2.2-线性微分方程(积分因子法)

x3 (
(4x2
1)
1 x3
dx
c)
x3 ln x4 x cx3
2
将初始条件 y(1) 1代入后得 c 3
故所给初值问题的解为
2
y x3 ln x4 3 x3 x 22
初值问题
dy P(x) y Q(x) (1) dx y(x0 ) y0
的解为：
x
y
P(s)ds
x0 y e0
作业
P49 1(2),(4),(12),(15),(16) 2, 5
选择=结果
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§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)Байду номын сангаас
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x y dy y
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)
y2(ln y c), c为任意常数.
例4 求方程 dy y x2 dx 2x 2y
的通解.
解: 这是Bernoulli 方程, n 1, 令z y2, 代入方程得
dz 1 z x2 dx x
解以上线性方程得
z
e
1 x
dx
(
x
2e
1 x
dx
dx
c)
cx 1 x3 2
将z y2代入得所给方程的通解 为:
y2 cx 1 x3 2
30 变量还原
例3 求方程 dy 6 y xy2 的通解. dx x
解 这是 n 2 时的伯努利微分方程。令 z y1
得
dz y2 dy
dx
dx
代入原方程得到 dz 6 z x dx x
求得它的通解为
z
c x6
x2 8
代回原来的变量，得到方程的通解为
x6 x8 c y8
此外，方程还有解 y 0
此外， y=0 也是解
例3 求初值问题 dy 3 y 4x2 1, dx x
的解.
解: 先求原方程的通解
y(1) 1
y
e
p( x)dx
(
Q(x)e p(x)dxdx c)
e
3 x
dx
(
(4x2
1)e
3 dx
x dx
c)
x3(
(4x2
1)
1 x3
dx
c)
x3(4 ln
x
1 2x2
c)
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一 一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成 一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
例1 求方程
(x 1) dy ny ex (x 1)n1 dx
的通解,这里n为常数 解: 将方程改写为
dy n y ex (x 1)n dx x 1
积分因子为
e p(x)dx
e
n dx x1
(x
1) n
故通解为 y (x 1)n (ex c), c为任意常数
例2 求方程
dy y dx 2x y2 通解.