二叉树模型.ppt
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二叉树类(共14张PPT)
链表实现
实现链表需要两个步骤，首先定义链表结构， 其次在程序中动态地生成结点，并与前一个 结点链接。 链表的操作主要有创建、插入以及删除等。
class list { protected:
peo* head; //链表头指针 public: list(void); ~list(); void insert(peo*);//插入结点 void del(const char*);//删除结点 void ser(const char*);//查询结点 void display();//显示结点 };
第11章 C++应用
11.1 栈类 11.2 矩阵类 11.3 链表类 11.4 二叉树类
11.1 栈类
栈是只允许在表的一端进行插入和删除等操 作的线性表，栈允许操作的一端称为栈顶， 另一端称为栈底。栈中元素的数量达到上限 称为栈满，栈中没有元素称为栈空。
栈的存储方式有顺序存储和链式存储两种。 顺序存储用一维数组的形式实现，而链式存 储用链表的形式实现。
friend ostream& operator <<(ostream& out,matrix &m); private:
int row;//矩阵行数
int col;//矩阵列数 double **p;//指向指针的指针
};
11.3 链表类
线性表的存储结构有顺序和链式两种方式。 顺序存储能够较为快捷地访问表中任意元素， 然而其空间利用率不高，做插入或删除操作 时需要移动大量元素。
每一个结点包含数据域和next指针，next node *left;//左子树
node *right;//右子树
};
二叉树类
二叉树模型ppt课件
• 基于该股票的某个衍生证券的当前价格为f。
• 假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻 • 的盈亏状况 。
二叉树模型
13
二叉树模型
14
• 2）构造组合：
• 一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生证券空 头来组成。
• 如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为： SuΔ—fu
• 如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为 ： SdΔ—fd
• 1、两步二叉树图的例子 • 1）条件： • 开始的股票价格为$20，并在两步二叉树图的每个
单步二叉树图中，股票价格可以上升10％或者下 降10％。
• 我们假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无 风险利率是年率12％。
• 期权的执行价格为$21
二叉树模型
28
二叉树模型
29
二叉树模型
30
二叉树模型
• 在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也 是正确的。
二叉树模型
24
4、风险中性定价举例：
二叉树模型
25
• ①求风险中性概率p
• 在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无 风险利率12％。 • 则有：22p+18(1-p)=20e0.12×0.25 • 即 4p=20e0.12×0.25-18 • p=O.6523。
• 每个单步二叉树的时间长度是相等的;
• 在每个节点的风险中性的概率p都是相同的
二叉树模型
34
2.一般结论
• 初始股票价格为S。 • 在每个单步二叉树中，股票价格或者上升到初始
值的u倍，或下降到初始值的d倍。 • 我们假设无风险利率是r。 • 每个单步二又树的时间长度是Δt年。
二叉树模型
35
• 假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻 • 的盈亏状况 。
二叉树模型
13
二叉树模型
14
• 2）构造组合：
• 一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生证券空 头来组成。
• 如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为： SuΔ—fu
• 如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为 ： SdΔ—fd
• 1、两步二叉树图的例子 • 1）条件： • 开始的股票价格为$20，并在两步二叉树图的每个
单步二叉树图中，股票价格可以上升10％或者下 降10％。
• 我们假设在每个单步二叉树的步长是三个月，无 风险利率是年率12％。
• 期权的执行价格为$21
二叉树模型
28
二叉树模型
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二叉树模型
30
二叉树模型
• 在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也 是正确的。
二叉树模型
24
4、风险中性定价举例：
二叉树模型
25
• ①求风险中性概率p
• 在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无 风险利率12％。 • 则有：22p+18(1-p)=20e0.12×0.25 • 即 4p=20e0.12×0.25-18 • p=O.6523。
• 每个单步二叉树的时间长度是相等的;
• 在每个节点的风险中性的概率p都是相同的
二叉树模型
34
2.一般结论
• 初始股票价格为S。 • 在每个单步二叉树中，股票价格或者上升到初始
值的u倍，或下降到初始值的d倍。 • 我们假设无风险利率是r。 • 每个单步二又树的时间长度是Δt年。
二叉树模型
35
第五讲期权定价理论I二叉树模型
15
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
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（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
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（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
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4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
第7章二叉树模型介绍ppt课件
“上行-下行状况”与“下行-上行状况”相等 n期之后可能的节点数为 个
两步二叉树图
一般结论
一个看跌期权的例子
美式期权
Delta
动态复制的原理
例如，利用债券 B和股票 S复制股票期权 c
可以利用B 和 S 构造复制的资产组合，使得随着时间变 化，通过调整一种资产所得可以补偿由于调整另一种 资产而带来的损失，不用现金的注入或流出就可以完 成持续的再平衡，并且复制的资产组合的最终价值与 期权到期时的价值相等。
旧权重乘以新价格等于新权重乘以新价格，说明价格变化 的影响被权重的变化所内部抵消了。所以就不需要任何资 金的流入和流出，所以是自融资的
小结
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
执行价格
单步二叉树模型
复制无风险证券
一般结论
股权预期收益的无关性
风险中性定价
单步二叉树模型的再考察
两步二ing tree）
即“上行-下行状况”与“下行-上行状况”不相等。 N期之后将有 个可能的结果
重组树状图（recombining tree）
C 1 u 8 4 .1 8 (1 .1 ) 1 4 0 4 7 .4
求
C
d 1
1dB2 du1dS2 duC2 du
1dB2 dd1dS2 ddC2 dd
qd 1
(1.265)
+
bd 1
(100)
=
0
q1d (1.265) + b1d (84) = 0
q1d = 0,b1d = 0
构造复制组合的成本将与期权的无套利价值相等
动态复制的要点
每一期期末，动态构造的合成与期权价值相等 复制组合的每一期的调整都不能有净现金的流入
两步二叉树图
一般结论
一个看跌期权的例子
美式期权
Delta
动态复制的原理
例如，利用债券 B和股票 S复制股票期权 c
可以利用B 和 S 构造复制的资产组合，使得随着时间变 化，通过调整一种资产所得可以补偿由于调整另一种 资产而带来的损失，不用现金的注入或流出就可以完 成持续的再平衡，并且复制的资产组合的最终价值与 期权到期时的价值相等。
旧权重乘以新价格等于新权重乘以新价格，说明价格变化 的影响被权重的变化所内部抵消了。所以就不需要任何资 金的流入和流出，所以是自融资的
小结
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执行价格
单步二叉树模型
复制无风险证券
一般结论
股权预期收益的无关性
风险中性定价
单步二叉树模型的再考察
两步二ing tree）
即“上行-下行状况”与“下行-上行状况”不相等。 N期之后将有 个可能的结果
重组树状图（recombining tree）
C 1 u 8 4 .1 8 (1 .1 ) 1 4 0 4 7 .4
求
C
d 1
1dB2 du1dS2 duC2 du
1dB2 dd1dS2 ddC2 dd
qd 1
(1.265)
+
bd 1
(100)
=
0
q1d (1.265) + b1d (84) = 0
q1d = 0,b1d = 0
构造复制组合的成本将与期权的无套利价值相等
动态复制的要点
每一期期末，动态构造的合成与期权价值相等 复制组合的每一期的调整都不能有净现金的流入
期权定价的二叉树模型(ppt 39页)
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
22
ftrf S S f1 22S2 S 2f2rf f
c St N d1 X erf Tt N d2
St erf Tt N d1 X N d2 erf Tt
EST Nd1 X N d2 erf Tt EST Nd1 X N d2 erf Tt
2022/3/23
21
风险中性定理表达了资本市场中的这样的 一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的 条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交 易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与 投资者的风险态度无关的。
这个结论在数学量，尤其是期望收益率。
公平的入局费＝2000×50％+0×50％＝ 1000元
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
13
愿意支付的入局费 风险类型 数量 入局费＜1000元 风险厌恶者 众多 入局费＝1000元 风险中性者 入局费＞1000元 风险喜好者 极少
如果有人愿意无条件地参加公平的赌博， 则这样的人被认为是风险中性。风险中性者对 风险采取无所谓的态度。
考虑以下组合：
①买入1份股票看涨期权 ②卖空Δ股股票
显然，适当调整Δ可以使得上述组合为无风 险组合。
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
3
如果这个组合是无风险组合，则其价值与 状态无关，所以，以下数学表达式成立：
22118
解得，
0.25
也就是说，1份看涨期权多头加上0.25股股 票空头构成的组合是无风险组合。
这就是风险中性定价的基本思想。
第7章 期权定价的二叉树模型
2022/3/23
18
我们回到之前的示例中，在那里，我们可 以把股票价格上升的概率定义为p，于是在到 期日T时刻，股票价格的期望值为：
《二叉树模型》课件
二叉树的分类
01 满二叉树
如果一个二叉树的每个节点都有两个子节点，则 该二叉树称为满二叉树。
02 完全二叉树
如果一个二叉树的最后一层是满的，且除了最后 一层外，其他各层的节点数达到最大，则该二叉 树称为完全二叉树。
03 平衡二叉树
平衡二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的左右 子树的高度差不超过1。
二叉树的应用场景
详细描述
在n叉树模型中，每个节点可以拥有任意数 量的子节点，而不仅仅是两个。这种模型在 处理具有多个分支的数据结构时非常有用， 例如决策树和知识图谱。n叉树模型在搜索 、排序和数据压缩等领域有广泛应用。
B树模型
要点一
总结词
B树模型是一种自平衡的多路搜索树，用于数据库和文件系 统的索引。
要点二
详细描述
详细描述
二叉树的插入操作包括节点的添加和位置调整两个步骤。在添加节点时，需要找到合适 的位置将其插入到二叉树中，并保持二叉树的平衡性。位置调整是为了维护二叉树的性
质，确保每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。
插入操作的时间复杂度
总结词
插入操作的时间复杂度取决于具体的实现方式和数据结构。
详细描述
在平衡二叉树中，插入操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的数量。而在一般的二 叉树中，插入操作的时间复杂度可能达到O(n)，因为可能需要遍历整棵树才能找到合适的位置插入新 节点。因此，选择合适的二叉树数据结构和算法对于提高插入操作的效率至关重要。
05
二叉树算法的应用
堆排序算法
平衡二叉树的性质：平衡二叉树具有以下性质：1）它的左右子树的高度差不超过1；2）它的左 子树和右子树都是平衡二叉树；3）它的左子树和右子树的节点数相差不超过1。
《二叉树的概念》课件
过程中进行一些特定的操作。
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于 该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找 、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来 保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高 度差不会超过1，且左右子树都是平衡二 叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所 有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的 左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树 的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树 是一种重要的分类和回归方法。其基 础结构就是二叉树，通过构建决策树 ，可以解决分类和回归问题。
THANKS
感谢观看
代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通 过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大 可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树 是满二叉树，即每个层级都完全 填满，没有空缺的节点。满二叉 树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节 点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。
05
二叉树的应用
Chapter
在数据结构中的应用
二叉搜索树
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树上的所有元素都小于 该节点，右子树上的所有元素都大于该节点。这种数据结构可以用于快速查找 、插入和删除操作。
AVL树和红黑树
这两种二叉树都是自平衡二叉搜索树，它们通过调整节点的左右子树的高度来 保持树的平衡，从而在插入、删除等操作时具有较好的性能。
VS
详细描述
平衡二叉树的特点是，它的左右子树的高 度差不会超过1，且左右子树都是平衡二 叉树。平衡二叉树的性质还包括，它的所 有叶节点的层数相等，且所有非叶节点的 左右子树的高度差不超过1。平衡二叉树 的查找、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log n)，其中n为节点数。
04
二叉树的遍历
Chapter
决策树
在机器学习和人工智能领域，决策树 是一种重要的分类和回归方法。其基 础结构就是二叉树，通过构建决策树 ，可以解决分类和回归问题。
THANKS
感谢观看
代码表示法
总结词：严谨规范
详细描述：使用编程语言的语法结构来表示二叉树，每个节点用对象或结构体表示，节点间的关系通 过指针或引用表示，严谨规范，易于编写和调试。
03
二叉树的性质
Chapter
深度最大的二叉树
总结词
深度最大的二叉树是指具有最大 可能深度的二叉树。
详细描述
在二叉树中，深度最大的二叉树 是满二叉树，即每个层级都完全 填满，没有空缺的节点。满二叉 树的深度等于其节点总数减一。
02
二叉树的表示方法
Chapter
图形表示法
总结词：直观明了
详细描述：通过图形的方式展示二叉树的结构，每个节点用圆圈或方框表示，节 点间的关系用线段表示，直观易懂，易于理解。
第三节-二叉树模型课件
表示了看涨期权获得完全保值时，所需要的 股票的数量。
思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？
PPT学习交流
28
二、两期二叉树模型与delta动态保值
考虑两期二叉树
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
B点处的delta值：
2.0257
19.8
E
0.0
18
C
0.0
16.2
D 3.20 0.73 24.219.8
PPT学习交流
12
一、单期二叉树
无套利定价法的思路 • 首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组
成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：
Su D – ƒu
Sd D – ƒd
D su fuD sd fd
由此计算出该组合为无风险时的Δ值。
PPT学习交流
13
一、单期二叉树
• 如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值 一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔf，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即 SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT ，所以
PPT学习交流
11
一、单期二叉树
一般的例子
• 假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价 格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权 的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者 上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。当 股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu， 如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。
PPT学习交流
4
一、单期二叉树
例：假设一种不支付红利股票目前的市价为20元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是22元，要 么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连 续复利），现在我们要找出一份3个月期协议价格 为21元的该股票欧式看涨期权的价值。
第八章 期权定价二叉树模型[优质ppt]
![第八章 期权定价二叉树模型[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/3bbb042902768e9950e73815.png)
• 3、例2
• 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利 年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期 权协议价格为50元，求该期权的价值。
4、倒推定价法总结
5、有红利资产期权的定价
• 课后自行阅读
6、构造树图的其他方法和思路
• 不作要求
畅想网络
Sert pSu(1p)Sd 在股票价格服从BS模型所假定的几何布朗运动下，
其方差为：S2e2rt(e2t 1)。而在S二叉树模型下
的方差为：pS2u2 (1p)S2d2 S2pu(1p)d。故：
S2e2rt(e2t 1) pS2u2 (1p)S2d2 S2 pu(1p)d
第三节 利用二叉树模型给美式期权定价
• 一，基本方法 • 在每个节点都将二叉树模型所计算出来
的值与提前执行所得的收益进行比较， 取较大者。 • 二、例1
• 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执 行价格为52，当前价格为50。假设用两 步二叉树模型，每步长一年，每步股票 价格或上升20%，或下跌20%。无风险利 率为5%。见下图
S0u3 S0u2d S0ud2 S0d3
三、单步二叉树定价模型
• 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生 证券的空头形成的投资组合，则
• 如股票价格上升，则投资组合的价值为：
S0u fu
• 若下跌，则组合的价值为：
•
S0d fd
• 如果 取特殊值，使得股价无论上升还 是下降，其价值都相等，即
将上述两个方程简化，有： e rt p u (1 p ) d e 2r t 2 t p u 2 (1 p ) d 2 在 加 入 C ox、 R oss和 R ubinstein 用 的 第 三 个 条 件 u= 1
金融工程第11章二叉树模型介绍课件
20
风险中性定价
在3个月末，看涨期权价值为1美元的概率为0.6523,价值为零的概率 为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：
0.6523×1+0.3477×0=0.6523美元 用无风险利率贴现后，该期权的今天价值为：
0.6523e -0. 12x0.25
即0.633美元。这个结果与前面所得结果相同，说明无套利理论和风 险中性定价方法的结论相同。
第11章二叉树模型
● 本章导读 -单步二叉树模型 -风险中性定价 -两步二叉树模型 -看跌期权定价 -美式期权定价 -奇异期权定价 -N 步二叉树模型 -考虑红利的影响 - Delta - 实际应用
1
11.1单步二叉树模型
我们从一个非常简单的例子开始。假设一种股票当前价格为20美元， 我们知道3个月后的价格将可能为22美元或18美元。假设股票不付红 利，我们打算对3个月后以21美元的执行价格买人股票的欧式看涨期权进 行定价。若到时股票价格为22美元，期权的价值将是1美元；若股票价格 为18美元，期权的价值将是0。
从(10.2)式可得：
f=e-0. 12x0.2[0.6523×1+0.3477×0]=0.633
这个结果与本节开始时所得结果相同。
15
11.2风险中性定价
就推导方程式(10.2)的过程而言，虽然我们不需要对股票价格上升和 下降的概率做任何假设，但将方程式(10.2)中的变量p 解释为股票价格上
升的概率是很自然的。于是变量1-p 就是股票价格下降的概率。表达 式：
该问题的关键是：我们并不是在完全的条件下为期权定价。我们只是 根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在 股票的价格中。这说明：当根据股票价格为期权定价时，我们不需要股票价 格上升和下降的概率。
风险中性定价
在3个月末，看涨期权价值为1美元的概率为0.6523,价值为零的概率 为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：
0.6523×1+0.3477×0=0.6523美元 用无风险利率贴现后，该期权的今天价值为：
0.6523e -0. 12x0.25
即0.633美元。这个结果与前面所得结果相同，说明无套利理论和风 险中性定价方法的结论相同。
第11章二叉树模型
● 本章导读 -单步二叉树模型 -风险中性定价 -两步二叉树模型 -看跌期权定价 -美式期权定价 -奇异期权定价 -N 步二叉树模型 -考虑红利的影响 - Delta - 实际应用
1
11.1单步二叉树模型
我们从一个非常简单的例子开始。假设一种股票当前价格为20美元， 我们知道3个月后的价格将可能为22美元或18美元。假设股票不付红 利，我们打算对3个月后以21美元的执行价格买人股票的欧式看涨期权进 行定价。若到时股票价格为22美元，期权的价值将是1美元；若股票价格 为18美元，期权的价值将是0。
从(10.2)式可得：
f=e-0. 12x0.2[0.6523×1+0.3477×0]=0.633
这个结果与本节开始时所得结果相同。
15
11.2风险中性定价
就推导方程式(10.2)的过程而言，虽然我们不需要对股票价格上升和 下降的概率做任何假设，但将方程式(10.2)中的变量p 解释为股票价格上
升的概率是很自然的。于是变量1-p 就是股票价格下降的概率。表达 式：
该问题的关键是：我们并不是在完全的条件下为期权定价。我们只是 根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在 股票的价格中。这说明：当根据股票价格为期权定价时，我们不需要股票价 格上升和下降的概率。
金融工程二叉树模型介绍PPT课件
22
B
24.2 D 3.2
20 1.2823
A
2.0257 18
C
19.8
E
0.0
0.0
16.2
节点B的价值
F 0.0
= e–0.12×0.25(0.6523×3.2 + 0.3477×0) =
2.0257
节点A的价值
= e–0.12×0.25(0.6523×2.0257 +
0.3477×0)
1111..118
一个例子
K = 52, 时间步= 1年 r = 5%
50 4.1923
A
60
B
1.4147
40
C
9.4636
72 D1111..119
当期权为美式期权时 会如何？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
1111..220
构造一个无风险证券组合
考虑一个证券组合: D 股股票多头 一个看涨期权空头
22D – 1
18D
证券组合是无风险的，当22D – 1 = 18D 或 D = 0.25
1111.5
证券组合的价值
无风险证券组合是:
0.25 股股票多头 1 个看涨期权空头
证券组合价值3个月时是 22×0.25 – 1 = 4.50
证券组合的现值是 4.5e – 0.12×0.25 = 4.3670
1111.6
期权的估值
证券组合为 0.25 股股票多头 1个看涨期权空头
现值是4.367 股票价值是
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E(ST)=SerT （8.4） 这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。 因此，设定上升运动的概率等于p就等价于假设 股票收益等于无风险利率。
在风险中性世界中，投资者对风险不要求补偿， 所有证券的预期收益都是无风险利率；未来现 金流可以用其期望值按无风险利率贴现。当为 期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设， 世界是风险中性的。这就是所谓 风险中性（risk-neutral valuation）原理。
第八章 二叉树模型
教学目的与要求
通过本章的学习，要求能够掌握运 用单步和两步二叉树图方法对欧式 期权和美式期权进行估值
理解并掌握在衍生证券估值中的风 险中性原理
教学重点及难点
用二叉树图方法对期权进行估值的 基本思路
风险中性估值原理 Delta的含义和计算
单步二叉树图
二叉树图的构造思路
重复式（8.2）的计算，给出：
fu ert[ pfuu (1 p) fud ] （8.5）
fd ert[ pfud (1 p) fdd ] （8.6）
f ert[ pfu (1 p) fd ] （8.7）
两步二叉树图中的股票价格和期权价格
根据前面的定价公式，可以得到：
f e2rt[ p2 fuu 2 p(1 p) fud (1 p)2 fdd ]
考虑一个无红利支付的股票，股票价格为 S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为 f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了 在T时刻的盈亏状况 。
一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生 证券空头构成。利用单步二叉树图，根据无 套利假设和期权的特性，可以推导出:
如果股票价格上升，
有效期末该组合的价
值为:SuΔ-fu 如果股票价格下降，
例题
假设一种股票当前价格为$20，三个月后 的价格将可能为$22或$18，假设股票三个月 内不付红利，无风险年利率为12%。有效期 为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21，如 何对该期权进行估值？
思路
股票价格$20
股票价格$22 期权价格$1
股票价格$18 期权价格$0
二叉树图构造的一般结论
假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。 在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上 升20％，或者按比率下降20％。无风险利率 为5％。
构造如下图所示的两步二叉树图。风险中
性概率P的值为
e0.051 0.8
p
0.6282
1.2 0.8
利用两步二叉树图方法为欧式看跌期权估值
美式期权估值
二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法 是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点 的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相 同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两 者之中较大者：
上面的定价公式并没有用到股票上升和下 降的概率。只是根据标的股票的价格估计期权 的价值。
风险中性估值
式（8.2）的变量p可以解释为股票价格上升的 概率，变量（1-p）就是股票价格下降的概率。这
样，pfu (1 p) fd 就是衍生证券的预期收益。
关于衍生证券的定价公式（8.2）可以表述为： 衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴 现的值。 同理，可以推导出在T时刻预期的股票价格为：
1.由式 f erT [ pfu 求(1出 的p)值fd。]
2.提前执行所得的收益。
考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。假设价格为 两步二叉树，每个步长为一年，在每个单步二 叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者 按比率下降20％。无风险利率为5％。
利用两步二叉树图方法为美式看跌期权估值
例：假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格 将可能为$22或$18，假设股票三个月内不付红利，无 风险年利率为12%。有效期为3个月的欧式看涨期权执 行价格为$21，运用风险中性估值原理对该期权进行 估值。
两步二叉树图
问题
假设一种股票开始的价格为$20，在下图 所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中， 股票价格可以上升10％或者下降10％。
有效期末该组合的价
值为:SdΔ-fd 当两个价值相等时
单步二叉树图中的股票价格 SuΔ-fu =SdΔ- fd
和衍生证券价格
fu fd （8.1）
Su Sd
该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T
时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格
变化与股票价格变化之比。
用r表示无风险利率， 该组合的现值应为：
假设在每个单步二叉树的步长是3个月，无 风险利率是年率12％。考虑一个执行价格为 $21的期权。
思路
两步二叉树图中的股票价格和期权价格
一般结论
假设初始股票价格为S。在每个单步二叉树 中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下 降到初始值的d倍。假设无风险利率是r。每个 单步二又树的时间长度是Δt年。
(Su
fu )erT
而构造该组合的成本是： S f
因此 S f (Su fu )erT
将式（9.1）代入上式，得到
f erT [ pfu (1 p) fd ] （8.2）
其中
p erT d ud
（8.3）
运用单步二叉树图方法，式（8.2）和（8.3）
就可为衍生证券估值。
股票预ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ收益的无关性
Delta
Delta的含义
股票期权的Delta是股票期权价格的变化与 标的股票价格的变化之比，是为了构造一个无风 险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有 的股票数目。
p2，2p(1-p)和(1-p)2是达到最后上、中、 下三个节点的概率。衍生证券的价格等于它在 风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的 值。
如果在树图中加入更多的步(step)以推广应 用二叉树图方法，风险中性估值的原理一直是 成立的。
看跌期权
考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。
根据期权的特性，可以用二叉树图来描述股 票和期权的价格运动。如果能够用一种股票和基 于该股票的期权构造一个组合，使得在有效期末 该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收 益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得 到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票 的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。
在风险中性世界中，投资者对风险不要求补偿， 所有证券的预期收益都是无风险利率；未来现 金流可以用其期望值按无风险利率贴现。当为 期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设， 世界是风险中性的。这就是所谓 风险中性（risk-neutral valuation）原理。
第八章 二叉树模型
教学目的与要求
通过本章的学习，要求能够掌握运 用单步和两步二叉树图方法对欧式 期权和美式期权进行估值
理解并掌握在衍生证券估值中的风 险中性原理
教学重点及难点
用二叉树图方法对期权进行估值的 基本思路
风险中性估值原理 Delta的含义和计算
单步二叉树图
二叉树图的构造思路
重复式（8.2）的计算，给出：
fu ert[ pfuu (1 p) fud ] （8.5）
fd ert[ pfud (1 p) fdd ] （8.6）
f ert[ pfu (1 p) fd ] （8.7）
两步二叉树图中的股票价格和期权价格
根据前面的定价公式，可以得到：
f e2rt[ p2 fuu 2 p(1 p) fud (1 p)2 fdd ]
考虑一个无红利支付的股票，股票价格为 S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为 f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了 在T时刻的盈亏状况 。
一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生 证券空头构成。利用单步二叉树图，根据无 套利假设和期权的特性，可以推导出:
如果股票价格上升，
有效期末该组合的价
值为:SuΔ-fu 如果股票价格下降，
例题
假设一种股票当前价格为$20，三个月后 的价格将可能为$22或$18，假设股票三个月 内不付红利，无风险年利率为12%。有效期 为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21，如 何对该期权进行估值？
思路
股票价格$20
股票价格$22 期权价格$1
股票价格$18 期权价格$0
二叉树图构造的一般结论
假设价格为两步二叉树，每个步长为一年。 在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上 升20％，或者按比率下降20％。无风险利率 为5％。
构造如下图所示的两步二叉树图。风险中
性概率P的值为
e0.051 0.8
p
0.6282
1.2 0.8
利用两步二叉树图方法为欧式看跌期权估值
美式期权估值
二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法 是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点 的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相 同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两 者之中较大者：
上面的定价公式并没有用到股票上升和下 降的概率。只是根据标的股票的价格估计期权 的价值。
风险中性估值
式（8.2）的变量p可以解释为股票价格上升的 概率，变量（1-p）就是股票价格下降的概率。这
样，pfu (1 p) fd 就是衍生证券的预期收益。
关于衍生证券的定价公式（8.2）可以表述为： 衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴 现的值。 同理，可以推导出在T时刻预期的股票价格为：
1.由式 f erT [ pfu 求(1出 的p)值fd。]
2.提前执行所得的收益。
考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。假设价格为 两步二叉树，每个步长为一年，在每个单步二 叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者 按比率下降20％。无风险利率为5％。
利用两步二叉树图方法为美式看跌期权估值
例：假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格 将可能为$22或$18，假设股票三个月内不付红利，无 风险年利率为12%。有效期为3个月的欧式看涨期权执 行价格为$21，运用风险中性估值原理对该期权进行 估值。
两步二叉树图
问题
假设一种股票开始的价格为$20，在下图 所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中， 股票价格可以上升10％或者下降10％。
有效期末该组合的价
值为:SdΔ-fd 当两个价值相等时
单步二叉树图中的股票价格 SuΔ-fu =SdΔ- fd
和衍生证券价格
fu fd （8.1）
Su Sd
该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T
时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格
变化与股票价格变化之比。
用r表示无风险利率， 该组合的现值应为：
假设在每个单步二叉树的步长是3个月，无 风险利率是年率12％。考虑一个执行价格为 $21的期权。
思路
两步二叉树图中的股票价格和期权价格
一般结论
假设初始股票价格为S。在每个单步二叉树 中，股票价格或者上升到初始值的u倍，或下 降到初始值的d倍。假设无风险利率是r。每个 单步二又树的时间长度是Δt年。
(Su
fu )erT
而构造该组合的成本是： S f
因此 S f (Su fu )erT
将式（9.1）代入上式，得到
f erT [ pfu (1 p) fd ] （8.2）
其中
p erT d ud
（8.3）
运用单步二叉树图方法，式（8.2）和（8.3）
就可为衍生证券估值。
股票预ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ收益的无关性
Delta
Delta的含义
股票期权的Delta是股票期权价格的变化与 标的股票价格的变化之比，是为了构造一个无风 险对冲，对每一个卖空的期权头寸我们应该持有 的股票数目。
p2，2p(1-p)和(1-p)2是达到最后上、中、 下三个节点的概率。衍生证券的价格等于它在 风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的 值。
如果在树图中加入更多的步(step)以推广应 用二叉树图方法，风险中性估值的原理一直是 成立的。
看跌期权
考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。
根据期权的特性，可以用二叉树图来描述股 票和期权的价格运动。如果能够用一种股票和基 于该股票的期权构造一个组合，使得在有效期末 该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收 益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得 到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票 的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。