极限运算技巧
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的运算
无穷小因子分出法
2 x3 x 2 + 5 例7 求 lim 4 . 2 x →∞ x + 4 x 1
2 1 5 2+ 4 3 2 2x x + 5 x lim 4 = lim x x x →∞ x + 4 x 2 1 x →∞ 4 1 1+ 2 4 x x
解:
=0
当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
判断题 若 lim g ( x) = ∞ , lim f ( x) = ∞ 则 x →a x →a
lim kf ( x) = ∞(k为非零常数）
x →a
1 lim =0 x →a f ( x ) + g ( x )
lim[ f ( x) + g ( x)] = ∞
x →a
lim[ f ( x) g ( x)] = 0
说明： 说明：上述法则对自变量 时都成立。 时都成立。
x → x0 及x →∞
(2) lim[ f ( x) g( x)] = A B
推论1 推论1 如果lim f ( x)存 , 而c为常数,则 在
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
即常数因子可以提到极限记号外面. 即常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 推论2 如果lim f ( x)存在, 而n是正整数, 则
(x + 2) = lim 2 x→ (x + x +1 1 )
= 1
例9、 求 lim ( x(x + 3) x) 、
x→∞
解：原式= x→∞ 原式
= lim
x→∞
[x(x + 3)] lim
x2 x(x + 3) + x 3x x(x + 3) + x
求极限的四则运算法则
求极限的四则运算法则
1 极限的四则运算
极限的四则运算是数学中一个重要的概念，也是分析数学的核心
内容之一。
在极限的四则运算中，有很多的规则，它们是数学计算的
基础，能够帮助我们理解与解决有关数学问题的答案。
2 极限的四则运算法则
1.加法定义和原则：极限加法定义了两个极限相加，要求其结果
具有相同的极限值。
2.减法定义和原则：极限减法定义了两个极限相减，其结果等于
以极限值来减去另一个极限值。
3.乘法定义和原则：两个极限相乘，它们的结果是其乘积的极限值。
4.除法定义和原则：两个极限相除，它们的结果是其商的极限值。
3 极限的四则运算的应用
极限的四则运算能够用在更多的应用场合，比如说，它可以帮助
我们估算不可知的函数式极限值。
此外，极限的四则运算还可用于估
算有限函数极限值，以及定义数量级大小等等。
4 总结
综上所述，极限的四则运算是数学中一个重要的概念，它提供了加减乘除四种极限运算的规则，能够帮助我们估算不可知的函数式极限值及有限函数极限值，起到重要的作用。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧函数极限的计算是数学中常见且重要的问题，对于深入理解函数行为和解决实际问题具有重要意义。
以下是一些计算函数极限的常见方法和技巧：1. 代入法：当函数只有一个变量的时候，可以通过将变量代入函数中来计算极限。
这种方法适用于简单的函数和简单的极限问题。
2. 四则运算法则：对于复杂的函数，可以利用四则运算法则简化极限计算。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法，通过对函数表达式进行合理的变形和简化，可以得到更简单的极限计算形式。
3. 夹逼定理：夹逼定理也称为挤压定理，是一种计算极限的重要方法。
当一个函数在某个点附近夹在两个已知函数之间时，可以利用这个夹逼关系来求函数的极限。
4. 分数分解法：对于含有分数的函数，可以利用分数分解法将其分解为分子和分母的极限，然后分别计算两个极限。
5. 洛必达法则：洛必达法则是计算极限的一种重要方法。
当求函数的极限遇到不确定型的形式（如0/0或∞/∞）时，可以利用洛必达法则，将函数转化为两个函数的极限比值，然后再进行计算。
6. 泰勒展开法：泰勒展开是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
当函数在某一点处极限求解困难时，可以用泰勒级数展开来近似计算极限。
7. 对数换底法：对数换底法是计算一些特殊形式的极限的一种有效方法。
当函数中含有对数函数，并且指数不同底时，可以通过换底公式将其转化为更简单的形式。
8. 常用极限：熟记一些常用的函数极限是计算极限的一个重要技巧。
常用的函数极限包括指数函数、对数函数、三角函数等的极限，可以通过记忆和推导得到。
计算函数极限的方法和技巧很多，选择合适的方法和技巧对于解决极限问题非常重要。
需要根据具体的函数形式和问题特点选取合适的方法，并在计算中灵活应用各种技巧，从而有效地计算函数的极限。
第四节 极限的运算法则
a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
. 解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
5 3 x 2. 7 1 3 x
小结: 当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
x2 2
x2
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a x n a x n 1 a , 则有 0 1 n
x x0
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
lim P ( x )
二、求下列各极限:
1 1 1 1、 lim(1 ... n ) n 2 4 2
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
1 x 3 4、 lim x 8 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
0
n
x x0
n 1
a n f ( x 0 ).
x x0
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
极限的运算法则
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α , g ( x ) = B + β . 其中α → 0, β → 0.
x → x0 x → x0
lim P ( x )
若Q( x0 ) = 0, 则商的法则不能应用.
-6-
第五节
极限的运算法则
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
第一章 函数 极限 连续
( x 2 + 2 x − 3) = 0, 解 Q lim x →1
商的法则不能用
-8-
(消去零因子法)
第五节
极限的运算法则
2x3 + 3x2 + 5 ∞ . ( 例4 求 lim 型未定式 ) 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1 ∞
第一章 函数 极限 连续
解
x → ∞时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 lim = x→∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
0
x → x0
lim ϕ ( x ) = u0 , lim f ( u) = A,
u→ u0
x → x0
时, 恒有
| f ( u) − A |< ε ,
- 15 -
第五节
极限—计算的技巧
极限—计算的技巧极限是数学中的重要概念，它描述了一个函数在一些点附近的行为。
计算极限时，我们常常需要运用一些技巧和方法来简化问题，使计算过程更加简洁和有效。
本文将介绍一些常用的计算极限的技巧。
1.代入法代入法是计算极限时最常用的方法之一、它的基本思想是将极限中的变量替换为一个接近极限值的数，然后计算函数在该数附近的取值。
这样可以有效地简化问题，尤其是当函数在该点处连续时，代入法特别有效。
例如，计算极限lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)。
由于分子分母都包含了x - 1，所以我们可以将(x^2 - 1) / (x - 1)简化为x + 1、代入x = 1，我们得到lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1) = 22.分子分母因式分解当极限的分子和分母存在公因式时，可以使用因式分解来简化问题。
这样可以消去公因式，进一步简化计算过程。
例如，计算极限lim(x→3) (x^2 - 9) / (x - 3)。
我们可以将分子因式分解为(x + 3)(x - 3)，然后可以消去(x - 3)这个公因式。
最终得到lim(x→3) (x^2 - 9) / (x - 3) = lim(x→3) (x + 3) = 63.合并同类项合并同类项是用于处理多项式极限的常用技巧。
当极限中的多项式存在同类项时，我们可以将它们合并为一个单独的项，从而简化计算过程。
例如，计算极限lim(x→2) (x^3 - 8x^2 + 16x - 32) / (x - 2)。
我们可以将分子合并为(x - 2)^3，并得到lim(x→2) (x^3 - 8x^2 +16x - 32) / (x - 2) = lim(x→2) (x - 2)^2 = 0。
4.分数的化简当极限中存在分数时，我们可以尝试将分数进行化简，从而使计算更加简洁。
例如，计算极限lim(x→∞) (2x - 3) / (3x + 1)。
我们可以将分数进行化简，得到lim(x→∞) 2/3 = 2/35.利用极限性质极限具有一些性质，我们可以利用这些性质来简化计算。
1-3 极限的运算
证
a lim lim a a a a lim lim lim a a lim A(或). a
例1
解
tan 2 x 求 lim ． x0 sin 5 x
2
x 2 sin 1 cos x 2 lim lim 解 x0 x 2 x 0 x2
2
．
x sin 1 2 lim 2 x 0 x ． 2
1 2．
例3
解
求
tan x sin x lim ． 3 x 0 x
tan x sin x tan x(1 cos x) lim lim 3 x 0 x 0 x x3
lim[ f ( x) g ( x)] limf ( x) lim g ( x) ．
f ( x) limf ( x) lim g ( x) lim g ( x)
(lim g ( x) 0).
lim[C g ( x)] C lim g ( x), C为常数 ．
lim[ g ( x)]n [lim g ( x)]n ． 推论 2
由无穷小的性质知 A B 仍为无穷小，再由 极限与无穷小的关系，得
lim[ f ( x) g ( x)] AB= limf ( x) lim g ( x) ．
例１
解
求 lim(3 x 4 x 1) ．
2 x 2
2
lim(3 x 4 x 1)
x2
lim 3 x lim 4 x 1
1 解释说明：列出 1 的数值表(如下表)，观察其变 x 化趋势.
x
x
x
1 1 x
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。
本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。
一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。
当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。
例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。
解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。
因此，f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。
它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。
解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。
首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。
因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。
根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。
三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。
该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。
例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。
解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。
首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。
根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
1-5极限的运算法则
o
1
x
小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.求极限的多种方法：
(1) 多项式与分式函数代入法求极 限 ; 消去零因子法求极限; (2) (3) 无穷小因子分出法求极限; (4) 利用无穷小运算性质求极限; (5) 利用左右极限求分段函数极限.
思考题
若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 在某个过程中，
lim Pn ( x ) Pn ( x ) x x0 lim R( x ) lim x x0 x x0 P ( x ) lim Pm ( x ) m x x0 Pn ( x0 ) R( x0 ). Pm ( x0 ) 若Pm ( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
2 3 n 1 例 求 lim n2 n2 n2 . n n 2
解： 当 n 时, 是无穷多个无穷小之和．
先变形再求极限.
2 n 1 2 n 1 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim 1 . 2 n n 2 n n 2
0 0
二、求极限方法举例
例
x3 1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 x2
2 lim x 3 x lim 5 解: lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2
(lim x )2 3lim x lim 5
x2 x2 x2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
求函数极限的方法总结
求函数极限的方法总结求函数极限的方法总结极限是微积分学中的一个基本概念，是微积分学中各种概念和计算方法能够建立和应用的前提。
下面求函数极限的方法总结，欢迎阅读参考！求函数极限的方法总结篇1利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
函数极限性质的合理运用。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。
首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
极限的四则运算法则
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
lim P (x) = P (x0 ). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
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定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有
n(n +1) 1 1 1 解: 原式 = lim = lim (1+ ) = 2 n→∞ 2n n→∞ 2 n 2
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3. 求 解法 1
1 1 = lim 原式 = lim = 2 x→+∞ x→+∞ x +1+ x 1 2 1+ 2 + 1 x 解法 2 令 t = 1 , 则 t →0+ x 1 1 1 1+ t 2 1 原式 = lim [ 2 +1 ] = lim t →0+ t t →0+ t t t2 1 1 = lim = 2 2 t→0+ 1+ t +1
f (x) = A+α , g(x) = B + β , 其中α , β 为无穷小
设
A+ A+α A 1 = = (Bα Aβ) B + β B B(B + β ) 无穷小
有界
γ 为无穷小, f (x) = A +γ 因此
1 2 = < 由极限与无穷小关系定理 , 得 g(x) B+ β B
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提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
16种求极限的方法
16种求极限的方法 <网上找的仅供参考>首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0落笔他法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
极限的运算法则
( lim x )2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3
商的极限等 于极限的商
3 2 x 1 1 7 x2 . lim 2 2 3 3 x2 x 3 x 5 lim ( x 3 x 5)
lim [ f ( x ) g( x )] A B
lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x x0
lim [ f ( x )]n [ lim f ( x )]n
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？
一定不存在.（可用反证法证明） 答：
n 1 2 3 2. lim 2 2 2 2 ? n n n n n
n ( n 1) 1 1 1 解 原式 lim lim ( 1 ) . 2 n 2n n 2 n 2
例5 分析 解
12 1 求 lim 3 . x 2 x 2 x 8
( 型 )
型，先通分，再用极限法则.
22 x (x 22 xx 8 4 ) 12 0 ( ) 原式 lim lim 3 0 2 2 x3 x x x8 8
2 x3 3 x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
分析
( 型)
x 时,分子,分母都 趋于 无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2 3 3 2 2x 3x 5 x x “ 抓大头” 解 lim lim 4 1 x x 7 x 3 4 x 2 1 7 3 x x 3 5 lim ( 2 3 ) 2 x x x . 4 1 lim (7 3 ) 7 x x x
极限求法总结
极限的求法1、利用极限的定义求极限2、直接代入法求极限3、利用函数的连续性求极限4、利用单调有界原理求极限5、利用极限的四则运算性质求极限6.利用无穷小的性质求极限7、无穷小量分出法求极限8、消去零因子法求极限9、利用拆项法技巧求极限10、换元法求极限11、利用夹逼准则求极限[3]12、利用中值定理求极限13、利用罗必塔法则求极限14、利用定积分求和式的极限15、利用泰勒展开式求极限16、分段函数的极限1、利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：lim f x A的ε-δ 定义是指：ε>0，δ=δ( x0，ε) >0，0< |x- x0| x x<δ |f(x)-A| <ε 为了求δ 可先对x0 的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A ｜≤φ (x) ( 必然保证φ (x) 为无穷小) ，此时往往要用含绝对值的不｜x+a｜=|(x- x0)+( x0 +a)| ≤|x- x0|+| x0+a| <｜x0 +a｜+δ1 域|x+a|=|(x- x0)+( x0 +a)| ≥| x0 +a|-|x- x0|>| x0 +a|- δ1 从φ(x)<δ 2，求出δ 2后，取δ＝min( δ1，δ2) ，当0<|x- x0 | <δ 时，就有|f(x)-A| <ε.例：设lim x n a 则有 lim x 1x2...xna.n n n证明：因为lim x a , 对，N1N1() ,当n N1 时，x n -a于是当n 2n N1时，x1 x2 (x)nax1 x2 (x)nnan n其中 A x1 a x2 a x N1 是一个定数再由A，n2解得 n 2A,故取N max N1, 2A 当n N时，x1 x2 ... x n +n 2 22、直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为例 1.求分析由于所以采用直接代入法解原式=3、利用函数的连续性求极限定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义区间内的一点，则有 lim f(x) f (x0)。
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极限运算技巧
极限是高等数学中最基本，也是非常重要的内容。
高等数学就是以极限为基本工具，来研究函数的微分和积分。
高等数学中几乎所有的基本概念，如连续、导数、定积分等，都是用极限来描述的。
因此，学好极限，会计算极限，是学好高等数学的一个关键。
我们看到一道极限题的时候，首先是看它的基本形式，是属于什么形式就用什么方法。
一、 不定式。
对于
00、∞
∞、∞⋅0、∞-∞、0
0、∞1、0∞型的不定式，我们常用洛必达法则和两个重要极限来计算，但也不能忽视其它一些技巧的运用。
（一）、恒等变形的运用。
在极限的运算中，常常要进行下面的恒等变形：
（1） 运用因式分解，约简分式；
（2） 运用共轭根式，有理化分子或分母； （3） 运用三角公式，进行恒等变形。
（4） 幂指函数)
()(x b x a =)
(ln )(x a x b e
例1 求极限11lim
22+--+++∞
→x x x x x
解: 这是含有无理根式的∞-∞型不定式，通常先采取有理化的方法来变形。
11lim
22+--+++∞
→x x x x x
=1
1)
11)(11(lim
2
2
2222+-++++-++++--+++∞
→x x x x x x x x x x x x x
=1
12lim
2
2
+-++++∞
→x x x x x
x =221111112
lim
x
x x x x +-+++
+∞
→=1
例2 求极限)tan (sec lim 2
x x x -→
π
解：这是∞-∞型不定式，可利用三角公式变形为0
型，用洛必达法则来解决。
)tan (sec lim 2
x x x -→
π
=)cos sin cos 1(
lim 2
x x x -→
π
=cos sin 1lim 2
x x -→π=x
x x sin cos lim 2
--→π=0
例3 求极限x
x x tan 2
)
(sin lim π
→
解：法一：这是∞
1型，可采用重要极限e x x
x =+→1
)1(lim 来解决，先用三角公式
x x 2cos 1sin -=（π<<x 0）变形。
x x x tan 2
)(sin lim π→=2tan )cos 1(lim 22
x x x -→π=x
x
x x x x cos 2sin )cos (cos 122
2)cos 1(lim ⨯-⨯-→
-π=0e =1 法二：这是幂指函数)
()
(x b x a 的极限问题，可用恒等变形)
()
(x b x a =)
(ln )(x a x b e
解决。
x
x x tan 2
)
(sin lim π
→
=x
x x e
sin ln tan lim 2
π
→
=x x
x e cos sin ln lim
2
π→=x
x x e
2
sin cos lim
-→
π=0e =1
（二） 变量替换的运用。
例4 求极限x
x
x arcsin lim
0→
解： 令x u arcsin =，则u x sin =，且当0→x 时，0→u 。
因此有
x x x arcsin lim 0→==→u
u
u sin lim 0 1
（三） 等价无穷小代换。
等价无穷小代换是最能简化运算的，等价代换的公式主要有：
当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ，2
~
cos 12
2
x x -，x x ~arcsin ，x x ~arctan ， x e x ~1-，x x ~)1ln(+，n
x x n ~
11-+。
需要注意的是等价无穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。
例5
求极限3
0)(arctan sin tan lim
x x
x x -←
解：不能直接用等价无穷小x x ~tan ，x x ~sin 代换，而可用x 代换x arctan 。
30)(arctan sin tan lim x x x x -←=30sin cos sin lim x
x
x x
x -→ =x x x x x cos )cos 1(sin lim
30-→=x x x x x x cos 1cos 1sin lim 2
0⨯
-⨯→=21
（四）泰勒公式的运用。
例6 求极限)23(lim 434323x x x x x --++∞
→
解：)23(lim 4
3
4
3
2
3
x x x x x --++∞→=])2
1()31[(lim 41
31x
x x x --++∞→
=)]1
(2411)1(3311[lim x
o x x o x x x +⋅+-+⋅+
+∞→
=)1)1(23(lim x
x o x ++∞→=2
3
(五) 数列极限转化为函数极限。
例7 求极限n
n n )
1ln(lim
+∞→
解： 这是∞
∞
型不定式，但只有函数形式有洛必达法则，故先计算相应的函数形式的极限。
x x x )
1ln(lim
++∞→=1
11
lim x x ++∞→=0 ∴ n
n n )
1l n (lim
+∞→=0 二、 数列的通项是n 项连加或连乘
因为当n 无限增加时，项数也无限增加，所以不能直接应用和或积的极限运算法则，
常用的方法是先求和或求积，再求极限。
求和除了用求和公式外，通常还有下面两种方法： （一）拆项法； （二）倍和法。
例8 求极限⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+-++⋅+⋅∞→)14)(34(1
951511lim n n n 解： ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++⋅+⋅∞→)14)(34(1
951
511
lim n n n =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--++-+-∞→)141341(41)9151(41511(41
lim n n n =)1411(41lim
+-∞→n n =4
1 例9 求极限 ⎪⎭⎫
⎝
⎛++++∞→n n n 22322
21lim 32
解： 设 n n n n n S 2
21232221132+-++++=
-
则 1222
21232212--+-++++
=n n n n n S 两式相减，得到 n n n S S S -=2 =n
n n
22112-
⎪⎭⎫ ⎝⎛- 因为x x x 2lim
+∞→=2
ln 21lim
x x +∞→=0 所以02
lim =∞→n n n
故2lim =∞
→n n S 三、 运用夹逼准则求极限。
例10 求极限n n n n 2
1
11lim ++
∞
→ 解： 因为当1≥n 时
211121111n
n n n n ++<++
< 且 11lim =∞
→n 1111lim 2=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++
∞
→n
n n 所以 由夹逼准则可得 n n n
n 21
11l i m
++∞
→=1 四、利用级数收敛的必要条件求极限。
例11 求极限n
n n n !lim
∞→
解： 由比值审敛法判定奇数
∑∞
=1
!n n n n 收敛，故n n n n !lim ∞→=0 五、利用无穷小的性质求极限。
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
例12 求极限 x x x ln )1sin(sin lim 0-→
解： 0→x 时 0ln 1
→x
， 为无穷小量。
)1sin(sin -x 为有界量
故0ln )
1sin(sin lim
0=-→x
x x。