排列组合解题策略大全(十九种模型)

排列组合解题策略大全

一、合理分类与分步

1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？

四位上，则有

1

31333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有781313

3344=+A A A A （种） 解法二(排除法)：甲在排头：44A ,乙在排尾： 44A ,甲在排头且乙在排尾： 3

3A ,故符合题意的不同的排法为： 5443544378A A A A --+=.注： 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.

2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有3

8A 方法，

所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有3

83A

④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数4332

88883374088A A A A +++=（种）

二、特殊元素和特殊位置优先法

1、0，1，2，3，4，5能够组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位

先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 3

4A =288

2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440

三、排列组合混合问题先选后排法

1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？

分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选2个有2

4C 种，从4个盒中选3个盒有3

4C 种；

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有3

3A 种，故所求放法有144

333424=A C C 种。

2、5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？

解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有2

5C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有

44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有24

54C A

3、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要实行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

解析：先取男女运动员各2名，有22

54C C 种，这四名运动员混和双打练习有22

A 中排法，故共有222542120C C A =种.

4、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有多少种？

先在正副班长中选1人：12C ，再在剩余4名战士中选3人：34C ，最后对选出的4人实行全排列：44A ，总共12C 34C 4

4A =192

四、相邻元素捆绑法

1、,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有多少种？

解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4

424A =种，答案：D .

2、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？

分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有55A 种排法，而甲乙、丙、之间又有3

3A 种排法，故共有5

5

A 72033=A 种排法。 3、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？

可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素实行排列，同时对相

邻元素内部实行自排。 55A 22A 2

2A =480

4、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中有且只有两个偶数夹在1和５之间,这样的五位数有多少个？

解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有22

22A A 种排法，由分步计数原理共

有222

222A A A 种排法.

五、不相邻（相离）问题插空法

1、七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？

解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .

2、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

先排除舞蹈外的5个节目为55A 种，再用4个舞蹈节目去插6个空位有46A 种，不同的排法种数是5456A A

3、某人射击8枪，命中4枪，命中的4枪中恰有3枪连在一起的情形有多少种？

先将未命中的4枪排好，这里不讲顺序，然后将命中的4枪分3枪和1枪两组，插入5个空，共25A 种情形。

4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？

分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”

的问题。故关灯方法种数为3

4C 。

六、定序问题缩倍法

1、,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 能够不相邻）那么不同的排法种数有多少？ 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法仅仅5个元素全排列数的一半，即

5

51602

A =种，选

B .

2、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

分析： 不考虑附加条件，排队方法有66A 种，而其中甲、乙、丙的3

3A 种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有1203

366=÷A A 种。

七、多排问题直排法

1、（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数有多少？

解析：前后两排可看成一排的两段，所以本题可看成6个不同的元素排成一排，共6

6720A =种，选C .

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.