华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-傅里叶级数(圣才出品)
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证明：令 t＝x＋2π，则
同理可证 3．把函数 展开成傅里叶级数，并由它推出
解：函数 f 及其周期延拓函数的图像如图 15-5 所示．
图 15-5 显见 f（x）在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理，f（x）可展开为傅里叶级数，因为
理 13．14（逐项求导）知
g（x），所以级数
的和函数 S（x）
有连续的导函数 g（x）．
§2 以 2l 为周期的函数的展开式
1．求下列周期函数的傅里叶级数展开式： （周期π）； （周期 1）；
（3）
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所以，在（0，2π）内
所以，在（－π，π）内 故
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故 所以，在（－π，π）内
故 从而在区间（－π，π）内
为 f 的傅里叶级数
为f
证明：因为 f 为[－π，π]上的光滑函数，所以 f（x）在[－π，π]上有连续的导函数 又 f（π）＝f（－π），故
即
10．证明：若三角级数
中的系数 满足关系
M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．
证明：设
故
均在（－∞，＋∞）上连续，由
，可知
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解：因为 n＝1，2，…时
所以 性为
，同理可得
，即 f（x）在（－π，π）内的傅里叶级数的特
6．试证函数系 cos nx（n＝0，1，2，…）和 sinnx（n＝1，2，…）都是[0，π]上的 正交函数系，但它们合起来的（5）式不是[0，π]上的正交函数系．（（5）式见教材 ）
证明：对于函数系 cosnx；（n＝0，1，2，…），因为
解：因为 n＝0，1，2，…时，
其中 所以
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从而
同理可求
故
因此，函数 f（x）在（－π，π）内的傅里叶级数的特性是
5．设函数 f（x）满足条件：f（x＋π）＝f（x），问此函数在（－π，π）上的傅里叶级 数具有什么特性？
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所以
时
当 x＝0 时，上式的右端收敛到 0．
（1）当
时，由于
，因此
（2）因为 所以
（3）
时，因
，故
所以
4．设函数 f（x）满足条件：f（x＋π）＝－f（x），问此函数在（－π，π）上的傅里叶 级数具有什么特性．
及其周期延拓的图像如图 15-3 所示，
显见 因为
图 15-3 在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
所以在（－π，π）内， （ii）函数 f（x）及其周期延拓的图像如图 15-4 所示，
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8．求函数 的傅里叶级数展开式，并应用它推出
解：利用上一题第 3 小题的结论可知在（0，2π）内 又因为 所以由收敛定理可得 x＝0 时，上述展开式右端收敛于
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从而
9．设 f 为[－π，π]上的光滑函数，且 的导函数 的傅里叶系数，证明
又 n＝0 时，cosnx＝1，
时，
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所以，在三角系 cosnx（n＝0，1，2，…）中，任何两个不相同的函数的乘积在[0，π]上 的积分都等于零，而任何一个函数的平方在[0，π]上的积分均不为零，所以函数系 cosnx （n＝0，1，2，…）为[0，π]上的正交函数系．
对于 sinnx（n＝1，2，…），因为 m≠n 时，
所以函数系 sinnx（n＝1，2，…）也是[0，π]上的正交函数系． 对于函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx，…，因为
所以该函数系不是[0，π]上的正交函数式． 7．求下列函数的傅里叶级数展开式：
解：（1）将 f（x）进行周期延拓，又因 f（x）在（0，2π）内按段光滑，故由收敛定 理，f（x）可展开为傅里叶级数，
所以在区间（0，2π）内，有
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（2）在[－π，π]上 所以
所以在区间（－π，π）内 在 x＝π或 x＝－π时，上式右端收敛于 所以在闭区间[－π，π]上
所以在区间（－π，π）内， （ii）函数 f（x）及其周期延拓的图像如图 15-2 所示，
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图 15-2
显然 f（x）在（0，2π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
因为
所以在（0，2π）内，
（2）（i）函数
图 15-4 显见 f（x）在（0，2π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数， 因为
所以在（0，2π）内， （3）函数 f（x）及Biblioteka Baidu延拓后的函数是按段光滑的，由收敛定理可知 f（x）可在（－π，
π）内展成傅里叶级数， 因为
所以在区间（－π，π）上，
2．设 f 是以 2π为周期的可积函数，证明对任何实数 c，有
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第 15 章 傅里叶级数
§1 傅里叶级数
1．在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数：
解：（1）（i）f（x）及其周期延拓的图像如图 15-1 所示，
图 15-1 显然 f（x）在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数， 因为
的每一项
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且级数
收敛，故级数
在（－∞，＋∞）上一致收敛，记
又因为 所以
，且 n≥1 时 在（－∞，＋∞）上均连续，且
及级数
收敛，故可得级数
收敛且一致收敛，记
，
由定理 13．12（连续性）可知，该级数的和函数 g（x）在（－∞，＋∞）上连续．又由定
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证明：令 t＝x＋2π，则
同理可证 3．把函数 展开成傅里叶级数，并由它推出
解：函数 f 及其周期延拓函数的图像如图 15-5 所示．
图 15-5 显见 f（x）在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理，f（x）可展开为傅里叶级数，因为
理 13．14（逐项求导）知
g（x），所以级数
的和函数 S（x）
有连续的导函数 g（x）．
§2 以 2l 为周期的函数的展开式
1．求下列周期函数的傅里叶级数展开式： （周期π）； （周期 1）；
（3）
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所以，在（0，2π）内
所以，在（－π，π）内 故
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故 所以，在（－π，π）内
故 从而在区间（－π，π）内
为 f 的傅里叶级数
为f
证明：因为 f 为[－π，π]上的光滑函数，所以 f（x）在[－π，π]上有连续的导函数 又 f（π）＝f（－π），故
即
10．证明：若三角级数
中的系数 满足关系
M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．
证明：设
故
均在（－∞，＋∞）上连续，由
，可知
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解：因为 n＝1，2，…时
所以 性为
，同理可得
，即 f（x）在（－π，π）内的傅里叶级数的特
6．试证函数系 cos nx（n＝0，1，2，…）和 sinnx（n＝1，2，…）都是[0，π]上的 正交函数系，但它们合起来的（5）式不是[0，π]上的正交函数系．（（5）式见教材 ）
证明：对于函数系 cosnx；（n＝0，1，2，…），因为
解：因为 n＝0，1，2，…时，
其中 所以
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从而
同理可求
故
因此，函数 f（x）在（－π，π）内的傅里叶级数的特性是
5．设函数 f（x）满足条件：f（x＋π）＝f（x），问此函数在（－π，π）上的傅里叶级 数具有什么特性？
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所以
时
当 x＝0 时，上式的右端收敛到 0．
（1）当
时，由于
，因此
（2）因为 所以
（3）
时，因
，故
所以
4．设函数 f（x）满足条件：f（x＋π）＝－f（x），问此函数在（－π，π）上的傅里叶 级数具有什么特性．
及其周期延拓的图像如图 15-3 所示，
显见 因为
图 15-3 在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
所以在（－π，π）内， （ii）函数 f（x）及其周期延拓的图像如图 15-4 所示，
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8．求函数 的傅里叶级数展开式，并应用它推出
解：利用上一题第 3 小题的结论可知在（0，2π）内 又因为 所以由收敛定理可得 x＝0 时，上述展开式右端收敛于
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又 n＝0 时，cosnx＝1，
时，
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所以，在三角系 cosnx（n＝0，1，2，…）中，任何两个不相同的函数的乘积在[0，π]上 的积分都等于零，而任何一个函数的平方在[0，π]上的积分均不为零，所以函数系 cosnx （n＝0，1，2，…）为[0，π]上的正交函数系．
对于 sinnx（n＝1，2，…），因为 m≠n 时，
所以函数系 sinnx（n＝1，2，…）也是[0，π]上的正交函数系． 对于函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx，…，因为
所以该函数系不是[0，π]上的正交函数式． 7．求下列函数的傅里叶级数展开式：
解：（1）将 f（x）进行周期延拓，又因 f（x）在（0，2π）内按段光滑，故由收敛定 理，f（x）可展开为傅里叶级数，
所以在区间（0，2π）内，有
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（2）在[－π，π]上 所以
所以在区间（－π，π）内 在 x＝π或 x＝－π时，上式右端收敛于 所以在闭区间[－π，π]上
所以在区间（－π，π）内， （ii）函数 f（x）及其周期延拓的图像如图 15-2 所示，
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图 15-2
显然 f（x）在（0，2π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
因为
所以在（0，2π）内，
（2）（i）函数
图 15-4 显见 f（x）在（0，2π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数， 因为
所以在（0，2π）内， （3）函数 f（x）及Biblioteka Baidu延拓后的函数是按段光滑的，由收敛定理可知 f（x）可在（－π，
π）内展成傅里叶级数， 因为
所以在区间（－π，π）上，
2．设 f 是以 2π为周期的可积函数，证明对任何实数 c，有
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第 15 章 傅里叶级数
§1 傅里叶级数
1．在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数：
解：（1）（i）f（x）及其周期延拓的图像如图 15-1 所示，
图 15-1 显然 f（x）在（－π，π）内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数， 因为
的每一项
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且级数
收敛，故级数
在（－∞，＋∞）上一致收敛，记
又因为 所以
，且 n≥1 时 在（－∞，＋∞）上均连续，且
及级数
收敛，故可得级数
收敛且一致收敛，记
，
由定理 13．12（连续性）可知，该级数的和函数 g（x）在（－∞，＋∞）上连续．又由定