧有 一挡板M，中间有小孔O′，OO′是平行于两金属板的中心线。挡板右 侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B2。CD为磁场B2边界上 的一绝缘板，它与M板的夹角θ=45°，O′C=a，现有大量质量均为m， 含有各种不同电荷量、不同速度的带电粒子(不计重力)，自O点沿 OO′方向进入电磁场区域，其中有些粒子沿直线OO′方向运动，并进 入匀强磁场B2中，求： (1)进入匀强磁场B2的带电粒子的速度； (2)能击中绝缘板CD的粒子中，所带