基本不等式及其应用-高中数学知识点讲解

基本不等式及其应用

1．基本不等式及其应用

【概述】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它

푎+푏们的算术平均数．公式为：

2푎+푏

≥푎푏（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2 或者a+b≥2

푎푏．常常用于求最

2

值和值域．

【实例解析】

例 1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．

2푎A：a，b 均为负数，则

푏+

푏

2푎≥2．B：

푥2+2

푥2+1

≥

2．C：푠푖푛푥+

4

푠푖푛푥≥4．D：푎∈푅

+，(3―푎)(1―

3

푎)≤

0．

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D 均满足条件．

对于C 选项中 sin x≠±2，

不满足“相等”的条件，

再者 sin x 可以取到负值．

故选：C．

A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；

B 分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很

方便．

例 2：利用基本不等式求푦=

푥

푥2+2的最值？当 0＜x＜1 时，如何求푦=

푥+1

푥2+2的最大值．

解：当x＝0 时，y＝0，

当x≠0 时，푦=

푥

푥2+2=

1

푥+2

，

푥

用基本不等式

若x＞0 时，0＜y ≤

2，4

若x＜0 时，―

2

4

≤y＜0，

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综上得，可以得出―

2

4

≤y

≤

2

，

4

∴푦=

푥

푥2+2的最值是―

2

与

4

2

．

4

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．

【基本不等式的应用】

1、求最值

例 1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

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4、均值定理在比较大小中的应用

【解题方法点拨】

技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．

技巧二：凑系数

例 2：当 0＜x＜4 时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．

解析：由 0＜x＜4 知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到 2x+（8﹣2x）＝8 为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．

y＝x（8﹣2x）=1

2[2x•（8﹣2x）] ≤

12푥+8―2푥

（

）2＝8

22

当 2x＝8﹣2x，即x＝2 时取等号，当x＝2 时，y＝x（8﹣x2）的最大值为 8．

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评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离

例 3：求y =푥2+7푥+10

푥+1

(푥＞―1)的值域．

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．

y =푥2+7푥+10

푥+1

=

(푥+1)2+5(푥+1)+4

푥+1

=（x+1）+

4

푥+1+ 5，

当x＞﹣1，即x+1＞0 时，y≥2 (푥+1)×

4

푥+1

+ 5＝9（当且仅当x＝1 时取“＝”号）

技巧四：换元

对于上面例 3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．

技巧五：结合函数f（x）＝x +푎

푥的单调性．

技巧六：整体代换

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点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．

技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．

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