转动惯量

dm 2 rdr l
dJ r dm 2 lr dr
2 3
l
O
r
dr
R
J dJ
R
0
1 2 lr dr R 4l 2
3
m 由于 2 R l
1 2 则有 J mR 2
可见，转动惯量与厚度 l 无关。所以，实心圆柱对 其轴的转动惯量与圆盘的相同。
l N x macx m 2
距。 —— 定轴转动定律 转动惯量是刚体绕定轴转动惯性大小的度量。
与牛顿第二定律 F ma 相比，地位相当。
M 在定轴转动中， 和 均沿转轴方位。
瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。
3、沿定轴的角动量守恒定律 当
M z 0 时， Lz J 常量
对于形变物体，转速与转动惯量成反比。即
若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转 动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。 即 z
J Ji
m1 l
例如：有质量为 m1 ,长 为 l 的均质细杆和质 量为 m2 ，半径为R 的 匀质球体组成的刚体， 对Z轴的转动惯量为
m2 R
J z J杆 J球
1 2 2 2 2 m1l m2 R m2 l R 3 5
垂直轴定理
对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动 惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互 正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。 z
J z Jx J y
例如：薄盘绕直径的转动 惯量
o
y
1 2 J z J x J y mR 2 1 2 J x J y mR 4
x
组合定理
圆环： 转轴通过中心与环面垂直
转轴沿直径
圆筒： 薄圆盘： 转轴通过中心与盘面垂直 转轴沿几何轴
圆柱体： 转轴沿几何轴
圆柱体： 转轴通过中心与几何轴垂直
细棒： 转轴通过中心与棒垂直
细棒： 转轴通过端点与棒垂直
球体： 转轴沿直径
球壳： 转轴沿直径
5.3 定轴转动的基本方程
5.3.1 基本方程
刚体作定轴转动时，自由度是一个。即确定 刚体的位置只需一个独立变量 — 角坐标，因而需 要一个动力学方程 — 角动量定理
F
力的作用线过质心
力的作用线不过质心
（平动）
（平动加转动）
施于刚体的力是滑移矢量 B F A F
力沿作用线滑移不改变作用效果
作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线 A F
F
d
c
F
施于刚体的力等效于一作用线过质心 的力 F（平动）和一力偶 F 和 F （转动）
平 动 转 动
刚体运动
A
c
c
A
（质点A既随质心平动又绕质心转动）
刚体运动微分方程式
质心运动定理
刚体质心运动（平动）
角动量定理 动能定理
刚体的取向与方位（转动）
刚体运动积分方程式
刚体的平动和转动

作用于刚体上的力 力的 两种效果
使质心平动 绕质心转动
施于刚体的力不是自由矢量
B A
F
B A
d d d d dt d dt d
所以，分离变量并积分得：
因为
3g cos 2l
1 1 2 mg l cos ml 2 3
m,l
o



0
3g d 2l


c
0
cos d
3g sin l
mg
方法二，利用动能定理求 ，求导数得 。 重力矩作功：
5.2 转动惯量及其计算
1、转动惯量：反映刚体在转动中的惯性。 定义 （单位： kg m ）
2
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的 质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
若质量连续分布
J r dm
2
线分布
面分布
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
体分布
dm dl
dm ds
F1 r12 r12 ⊥ dr12
r12 r1 r2
F2
2
r2
如图所示：设 Fi 为刚体所受的任一个外力，当刚体 , 沿轴方向的 转过 d角时, 作用点的元位移为 ds 分力 F 不做功，法向分力F 不作功，只有切向分力F iz in i 作功。即 Fiz Fi Fiz Fi z Fiz Fin n Fi Fi
4、刚体定轴转动的动能定理

2
1
1 1 2 2 Md J 2 J1 2 2
刚体在作定轴转动的过程中，其转动动能的 增量等于刚体所受的沿定轴方向的合力矩对刚体 所作的功 — 称为定轴转动的动能定理。
5、机械能守恒定律 如果仅有保守力对定轴转动的刚体做功，则其 机械能守恒，即转动动能与势能的总和为常量。 若质量为m的刚体，仅在重力场中作定轴转动， 以yc表示刚体质心的竖直坐标，则机械能守恒方程 为
将方程
1 1 1 2 2 mgl sin ml 2 2 3
两边对时间求导数得
d 2 d g cos l dt 3 dt
d 3 g cos dt 2l
（2）当杆摆到竖直位置时，

2
。
3g l
0
由质心运动定理得
本章将介绍一种特殊的质点 系—刚体—所遵从的力学规律。 它实际上就是质点系的基本原 理在刚体上的应用。重点是定 轴转动，重要的概念是转动惯 量。
刚体运动概述：
刚体——一种特殊质点系
质点
刚 体
质点系
刚体：在任何情况下形状和大小都不变的物体。即任 意两质点之间的距离保持不变的质点系（理想模型）。
3、外力的功 — 力矩的功
dAi Fiz Fin n Fi ds
一个外力元功为


o
ri
d
Fi ds Fi ri d M i d
Fi Fin
Fi z
所有外力的总功为
A
2
1
M d
i
2
1
Md
力矩的功
J1 2 1 J2
o
o
1
2
5.3.3 定轴转动的动能定理
由于刚体是质点系，满足质点系的动能定理。即
Ae Ai Ek 2 Ek1
1、刚体转动动能

z
1 1 2 质元动能： Eki mi vi mi ri 2 2 2 2
刚体的转动动能：
ri
vi mi
1 2 2 1 Ek mi ri mi ri 2 2 2 2

刚体 —— ?个自由度
自由度——为确定该力学系统的位置所需要的独立 变量的个数。（若运动受到约束，自由度将减少） 一个自由质点： 一个自由刚体： 三个自由度 六个自由度 三个平动自由度
三个转动自由度
注：不共线的三点可以确定刚体 的位置（9个），而任意两个来自 点间的距离都保持不变（6个）。

刚体的运动形式
A Md 0
由动能定理：


0
l 1 mg cos d mgl sin 2 2
1 1 mgl sin J 2 0 2 2 1 1 2 2 ml 2 3
m,l
o

c
3g sin l
本题也可用机械能守恒定律计算
mg
dLz Mz dt
5.3.2 对定轴的转动定理
1、对定轴的角动量

2

Lz J i mi ri J
即
r v mi
Lz J
2、转动定理 由于刚体的转动惯量为常量，所以有
dLz d Mz J J dt dt
即
Mz J
当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动 惯量与角加速度的乘积等于外力对此轴的合力
1 2 Ek J 2
2、内力的功为零
以刚体内两质点为例， 讨论一对内力的功。
F1
1
质点1： dA1 F1 dr1 r1 质点2： dA2 F2 dr2 o dA12 F1 dr1 F2 dr2 F1 d r1 r2 F1 F1 dr12 r12 dr12 0 r12
P
v r
矢量式
a r
an r
2
dv d a ( r ) r v dt dt 即 a a an r v
可见，刚体各质元的角量相同，线量一般不同。
v r
角坐标 ：确定刚体的位置
运动学方程：
z
t
d dt
角速度 ：描述转动的快慢
P
x
角加速度 ：描述角速度变化的快慢
d d 2 dt d t
2
z
r
v
P
角速度是矢量，方向规定为沿轴方向，指向用右
手螺旋法则确定：右手四指沿刚体转动方向，伸直 的大拇指的指向为角速度的方向。对于刚体定轴转 动，角速度的方向只有两个，规定逆时针方向为正， 角速度方向可用正负号表示。 加速转动 方向一致 减速转动 方向相反
（3） 球体绕其直径的转动
将均质球体分割成一系 列彼此平行且都与对称轴垂 直得圆盘，则有 1 J O dm r 2 2 1 r 2 dz r 2 2 R 1 ( R 2 z 2 )2 dz R 2 8 2 2 即 R mR 2 15 5