导数计算公式

、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1) y = f(x) = c ； (2) y =

f(x) = x ； (3) y = f(x) = x 2

；⑷ y =

1

f(x)二x ； (5) y 二f(x)二：'x.

1

提示：：(2)( x)'二 1 • x

1 —1

, (3)(x 2

)'二 2 • x 2— 1

, (5)( x)z 二(x 2

)

1_

-1

1 2 -2x

1

a

a —

1

基本初等函数的导数公式

提示：(1) V △ y f x +△ —f △ x — △ x

0.

2)( x)'二 1,

3( x 2

) '=2x ,

1 ⑷x

函数

⑵(3)(5) 均可表示为y = a , x ( a

x c — c

, △ y —=U = °，二y =吹不

，一 1

(5)( &)衣

€ Q *)的形式，其导数有何规

律?

问题：上述函数的导数是什么?

、导数运算法则

1

已知 f(x) = X , g(x)=-.

入

问题1： f(x), g(x)的导数分别是什么?

问题2：试求Q(x) = x + -, H(x) = x — 1的导数.

x

x

提示： 1 1 —A x •••△ y = (x +A x) + X +A x — x + x =A x + x x +A x ,

fx 二 1 - x x +A x ， •- Q (X)二吹0 lx 二吹0

=1 —1 同理 H'(x) = 1+1

x / X

问题3: qx), H(x)的导数与f(x), g(x)的导数有何关系?

提示：Q(x)的导数等于f(x), g(x)导数的和，H(x)的导数等于f (x), g(x)导数的差.

1 x x +A x

导数运算法则

1. [f (X) ±g(x)] '= f '(x) ±g '(x) 2・[f(x) • g(x)] f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

x

(g(x)工 0) 题型一利用导数公式直接求导

x

(1)y = 10; (2)y = lg x ；⑶ y log ! x ；

2

1

[解](1)y '二(10)'二 10x ln 10 ; (2)y '二(lg x)'二 xn^y ；

(sin x) ' = cos x.

练习求下列函数的导数:

(1) y 二 e x ； (2) y 二 10 x ； (3) y 二lg 5; (4) y = 3lg ^x ； (5) y = 2cos 笃一

2

.x cos- 1 sin 2 2

(4)y 二 4x 3

; (5) y

x

[g

［例1］求下列函数的导数: sin

1 = -

xln 2 ；

xln 2

x 2+ cos 2

—1 = ⑷y '=(扳3

)

⑸••• y 二

与+ 2sin

x x 2x ^cos^ + cos 2 — 1 =

3

1 — |n 10

店和= 而 =—10—

x

ln 10 ； (3) T y = Ig 5 是常数函数，二 y '二(Ig

5) '= 0;

⑷••• y 二3lg 眾二 Ig x,••• y '= (Ig x)'二 xl 门為；(5) v

y =

2cos%— 1 = cos x ,

••• y '= (cos x) '=— sin x.

题型二 利用导数的运算法则求函数的导数

［例2］求下列函数的导数：

3 x

x x 2

e +1 (1) y = x •e ; (2) y=x — sin qcosq; (3) y = x + Iog 3x ；⑷ y = •

［解］(1) y ' = (x 3) ' e x + x 3(e x ) ' = 3x 2e x + x 3e x = x 2(3 + x)e x .

1 , , 1 ,1

(2) ■/y = x — QS in x ,「. y = x — q(sin x) = 1 — qcos x.

二(x 2

)' + (Iog 3x)'二 2x + 扁

x .

e + 1

—2e

x

e x — 1

练习求下列函数的导数:

解：⑴y '=

1x 1 1

=_ In _ = _ r= — e

e e e

10

1 10

⑶ y '二(x 2

+ Iog 3x)

COS x L 1 +A /x 1 -J x

(1)y = —；⑵ y=xsin x+G ； (3)y 二+ ~1^j X ；⑷ 丫二 © X

x 2

.

sin x — cos x xsin

⑵ y '— (xsin x) '+ ( . x)

1

—sin x + xcos x +——.

2\jx

题型三导数几何意义的应用

[例3] （1）曲线y — — 5e ix x + 3在点（0，— 2）处的切线方程为 . ⑵ 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ： y — x 3— 10x + 13上，且

在 第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为

［解析］(1)y ' —— 5e x ,「.所求曲线的切线斜率k — y ' | x —。— — 5e 0

— — 5,

二切线方程为 y — ( — 2) — — 5(x — 0)，即 5x + y + 2— 0.

2

——

x

cos x

x

cos x • x — cos x • x (3) v y

— 1+込

1 — x

2 +

2x

—4 1 — x — 2 —

2

.

, 1 ⑷ y — ig x —

—

(ig x )

丄，—1

2

x

2 —

xln 10 +

F

x + cos x