用比较法证明不等式.许兴华

——高中数学教案

课题：用比较法证明不等式

（５３００２１广西南宁三中 许兴华）

教学目标：1、通过本课的学习，使学生掌握两种“比较法（作差比较法与作商

比较法）”证题的基本原理；

2、学会“比较法”证题的基本步骤；

3、初步学生培养分析问题解决问题的能力. 重点难点：重点是牢固掌握用“比较法”证题的步骤； 难点是掌握变形的思路和技巧. 教学过程： 一、复习引入：

1、实数大小比较的依据是什么？ （让学生回答）主要依据是：

①a －b ＞0 ＞b

②a －b ＝0 b

③a －b ＜0 b

2、 由以上法则我们知道：

① 要证a ＞b ，只需证a －b ＞0；

② 要证a ＜b ，只需证a －b ＜0.于是我们得到不等式证明的一种方法：作差

比较法.

二、新授课：

1、“作差比较法”证明不等式： 例1：求证：x 2+3>3x

（1） 分析：欲证x 2+3>3x ，只需证x 2+3－3x ＞0

（2） 于是配方即得:04

3

)23(2>+-x ,此不等式显然成立.

（3） 证明：板书证明过程（略）. 例2：已知a ，b ∈R +，并且a ≠b ，求证：

a 5＋

b 5＞a 3b 2＋a 2b 3

(1)分析：要证a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ,只要证明(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)>0 而(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)=(a 5－a 3b 2)+(b 5－a 2b 3)

=a 3(a 2－b 2)－b 3 (a 2－b 2)= (a 2－b 2)(a 3－b 3)

= (a －b)2(a+b)(a 2+ab+b 2)>0 (),,b a R b a ≠∈+

(2)：板书证明过程(略).

引导学生进行小结:用“作差比较法”证不等式的步骤是： ①作差 ②恒等变形 ③ 判断符号 ④结论

其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”的目的.证明的实质：进行实数大小比较. （3）为了确定差的正负，“变形”的目标一般是： ① 一个常数；

② 一个常数与一个或几个平方的和的形式； ③ 几个因式的积的形式.

课堂练习：设a ＞b ＞0，比较2

222b

a b a +-与 b a b

a +-的大小. （要求一位学生到黑板去做，其余学生在下面做，大家都做完后，教师进行适当讲评）

（1） 分析：作差通分变形即可.

（2） 证明：必要时纠正学生的板书“证明过程”. 2、“作商比较法”证明不等式：

比较法还有“作商比较法”：若已知b>0 , 则要证.1,>>b

a

b a 只要证明

例3．已知+∈R b a ,，求证：a

b b a b a b a ≥.

分析：0,,>∴∈+

a

b

b a R b a ，故只要证明1≥a b b

a b

a b a .

不妨设b a ≥,则.1,0,1≥⎪

⎭⎫

⎝⎛==∴≥-≥---b

a b a b a a b b a b a b a b a b a b a b a

（板书证明过程）（略）

三、课堂练习：

课本：P.7之1、2、3、4.

5.(补充练习):已知,0>>>c b a 求证:3

)(c b a c

b a ab

c c b a ++>.

练习后，当堂讲评:

证明:

3

3

3

3

3

3

33

3

3

23

23

23)

(c b c a b a b c a c c b a b c a b a b

a c c

a b c

b a

c b a c b a c b c a b a c

c

b

b

a

a

c

b

a

abc c b a ---------------++⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅⋅⋅==

,1)

(,1,0,03

>∴>>-∴>>>-b

a b

a

b a b a

c b a 同理可证:.0)

(,0)

(3

3

>>--c b c a c

b c

a

13

3

3

>⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭

⎫ ⎝⎛---c b c a b a c b c a b a ,

因此, 3

)(c b a c

b

a

abc c b a ++>.

四、小结：

（1）“比较法”分为 “作差比较法”与“作商比较法”两种；

（3） 何时采用“作差比较法”或“作商比较法”？这两种方法证明不等式

的步骤如何？请同学们思考.

五、作业：

课本P .15之 5、6、7、9 补充练习：

1.设,,0,0N n b a ∈>>,求证:).(2))((11

+++≤++n n n

n

b a

b a b a

2.若,0>≥≥c b a 求证:

b a a

c c b c b a c b a c b a +++≥222.