(2)(教师版)考点专题二_平面向量与复数
专项2平面向量复数课件共42张PPT
题组对点练 练基础 自主悟通
考点一 平面向量 1.下列命题正确的是( A．若|a|＝|b|，则 a＝b C．若 a＝b，则 a∥b
) B．若|a|>|b|，则 a>b D．若|a|＝0，则 a＝0
答
解析 对于 A，当|a|＝|b|，即向量 a，b 的模相等时，方向不一定相同，故 a
案 ＝b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故 B
答 案
解析 由题意可得D→E＝A→E－A→D＝23A→C－12(A→B＋A→C)＝16A→C－12A→B。故选 B。
与
答案 B
解
析
4．已知向量 a＝32，1，b＝－12，4，则(
)
A．a∥(a－b)
B．a⊥(a－b)
C．(a－b)∥(a＋b) D．(a－b)⊥(a＋b)
答 案
解析 因为 a＝32，1，b＝－12，4，所以 a－b＝(2，－3)，a＋b＝(1,5)，则32
答案
1
11 20
练后悟通 处理平面向量问题一般可以从两个途径进行。 切入点一：“恰当选择基底”。用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择 一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是进行数乘运算和利用平行四边形法则或三角 形法则进行向量的加减运算。 切入点二：“坐标运算”。坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地 达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系， 应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题、简单求解的目的。
与
解
答案 3
析
9．(2021·青岛统一质量检测)已知非零向量 a，b 满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则 a 与 b 的夹角为________。
平面向量与复数的关系
平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。
通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。
本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。
比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。
它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。
3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。
5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。
6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。
二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。
复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。
即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。
3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。
如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。
复数与平面向量的应用知识点总结
复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。
一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。
复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。
2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。
共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。
3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。
4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。
欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。
二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。
平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。
减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。
2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。
数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。
3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。
4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。
高考数学复习：专题二 3第3讲 平面向量与复数
第3讲 平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △P AB S △OAB为( )A ．32B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA→＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S△P ABS△OAB＝DPDO＝12CD13CD＝32.(3)因为点E在射线AD(不含点A)上，设AE→＝kAD→(k>0)，又BD→＝34BC→，所以AE→＝k(AB→＋BD→)＝k⎣⎡⎦⎤AB→＋34（AC→－AB→）＝k4AB→＋3k4AC→，所以⎩⎨⎧λ＝k4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝⎛⎭⎫k4＋12＋916k2＝58⎝⎛⎭⎫k＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】(1)D(2)A(3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M是△ABC边BC上的点，N为AM的中点，若AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为()A.14 B.13 C.12 D.1解析：选C.因为M在BC边上，所以存在实数t∈[0，1]使得BM→＝tBC→.AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋tBC→＝AB→＋t(AC→－AB→)＝(1－t)AB→＋tAC→，因为N为AM的中点，所以AN→＝12AM→＝1－t2AB→＋t2AC→，所以λ＝1－t2，μ＝t2，所以λ＋μ＝1－t2＋t2＝12，故C正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线． 所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积[核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)； (2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.(2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路 (ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c 满足|a－b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －322≤1， 故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝⎛⎭⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2B ．2n －1C ．3n －1D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sin B ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B →＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3， 所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54B.154C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝⎛⎭⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝⎛⎭⎫x －32，－2， DF →＝⎝⎛⎭⎫－32，1－x 2－2. 所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2 .令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝⎛⎭⎫35＝154. 当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上， 因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝⎛⎭⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →. 因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复 数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. (4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z 1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017＝1×（1－z 2 018）1－z ＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i 2＝21 009＋i.所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为21 009.故选C. 【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C. 3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________． 解析：通解：z ＝11＋i＝1－i 2＝12－i 2，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi |＝( )A.253B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i ＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)， 因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ； c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ. 由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎨⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎨⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎡⎦⎤45，1.所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝⎛⎭⎫45，25.所以|c |＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255.故选A. 9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ， 则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2 ＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332， 所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上， 所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝⎛⎭⎫4＋3217 ＝27＋332，所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝⎛⎭⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎡⎦⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，23π B.⎣⎡⎦⎤2π3，5π6 C.⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎣⎡⎭⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎡⎦⎤33，1，不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a i i (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1，所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2，所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cosαcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________．解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2， 则OA →·OP →＝OA →·⎣⎡⎦⎤λOA →＋⎝⎛⎭⎫1－λ2OB → ＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎫1－λ2OA →·OB →， 又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°， 所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝⎛⎭⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2， |OP →|＝⎣⎡⎦⎤λOA →＋⎝⎛⎭⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝⎛⎭⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎫1－λ22|OB →|2 ＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)． 当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎭⎫－22，0；当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22； ②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎡⎭⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎤22，1.综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝⎛⎦⎤－22，1.答案：⎝⎛⎦⎤－22，117．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎨⎧K ⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC →|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB →|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC →|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线． 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ， 以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y 2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1， 由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1， 可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎫|K 1K 2||AB |max ＝34， 故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q . (1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝0， 化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点， 设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2 x －sin 2 x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C＝34ab ≤334， 所以△ABC 面积的最大值为334.。
平面向量与复数的联系与应用
平面向量与复数的联系与应用一、引言平面向量和复数是高中数学中常见的概念，它们在几何学和代数学中有着密切的联系与应用。
本文将探讨平面向量和复数之间的联系，以及它们在数学和物理中的应用。
二、平面向量与复数的定义和表示方法1. 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。
平面向量也可以用坐标表示，如A B⃗= (x,y)，其中(x,y)为向量的坐标。
2. 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中a 和b为实数，i为虚数单位。
复数可以用平面上的点表示，其中实数部分对应横坐标，虚数部分对应纵坐标。
三、平面向量与复数的联系平面向量和复数之间有着密切的联系，具体体现在以下几个方面。
1. 向量的加法与复数的加法向量的加法满足平行四边形法则，即A B⃗ +B C⃗ =A C⃗。
复数的加法满足实部相加，虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 向量的数量积与复数的乘法向量的数量积满足A B⃗·B C⃗=|A B⃗||B C⃗|cosθ，其中θ为两向量夹角。
复数的乘法满足(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 平面向量与复数的相互转换对于平面上的向量A B⃗，可以与点B对应的复数表示形式相互转换。
即向量A B⃗对应的复数表示为z=x+yi，其中x和y分别为向量的分量。
四、平面向量与复数的应用平面向量和复数在数学和物理中有广泛的应用。
1. 平面向量的应用平面向量常用于解决几何学中的问题，如直线的判定、线段的长度和夹角的计算等。
此外，在力学和电磁学中，平面向量也被广泛应用于力的合成、力矩的计算等物理问题的求解。
2. 复数的应用复数在代数学的求解中有重要的应用。
它可以用于解决各类代数方程，如一元二次方程、三角方程等。
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
2020届高三高考总复习数学：平面向量与复数 (2)
平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的大小(叫做向量的模)，有向线段的箭头所指的方向表示向量的方向.(2)两个特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(3)平行向量(或共线向量)①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．②规定0与任一向量平行．③长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2．向量的线性运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．②法则：向量的加法有三角形法则和平行四边形法则．③几何意义：如下图所示：④运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).(2)向量的减法①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.②法则：向量的减法符合三角形法则．③几何意义如下图所示．(3)向量的数乘运算①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：(ⅰ)|λa|＝|λ||a|；(ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.②运算律a，b为任意向量，λ，μ为实数．λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 b ＝λa .1．在平行四边形中，如图：(1)若a ，b 为不共线的两个向量，则a ＋b ，a －b 为以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量． (2)AO →＝12(a ＋b )． (3)|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．2．在△ABC 中：(1)PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)(向量式) ⇔G 是△ABC 的重心．(2)G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0.(3)λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线(即∠BAC 的平分线所在直线)过△ABC 的内心．3．共线的有关结论：①A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．②OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1.4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．热身练习1．下列命题中：①温度有零上和零下温度，所以温度是向量； ②重力有大小和方向，所以重力是向量； ③若|a|>|b|，则a>b ； ④若|a|＝|b|，则a ＝b. 其中真命题的个数是(A) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假； ②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假； ④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假． 由以上分析知，真命题的个数是1. 2．下列命题中：①零向量的长度为0； ②零向量的方向任意； ③单位向量都相等；④与非零向量a 共线的单位向量为±a|a|.其中真命题的个数是(C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题． 3．下列命题中：①平行向量方向一定相同； ②共线向量一定相等；③向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数是(A) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①假，平行向量方向不一定相同． ②假，共线向量即平行向量，不一定相等．③假，AB →与CD →是共线向量，AB 与CD 所在的直线不一定共线，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线． ④假，当b ＝0时，a 与c 可以是任意向量．4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝(A) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →(方法一：向量的加法)CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.(方法二：向量的减法)CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ 12 .因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.向量的线性运算(经典真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则 A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →因为D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →， 所以B ，C ，D 三点共线，且D 在BC 的延长线上，如图：(方法一)在△ABD 中利用向量的加法： AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD → ＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法二)在△ACD 中利用向量的加法： AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法三)在△ABD 中利用向量的减法： AD →＝BD →－BA →＝43BC →－BA →＝43(AC →－AB →)＋AB →＝－13AB →＋43AC →.A(1)本题综合考查了向量的共线、向量的加法、减法、数乘等基础知识，难度不是很大．(2)未知向量由已知向量来表示，要注意寻找未知向量与已知向量的联系，一般要用到平行四边形法则、三角形法则、平行(共线)向量的性质．1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝(A) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →作出示意图如图所示，(方法一：在△EBD 中运用向量的加法) EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. (方法二：在△ABE 中运用向量的减法) EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点， 所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，所以(k －λ)a ＝(λk －1)b ， 又a ，b 是不共线的两个非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0，所以k ＝±1.(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点． A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．(2)证两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b ＝λa (a 为非零向量)，则a 与b 共线．(3)三点共线等价关系：A ，B ，P 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0) ⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，t ∈R ) ⇔OP →＝x ·OA →＋y ·OB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．2．(2018·吉林期中)在△ABC 中，N 是AC 上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为 13.因为B ，P ，N 三点在同一直线上， 所以AP →＝λAB →＋μAN →，λ＋μ＝1. 又AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋29×3AN →＝mAB →＋23AN →，所以m ＋23＝1, 所以m ＝13.向量的线性运算的综合问题平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点， 则有DM →＝12a ，BN →＝12b ，在△ABN 和△ADM 中可得：⎩⎨⎧a ＋12b ＝d ，b ＋12a ＝c ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，所以AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的思想方法．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝(B)A ．2B ．3C ．4D ．5因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以M 是△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．所以AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，比较得m ＝3.1．在解决有关向量的概念及性质的判断问题时，要全面地考虑问题，要注意：①零向量、单位向量的特殊性；②向量平行与直线平行的区别和联系．零向量0是长度为0的向量，其方向不确定，它与任一向量平行，要注意零向量0与数0不同，0只是一个实数．2．向量共线的充要条件是由实数与向量的积推导出来的．向量共线也称为向量平行，它与直线平行有区别：直线平行不包括共线(重合)的情况，而向量平行则包括共线(重合)的情况，故用向量法证明AB 与CD 平行，可先证明AB →∥CD →，再证明AB 与CD 不共线．3．向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．。
中学高三数学总复习专题二第3讲平面向量与复数课件新人教A版
________．
解析：如图所示，以 AB，AD 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴建 立直角坐标系，由于正方形边长为 1，故 B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)． 又 E 在 AB 边上，故设 E(t,0)(0≤t≤1)． 则D→E＝(t，－1)，C→B＝(0，－1)． 故D→E·C→B＝1. 又D→C＝(1,0)， ∴D→E·D→C＝(t，－1)·(1,0)＝t. 又 0≤t≤1，∴D→E·D→C的最大值为 1.
(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)＝－2，
∴cos〈b－3a，a〉＝|bb－－33aa||a·a|＝－52＝－2 5 5.
答案：(1)31010， 110中0学高(三2)数－学2总5复5 习专题
二第3讲平面向量与复数课
4．(2012·高考北京卷)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是
答案：1 1
中学高三数学总复习专题 二第3讲平面向量与复数课
• [考向分析]
•
本讲的主要内容有平面向量的基本
概念与基本运算、加、减运算与坐标运算、
数量积及非零向量的平行与垂直及与其他
知识的综合应用及复数的有关概念、四则
运算等．高考一般是以选择题和填空题的
形式考查复数的四则运算以及平面向量的
基本内容．而在解答题中主要和三角函数
• 热点三 平面向量的数量积及应用 • 求平面向量的数量积的方法有两个：一个
是根据数量积的定 • 义，另一个是根据坐标运算．定义法是a·b
＝|a||b|·cosθ，其中θ为向量a，b的夹角； 中学高三数学总复习专题 二第3讲平面向量与复数课
例3 (2012·高考上海卷)在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分 →
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 2平面向量基本定理及坐标表示课件
)
（2）已知向量 = 2, tan ， = 1, −1 ，且//，则tan
B.−3
√
A.2
C.3
解：由题意，可得tan = −2，
则tan
π
4
− =
π
4
tan −tan
π
4
1+tan tan
= −3.故选B.
π
4
− =(
1
D.−
3
)
（3）（教材习题）已知 2,3 ， 4, −3 ，点在线段的延长线上，且
则// ≠ 的充要条件是1 2 − 2 1 = 0.②// ≠ 的充要条件是存在唯一
一个实数 ，使 = .向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行
求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
变式3（1） 已知向量 = 1 , 1 ， = 2 , 2 ，则“
( −
1
2
，
1
3
)
2
= 3, 3 ，
− = 3,
= 2,
2
得൞ 3
所以ቊ
即 + = 6.故填6.
= 4,
= 3.
2
3
)，即
2
图2
【点拨】 应用平面向量基本定理应注意定理中的基底必须是两个不共线的向量.
选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一
变式1 设 0,0 ， 0,3 ， 6,0 ， = −2，则 =(
A. 5
B.2
√
2
C.2 5
)
D. 17
解：设 , ，则 = − 6, ， = , − 3 .因为 = −2，所以
平面向量与复数
平面向量与复数平面向量是数学中的重要概念，它与复数之间存在着紧密的联系和相互转化的关系。
本文将介绍平面向量和复数的基本概念，并探讨它们之间的关联。
一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用有序数对表示。
设有平面上两个点A和B，用→AB表示从点A指向点B的有向线段，这条有向线段便是平面向量。
2. 平面向量的表示：平面向量的表示通常有三种方式，即坐标表示、模长与方向角表示、分解成单位向量表示。
a. 坐标表示：如果平面向量→AB的起点坐标为A(x₁, y₁)，终点坐标为B(x₂, y₂)，则向量的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。
b. 模长与方向角表示：平面向量→AB的模长记作|→AB|，方向角表示为θ，这样，向量的模长与方向角表示为(|→AB|,θ)。
c. 分解成单位向量表示：平面向量→AB可以表示为它在两个单位向量上的投影和，即→AB = |→AB|cosθ·→i + |→AB|sinθ·→j，其中→i和→j分别为横轴和纵轴上单位长度的向量。
二、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，记作a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的表示：复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
3. 复数的运算：复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
具体的运算规则与实数的运算类似，只是需要注意虚数单位i的运算规律。
三、平面向量与复数的关系1. 平面向量的表示与复数的表示：平面向量可以通过复数的模长与方向角表示。
设平面向量→AB的表示为(|→AB|,θ)，则可以将→AB对应的复数记作z=|→AB|cosθ+|→AB|sinθ·i。
2. 复数的运算与平面向量的运算：复数的加法、减法和乘法可以直接对应到平面向量的加法、减法和数量乘法上，这是因为复数运算与平面向量的运算都遵循平行四边形法则和数量乘法的分配律。
复数和平面向量知识点总结
复数和平面向量知识点总结一、复数的定义和性质1.1 复数的定义复数是形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。
1.2 复数的加减法复数的加减法与实数类似，直接对应实部和虚部进行运算。
1.3 复数的乘法复数的乘法满足交换律，结合律和分配律。
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i1.4 共轭复数若 z=a+bi，则其共轭复数为 z* =a-bi。
共轭复数的性质是 z*z = |z|² = a² + b²，其中 |z| 表示z 的模。
1.5 复数的除法复数的除法可以借助共轭复数进行运算。
1.6 复数的几何意义复平面上，复数 a+bi 对应于坐标为 (a, b) 的点，即复数与点的对应关系。
复数的模 |z| 对应于复平面上点到原点的距离，幅角 arg(z) 对应于复平面上与正实轴的夹角。
二、平面向量的定义和性质2.1 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有向线段，通常用 (x, y) 表示。
其中 x 和 y是有向线段在 x 轴和 y 轴上的投影长度。
2.2 平面向量的加法平面向量的加法采用平行四边形法则，也可以通过坐标表示进行运算。
2.3 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为a•b = |a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 是向量的模，θ 是 a 和 b 的夹角。
2.4 平面向量的叉乘平面向量的叉乘定义为a×b = |a||b|sinθn，其中 n 是向量 a 和 b 所在平面上的法向量。
2.5 平面向量的应用平面向量广泛应用于几何、物理等领域，包括力、速度、位移等概念。
三、复数与平面向量的关系3.1 复数与平面向量的对应关系复数 z=a+bi 可以看作是平面向量 (a, b)，二者之间存在一一对应的关系。
3.2 复数与平面向量的加法和乘法复数的加法和乘法与平面向量的加法和数量积类似，可以通过坐标表示进行运算。
平面向量、复数(解析版)
平面向量、复数【命题趋势】复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量.【知识点分析以及满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算.平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可.平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可.平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解.【考查题型】选择题，填空【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知i是虚数单位，则复数37izi+=的实部和虚部分别为A．7，3i-B．7-，3C．7-，3i D．7，3-【答案】D【解析】先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.【详解】 由题得2373737731i i i z i i i +--====--，所以复数z 的实部和虚部分别为7和-3. 故答案为：D【名师点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部是“i”的系数b ，不包含“i”,不能写成bi.2．（2019·河北衡水中学高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若复数11ti z i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 【答案】B【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t z===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t 且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．（2019·河南高三月考（理））若1312i i -+与1()2i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．1 【答案】D【解析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得a 的值.【详解】因为13(13)(12)5511255i i i i i i -----===--+，所以虚部为1-， 因为1122i a ai a ai ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以虚部为a ， 所以10a -=，即1a =.故答案为：D.【名师点睛】本题考查复数的四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.4．（2018·全国郑州外国语学校高考模拟（理））设复数1z =（i 是虚数单位），则z z z ⋅+的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 分析：根据共轭复数的定义求得z ，利用复数乘法的运算法则求得212i 3z z ⋅=-=，根据复数模的公式可得结果.详解：因为11z z ==+Q ， 212i 3z z ∴⋅=-=，4z z z ∴⋅+=+，4∴+== A.【名师点睛】：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．（2019·河北高考模拟（理））已知平面向量a r 与b r 的夹角为23π，且1,22b a b =+=r r r ，则a =r （）A ．2B ．1CD ．【答案】A【解析】 根据平面向量数量积的运算法则，将22a b r r +=平方运算可得结果． 【详解】 ∵22a b r r +=，∴2222444a b a b a b +=++⋅=u u r r r r r r （）， ∴244a a b ++r r r cos 23π=4，∴2a =r ， 故选A.【名师点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模的应用问题，考查了数量积与模之间的转化，是基础题目．6．（2019·山西高考模拟（理））在边长为1的正三角形ABC 中,,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>>u u u r u u u r u u u r u u u r ,且1x y += ,则CD BE •u u u r u u u r 的最大值为( ) A ．58-B ．38-C ．32-D ．34- 【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系，则12211(,0),(,0),(0,(,0),(,),222A B C D x E x y -设1111,(,00)(1,0),;22BD xBA x x x x =∴--=-∴=-+u u u r u u u r Q222211,(,(,,;22CE yCA x y y x y y y =∴-=-∴=-=u u u r u u Q u r211(,(1)(1)222x CD BE x x x x ⋅=-+⋅-+=--+u u u r u u u r ，因101,2x x <<∴=当时 函数取得最大值3.8-故答案为C. 7．（2019·福建厦门一中高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ） A ．1 BC．2 D ．2【答案】C【解析】 根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.【详解】 i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112i a bi i +==+- 根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a == 故答案为：C.【名师点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．8．（2019·安徽高考模拟（理））已知复数z 满足(1i)2i z -=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而得答案．【详解】 ()()12i z i -=-Q ,()()()()22122311122i i i i i i z i i i -+-+-+∴====--+, 则在复平面内对应的点的坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限．故选A ． 【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．（2019·河北辛集中学高三期中（理））已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“a ＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a 的取值范围，得到结果．【详解】解：∵复数z ＝（a ﹣2i ）（1+i ）＝a +2+（a ﹣2）i ，∴在复平面内对应的点M 的坐标是（a +2，a ﹣2），若点在第四象限则a +2＞0，a ﹣2＜0，∴﹣2＜a ＜2，∴“点M 在第四象限”是“a ＝1”的必要而不充分条件，故选：B ．【名师点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．10．（2019·广东高考模拟（理））在ABC △中，1CA =，2CB =，23ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MB ⋅=u u u r u u u rA ．0B ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】首先根据已知取基底CA u u u r ，CB →，然后用基底表示MA u u u r 和MB u u u r ，最后代入进行数量积运算即可.【详解】由题可得：=(2)MA CA CM CA CB CA CB CA -=-+=--u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，=(2)2MB CB CM CB CB CA CA -=-+=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2()(2)2+2MA MB CB CA CA CB CA CA ⋅=---=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 由于1CA =，2CB =，23ACB π∠=， 则2=cos ,12cos 13CB CA CB CA CB CA π⋅=⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，22==1CA CA u u u r u u u r ， 所以2=2+2=2+2=0MA MB CB CA CA ⋅⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故答案选A【名师点睛】本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，属于中档题.11．（2019·山东高考模拟（理））已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．13- 【答案】D【解析】 根据复数的乘法运算，计算z ，根据对应点在在直线上可得出a .【详解】因为(i)(1i)1(1)z a a a i =+-=++-，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线2y x=上，所以12(1)a a -=+，解得13a =-. 故选D. 【名师点睛】本题主要考查了复数的运算，复数对应的点，属于中档题.12．（2019·河南高考模拟（理））已知复数1221i z iz i+=++，则z =（ ）A ．2BCD 【答案】A【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】由题()()()()()()123121217z 11233310i i i i i i i i i i +++++====+---+故z =2故选：A【名师点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（2019·河南省实验中学高考模拟（理））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 34【答案】C 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.14．（2019·广东高考模拟（理））复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）A B ．13 C D ．5【答案】B【解析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解．【详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根， 由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根，则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13．故选：B ．【名师点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．15．（2019·山东高考模拟（理））已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）A ．132BCD ．52【答案】B【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标，则答案可求．【详解】由121z i i-=-，得1115221(1)(1)22i z i i i i i i +=+=+=+--+，∴复数z 在复平面内的点的坐标为15,22⎛⎫⎪⎝⎭2=． 故选：B ． 【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．16．（2019·黑龙江铁人中学高三期中（理））在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u rD 为AC 的中点，则BD DA •u u u r u u u r=( )A ．2B ．-2C ．D ．-【答案】B 【解析】∵D 为AC 的中点∴1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，11()22DA CA CB BA u u u v u u u v u u u v u u u v ==+∵•0,2,AB BC AB BC ===u u u v u u u v u u u v u u u v∴221111()()()(412)22244BD DA BA BC CB BA BA BC ⋅=+⋅+=-=-=-u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选B.17．（2019·天津一中高考模拟（理））如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈u u u r u u u r u u u r、，则x y +的取值范围是（ ）A．1,4⎡+⎣ B．4⎡-+⎣C．1,2⎡+⎣D．2⎡⎣【答案】B 【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE u u u r u u u r u u u r=+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠=，则2,AM DM ==，则2AQ =，12AR =，(4(2(22AQ AR AD AEu u u r u u u r u u u r u u u r ==-=+-，此时4x y +=- ，同理可得：(2(2AT AD AE u u u r u u u r u u u r=++，4x y +=+，选B .【名师点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.18．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知向量(3,1)OA =u u u r ，(1,3)OB =-u u u r，(0,0)OC mOA nOB m n =->>u u u r u u u r u u u r ，若[1,2]m n +∈，则||OC u u u r的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】(3,3)OC m n m n =+-u u u r,所以||,(,)OC P m n ===u u u r为可行域12,0m n m n ⎧≤+≤⎩>⎨内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段,BC AD )及其内部(1,0),(0,1),(0,2),(2,0)A B C D ,所以,22O AB OP d OP OD -≥=<= ,从而2)OC ∈=选B. 【名师点睛】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值 取法的值域范围. 二、填空题19．（2019·天津市武清区杨村第一中学高考模拟（理））在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，若点N 在线段CD 上，则NA NB ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】3[,0]4-【解析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得,,NA NM MA NB NM MB =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r计算出NA NB ⋅u u u r u u u r 的表达式,最后根据NM u u u u r 的大小,可以求出NA NB ⋅u u u r u u u r 的取值范围.【详解】2()()NA NB NM MA NM MB NM NM MB MA NM MA MB ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，2()NA NB NM NM MB MA MA MB ⇒⋅=+⋅++⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，M Q 是AB 边上的点，1MA MB ==，所以0,1MB MA MA MB +=⋅=-u u u r u u u r r u u u r u u u r，因此21NA NB NM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r ， °120,1MC C D D M M =∠==∴Q 在等腰CMD ∆中,点M 到线段CD 上的一点N的距离最大值为1,取最小值时,N 为CD 的中点,此时°1cos cos602MN CMN CM CM =∠⋅=⋅=, 所以21NA NB NM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r 的取值范围为: 3[,0]4-.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.20．（2019·福建三明一中高三期中（理））已知平面内三个不共线向量,,a b c r r r两两夹角相等，且13a b c r r r ＝＝，＝，则a b c ++r r r＝_______. 【答案】2【解析】先得到夹角均为23π，再计算24a b c ++=r r r ，得到答案.【详解】由平面内三个不共线向量,,a b c r r r两两夹角相等，可得夹角均为23π所以2222222a b c a b b c a b c a c ++=⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r ＋＋＋＋＋＝1＋1＋9＋2×1×1×2cos 3π＋2×1×3×2cos 3π＋2×1×3×2cos 3π＝4，所以2a b c ++=r r r故答案为：2【名师点睛】本题考查了向量的模，平方所求值再计算是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21．（2019·甘肃兰州一中高三期中（理））已知向量,,a b c r r r 满足4,,,4a b a b π==〈〉=r rr r ()()·1c a c b --=-rr r r ，则c a -r r 的最大值为_______.1 【解析】设,,OA a OB b OC c ===u u u ru u ur u u ur r r r，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系4,a b a b ==Q r r r r 与的夹角为π4，则()()()4,0,2,2,,A B C x y 设，()()2216290c a c b x y x y -⋅-=-∴+--+=r r r r Q ，即()()22311x y -+-=表示以()3,1为圆心，1为半径的圆，c a -r r表示点A ，C 的距离，即圆上的点与A ()4,0的距离，因为圆心到A ，所以c a -r r1．22．（2019·上海复旦附中高三）已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r ，则·AO BC =u u u r u u u r ．【答案】6【解析】试题分析：由题点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r，则()cos ,cos ,AO BC AO AC AB AO AC AO AB AO AC AO AC AO AB AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅〈〉-⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()11144226222AC AC AB AB =⋅⋅-⋅⋅=⨯-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r 考点：平面向量数量积的运算23．（2019·北京清华附中高三月考）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 ．【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.24．（2019·江苏高考真题）如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是_____.【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.24．（2019·浙江高考真题）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】0【解析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r，AB u u u r •AD =u u u r0，()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()()2212345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++ ()()2213562456λλλλλλλλ=-+-+-++()()2213562456λλλλλλλλ≤++-++++()()22565622λλλλ=+-+++()()()225656565684λλλλλλλλ=+-+++-++()225682λλ=++12=+1220=+=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正.比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456maxAB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 【名师点睛】：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.。
平面向量与复数的关系
平面向量与复数的关系平面向量和复数在数学中都有重要的地位，它们之间存在着密切的联系和相互转化。
本文将探讨平面向量和复数之间的关系，并展示它们在几何、代数和应用方面的应用。
一、平面向量的表示与复数形式的转化在平面几何中，平面向量通常采用箭头表示法，即用有向线段表示向量，线段的方向代表向量的方向，线段的长度代表向量的大小。
而复数则可以用实数部分和虚数部分组成，形式上通常表示为 a + bi，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分。
平面向量与复数之间的联系可以通过向量的坐标表示和复数的实部与虚部的对应来实现。
假设平面向量 A 的坐标表示为 (x, y)，则可以将其转化为复数的形式 A = x + yi。
反之，已知一个复数 w = a + bi，则可以将其转化为平面向量的表示形式 (a, b)。
二、平面向量的运算与复数的运算平面向量有加法和数量乘法两种运算，而复数也有加法和乘法两种运算。
这使得平面向量的运算与复数的运算之间出现了明显的相似性，并且可以通过复数的运算规则来推导和解决平面向量的运算问题。
1. 平面向量的加法与复数的加法平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点连接起来，形成一个平行四边形，向量的和就是对角线的向量。
复数的加法也可以用几何方式解释，即将两个复数在复平面上表示为向量，将它们的起点连接起来，所得线段为它们的和。
2. 平面向量的数量乘法与复数的乘法平面向量的数量乘法是将向量的长度与一个实数相乘，结果是一个新的向量，方向与原向量相同或相反。
复数的乘法也可以用几何方式解释，即将两个复数在复平面上表示为向量，将它们的长度相乘，同时将它们的辐角相加，所得结果即为它们的乘积。
三、平面向量与复数的几何应用平面向量和复数在几何学中都有广泛的应用，它们可以用于解决平面上的几何问题，如平移、旋转和缩放等。
1. 平面向量的应用平面向量可以表示位移，因此可以用于平移和旋转问题。
例如，对于平面上的一个点 A，设向量 OA 表示 A 的位置向量，若将 A 沿向量u 平移，则新位置点 B 的位置向量 OB = OA + u。
高考数学专题讲义：平面向量与复数
高考数学专题讲义：平面向量与复数【考向解读】1。
命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景,考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积。
2。
题目难度：复数题目为低档难度,平面向量题目为中低档难度。
【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量． 例1、(全国Ⅰ)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →等于( ) A 。
34AB →－14AC → B 。
14AB →－34AC → C 。
34AB →＋14AC → D 。
14AB →＋34AC→ 答案 A解析 作出示意图如图所示。
EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →。
故选A 。
【方法技巧】(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点,指向被减。
(2)已知O 为平面上任意一点,则A ,B ,C 三点共线的充要条件是存在s ,t ,使得OC →＝sOA →＋tOB →,且s ＋t ＝1,s ,t ∈R 。
(3)证明三点共线问题,可转化为向量共线解决。
【变式探究】【课标1,理13】已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2 b |= 。
【答案】23【解析】利用如下图形,可以判断出2a b 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,所以。
【变式探究】如图,在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN→＝12NC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋29AC →,则实数m 的值为( )A 。
高考数学考点知识专题讲解6---平面向量与复数
2
uuur uuur OA+OB
= 2 (a + b)
uuuur uuur uuuur ∴ MN=ON-OM
=
1
a
−
1
b
33
3
26
第6题
第 2 讲 向量的数量积
【考点导读】 1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.
4 / 15
质 律 2. 掌握平面向量数量积的性 及运算 . 达 3. 掌握平面向量数量积的坐标表 式. 长 4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、 度的问题.
的 角 为 12 ，
⊥ 取值 围 （1）求证： (a − b) c ；（2）若| ka + b + c |> 1 (k ∈ R) ，求 k 的 范 .
: , 分析 问题（1）通过证明 (a − b) ⋅ c = 0 证明 (a − b) ⊥ c 问题（2）可以利用| ka + b + c |2 = (ka + b + c )2
即 （2）∵ | ka + b + c |> 1， | ka + b + c |2 > 1
就也 是 k2a2 + b2 + c2 + 2ka ⋅ b + 2ka ⋅ c + 2b ⋅ c > 1
∵ a ⋅ b = b ⋅ c = a ⋅ c = − 1 ，∴ k 2 − 2k > 0 2
． 所以 k < 0 或 k > 2
AD
的中点，则
OE
=
1
a
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
b
+
精讲二平面向量与复数
平面向量与复数命题点1 复数解决复数问题应注意的4点(1)明确概念：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，复数的实部为a ，虚部为b .(2)解题要领：与复数的分类、复数的相等、共轭复数、复数的几何意义等有关的问题，常先运算再求解．(3)注意周期：虚数单位i 的i n (n ∈N )周期为4.(4)妙用结论：求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a ＋b i|＝a 2＋b 2和性质|z |＝|z |，|z |2＝|z |2＝z ·z ，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|进行计算．[高考题型全通关]1．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1 C. 2D ．22．[高考改编]设2i1＋i ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，i 为虚数单位)，则|x －y i|＝( )A ．1 B.12 C. 2 D.223．(2020·南宁模拟)复数z ＝i 2 020＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 021(i 是虚数单位)的共轭复数表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(2020·肇庆二模)设复数z 满足|z －1|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝15．已知复数z ＝(1＋i )2i (1－i )，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为iB ．|z |＝2C ．z 的共轭复数z ＝－1＋iD ．z 2为纯虚数命题点2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算技巧(1)第一诀窍：平面向量的线性运算问题，要灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算，尤其P 是AB 的中点⇔OP →＝12OA →＋12OB →.(2)第二诀窍：平面向量共线问题，要用好共线向量定理及其推论： ①当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb .②A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2. [高考题型全通关]1．(2020·深圳一模)已知向量OA →＝(－1，k )，OB →＝(1,2)，OC →＝(k ＋2,0)，且实数k ＞0，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．在△ABC 中，DC →＝2BD →，且E 为AC 的中点，则DE →＝( ) A ．－23AB →＋16AC →B ．－23AB →－16AC → C ．－13AB →－16AC → D.23AB→＋56AC →3．(2020·焦作一模)已知O 是△ABC 的重心，且OA →＋2OB →＋λBC →＝0，则实数λ＝( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12命题点3 平面向量的数量积平面向量的数量积的运算转换技巧(1)第一诀窍：抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换．①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹角，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(2)第二诀窍：用好坐标法或极化恒等式a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]，解决与数量积有关的最值问题．[高考题型全通关]1．(2020·蚌埠模拟)已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(2,1)，则AB →·OB →＋|OA →|＝( ) A ．2 B ．6 C ．8D ．122．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．[教材改编]在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( ) A. 6 B ．6 C ．12D ．184．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则A P →·A B →的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6)5．已知向量AB →与AC →的夹角为60°，且|AB →|＝2，|AC →|＝4，若AP →＝AB →＋λAC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．。
1平面向量与复数
答案：ABC
记牢向量共线问题的 4 个结论 1．若 a 与 b 不共线且 λa＝μb，则 λ＝μ＝0； 2．直线的向量式参数方程：A，P，B 三点共线⇔O→P＝(1－t)O→A ＋tO→B(O 为平面内任一点，t∈R)； 3.O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 λ ＋μ＝1； 4．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅 当 x2y2≠0 时，a∥b⇔xx12＝yy12.
2．[2020·山东济宁质量检测]已知 A，B，C 为不共线的三点，
则“|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|”是“△ABC 为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解 析 ： 若 | A→B ＋ A→C | ＝ | A→B － A→C | ， 两 边 平 方 得 到 A→B 2 ＋ A→C 2 ＋ 2A→B·A→C＝A→B2＋A→C2－2A→B·A→C，∴A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C，故△ABC 为直角三角形，充分性成立；若△ABC 为直角三角形，当∠B 或∠C 为直角时，|A→B＋A→C|≠|A→B－A→C|，不必要．故选 A.
5．[2020·山东临沂检测]如图，在等腰直角△ABC 中，D，E 分 别为斜边 BC 的三等分点(D 靠近点 B)，过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F，则A→F＝( )
A.35A→B＋15A→C B.25A→B＋15A→C C.145A→B＋185A→C D.185A→B＋145A→C
高考数学(命题热点突破)专题02 平面向量与复数 理(2021年最新整理)
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平面向量与复数【考向解读】1。
考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1）在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化;（2）在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=,且()a b b ⊥+,则m =（ ) (A ）－8 (B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-,由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=,故选D. 【变式探究】(1)设0〈θ<错误!,向量a ＝（sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ,1），若a ∥b ，则tan θ＝______.（2）如图，在△ABC 中，AF ＝错误!AB ，D 为BC 的中点,AD 与CF 交于点E .若错误!＝a ，错误!＝b ,且错误!＝xa ＋yb ，则x ＋y ＝________.【答案】（1)错误!(2）－错误!【解析】（1)因为a∥b,所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ。
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2.设 为虚数单位），则复数 的模为________.【答案】5（2013）
3.已知复数 的共轭复数 （i为虚数单位），则 在复平面对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】 的共轭复数 ，则 ，对应点的坐标为 ，故答案为D．（2013理）
【知识梳理】
[重难点]
1.复数的相等：两个复数 ，当且仅当 且 时， 特别地，当且仅当 时，
2. 复数的模：复数 的模记作 或 ，有
3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数 的共轭复数记作 、 互为共轭复数.
如果 ，则有 的充要条件是 是纯虚数的充要条件是 且
4.复平面
在平面直角坐标系中，可以用点 表示复数 ，建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称 、 轴分别为实轴和虚轴，并且复数集 和复平面所有的点构成的集合建立一一对应关系.
5.实系数一元二次方程
实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式 时，实系数一元二次方程 且 在复数集中有一对互相共轭的虚数根
3. ，若 对应点在第二象限，则 的取值围为__________.
4. 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 、 、0，则第四个顶点对应的复数为___________.
5.已知 为复数，则 的一个充要条件是 满足.（2003上春）
【答案】
6. 设集合 ， ,则 为_______.【答案】 （2011理）
解：原方程的根为
．
例4. 对于复数 ，若集合 具有性质“对任意 ， ，必有 ”，则当 时， 等于（ ）（2010理）
A.1 B.-1 C.0 D.i
解法1：由 ，得 或 .又 由集合中元素的互异性知 由 ，即 ，得 或 .（1）当 时， ，因为集合 具有性质“对任意 、 ，必有 ”，所以 ，故 ， .（2）当 时， ，因为集合 具有性质“对任意 、 ，必有 ”，所以 ，故 ， .
7. （2013理第5题）满足 ，且关于x的方程 有实数解的有序数对 的个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10【答案】B
【解析】方程 有实数解，分析讨论
①当 时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时 可以取4个值．故有4种有序数对
②当 时，需要 ，即 ．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．满足题意的 的取值为 ，
（A） . （B） . （C） . （D） .（2009上春）
7.“ ”是“实系数一元二次方程 有虚根”的（ ）
（A）必要不充分条件．（B）充分不必要条件．
（C）充要条件．（D）既不充分也不必要条件．
解：由实系数一元二次方程 有虚根,可得 ,
即可得 ,∵ , ∴“ ”是“实系数一元二次方程 有虚根”的必要不充分条件, 故应选A．（2009上文）
【能力强化】
1. 在复平面，复数 对应的点位于( )（2013理）【答案】
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）（2013全国新课标I理）
. . . .
【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.
【解析】由题知 = = = ，故z的虚部为 ，故选D.
解法2： ， 或 或 或 ，又因为集合中的元素具有互异性，且对任意 ， ，必有 ，所以 或 ，所以 ．
点评：（1）本题涉及复数与集合等知识点，考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和决问题的能力，属于创新题型．
（2）解法1步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的 的不同取值，进而求出 ；解法2直接解方程，然后验证条件，排除不满足的条件；显然解法1优于解法2
，得 或 .
8.设 、 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）【答案】D（2013理）
若 ，则 若 ，则
若 ，则 若 ，则
【解析】设 若 ，则 ， ，所以 ，故A项正确；若 ，则 ，所以 ，故B项正确；若 ，则 ，所以 ，故C项正确；
当 时，可取 ，显然 ，即 ，假命题.
【例题精讲】
例1.已知复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为 ， 是实数，求 .（2011上）
[易错点]
1.在进行复数计算时，要灵活利用 和 的性质，会适当变形，创造条件，从而转化为关于 和 的计算问题，并注意以下结论的灵活运用：
① ；② ；③ ；
④ ，
2.在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 时不总是成立的：① 为分数）；② ；③ ，④
【基础练习】
解：
设 ，则 ，
∵ ，∴
例2.已知 是复数， 均为实数（ 为虚数单位），且复数 在复平面上对应的点在第一象限，数 的取值围.（2005上春）
设 ， ，由题意得 .
由题意得 . ∴ .∵ ，
根据条件，可知 ，解得 ，∴ 实数 的取值围是 .
例3. 已知复数 （ 、 ）( 是虚数单位)是方程 的根 ． 复数 （ ）满足 ，求 的取值围 ．（2009上文）
（2,0），共9个.
8.在复数围解方程 (i为虚数单位)（2005上）
解：原方程化简为 ,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=- 且y=± ,
∴原方程的解是z=- ± i.
9.已知实数 满足不等式 ，试判断方程
有无实根，并给出证明.（2004上春）
解：由 ，解得 ， . 方程 的判别式 .
， ， ，由此得方程 无实根.
10.已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚根 、 ，且 为虚数单位）， ，数 的值.
【命题意图】考查复数相等、复数的代数运算，复数的模及一元二次方程根与系数的关系.
解：由题设 ，得 ，所以 ，代入方程 ，求出两虚根为 ，于是 ，由
4.已知集合 为虚数单位， ， ，则复数 （ ）
解析：因为 ， ，由 ，得 ，所以 ，所以
.答案：
【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算.试题难度：较小.（2013理）
5. 若向量 ， 满足 ，则 与 所成角的大小为________．
【答案】90°（2001上春）
6.已知 ，且 为虚数单位，则 的最小值是( )
（3）主要考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想．
（4）与前三年的复数、集合题型有很大的不同，往年较少出现复数与集合的交汇题型，在题目的设计上更显新意，虽然题型新颖，但是万变不离其宗，所以在复习中一定要掌握好基本知识．
（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高．“出活题，考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性地解决问题．所以“新定义问题”将是高考创新题中一种命题趋势．
考点专题二 平面向量与复数（2）
【考情分析】
从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.8%，难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考容.
此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.