矩形截面杆的扭转

§9.5 矩形截面杆的扭转
学习思路:
应力函数的确定是扭转应力解法的关键。

但是矩形横截面柱体的扭转问题不能采用与椭圆形截面柱体相同的方法建立扭转应力函数。

矩形截面柱体分析的第一步是引入特解，将基本方程—泊松方程简化为拉普拉斯方程。

第二步是将应力函数表达为坐标x和y的函数。

并且根据问题性质，简化应力函数，为求解级数形式表达的应力函数作准备。

第三步是根据面力边界条件确定级数形式的应力函数。

最后，根据应力函数求解横截面切应力表达式。

并且分析横截面切应力分布。

学习要点：
1. 矩形截面柱体的扭转分析；
2. 扭转应力函数；
3. 扭转级数解；
4. 矩形截面柱体扭转切应力；
5. 横截面应力分析
设矩形的边长为a和b，如图所示。

矩形截面杆件的扭转问题，不能像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为
原因很简单，这个应力函数虽然满足ψc＝0，但是泊松方程却不可能满足。

由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。

对于扭转问题的应力解法，基本方程为泊松方程。

为了简化分析，需要找到泊松方程的特解，将基本方程转化为拉普拉斯方程。

因为拉普拉斯方程求解相对简单。

因为变形协调方程有一个特解，所以设
则变形协调方程转化为
对于柱体的侧面面力边界条件，ψc＝0 ，则要求ψ0满足边界条件
由于柱体横截面是关于坐标轴x和y对称的，而扭矩T是关于坐标轴反对称的，因此横截面切应力必然是与坐标轴反对称的。

所以，设扭转应力函数ψ 0(x,y)为
代入变形协调方程，则
将上式改写为，, 其中λ为任意常数。

根
据
所
以
根据薄膜比拟，矩形横截面切应力是坐标的奇函数，因此应力函数应该为坐标x和y的偶函数。

所以
上式仅是方程的一个特解。

如果将所有特解作线性迭加就是方程的通解，所以 0(x,y)写作
根据边界条件的第二式，有
由于，所以。

因此，。

回代可得
根据边界条件的第一式，有
对于上式两边同时乘以，并在（-b，b）区间积分，可得
所以，应力函数为
根据应力函数表达式，应力分量为
上式中的单位长度扭转角ϕ由端面面力边界条件确定，即
对于上述级数，其收敛很快，取n=0一项分析，则
根据切应力表达式，可以得到矩形横截面的应力分布，
如图所示。

最大切应力发生在矩形长边的中点，即
根据公式,可得单位长度扭转角
和最大扭转切应
力
其中,β 和γ都是仅与比值a/b 有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下：
§9.6 开口薄壁杆的扭转
学习思路:
狭长矩形是指矩形横截面的一边长度远大于另外一边，这个问题有明显的工程意义。

工程结构中广泛使用的形材大多是狭长矩形或者曲边狭长矩形组成的开口薄壁杆件。

根据薄膜比拟，横截面的切应力方向是与狭长矩形的长边一致，而且数值不变。

这个条件使得狭长矩形的扭转切应力公式不难推导，同时，直边与曲边狭长矩形的应力分布是相同的。

对于开口薄壁杆件的扭转切应力分析，首先将开口薄壁杆件分解为一系列的狭长矩形。

这些狭长矩形共同承担截面内力扭矩，并且在扭矩作用下变形。

注意到各个狭长矩形的扭矩之和为外力矩，而相对扭矩角是相同的，可以得到各个狭长矩形的扭转切应力。

开口薄壁杆件的扭转切应力是在理想狭长矩形杆切应力基础上推导的，这个应力不能用于局部应力分析。

原因是开口薄壁杆件扭转切应力公式不能反映应力集中；而且为了减少应力集中的影响，工程型材在矩形与矩形的交接处有圆弧。

对于工程问题，局部应力分析可以查阅相关图表。

学习要点：
1. 狭长矩形的扭转应力；
2. 开口薄壁杆；
3. 开口薄壁杆扭转应力；
4. 局部切应力。

首先讨论狭长矩形的扭转应力，设狭长矩形的长边为a，短边长度为δ，而且a>>δ ，如图所示。

根据薄膜比拟，狭长矩形薄膜的形状沿长边方向基本不变，主要薄膜形状改变在短边方向。

因此可以推断，应力函数在横截面的几乎是不随长度方向变化，因此对应的薄膜形状近似于柱面。

所以可以近似地取
因此狭长矩形杆的扭转变形协调方程可以写作。

这是一个常微分方程，对上式作积分，并注意到边界条件，可得
将上述应力函数代入扭转端面边界条件，可得。

根据公式，有
最大切应力由薄膜比拟可以推论在矩形截面的长边上，其数值为。

单位长度的扭转角为。

上述结论与矩形截面杆件扭转应力分析结果完全一致。

工程结构中经常使用的开口薄壁杆，它们的横截面大都是由等宽度的狭长矩形组成的。

根据薄膜比拟可以想象，假如一个直边狭长矩形和一个曲边狭长矩形，它们具有相同的长度a和宽度δ，如果张在这两个狭长矩形上的薄膜受有相同的压力q和张力T，两个薄膜就与各自边界平面所占的体积V，以及薄膜的斜率大体是相同的。

因此,曲边狭长矩形截面扭杆与直边狭长矩形截面扭杆的扭转切应力是近似的。

所以，以下关于狭长矩形截面扭杆分析同样适用于曲边狭长矩形截面杆件。

如果用a i和δi分别表示开口薄壁杆第i个狭长矩形的长度和宽度，T i表示该矩形面积上承受的扭矩，τi表示该矩形长边中点的切应力，ϕ 为单位长度的扭转角。

则
根据合力条件，开口薄壁杆横截面的扭矩为
根据上述公式，消去ϕ，有。

回代可得
对于狭长矩形长边中点的切应力，上述公式给出了相当精确的解答。

但是需要注意的是：在开口薄壁杆件两个狭长矩形的连接处，由于应力集中，可能发生远大于狭长矩形中点的局部切应力。

开口薄壁杆件的局部应力与比值τmax/τi和ρ/δi有关，如图所示。

τmax是圆角处的最大切应力，τi是用公式计算出的切应力，ρ 是内圆角的曲率半径，δi 是狭长矩形的宽度。

图中列出局部应力与比值ρ/δi的关系。