全国高中数学联赛平面几何题

全国高中数学联赛平面几何题

1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．

2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；

(2) OH ⊥MN ．

3.(2002)

4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ．

A

B C D

E F

M N

5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。

6.(2005)

7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点

C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0

为半径作圆弧P 0Q 0⌒

交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0

为半径作圆弧Q 0P 1⌒

交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1

为半径作圆弧P 1Q 1⌒

交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1

为半径作圆弧Q 1P 0'⌒

，交AB 0的延长线于P 0'. 试证：

⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒

相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆．

P

B 1

B 0

C 1P 1

P 0

Q 1Q 0

A

C 0

8.(2007)如图，在锐角△ABC 中，AB

9.(2008)如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．

（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；

（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：

3AE AB =，31BC EC =-，1

2

ECB ECA ∠=∠，

又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．

O 2

O 1

F E P

A

答一图1

参考答案1.(2000)证明：连结MN 、BD ，

∵FM ⊥AB ，FN ⊥AC ，∴A ，M ，F ，N 四点共圆. ∴∠AMN=∠AFN , ∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°，即MN ⊥AD.

∴S AMDN =

2

1

AD ·MN ∵∠CAF=∠DAB ，∠ACF=∠ADB ， ∴△AFC ∽△ABC ⇒⇒=AD

AC

AB AF AB ·AC=AD ·AF .

又AF 是过A 、M 、F 、N 四点的圆的直经，

∴BAC

MN

∠sin =AF ⇒AF sin ∠BAC=MN. ∴21=∧abc S AB·AC·sin∠BAC=21 AD·AF·sin∠BAC=2

1

AD·M N

=S AMDN

2.．(2001)证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC

又∠OBC ＝2

1

(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC ∴OB ⊥DF ．

(2)∵CF ⊥MA ∴MC 2

－MH 2

＝AC 2

－AH 2

① ∵BE ⊥NA

∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2

② ∵DA ⊥BC

∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2

③ ∵OB ⊥DF

∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2

④ ∵OC ⊥DE

∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2

⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得

NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH

∴OH ⊥MN

另证：以BC 所在直线为x 轴，D 为原点建立直角坐标系，

设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，则 b

a k c a k AB AC -=-

=, ∴直线AC 的方程为)(c x c a y --=，直线BE 的方程为)(b x a

c

y -=

由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=-=)()(c x c a y b x a

c y 得E 点坐标为E (2

222222,c a abc ac c a bc c a +-++) 同理可得F (2

222222,b a abc

ab b a c b b a +-++)

直线AC 的垂直平分线方程为)2(2c x a c a y -=- 直线BC 的垂直平分线方程为2

c

b x +=

由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=

-=-2)2(2c b x c x a c a y 得O (a a bc c b 2,

22++) bc

a ac a

b

c b b a abc ab k ab

ac a bc b c b a a bc k DF

OB

+-=+-=-+=

-++=222222

,2

2 ∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ．

在直线BE 的方程)(b x a c

y -=

中令x ＝0得H (0，a

bc -

) ∴ac ab bc a c b a bc a a bc k OH ++=++

+=32

222

直线DF 的方程为x bc

a ac

ab y +-=2

由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)(2c x c a y x bc

a ac a

b y 得N (2

2222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++) 同理可得M (2

22

22222,2b bc a ab abc b bc a c b b a -+--++)

∴bc

a ac

ab bc a bc a b c bc a c b a k MN

3)3)()(())((2

22222++-=++-+-= ∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ． 4. (2003)．证明：联结AB ，在△ADQ 与△ABC 中，∠ADQ =∠ABC ，∠DAQ =∠PBC =∠CAB 故△ADQ ∽△ABC ，而有

AD

DQ

AB BC =

，即BC ·AD ＝AB ·DQ