分数拆项与裂项
六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
常见裂项技巧
常见裂项技巧一、什么是裂项？在数学中，裂项是指将一个求和式中的每一项拆分成两个或多个部分，然后通过重新排列这些部分以达到简化或变形的目的。
裂项技巧广泛应用于各个数学分支中，尤其在级数求和、极限计算、微积分等领域中常见。
二、为什么要使用裂项技巧？使用裂项技巧可以使原本复杂的求和式或极限计算变得更加简单，从而方便进行后续的推导和计算。
裂项技巧可以改变原始问题的形式，通过引入新的项或变量，将原问题转化为更易处理的形式。
此外，裂项技巧还可以帮助我们发现隐藏的规律和性质，从而得到更深入的数学理解。
三、常见的裂项技巧1. 二项式展开二项式展开是一种常见的裂项技巧，通过利用二项式系数的性质，将一个复杂的幂函数表达式展开成一个求和式。
二项式展开的公式如下：(a+b)n=C0n a n+C1n a n−1b+C2n a n−2b2+...+C n n b n其中，C k n表示第k个二项式系数，可以通过组合数的求解公式计算得到。
通过二项式展开，我们可以求解各种多项式的值，并且在某些情况下可以发现一些隐藏的数学规律。
2. 分数拆项分数拆项是一种常见的裂项技巧，通过将一个分数表达式拆分成两个或多个部分，从而使得求和或计算更为方便。
分数拆项常用的方法有部分分式分解、分子拆项和分母拆项等。
例如，我们可以将一个分数表达式拆分成若干简单的分数之和，然后进行逐项求和。
这样做的好处是将原本复杂的分数拆分成多个简单的分数，从而方便进行计算。
3. 周期性裂项周期性裂项是一种常用的裂项技巧，适用于一些具有周期性性质的数列或函数。
通过将周期性数列或函数拆分成多个部分，并利用其周期性特点，可以简化计算或得出结论。
例如，我们可以将一个周期性数列拆分成若干个重复的子序列，并通过观察子序列的性质得出整个数列的求和或极限等结果。
4. 分段函数裂项分段函数裂项是一种常见的裂项技巧，适用于一些具有分段定义的函数。
通过将分段函数拆分成多个部分，并分别考察每个部分的性质，可以方便地进行计算和推导。
奥数专题：分数的拆分及裂项综合运算(含解析)印刷版
一．填空题（共 8 小题）
1．计算： ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ＝
．
2．
+
+
+…+
＝
．
3．设 A、B 为自然数，并且满足 + ＝ ，A+B＝
．
4．我们把分子为 1 的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如
，
请将 分成两个分母不同的单位分数之和： ＝
．
答：这三个数的和为 15． 故选：B． 三．判断题（共 1 小题） 11． + ＝ ， + + ＝ ，则 C＝3 √ （判断对错）
【分析】把 + ＝ 代入 + + ＝ 中，可得 + ＝ ，所以 ＝ ﹣ ＝ ，所以 C＝3．
根据以上规律计算： （1） （2）
，…
五．解答题（共 5 小题） 21．在“括号”中填入同一个数，可使算式成立： + ＝ 。
22． + + ＝ ．
23．请先阅读下列材料：因为 1﹣
；
，
所以：
，
，……
请你根据以上材料提供的信息，求
的值．
24．
．
3
25．阅读理解题：求
的值可用下面的两种方法：
方法一：
方法二：通过画图发现
【解答】解：1﹣
＝
；
1﹣
＝
；
1﹣
＝
＝
；
因为
＞
＞
，
因此
＞
＞＝
，
7
所以
＜
＜
．
即 b＞c＞a． 故答案为：b，c，a． 二．选择题（共 2 小题） 9． + + + +……+ + ＝（ ）
分数拆项与裂项
分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论：0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。
裂项求和法的知识点总结
裂项求和法的知识点总结一、裂项求和法的基本思想裂项求和法的基本思想是将原来的级数拆分成若干个部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
这种方法在求解级数时非常有效，可以将复杂的级数变成简单的级数来求解。
二、裂项求和法的常用技巧裂项求和法的常用技巧包括：拆项、分组求和、 Telescoping 等。
1. 拆项：拆项是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中的每一项拆分成两个或多个部分，然后再进行求和。
拆项的目的是为了将原级数转化为一个更易求解的级数。
拆项的具体操作可以根据级数的特点来灵活运用。
2. 分组求和：分组求和是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数分成若干个相互独立的部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
分组求和的具体操作可以根据级数的特点和要求来选择合适的分组方法。
3. Telescoping：Telescoping 是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中相邻的两项进行变形，从而使得这些项之间的差分项能够互相抵消，最终得到一个简单的级数。
Telescoping 的具体操作包括变形、抵消、整理等。
三、裂项求和法的应用范围裂项求和法在数学中有着广泛的应用范围，包括但不限于如下几个方面：1. 求解收敛级数：裂项求和法可以帮助我们求解各种类型的收敛级数，包括数值级数、幂级数、级数和等。
通过拆项、分组求和、 Telescoping 等技巧，可以将复杂的级数转化为简单的级数来求解。
2. 求解发散级数：裂项求和法也可以帮助我们对发散级数进行求解。
虽然发散级数本身没有定义和，但是通过一些技巧，可以使其在某种意义下有意义，从而得到发散级数的和。
3. 实际应用：裂项求和法在实际应用中也有着广泛的应用。
例如在物理、工程、经济等领域，经常需要求解各种级数，裂项求和法可以帮助我们快速、准确地求解这些级数，为实际问题的解决提供有力的支持。
四、裂项求和法的注意事项在使用裂项求和法时需要注意以下几个方面：1. 根据级数的特点选择合适的技巧：在使用裂项求和法时，需要根据级数的特点和要求来选择合适的技巧。
小学奥数教程-分数裂项计算 (含答案)
教师版
page 2 of 17
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 × (1 − 1 + 1 − 1 + … + 1 − 1 ）= 50
1×3 3×5 5× 7
99 ×101 2 3 3 5
99 101 101
【答案】 50 101
【巩固】 计算：
【考点】分数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 =1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
【答案】 1 2
【例 4】 计算： (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ×128 = 8 24 48 80 120 168 224 288
【答案】12
【巩固】 251 + 251 + 251 + + 251 + 251
4 × 8 8 ×12 12 ×16
2000 × 2004 2004 × 2008
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式
=251 16
×
1 1×
2
+
2
1 ×
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
(完整word版)六年级奥数分数裂项
分数裂项计算教课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，能够分为察看、改造、运用公式等过程。
好多时候裂项的方式不易找到，需要进行适合的变形，或许先进行一部分运算，使其变得更为简单了然。
本讲是整个奥数知识系统中的一个精髓部分， 列项与通项概括是密不行分的，因此先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这类拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
碰到裂项的计算题时，要认真的 察看每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的同样的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相像部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前方， 即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大重点特点：（ 1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，可是只需将 x提拿出来即可转变为分子都是1 的运算。
（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的中心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。
奥赛小学数学竞赛：分数裂项.教师版解题技巧培优易错难
18 2
90
1
3
7
3
4
3
5
5
7
9
13
3
7
1
1
1
1
1
1
1
4
6
1
1
2
3
3
5
7
9
12
13
3
46
3
1
8=23
24
4
2
9
36
【答案】23
36
【例7】计算：
1
2
1
1
4
1
L
20
1
1
6
3
20
2
12
420
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【要点词】小数报，初赛
【分析】原式
123L 20
1
1
1
1
L
1
2
6
12
20
提拿出来即可转变为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常有的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）a
b
ab1
1
（2）a2
b2
a2
b2
a
b
a
b
a b a b b
a
a b
a b a b b
的计算， 一般都是中间部分消去的过程，
这样的话， 找到相邻两项的相像部分，
让它们消去才是最根本的。
(1)关于分母能够写作两个因数乘积的分数，
分数的裂项公式
分数的裂项公式分数的裂项公式是一种重要的数学公式，它可以将一个分数拆分成若干个分数的和，从而简化计算。
在学习和应用该公式时，需要理解其基本概念，掌握运用技巧，并注意一些常见的注意事项。
首先，我们来看一下裂项公式的基本概念。
裂项公式是指，对于任意一个分数a/b，可以将其拆分成若干个形如c/d的分数之和，即：a/b = c1/d1 + c2/d2 + … + cn/dn其中，c1、c2、…、cn和d1、d2、…、dn分别为分子和分母，它们满足以下条件：1. 所有的ci和di都应为正整数；2. 分子和分母的最大公约数为1，即gcd(ci, di) = 1；3. 所有的di均不为0。
其次，我们来讨论一下裂项公式的运用技巧。
在实际应用中，我们通常根据分母的因数来分解分数，具体步骤如下：1. 对于分数a/b，我们先找出它的一组互质的分母d1、d2、…、dn，使得d1 × d2 × … × dn = b；2. 根据这组分母，我们分别将a/b表示成如下形式：a/b = (a × d1)/(b × d1) + (a × d2)/(b × d2) + … + (a × dn)/(b × dn)3. 然后，我们对每个拆分分数进行简化，即求出它们的最简形式；4. 最后，将这些最简形式的分数相加，得到a/b的裂项表达式。
需要指出的是，裂项公式的应用不仅局限于分式的计算，还可以在一些数学问题中起到很好的辅助作用。
例如，在求解一些无理数的连分数表示时，就可以利用裂项公式将无理数拆分成分数的和，进而得到连分数的展开式。
最后，我们来谈一谈在应用裂项公式时需要注意的一些事项。
首先，要保证拆分的所有分数都是正整数，而且每个分数的分母都不为0。
其次，为了简化计算，应该选择一个合适的分母进行拆分，以尽量减小后续计算的难度和错误率。
此外，在进行裂项计算时，还应避免因未简化分数而造成计算错误，以及注意计算结果的范围是否正确。
特殊分数法
特殊分数法【原创版】目录1.特殊分数法的定义与概念2.特殊分数法的分类3.特殊分数法的性质与应用4.特殊分数法的举例与计算方法5.特殊分数法的优点与局限性正文特殊分数法是指一种特殊的数学计算方法，主要用于解决一些复杂的数学问题，尤其是与分数有关的问题。
这种计算方法具有较高的实用性，可以帮助学生更简便地解决数学问题，提高计算效率。
特殊分数法主要分为以下几类：1.拆项法：将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算。
2.通分法：将两个或多个分数的分母通分，以便于进行加减运算。
3.裂项法：将一个分数拆分成两个或多个分数的积，以便于计算。
4.倒数法：求一个分数的倒数，然后将原分数与倒数相乘，得到一个整数，以便于计算。
特殊分数法具有以下性质与应用：1.结合律：对于任意分数 a/b 和 c/d，有 (a/b) × (c/d) = (a ×c) / (b × d)。
2.交换律：对于任意分数 a/b 和 c/d，有 (a/b) × (c/d) = (c/d) × (a/b)。
3.分配律：对于任意分数 a/b、c/d 和 e/f，有 (a/b) × (c/d + e/f) = (a/b) × (c/d) + (a/b) × (e/f)。
特殊分数法的举例与计算方法：1.拆项法举例：计算分数 3/5 + 2/3，可以先将两个分数通分，得到9/15 + 10/15，然后将分子相加，得到19/15。
2.通分法举例：计算分数 2/3 - 1/4，可以先将两个分数的分母通分，得到8/12 - 3/12，然后将分子相减，得到5/12。
3.裂项法举例：计算分数 1/2 + 1/4 + 1/8，可以采用裂项法，将每个分数拆分成两个分数的积，得到(1/2) × (1/2) + (1/4) × (1/2) + (1/8) × (1/2)，然后将所有分数相加，得到 7/8。
初中数学简便计算方法技巧
初中数学简便计算方法技巧
初中数学的简便计算方法有很多，下面列举部分方法供参考：
- 运算律：包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配率。
- 拆项法：将分数拆成“1-”的形式，这种情况通常分子和分母的值相差为1或2；或者把整数拆成两数之和的形式，被拆后的一个数和分数的分母成倍数关系，再利用乘法对加法的分配率进行化简计算。
- 裂项相消法：将算式中的项进行拆分，拆成两个或多个数字的和或差，拆分后的项前后可以相互抵消。
- 分子分母约分法：将分数化简，约分后计算更简单。
- 方程左右两边相同因数相消法：若方程左右两边有相同的因数，可以将其消去后再进行计算。
- 字母代换法：若式子较为复杂，但包含相同的部分，可以先用字母代替，化简后再代入字母的值进行计算。
小学奥数教程：分数裂项计算 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小六数学第13讲：分数裂项与分拆
第十三讲分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：③对于分子不是1的情况我们有：2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”③分母上几个因数间的差是一个定值。
3.复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
4. “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：①②裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
爱提分计算第04讲分数基本裂项
知识图谱计算第04讲_分数基本裂项-一、基本裂项基本裂差（乘系数、分离整数）基本裂和一：基本裂项知识精讲一．单位分数单位分数是指分子为1的分数．每个分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，比如：，，．二．分数裂项由，发现，结果的分母都是单位分数分母的乘积，分子一个是单位分数分母的和，另一个是单位分数分母的差．那反过来，如果一个分数可以写成或者的形式，我们就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或差．这个拆分过程叫做“裂和”和“裂差”．1．裂和（有加有减）：（k是奇数）（k是偶数）2．裂差（符号相同）：．（k是奇数）三点剖析重难点：分数裂项公式及基本应用．题模精讲题模一基本裂差（乘系数、分离整数）例1.1.1、计算：．答案：解析：原式．例1.1.2、_______________．答案：解析：．例1.1.3、________．答案：解析：．例1.1.4、________．答案：解析：分数裂项；．例1.1.5、计算：（1）；（2）；答案：（1）（2）解析：（1）原式．（2）原式．例1.1.6、满足下式的自然数n最小等于__________．答案：2016解析：左，故，，．例1.1.7、计算：（1）；（2）．答案：（1）（2）解析：（1），，……，，故原式．（2）整数部分和为，分数部分和为，故原式值为．例1.1.8、计算：_______________．答案：14解析：例1.1.9、．（改自2010年4月18日考试真题）题模二基本裂和例1.2.1、计算：__________．答案：解析：例1.2.2、将下面的分数拆成两个单位分数的和或者差（横线上填“+”或“—”）：，，，，，，．答案：，，，，，，解析：，，，，，，．例1.2.3、两个自然数的倒数的和是，这两个自然数中较小的是__________．答案：3解析：，所以这两个自然数中较小的是3．已知，A、B是两个不同的正整数，A、B分别是___________．例1.2.5、计算：__________．答案：解析：．例1.2.6、___________．答案：解析：．计算：（1）；（2）．答案：（1）（2）解析：（1）．（2）．例1.2.8、计算：_________．答案：解析：．例1.2.9、．（改自2011年2月8日考试真题）答案：777解析：原式．随堂练习随练1.1、________．答案：解析：．随练1.2、计算：（1）；（2）．答案：（1）（2）解析：（1）；（2）．随练1.3、计算：．答案：解析：原式随练1.4、________．答案：解析：分数裂项；．随练1.5、_______________．答案：解析：．随练1.6、_______________．解析：．随练1.7、_____________．随练1.8、计算：．（务必写出裂项的过程）答案：解析：．随练1.9、．（改自2013年8月17日考试真题）答案：原式．随练1.10、___________．（结果若为带分数，请化为假分数）答案：解析：．随练1.11、计算：．答案：解析：原式．随练1.12、在方框中填入适当的一位数，使等式成立．（1）；（2）；（3）．答案：（1）5，6（2）5，7（3）4，7解析：（1）；（2）；（3）．随练1.13、___________．（结果若为带分数，请化为假分数）答案：解析：．课后作业作业1、__________．作业2、计算：__________．作业3、计算：（1）；（2）．作业4、计算：（1）；（2）．作业5、计算：．作业6、___________．（结果若为带分数，请化为假分数）作业7、计算：=_______．。
简便运算——拆分、裂项、拆项
分数的巧算——裂项前面我们介绍了运用定律和性质以及数字的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法)进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
一般地，形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a ；形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
王牌例题①形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a 100991431321211计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如211211-=⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯，……，其中的部分分数可以相互抵消，这样计算就简便多了，1001991()4131()3121()211(-++-+-+-= 原式100199141313121211-++-+-+-= 1009910011=-=举一反三①403917616515411⨯++⨯+⨯+⨯ 、15141141311312112111111012⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、42130120112161213+++++、72156********+++-、王牌例题②形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯50481861641421计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为4121422-=⨯，6141642-=⨯，8161862-=⨯，……，所以，将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差，求算式的和，最后把求得的和再乘21即可。
所以2150482862642422(⨯⨯++⨯+⨯+⨯= 原式21)501481()8161()6141()4121(⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+-= 21)50121(⨯-=215024⨯=256=举一反三②999719717515311⨯++⨯+⨯+⨯ 、10097110717414112⨯++⨯+⨯+⨯ 、3733113919515113⨯++⨯+⨯+⨯ 、20811301701281414++++、王牌例题③形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；56154213301120912731计算：1-+-+-【思路导航】因为311311+=，41314343127+=⨯+=，51415454209+=⨯+=，615165653011+=⨯+=，716176764213+=⨯+=，817187875615+=⨯+=……所以)8171()7161()6151(5141()4131(311+-+++-+++-+=原式81717161615151414131311--++--++--+=87811=-=举一反三③301120912765211 1-+-+、561542133011209411 2+-+-、6599815499814399813299812119983⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、6301162091276 4⨯-⨯+⨯、王牌例题④641321161814121计算：+++++【思路导航】解法一：这道题如果先通分再相加，就比较复杂；如果给原式先“借”来一个641，最后再“还”一个641，就可以通过口算得出结果。
六年级简便运算中的拆项法
六年级简便运算中的拆项法六年级简便运算中的拆项法介绍了运算定律和性质以及数的特点，可以用巧算和简算的方法。
今天我们研究如何使用替换法和拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算以及等差数列的求和运算及其应用。
裂项法示例：111a(a1)aa 1等差数列：a1，a2，……。
an公差d=后一项减前一项(d=a2-a1)项数：n=(an-a1+1)/d和=(n/2)×(a1+an)典型例题：例1：计算111112233499100练1：计算①11114556673940②22221112121313145455 ③1+1/2+1/6+1/12+1/20+3/35 例2：计算：11112446684850练2：计算①11113557799799②1111155********例3：计算1-1/7+1/11-1/13+1/17-1/19练3：计算6/×(6-1/7911)×(6+1/2)例4：1/2+1/4+1/8+。
+1/256练4：2/9+3/16+4/25+。
+10/100例5：计算①1+2+3+。
+100②2+4+6+。
+100③1+3+5+。
+99方法：1+2+3+。
+100101×100/25050由此推出求和公式：n×(a1+an)/2即：第一个数加上最后一个数的和乘以项数除以2项数=最后一数减第一个数的差除以相邻两数差练5：计算3+6+9+。
+198例6：计算1+11111+2+2+3+3+3+。
+100例7：计算1/2+1/3+1/4+。
+1/101-1/102练7：(1+2+3)×(1/2+1/3+1/4)-(1+2+3+4)×(1/2+1/3)。
小学数学奥数举一反三——分数拆项与裂项
• （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数
“首尾相接”
• （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 • （二）、“裂和”型运算： • 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
ab a b 1 1 ab ab ab b a
12
22
1
10 2
换元与公式的应用
13 33 53 73 93 113 133 153
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
2007 8.5 8.5 1.5 1.5 10 160 0.3
不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化
目的。
• 三、整数裂项
12 23 34 ... (n 1)n
1 (n 1) n (n 1) 3
1 23 23 4 3 45 ... (n 2) (n 1) n 1 (n 2)(n 1)n(n 1) 4
2 23 234
2 3 L 50
分数裂项
12 13
12 13
22 23
12 13
22 23
32 33
12 13
22 23
32 33
42 43
12 13
22 23
262 263
分数裂项
分数裂项
(完整版)六年级分数裂项法.doc
第二讲分数 1.2NT1.2 分数计算（裂项法）知要点和基本方法分数算是小学数学的重要内容，也是数学的重要内容之一。
分数算同整数算一既有知要求又有能力要求。
法、定律、性是行算的依据，要使算快速、准确，关是掌握运算技巧。
算式真察，剖析算是的特点及个数之的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改运算序，使算便易行，启迪思，培养合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。
公式：（ 1）平方差公式：a2 b2 ( a b) ( a b)（ 2）等差数列求和公式：a1 a2 a3 an 1 a n1a1 a n n2（ 3）分数的拆分公式：① 11) ＝1－ 1n(n n n 1② 1d) ＝1×（1－ 1 ）n(n d n n d 裂项法：例1. 算： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯⋯＋99 11 2 2 3 3 4 10011 1例4.算：＋＋⋯⋯＋10×1111×1219× 20例2.1 1 1算：10× 11＋11×12＋⋯⋯＋59× 60例5.1 1 1 1算2×3＋3×4 ＋⋯⋯＋6× 7＋7× 8例3.算：21＋16＋121＋201＋301＋421六年级第一学期NT例6. 算： 1＋1＋1＋1＋126 12 20例 10. 算：22 2 2 23 15 35 63 99例7. 算：1 1 1 1 1 1 16＋12＋20＋30＋42＋56＋72例 11. 算：11 1 1 1 18 24 48 80 120 168例 8.算：1＋1＋1＋1＋1＋1 315 3563 99 143例 9. 算：14 1711011311 4 7 10 13 16例 12. 算：1＋1＋2＋1＋1＋2＋3＋2＋1＋⋯⋯＋ 1 ＋2＋⋯⋯＋100 ＋99＋⋯⋯＋ 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 100 100 100 100 100例 13. 算： 1＋ 1 ＋1 1 ＋113＋⋯⋯＋1 2 311 2 2 3 2 4 2005例 14．算： 2×（ 1－ 1 2）×（ 1－ 1 2）×（ 1－12）×⋯⋯×（1－12）2005 2004 2003 2第二讲分数 1.2NT六年级 第一学期NT综合计算例 1.计算 : 2005120032003 2004例 2. 计算 : （ 1 5 × 1 1 × 6 ）÷（ 3 × 6 × 5）7 9 11 11 7 9例 3.计算 : 98＋ 99 8 ＋ 999 8＋⋯⋯＋ 9999899999个 9例 4.计算 : （ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1－1）×（ 1－ 1 ）×（ 1－1）×（ 1－ 1）2468357 9例 5. 计算 : 2004 1 － 1 1 ＋2002 1 －3 1 ＋2000 1 －5 1 ＋⋯⋯＋ 4 1 －2001 1 ＋2 1 － 200312 3 2 3 2 3 2 3 2 3例 6.计算 : （ 1＋ 1 ＋1 ＋ 1 ）÷（ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ）979797979797 97979797868686868686 86868686第二讲 分数 1.2NT例 7.计算 : 11 1 11 111 111 11 1=.2 4 610359例 8.计算 :567345 566 =.567 345 222例 9.计算 : 7116 61 1 5 511 4 41 1 3 31 12 = .6 7 5 6 4 5 3 4 2 3例 10. 计算 :11 1 1 1 1 1 1 = .3 6 10 15 21 28 36 451 29 1 29 1 291 29 1 29例 11. 计算 :2 3 30 31 = .1 31 1 31 1 311 31 1 312 328 29计算 :12 3 4 5 6 21 2 3 4 5 6 1例 12.2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7211 2 3 4 5 6 2 3 4 5 62 345 673 456 =7六年级第一学期NT能力训练：1、分数化成最分数：12 ＝18 ＝ 4 ＝13 ＝8 ＝ 2 ＝18 27 20 65 32 82、小数化成最分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、算：1) 51 2 ÷1 2 ＋ 71 3÷1 3 ＋ 914÷1 4 2005 2005 2005 20053 34 45 51 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋⋯⋯＋ 2004 20054)2)1 1 1 156 ＋72 ＋90＋1102222 25)21 ＋ 77 ＋ 165 ＋⋯⋯＋ 1677 ＋ 20213) 1 1 1 1 18＋24＋48＋80＋120 1 5 11 19 1096) 2 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 20 ＋⋯⋯＋ 1101111111 17)1＋ 26＋ 312＋ 420＋ 530＋ 642＋ 756＋ 872＋ 990第二讲分数 1.2NT137 1531 631272555118) 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＋ 64 ＋ 128 ＋ 256 ＋ 5121 1 1 1 1 19) 3 45 ＋ 4 56 ＋ 5 67 ＋ 6 78 ＋ 7 89 ＋ 8 9 10。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++ 本题具体的解有：1111111111011110126014351530=+=+=+=+例题精讲模块一、分数裂项【例 1】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【巩固】 333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 2】 计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++⎪⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7114605=-- 2315=也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445*********=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155=所以原式31115565155=⨯=．【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，25374=⨯+……【解析】 原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【例 3】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【例 4】 111111212312100++++++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……， 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【巩固】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【巩固】 2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++【解析】 2111(12)112=-⨯++，311(12)(123)12123=-+⨯+++++，……， 10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++，所以 原式1112100=-+++15049150505050=-=【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（）【解析】 原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155= 【例 5】 22222211111131517191111131+++++=------ .【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+，原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯ 1113()214214=-⨯= 【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯2222222111111112233478=-+-+-++-2118=-6364=【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【解析】 原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996= 【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++⎪----⎝⎭1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101= 【巩固】 224466881010133********⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 （法1）：可先找通项222111111(1)(1)n n a n n n n ==+=+---⨯+ 原式11111(1)(1)(1)(1)(1)133********=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯11555(1)552111111=+⨯-=+=（法2）：原式288181832325050(2)()()()()3355779911=-+-+-+-+-61014185065210453579111111=++++-=-=【例 6】 1113199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999+++++⨯++⨯+⨯⨯+【解析】11211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312n n n n n n n n ++===⨯-++++++⨯+⨯⨯++ 原式＝11111111()()()()223344519992000⎡⎤-+-+-++-⨯⎢⎥⎣⎦＝ 【巩固】 计算：111112123122007+++⋯+++++⋯ 【解析】 先找通项公式12112()12(1)1n a n n n n n ===-++⨯++原式11112(21)3(31)2007(20071)222=++++⨯+⨯+⨯+222212233420072008=++++⨯⨯⨯⨯ 200722008=⨯ 20071004= 【巩固】 111133535735721+++++++++++ 【解析】 先找通项：()()()1111352122132n a n n n n n ===+++++⨯++⨯，原式111111132435469111012=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111133591124461012⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111121112212⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 175264=【例 7】 121231234123502232342350++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 1000999100011=-【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212n n nn n a n nn n +⨯⨯+==+⨯⨯+-- 原式2334455623344556410182814253647⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有原式2334455648494950505114253647475048514952⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯35023215226=⨯= 【例 8】 222222222222233333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【解析】 22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)314n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++原式=211111111[()()()()]31223342627⨯+-+++-+=2152(1)32781⨯-=【巩固】 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 22221(1)(1)1(1)1(1)1(2)n n n a n n n n ++=+==+-+-⨯+ 原式223398989999(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999929949131425364999710098110050⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 9】 计算：22222223992131991⨯⨯⨯=---【解析】 通项公式：()()()()()221111112n n n a n n n n ++==+++-+，原式22334498989999(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999931425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯29999110050=⨯=【巩固】 计算：222222129911005000220050009999005000+++=-+-+-+【解析】 本题的通项公式为221005000nn n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦，可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个22505050005000-+．将项数和为100的两项相加，得()()()()22222222210010022001000021005000100500010050001001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+，所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）【例 10】 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124【解析】 虽然很容易看出321⨯＝3121-，541⨯＝5141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有)12()1(632112222+⨯+⨯++++n n n n ＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯22222210211211112120154132124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯21111015321321162120154132124＝⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯212220156413421242120154132124＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯2122201212015641541342132124＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2220164142124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯111013212116 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯11116＝1160．模块二、换元与公式应用【例 11】 计算：3333333313579111315+++++++【解析】 原式()333333333123414152414=++++++-+++()()223331515181274⨯+=-⨯+++22576002784=-⨯⨯ 8128=【巩固】 132435911⨯+⨯+⨯+⨯ 【解析】 原式()()()()()()21213131101101=-++-+++-+()()()()()22222222222131101231091231010101121103756=-+-++-=+++-=++++-⨯⨯=-=【巩固】 计算：1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【解析】 原式()()()()2222221331441991=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-()333323492349=++++-++++ ()()2123912349=++++--++++245451980=-=【例 12】 计算：234561111111333333++++++【解析】 法一：利用等比数列求和公式。