2.2-线性微分方程(积分因子法)
几种特殊类型积分因子的求法
1.1:(y)解: 变形为1 J(x, y) - P 2(x)q 1(y)(x -1)(y -1)运用积分因子方法求解几种特殊类型微分方程方小，数学与计算机科学学院摘 要：针对满足某些条件的微分方程，着重研究如何直接地、有效地求出其积 分因子的方法,从而方便快捷地求出其通解•引言：方程取形式M(x,y)dx • N(x,y)dy =0时的求解问题教材中主要介绍了五 种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分方程，其他类型均可借助积分因子化为这种类型，掌握一些特殊类型的积分因子求法及部分特殊结构微分方 程的积分因子的求法，从而大提高解微分方程的效率和可操作性•一.几种特殊类型结构的微分方程 M(x,y)dx ，N(x,y)dy = 0的积分因子 的求法1 •常见一阶微分方程几种运用积分因子转化成恰当微分方程 可分离变量方程= f (x) ( y)很容易求得积分因子为■-dx求(xy - x)dx (xy x - y -1)dy = 0 的积分因子x(y -1)dx (x -1)(y 1)dy = 0积分因子为方程两边乘以上积分因子得:dy = 0 x-1y -1两边积分得原方程的通解为x y ln(x T)( y T)2 二 C1 .2 线性微分方程—g(x)「g(x ),设f(x ,y )及三连续'试证方程d y _f(x ,y g o 为线性微分方程它有仅依赖于x 的积分因子• 证明：设方程dy - f (x, y)dx =0是线性微分方程.即存在g(x), h(x)使得f(x, y)二 yg(x) h(x)这样M 二-f (x, y)二-yg(x) -h(x), N = 1, .:M :N.:y；xN所以，方程具有积分因子C-g(x)dx.二=e这即证明了方程有仅依赖于x 的积分因子.例2 :解方程:(ycosx-ysinx)dx (ysinx xc°sx)dy = 0解： • .M = ycosx - xsinx, N = ysinx xcosx:N ：:M=y于是积分因子为ydy yu =e 二e•••通解为e y (xcosx ysinx-sinx)=C” __n-(n -J p(x)dx)1.3 伯努利微分方程方程的积分因子是'=y e证明: 设伯努利方程为改写为dy _ p(x)ydx _ q(x) y n dx 二 0,乘以y』得y 』dy - p(x)y 1』dx _q(x)dx = 01 _n 1 _od(y )一(1 一 n)p(x)y dx —(1 - n)q(x)dx = 0,再乘以_(1』)p(x)dxe41』)p(x)dxe(1 - n)q(x)dx 二 0,_(1_n) p(x)dx」 dx ] = 0.少=p( x) y q( x)y ndx p( )y q( )y 5式0,1)11-(1-n) fp(x)dx [d(y )-(1 - n)p(x)y dx]-e1 _n _(1 _n [ p ( s) dxd[y e]—d[ .(1 - n)q(x)e这是全微分方程，因此所求积分因子是■— 」n_]p(x)dx)y e例 求3 • y 二(cosx —sinx) y 2的积分因子及通解 dx解：积分因子/、.np(x )dx/ 菽(x, y) = y ey e原方程两边同乘以 y °e ，并化为对称式为y 2e"dy y °e*dx = (cosx -sin x)e»dx凑微分为：d( —e^y J) = d(e 亠 sin x)两边同时求积分得：e^si nx e "^y = C1.4齐次微分方程M(x,y)dx • N(x,y)dy =0当xM • yN = 0时有积分因子(・N) xxM N - MNex-xN(xM yN)2由于方程是齐次的，我们不妨设 M(x, y)和N(x, y)是m 次齐次函数，则有.:M:x;:M*x匕cN 冰* y = m • M 与—*x — * y = m * N ex cy由上:M :N :N :M yNyMxMxNcycyexex从而得到：因此方程 M (x, y)dx N (x, y)dy =0当xM ■ yN = 0时有积分因子-1xM yNxM yN证明由于切(x,y) = ^<jN(x,yr^^xM +yN xM +yN则有.:MNN(xM yN) - M (x N y )；：(」M) _ ：：y jy ；:y訶一 (xM yN)2MNyN MN - yM * —dycy-(xM +yN)2J同理，例(y 2「3x 2)dy 2x y d x 0yy 2 -0 1 y 3-0 1 N(y)P(x)解此为齐次方程，故有积分因子J =1 (Px Qy) =1 (2x 2y y 3 _3x 2y) =1 (y 3 _x 2y)乘以积分因子，原方程化为■2222』 32[2x (y -x )]dx [(y -3x ) (y -xy)]dy = O这是一个全微分方程，它的通解为x 2x dx 0 2 2 0y - x2 2 2In y -In(y -x ) In y = C 其中C 为常数2、具有特殊结构的一阶微分方程 M (x, y)dx • N(x, y)dy = 0的积分因子的求法 2.1 方程 M (x)N(y)dx P(x)Q(y) =0有积分因子：显然,直接验证可得= 1旷 N(y)P(x)为上式的积分因子..f (x)dx • ■ (y)dy若(：：P).(：y) -(：Q) (：：X )二 Qf (x) -P “y)」「I-是方程的积分因子解：因为(：：P).(：：y) -(9) (；:x)2=6y x (2x 6y ) =(x 6y 2) 2(3y x)2 21 2 2一(x6xy)(-—)-(3y xy)(——)xy1 = Q(-—)-P()x y故有积分因子dx1 2xy于是原u[f(u)-gL )]dx g(」)d —0(1)(3 x 1 y)dx -(x y 1 2) 6)dy 二 0 (3 x)dx-6dy [(1 y) dx -(x y 2)dy] = 0这是一个全微分方程，积分得出通解为3ln x - 6y x y = C或 3yln x - 6y 2 x =cy2.2 设函数f(u),g(u)连续、可微且, 则方程yf(xy)dx - xg(xy)dy =0有积分因子:xy[f (xy)-g(xy)]证明:令沁二」,则原方程可化为，但对于一个较复杂的方程，往往不容易直接求得它的积分因(xy[ f (xy) -g(xy)]子•(1)式两边同乘以fT 齐得显然(2)为恰当方程，故(1)有积分因子 」[f(」)_g(」)]”因而原方程有积分因子dxg(Jdu = 01 2x故有积分因子■' - 1 2 2 2 2{xy[(x 2y 21) -(x 2y 2 一1)]}1乘上 —得2xy^xy 2dx 丄 dx -x 2ydy 2 2x 22（xy 2dx x 2ydy ） 2（空-包）=0x y二.针对满足某些条件的微分方程，运用积分因子方法求出通解但是如果把它的左端分成几组，比如分成两组：（M 1dx N 1dy ） （M 2dx N 2dy ） =0（3）后,可分别求得各组的积分因子 叫和^,也就是如果有J 1/l 2使SM 1 叫 N j dy 二J2M 2 」2N 2dy 二 d 」2于是借助于7,常可求得Mdx • NdY =0的积分因子.为了说明这一点，先注意 下一事实•如果「是Mdx • NdY =0的一个积分因子，且 ％」Ndy 二d ，,则」^1）也是Mdx • NdY =0的积分因子.此处 C 1）是，的任一连续函数. 事实上」3） Mdx "_ （」）Ndy 二（」）（」Mdx 订：Ndy ）二（Jd 」 其中①表示©的一个原函数•据此知,对于任意的函数 V ）及7（\）、2：：（」2）都分别是⑶的第一组和第 二组的积分因子.函数有着广泛选择的可能性.若能选择：：使亠=U 1 C\）「f ）则卩就既是（3）的第一组也是第二组的积分因子.因而也就是Mdx • NdY =0的积分因子.3y 2 x例:解方程：( 3x )dx - (1 )dy =0x y解:原方程改写为3(上dx dy) (3x2—)dy = 0x y显然丄i 二x,鋼=xy,丄2 二y,丄2 二x‘ y为使x \xy)二y (x3y),只须取丫")二"2,「(")= J于是求得原方程的一个积分因子：」二x (xy)二y (x3y)二x3y2而以之乘方程的两端，便得2 2 ^52、，，32 6x y 3x y )dx (x y x y)dy = 0于是/ \3 z 3 2P(x, y) = 0 (x2y3 +3x5y2)dx= —+ —(取c = 0) •••通解为(xy)3 . (x3y)2结论1 :设u(x, y)是方程M (x, y)dx N(x,y)dy =0的积分因子，从而求得可微方程U(x,y)使dU =亠(Mdx • Ndy) /(x,y)=曲(U )时」i(x,y)也是方程的积分因子,其中：(t)是t的可微函数.结论2:设u (x, y) , U2(x, y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy = 0的两个积分因子，且 F =常-2数，则匚1二C (任意常数)是方程的通解•^2结论3:假设当方程M(x,y)dx ・N(x,y)dy=O为齐次方程时，且为恰当方程，则它的通解可表示为xM (x, y)dx ■ yN(x, y)dy =c (c为任意常数).参考文献(顶格、宋体、小四号加粗)：[1] 刘广珠.高中生考试焦虑成因分析[J].陕西师大学报(哲社版)，1995,24( 1): 161-164.(参考文献序号在文中采用右上标注的方式，用数字加方括号表示，如[1]，[2]，…，序号应连续。
常微分方程2.2
一阶线性微分方程
a( x) dy b( x) y c( x) 0 dx
在a( x) 0的区间上可写成
dy P( x) y Q( x) (1) dx 其中P( x), Q( x)在考虑的区间上是x的连续函数
若Q( x) 0,则(1)变为
dy P( x) y (2) dx
解线性方程: dI R I E . dt L L
得通解为:
I(t)
Rt
ce L
E
R
I(t)
Rt
ce L
E
R
由初始条件I(0) 0得, c E R
故当开关K合上后,电路中电流强度为
I(t)
E
Rt
(1 e L )
R
作业
P37 7,8,11,12,15,16,20
代入(1)得 dc( x) Q( x)e p( x)dx
dx
积分得:
c(x)
Q(
x )e
p(
x )dxdx
~
c
故(1)的通解为
y e p( x)dx (
Q(
x)e
p(
x
)dxdx
~
c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
( x 1) dy ny e x ( x 1)n1 dx
注：对任意x0 I常数变易法求解
注意到一阶齐次线性方程的通解为y Ce P( x)dx ,
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解) 令y c( x)e p( x)dx为(1)的解,则
dy dc( x) e p( x)dx c( x) p( x)e p( x)dx dx dx
考研微分方程知识归纳
考研微分方程知识归纳
一、微分方程的基本概念：
1. 微分方程：含有导数或微分的方程称为微分方程。
2. 一阶微分方程：只含有一阶导数的微分方程。
3. 二阶微分方程：含有二阶导数的微分方程。
4. n阶微分方程：含有n阶导数的微分方程。
二、常见的微分方程类型：
1. 可分离变量的方程：可将微分方程写成形如dy/dx = f(x)g(y)的形式，通过分离变量并积分求解。
2. 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)的方程，通过变量替换和分离变量求解。
3. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的方程，可以利用积分因子或常系数法进行求解。
4. 高阶线性常系数齐次方程：形如anyn + an-1yn-1 + ... + a1y' + a0y = 0的方程，可以通过特征方程、待定系数法或常系数法进行求解。
三、常见的解法方法：
1. 积分法：将微分方程两边同时积分，然后求解常数项。
2. 变量替换法：通过对变量进行适当的变换，将原方程化简成更简单的形式，再进行求解。
3. 积分因子法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的线性方程，可以乘以积分因子μ(x)后使其变为可积分的形式。
4. 常系数法：对于高阶线性常系数微分方程，根据特征方程的根的情况，可以得到方程的通解。
5. 欧拉方程：对于形如x^n(d^n/dx^n)y + x^m(d^m/dx^m)y = 0
的方程，通过变量替换可以将其转化为常系数方程进行求解。
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。
在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。
本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。
一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。
一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。
常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。
显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。
常微分方程的解集通常具有唯一性。
其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。
在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。
二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。
具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。
1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。
首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。
2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。
特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。
特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。
3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。
特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
微分方程的经典解法
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
求解积分因子的方法整理
求解积分因子的方法整理积分因子是用于求解微分方程中的一种工具。
它是通过对微分方程进行一定的变换，使得变换后的微分方程可以方便地进行求解。
本文将介绍一些常用的求解积分因子的方法。
1. 修补法修补法是一种常用的求解一阶非线性微分方程积分因子的方法。
例如，考虑形如 y' + P(x)y = Q(x) 的微分方程。
我们可以将其变形成：y' + P(x)y - Q(x) = 0然后，我们找一个函数 f(x) 使得 f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] 是一个完全微分方程，即：f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)y]然后，我们令其等于 0，即可得到：这个方程的通解为：f(x)y = C，其中 C 为常数。
因此，我们可以将积分因子 f(x) 确定为：f(x) = e^{\int P(x)dx}2. 常数变易法然后，我们令其积分因子为 f(x)，即：考虑求出 f(x) 应满足的条件。
由于积分因子 f(x) 是一个乘积，因此其导数应该可以表示成一个和式，即：其中 A 和 B 是常数。
解这个常微分方程可以得到：其中 C 是常数。
因此，我们就得到了积分因子 f(x)。
3. 两类微分方程的积分因子对于形如 y' + P(x)y = Q(x) 和 y' - P(x)y = Q(x) 的微分方程，它们的积分因子分别为：其中，P(x) 和 Q(x) 是已知的函数。
对于形如 y'''+P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=S(x) 的三阶及以上的线性微分方程，我们可以通过求其特征方程来确定其积分因子。
特别地，当其特征根为实根时，其积分因子可以表示为：当其特征根为复根时，其积分因子可以表示为：f(x) = e^{\alpha x}[\cos(\beta x) + \alpha^{-1} \sin(\beta x)]其中，\alpha 和 \beta 是特征根的实部和虚部。
积分因子的求法及简单应用
积分因子的求法及简单应用数学科学学院摘 要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径,体现了积分因子的简单应用价值。
关键词：恰当微分方程;积分因子；对数公式；指数公式1. 恰当微分方程的概念及判定1.1 恰当微分方程的概念 我们可以将一阶方程(),dyf x y dx =写成微分形式(),0f x y dx dy -=或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += ⑴这里假设M(x,y ），N(x ，y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数,如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u （x,y ）的全微分. 即()()(),,,u uM x y dx N x y dy du x y dx dy x y ∂∂+==+∂∂则称方程⑴为恰当微分方程。
[]11.2 恰当微分方程的判定定理1[]2 假设函数M （x,y)和N （x,y ）在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有M Nyx ∂∂=∂∂. 利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程。
2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内M Nyx ∂∂≠∂∂，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。
对于非恰当微分方程,如果存在某个连续可微的函数u(x ，y ）≠0，使得()()()(),,,,0u x y M x y dx u x y N x y dy +=为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注[]1 可以证明,只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。
定理2[]2 函数u （x,y ）是方程⑴的积分因子的充要条件是u u M N NM u x y y x ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如：⑴ 0ydx xdy +=有积分因子1xy⑵ 0ydx xdy -=有积分因子21x -，21y ，1xy ，221x y +,221x y -例1 找出微分方程()()110xy ydx xy xdy ++-=的一个积分因子。
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学和物理学中，常微分方程是一个重要而广泛应用的概念。
常微分方程描述连续的变化，解决了许多实际问题和科学领域中的模型。
解常微分方程可以揭示系统的行为并预测未来情况。
在本文中，我们将探讨常微分方程的各种解法，包括常见的常系数线性微分方程、变速微分方程、欧拉方程等各类形式。
常系数线性微分方程一阶线性微分方程对于形如 $\\frac{dy}{dt} + ay = f(t)$ 的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
首先找到积分因子 $I(t) = e^{\\int a dt}$，然后将方程乘以积分因子得到$e^{\\int a dt}\\frac{dy}{dt} + ae^{\\int a dt}y = e^{\\int a dt}f(t)$，进而写成$\\frac{d}{dt}(e^{\\int a dt}y) = e^{\\int a dt}f(t)$。
对两边积分即可得到 $y = e^{-\\int a dt}\\int e^{\\int a dt}f(t)dt + Ce^{-\\int a dt}$。
高阶线性微分方程对于形如 $y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \\ldots + a_1y'(t) + a_0y(t) =f(t)$ 的 n 阶线性微分方程，可以利用特征根法求解。
首先找到特征方程$\\lambda^n + a_{n-1}\\lambda^{n-1} + \\ldots + a_1\\lambda + a_0 = 0$ 的根$\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n$，然后通解可表示为 $y(t) = c_1e^{\\lambda_1t} + \\ldots + c_ne^{\\lambda_nt} + y_p(t)$，其中y p(t)为特解。
变速微分方程变速微分方程描述的是系统参数随时间变化的情况，通常包含随时间变化的系数。
高等数学中的微分方程简介
高等数学中的微分方程简介微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等各个领域。
它描述了变量之间的关系，并通过求解方程来研究这些关系的性质和行为。
在高等数学中，微分方程是一个重要的研究内容，本文将对微分方程的基本概念、分类以及求解方法进行简要介绍。
一、微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(y\)是未知函数，\(y'\)表示\(y\)的一阶导数，\(y''\)表示二阶导数，\(y^{(n)}\)表示\(y\)的\(n\)阶导数。
方程中的\(F\)是已知函数，它是\(x\)、\(y\)及其导数的函数。
二、微分方程的分类微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
1. 常微分方程常微分方程中只涉及一个自变量，如\(y'=f(x)\)、\(y''+y=0\)等。
常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
- 一阶常微分方程：形如\(y'=f(x,y)\)的方程，其中\(f\)是已知函数。
- 高阶常微分方程：涉及到\(n\)阶导数的方程，如\(y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=0\)。
2. 偏微分方程偏微分方程中涉及多个自变量，如\(u_{xx}+u_{yy}=0\)、\(u_t=ku_{xx}\)等。
偏微分方程的求解相对复杂，一般需要借助数值计算方法。
三、微分方程的求解方法求解微分方程是微分方程学的核心内容，常见的求解方法有以下几种。
1. 变量分离法变量分离法适用于一阶常微分方程，通过将方程中的变量分离并进行积分求解。
例如，对于方程\(y'=f(x)g(y)\)，可以将方程改写为\(\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\)，然后对两边同时积分得到解。
微分方程中几种特殊积分因子的求法及应用
Ｍｄｘ＋Ｎｄｙ＝０ 具有形状
的积分因子的充要条件
为：
例 ６：解方程：
。
解：∵
，
而
于是积分因子为：
∴ 通解为：
。
注：此情形中 α、β 的确定可用待定法。 综上所述，掌握一些特殊情形的积分因子求法及部分特 殊结构微分方程的积分因子的求法将大大提高解微分方程的 效率和可操作性。
参考文献：
[1]王高雄，周之铱．常微分方程（第二版）[M]．北京：高等教育
an idempotent matrix and a tripotent matrix [J] . Lin.Alg. Appl.2002，354.21-34. [3]O.M.Baksalary.Idempotency of linear combinations of three
：
idempotent matrices, two of which are disjoint[J].Lin.Alg. Appl.2004，388.67-78. [4]H. Ｏzdemir et al..On idempotency of linear combinations of idempotent matrices [J] . p.159 (2004)439 - 448. [5]J.Benítez et al..Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a t-potent matrix that commute[J]. Lin.Alg.Appl.2005，403.414-418. [6]O.M.Baksalary et al..Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices,two of which are commuting[J]. Lin.Alg.Appl.2007，424.320-337. [7]M.Sarduvan et al..On linear combinations of two tripotent, idempotent,and involutive matrices[J]p.2008， 200.401-406.
一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法
2
x
f ( x ) d x + C1 d x + C2
.
( 15 )
例4 解 Euler 方程 x2 y″ - 4 x y′ + 6 y = x.
2 解 p1 = - 4 , p2 = 6 , f ( x ) = x. 其特征方程为λ +λ= 0 . 可取α= 0 . 代入 ( 15 ) , 原方程通解为
第 22 卷第 2 期 2006 年 4 月
大 学 数 学
COLL E GE MA T H EMA TICS
Vol . 22 , № .2 Ap r . 2006
一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法
宁荣健 , 唐 烁, 朱士信
( 合肥工业大学 理学院 ,合肥 230009)
[ 摘 要 ] 通过寻求积分因子 f 1 ( x) , f 2 ( x) , 求解一类二阶线性微分方程 , 包括二阶常系数线性微分方程 和二阶 Euler 方程 .
( 13 )
4 p2 - p2 4 p2 - p2 1 + 2 p1 1 + 2 p1 , u′ = u2 + . 2 4x 4 x2
该方程显然有形如 u =
λ 的特解 (λ为待定系数) . 代入上式后 , 得
微分方程的积分因子法
微分方程是数学中重要的研究对象，它通过描述变量之间的关系，可以用来解释许多自然现象和物理规律。
微分方程的求解是数学分析的重要方法之一，其中积分因子法是一种常用且有效的求解微分方程的方法。
首先，我们来了解什么是微分方程。
微分方程是包含未知函数及其导数的方程，一般形式为dy/dx = f(x,y)，其中y是未知函数，f(x,y)是已知的函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，常微分方程中只包含一个自变量，而偏微分方程中包含多个自变量。
解微分方程要找出满足方程的函数形式，而积分因子法是一种特殊的方法用来解决一类形式为M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的一阶常微分方程。
积分因子法的思想是通过引入一个适当的积分因子来改变微分方程的形式，从而使其变得可积。
具体步骤如下：1.将方程化为其标准形式：M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0，其中M(x,y)和N(x,y)为已知函数。
2.判断方程是否是恰当微分方程。
若满足∂M/∂y = ∂N/∂x，则该方程为恰当微分方程，直接求解即可；若不满足，则进行下一步。
3.求取积分因子。
积分因子可以通过通解公式I(x) = e^(∫P(x)dx)，其中P(x)为方程的系数。
4.将积分因子乘到方程上，得到恰当微分方程：I(x)M(x,y)dx +I(x)N(x,y)dy = 0。
5.求解恰当微分方程。
由于恰当微分方程是可积的，可以直接求出其解。
通过这样的步骤，利用积分因子法可以将一些常见的非恰当微分方程转化为恰当微分方程，从而能够更方便地求解微分方程。
需要指出的是，积分因子法并不适用于所有的微分方程，只适用于一些具有特定形式的微分方程。
对于其他形式的微分方程，可能需要使用其他的求解方法。
总结来说，积分因子法是一种求解常微分方程的有效方法，它通过引入适当的积分因子，将非恰当微分方程转化为恰当微分方程，从而更容易求解。
使用积分因子法需要熟悉方程的形式及其特点，才能正确选择和应用积分因子。
高考数学中常用的微积分计算方法整理
高考数学中常用的微积分计算方法整理微积分是高考数学的一个重要内容，也是很多人认为比较难的一个部分。
微积分在数学中有着很广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等，因此掌握微积分对于学习这些学科也会有所帮助。
下面，本文将整理高考数学中常见的微积分计算方法，供大家学习参考。
1. 导数导数是微积分中最基本的概念之一，表示函数某一点的切线斜率。
在高考中，常常需要求出函数的导数，以便计算极值、最值以及函数的单调性等。
(1) 常函数的导数为零，即 f(x)=c，则 f'(x)=0。
(2) 幂函数的导数为幂次减一的常数乘以自变量的幂次，即f(x)= x^n，则 f'(x)=nx^(n-1)。
(3) 指数函数的导数为以自然对数 e 为底数的指数函数 f(x)=a^x，则 f'(x)= a^x * ln a。
(4) 对数函数的导数为倒数，即 f(x)= ln x，则 f'(x)= 1/x。
(5) 三角函数的导数有特殊的规律，分别为：- 正弦函数的导数为余弦函数，即 sin(x)' = cos(x)；- 余弦函数的导数为负的正弦函数，即 cos(x)' = -sin(x)；- 正切函数的导数为正弦函数的平方加一，即 tan(x)' = 1 +tan^2(x)。
2. 不定积分不定积分是指在求函数 F(x) 的形式时，因已知函数 f(x) 的形式而求出 F(x) 的过程。
也就是求一函数的反导数的过程。
在高考数学中，常用不定积分来求解定积分。
(1) 幂函数的不定积分规律为：∫x^n dx= x^(n+1)/(n+1) + C。
其中，C 为积分常数。
(2) 指数函数的不定积分规律为：∫a^x dx= a^x/ln a + C。
(3) 对数函数的不定积分规律为：∫1/x dx= ln |x| + C。
绝对值符号是因为 x 不能等于零。
(4) 三角函数的不定积分规律包括：- ∫sinx dx= -cosx + C；- ∫cosx dx= sinx + C；- ∫tanx dx= -ln |cosx| + C；- ∫cotx dx= ln |sinx| + C；- ∫secx dx = ln |secx + tanx| + C；- ∫cscx dx = ln |cscx - cotx| + C。
微分方程的解法及应用概述
微分方程的解法及应用概述数学与应用数学专业学生刘倩指导教师徐玉梅摘要：用微分方程来刻画许多自然科学、经济科学甚至社会科学领域中的一些规律，这是微分方程应用的重要领域，也是其发展的动力。
微分方程是数学的重要分支，本文讨论微分方程的解法知识、在实际问题中的应用，以及用微分方程知识解决实际问题的方法步骤，并给出具体实例。
关键词：微分方程的应用微分方程的解法The solution to differential equation and overview ofapplicationStudent majoring in mathematics and applied mathematics qian liuyumei xuTutorAbstract: Using differential equation to depict many natural scienee and economic scienee even some laws in the field of social science,This is an important field of differential equations, as well as the development of power. Differential equation is an important branch of mathematics, this paper discusses the soluti on of the differe ntial equati on for the kno wledge and applicati on in the practical problems, and steps using the method of differential equation of knowledge to solve practical problems, and gives con crete examples.Key words: The application of differential equation ; The solution to differential equation ;引言：微分方程是与微积分一起形成发展起来的重要数学分支，已有悠久的历史,早在17-18世纪,牛顿、莱布尼兹、贝努里和拉格朗日等人在研究力学和几何学中就提出了微分方程。
微分方程积分因子法的应用
而
：
解决实际问题的能力有着极为重要的作用。
参考文献 ：
＝
ｌ Ｃ ）＋Ｎ（ ） （ ） ＝Ａ ｉ ｍ ｘ． ） ， ，
［］ １ 周义仓 ， 靳祯 ， 秦军林 ． 常微分方程及其应用——方法、 理 论、 建模 、 计算机 ［ ． Ｍ］ 北京 ： 科学 出版社 ，０７ ６ ６ ． ２ ０ ：０— ５
量法 解得方 程 （ ） ２ 的通解 为 ：
ｌ ｎ ｘ＋ｌｙ＝ｌｘ ｎ ｎ ｙ＝Ｃ （） ８
因子法 和初等积 分法 分 别 对 相 应 的 一 阶微 分方 程 进 行 求
解， 得到该微分方程 的两种形式 的通解 ， 根据微分方程 再 的两个通解之间的关系， 进而证明了初等数学 中的此类重 要公式。此外还有积分因子法在极限、 微分学中的应用。
又 由于ｌ 厂 ｉ ｍｅ 山＝＋∞ ， ｌ 且ｉ ａ ｒ
）＋Ｎ（ （ ）＝ ｘ ）
Ａ 则 由洛毕达法则得 ，
＝
因子法和初等积分法分别对相应 的一阶微分方程进行求
解， 得到该 微分 方程 的 两种 形 式 的通 解 ， 根 据微 分方 程 再 的两个 通解之 间 的关 系 ， 证 明了初等 数学 中的此类 重 进而 要公 式。最后 研究 了 积 分 因 子 法在 极 限、 分学 中 的应 微 用 。这些 方法 对于 训练我 们 的数学思维 、 用意识 和分析 应
数。
０ ｄ ）＝知 程 ） 通 为ｙＧ 即（ ， ０ 方 （还 解 。 ， ２有 ） ＝ｎ
（） ９
＝Ｃ
１ 积分 因子法在 初等 数学 中的应 用
于是 方程 （ ） ２ 有两 种形 式 的通解 （ ） （ ） 根据 引理 ８和 ９ ，
１ 有 则 ＝咖 （ ｙ ｍ ） （Ｏ １）
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s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一 一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成 一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)
y2(ln y c), c为任意常数.
x3 (
(4x2
1)
1 x3
dx
c)
x3 ln x4 x cx3
2
将初始条件 y(1) 1代入后得 c 3
故所给初值问题的解为
2
y x3 ln x4 3 x3 x 22
初值问题
dy P(x) y Q(x) (1) dx y(x0 ) y0
的解为：
x
y
P(s)ds
x0 y e0
例4 求方程 dy y x2 dx 2x 2y
的通解.
解: 这是Bernoulli 方程, n 1, 令z y2, 代入方程得
dz 1 z x2 dx x
解以上线性方程得
z
e
1 x
dx
(
x
2e
1 x
dx
dx
c)
cx 1 x3 2
将z y2代入得所给方程的通解 为:
y2 cx 1 x3 2
作业
P49 1(2),(4),(12),(15),(16) 2, 5
选择=结果
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此外， y=0 也是解
例3 求初值问题 dy 3 y 4x2 1, dx x
的解.
解: 先求原方程的通解
y(1) 1
y
e
p( x)dx
(
Q(x)e p(x)dxdx c)
e
3 x
dx
(
(4x2
1)e
3 dx
x dx
c)
x3(
(4x2
1)
1 x3
dx
c)
x3(4 ln
x
1 2x2
c)
30 变量还原
例3 求方程 dy 6 y xy2 的通解. dx x
解 这是 n 2 时的伯努利微分方程。令 z y1
得
dz y2 dy
dx
dx
代入原方程得到 dz 6 z x dx x
求得它的通解为
z
c x6
x2 8
代回原来的变量，得到方程的通解为
x6 x8 c y8
此外，方程还有解 y 0
例1 求方程
(x 1) dy ny ex (x 1)n1 dx
的通解,这里n为常数 解: 将方程改写为
dy n y ex (x 1)n dx x 1
积分因子为
e p(x)dx
e
n dx x1
(x
1) n
故通解为 y (x 1)n (ex c), c为任意常数
例2 求方程
dy y dx 2x y2 通解.