函数值域的求法(学生用)

函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多, 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

一、直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。

二、函数单调性法
例求函数
的值域.
（1）求函数
的值域
⑵
⑶
三、基本不等式法
例1 已知
，求函数
的值域。

[来源:#zzst*ep.%com^@]
求函数
的值域。

[中国
四、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数
的值域。

1.求值域：
；
2.求函数y=
的值域.
3．函数
的值域是（）
A．
B．
C．
D．
4、
变式1：当
时，函数
在
时取得最大值，则
的取值范围是______________
变式2：（1）求
最值。

（-----动轴定区间）
（2）求
的最值（----------定轴动区间）
五、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:
例1 求函数
的值域。

六、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例求函数
值域。

七.换元法
1．求函数
的值域．
2.求函数
的值域。

3.函数
的值域为
八、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例求函数
，
，
的值域。

九.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数
的值域
十.数形结合
例、函数
的值域为_____________________.
求函数的值域：
[来源:中#国教育^@出版网*%]
解：
[中~国@%*教^育出版网]
函数的图像如图所示：[来^&源:#中%教*网]
函数的值域为：
.
【点评】（1）对于一些可以较快作出函数的图像的函数，可以直接作出函数的图像，再观察函数的值域。

（2）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图。

[中国*教^&育%#出版网]
2．函数
的值域是（）。

A、
B、
C、
D、R
答：B。

解：如图所示，令
，则有。

问题转化为求椭圆上的点与原点连线的斜率
的最大值和最小值，显然直线y=kx与椭圆相切时k有最值，将y=kx代入椭圆，即(x-4)2+4(kx-3)2=4，也就是(4k2+1)x2-(8+24k)x+48=0，令Δ=(8+24k)2-
4×48(4k2+1)=0，则有
，即。

十一.三角代换
1.已知
是圆
上的点，试求
的值域。

十二、导数法
先利用导数求出函数的单调性，再利用函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域
例已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；[来源~:zzste%p.c&*#om]
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．
[www&.z@zstep~.*c%om][中国^教育&#*~出版网]
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，[中国教育出版网*~&%@]
f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈(0，＋∞)时，
，
的变化情况如下：
x
－0 ＋
↘极小值↗
所以，
在(0，＋∞)上最小值是f＝－.
(2)当x∈时，
单调递减且
的取值范围是；[来源:*中@教&#网~]
当x∈时，
单调递增且
的取值范围是.[中^国教~*育%&出版网]
下面讨论
－m＝0的解：
当m<－时，原方程无解；
当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；[中~国教%@育&出版网*]
当－<m<0时，原方程有两个解．
【点评】对于结构较复杂或高次的函数，一般利用导数法来研究函数的值域。

先利用导数研究函数的单调性，再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域。

复合函数定义域和值域练习题
一、求函数的定义域
1、求下列函数的定义域：
⑴
⑵
⑶
2、设函数
的定义域为
，则函数
的定义域为_ _ _；函数
的定义域为________；
3、若函数
的定义域为
，则函数
的定义域是；函数的定义域为。

4、知函数
的定义域为
的定义域存在，求实数
的取值范围。

二、求函数的值域
5、求下列函数的值域：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑾
6、已知函数
的值域为[1，3]，求
的值。

三、求函数的解析式
1、已知函数
，求函数
，
的解析式。

2、已知
是二次函数，且
，求
的解析式。

3、已知函数
满足
，则
= 。

4、设
是R上的奇函数，且当
时，
，则当
时
=____ _
在R上的解析式为
5、设
与
的定义域是
，
是偶函数，
是奇函数，且
，求
与
的解析表达式
四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间：
⑴
⑵
⑶
7、函数
在
上是单调递减函数，则
的单调递增区间是
8、函数
的递减区间是；函数
的递减区间是
五、综合题
9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
⑴
，
；⑵
，
；
⑶
，
；⑷
，
；⑸
，。

A、⑴、⑵
B、⑵、
⑶ C、⑷ D、⑶、⑸
10、若函数
=
的定义域为
,则实数
的取值范围是（）
A、(－∞,+∞)
B、(0,
C、(
,+∞) D、[0,
11、若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是（）
(A)
(B)
(C)
(D)
12、对于
，不等式
恒成立的
的取值范围是（）
(A)
(B)
或
(C)
或
(D)
13、函数
的定义域是（）
A、
B、
C、
D、
14、函数
是（）
A、奇函数，且在(0，1)上是增函数
B、奇函数，且在(0，1)上是减函数
C、偶函数，且在(0，1)上是增函数
D、偶函数，且在(0，1)上是减函数
15、函数
，若
，则
=
16、已知函数
的定义域是
，则
的定义域为。

17、已知函数
的最大值为4，最小值为—1 ，则
= ，
=
18、把函数
的图象沿
轴向左平移一个单位后，得到图象C，则C关于原点对称的图象的解析式为
19、求函数
在区间[ 0 , 2 ]上的最值
20、若函数
时的最小值为
，求函数
当
[-3,-2]时的最值。