—逆矩阵

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第三章矩阵的逆

唯一性：是可逆矩阵，的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一是可逆矩阵的逆矩阵唯一证明：证明：设B、C都是的逆矩阵，则都是A的逆矩阵、都是的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二：逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。的伴随矩阵。的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例：设n阶矩阵及s阶矩阵都可逆，求阶矩阵A及阶矩阵都可逆，阶矩阵B都可逆阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4

逆矩阵

显然， I 1 I .
今后将不存在逆矩阵的方阵称为退化阵或奇异阵．
需要解决的问题包括： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A−1 ？
结论： I 1 I .
1

问题：对角阵

2

的逆矩阵是什么？

s
ห้องสมุดไป่ตู้
知识点：对角阵的“左行右列”法则
A1 B1
1

A1
1

B1
1
A B.
定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = ATA = I，即 A−1 = AT，则称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵．
作业
P.66 9、12、19
1
1 1 / 1

答：当 123

0
时，

2

1 / 2

.

3
1 / 3
结论： I 1 I .
1

问题：对角阵

2

的逆矩阵是什么？

s

知识点：对角阵的“左行右列”法则
答：当 12
1 / 1
2.3 逆矩阵
•矩阵与实数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和实数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.
对于 n 阶单位矩阵 I 以及同阶的方阵 A，都有
An In In An An
从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 I 在同阶方阵中的地位类似于 1 在实数中的地位．一个实数 a ≠ 0 的乘法逆（即倒数） a−1 可以用等式 a a−1 = a−1a = 1 来刻划. 类似地，有

《线性代数》逆矩阵

,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E，即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵，所以BCA＝E,正确选项为④ ．

逆矩阵

A1称为 A 的可逆矩阵或逆阵. 则矩阵
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
1 0
2 1
3 0
1 2 3 3 2 1 1 3
0 3 4
3 4 1 0
4 0, 所以A可逆 .
2 2 1 3
A11 A13
3, 5,
A12
4,
同理可求得
A21 3 , A22 0 , A23 1, A31 1, A32 4 , A33 3.
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
3,
同理可得
A13 2, A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
故
6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2
3 2 6 4 1 2 1 1 A 1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1
1 1

A.

逆矩阵的定义及性质

ro luo r 1 0 OJ11 OJ <0 ]
[3 0、[1/3 0、 11 0、 Lo Lo L J<0
1/3 0]0 0]
<0 1JLo
定理2初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等
矩阵.
分析先看二阶的情形：
r IVO 1) _ri o〕
lo
oJll oj O]0/3 0
IJLO i
<0 、 11J 0、
并且(M…"1 F…邳色•
定理
3
证明（
其中Pl9 P29…,氏为初等矩阵,
由于初等矩阵都可逆，而且可逆矩阵的乘积仍然可逆, 所以』可逆.
定理3矩阵幺可逆。4可以写成一些初等矩阵的乘积. 证明(=>)因为4可经初等行变换化为行最简形矩阵玖
故存在初等矩阵R,「2,…，己使得 U=Ps...P2PrA.
定理4设A^jmxn矩阵，则存在所阶可逆矩阵尸和
«阶可逆矩阵Q使得A =PE^nQ^A的标准分解其中
ERn= %
为幺的等价标准形.
证明因为A可经初等变换化为等价标准形E鶴, 反过来,E編可经初等变换化为A,
即存在如阶初等矩阵Pi，P”..,Ps和"阶初等矩阵
0, 0,…,0使得氏..强E厲00...0 =4 于是令P = Ps...P2Pl,
I)T=ET=E
性质(1)若4可逆，则也可逆并且JT)T =4
(2) 若A可逆，则-T也可逆并且以T)-1 = (Q)T.
(3) 若4可逆,4为非零的数，
则kA也可逆，并且(kA) 】=LAT. (4) 若A,B为同阶可逆矩阵，
则也可逆，并且(4B)T = \、反序律
证明=A(BBl)Al = AEA1 = AA1 = E (B^A-^iAB) = = Br^EB = BrlB =E

大学线性代数：矩阵的逆

* 1 ⎛ d − b⎞ A ⎜ ⎟ = . A = ⎜ ⎟ | A| ad − bc ⎝ − c a ⎠
−1
例
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 求 A = ⎜ 1 2 − 3 ⎟ 的逆矩阵. ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1
解
| A |=
1 2 −3 0 1 1
= 3 ≠ 0.
1 −3 1+ 2 1+1 = −1, A = ( − 1 ) = 5 , A11= ( −1) 1 1 12 0 1 1 −1 1+ 3 1 2 2 +1 = 1, A13 = ( −1) A21= ( −1) 1 1 = −2, 0 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ L 1 / an ⎟ ⎠ L L L 0 0 L
试验证 A =
−1
0 ⎛ 1 / a1 ⎜ 1 / a2 ⎜ 0 ⎜ L L ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
证Q
⎛ a1 0 ⎜ ⎜ 0 a2 ⎜L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
L 0 ⎞⎛ 1 / a1 0 ⎟⎜ L 0 ⎟⎜ 0 1 / a2 L L ⎟⎜ L L ⎜ ⎟ ⎟ L a n ⎠⎜ 0 ⎝ 0
⎛ −2 1 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 10 − 4⎟. ⎜ − 10 4 ⎟ ⎝ ⎠
例设A是n阶可逆矩阵，B是n × m矩阵，则矩阵方程 AX = B有惟一解。
−1 可令矩阵 X = A B 解：由于A可逆，A 存在， 0
-1
则 AX 0 = A( A B) = ( AA )B =
设X 1也是方程的解，则有 A X 1 = B
L 0 ⎞ ⎛1 0 L 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ L 0 ⎟ ⎜0 1 L 0⎟ =⎜ ⎟ L L L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ L 1 / an ⎠ ⎝ 0 0 L 1 ⎟ ⎠

课件：逆矩阵

(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则 AB亦可逆, 且
( AB)1 B1A1 (4) 若A可逆，则AT也可逆，且( AT )1 ( A1)T.
(5) 若A可逆，则 A1 A 1 .
(6)( A )1 ( A1) A 1 A. (7)( A ) A n2 A,当n 2时，( A) A
证明：若 AB E，则 AB A B 1，故 A 0，即 A可逆, 且 B ( A1A)B A1( AB) A1, 同理，B可逆，且 A B1 .
方阵A的逆矩阵的求法:
(1) 利用公式 A1 1 A, (适用于二阶、三阶矩阵求逆) A
(2) 寻找方阵 B , 使得 AB E. (适用于抽象矩阵求逆)
【例9】设
3 1 0
A
2
2
0
0 0 4
解 AX A 2X
解方程 AX A 2X .
AX 2X A
( A 2E) X A,得到
X ( A 2E )1 A,
1 1 0 1 3 1 0
X
2
4
0
2
2
0
0 0 2 0 0 4
4 1 0 3 1 0
1 2
5 10
5 15
，
5 0 0 1 0 0
则
A1
A* A
1 25
0 0
5 10
5 15
1 5
0 0
1 2
13
若|A|＝ 0, 则称 A为奇异矩阵 (退化矩阵) . 若|A|≠ 0, 则称 A为非奇异矩阵 (非退化矩阵).
推论：设A、B为同阶方阵，若 AB E，
则 A和 B都可逆，且 A1 B，B1 A .
(8)(AB) BA
注： ( A B)1 A1 B1

线性代数-逆矩阵

b 2 :
a m1
a m2
...
a mn
x n
b m
线性方程组可记为AX=b.
A
Xb
对线性方程组AX=b, 若A为可逆方阵, 则方程组有唯一解, 可得 X=A-1b.
例5 解线性方程组解写成矩阵形式
y 2z 1 x y 4z 1. 2x y 2
0 1 2 x 1 1 1 4 y 1. 2 1 0 z 2
练习设方阵A满足A2–A–2E=0, 证明A, A+2E 都可逆, 并求其逆矩阵.
解: 由A2–A–2E=0A(A –E)=2E |A||A –E|0 A可逆, 且A-1= (A –E)/2.
由A可逆及A+2E=A2 A+2E可逆.
(A+2E)-1= (A –E)2/4或(3E –A)/4.
例4 设A为满秩方阵, 且AB=0. 证明: B=0.
证明 A是满秩矩阵即A是可逆矩阵, 这样
A-1(AB)=A-1•0=0.
另外 A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B.
因此B=0.
在矩阵乘法之中我们知道若AB=0一般不能得到A或B中至少有一个为零矩阵. 但当A, B 之中有一个为满秩方阵时, 由本例证明, 另一个一定为零矩阵. 在以后的学习中我们还会得到更一般的结论.
同理B-1 =A.
逆矩阵的性质
性质1 若A可逆，则A-1 可逆，且(A-1 )-1=A. 性质2 若A,B可逆, 则AB可逆,且(AB)-1=B-1 A-1. 性质3 若A可逆, 则 | A1 || A |1 1 .
| A| 性质4 若A可逆, 则(A-1)=(A)-1.
性质5 若A可逆, 数k0, 则 (kA)1 1 A1. k

逆矩阵存在的充分必要条件方阵A可逆且推论

再转置。如
3 1 3 3 3 3 3 T 4 2 1 3 3 1 4 3 T 0 5 6 5 6
T
先把子块当作元素运算，然后子块再运算。
1 1 3 A23 1 3 2 1
1 1 A33 2 3 1
1 3 7 A31 1 A32 3 2 1 2
0 1 1 * A 5 3 7 1 1 2
所以
1 0 1 A 1 5 3 7 1 1 2
——只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。
★ 分块矩阵的乘法运算
设A、B矩阵分块得
A11 A21 A A r1
A12 A22 Ar 2
A1s A2 s Ars C1t C2 t Crt
B11 B21 B B s1
0 n 0 n
列分块
P 1
P 2
1 ... P n 0
P P2 ... Pn 1
分块矩阵的转置运算——子块当作元素转置后子块本身
T 3 2 T 3 2 1 0 1T 3 1 4 5 3 3 3 6 T 0
A为分块对角矩阵。
A11 A
A22
Ass
其中A i i 为方阵子块，其余子块均为零子块
★分块对角矩阵的性质（1） A A 11 A 22
1 A11 （2）若A可逆，则 A1 1 A22
Ass
1 Ass

逆矩阵

A
1 2 3 4
2, A11 4, A12 3, A21 2, A11 1
2 1 4 2 1 A 1 , A 3 3 1 2 2
§3
解法二
逆矩阵
a b 设 B 是A的逆矩阵, c d
(1)矩阵A的两个多项式φ(A) 和f (A)是可换的,即 φ(A) f (A) = f (A) φ(A) , (2)如果A =P∧P-1,则Ak =P∧kP-1,从而φ(A) = Pφ(∧)P-1,
§3
( ) a0 E a1
逆矩阵
am m n 1m am n m
所以A 的逆矩阵是唯一的.
A的逆阵记为A-1,即 AA-1=A-1A=E
§3
例
逆矩阵
1 A 1 2 2 , B 1 4 2 1 1 , 2
1 0 1 0 AB , BA 0 1 0 1
2 A1 1 2 1 , B 1 1 2 1 1 4 2
2 m
§3
逆矩阵
例设方阵A满足方程A2 - A -2E=0,证明A, A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵. 解 (1) 可得 A2 - A -2E=0 A(A - E)=2E
1 A ( A E ) E, 2 因此A可逆。
§3
(2)
逆矩阵
A2 - A -2E=0
可得(A+ 2E)(A -3E)+4E =0
(3)如果∧=diag (λ1, λ2 , ∙ ∙ ∙ λn )为对角矩阵,则∧k=diag (λ1k, λ2k , ∙ ∙ ∙ λnk),

第7讲矩阵的逆

变换化为单位矩阵（矩阵是满秩）
A 0
四逆矩阵的性质
(1) 若A可逆， (A1)1A
AA1=I
(2) 若A可逆，数l0，则(lA )1l1·A1
证明 lA• l1A1 ll1 • AA1 I 所以: (lA )1l1A1
(3) 若A可逆，则 (AT )1(A1)T
证明 AT(A1)T (A1A)T ITI，
所以 (AT )1(A1)T
(4)若A、B为同阶可逆矩阵，则 (AB )1B 1A1
证明 (AB)(B1A1) A(BB1)A1 AIA1AA1I
所以: (AB )1B 1A1 推论: (ABC)1C 1B 1A1
注意逆矩阵顺序，和转置相
(ABCD)1D-1 C 1B 1A1
似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
1 1 1
13 20 31
3 1 5 2
2 1 10 4 10 4
矩阵方程
AX B XA B AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1C B1
练习：解矩阵方程 X XA B 其中
1 0 1
A
2 3
1 2
03
B
1 3
2 4
1 1
解： X XA B
有 XE XA B
(I-A)-1=I+A+A2+...+Ak-1
证明 (I A)(I A A2 ... Ak1) I A A2 ... Ak1 A A2 ... Ak I Ak I
所以 I-A 可逆,且
(I A)1 I A A2 ... Ak1
矩阵可逆的充要条件
A矩阵可逆
A矩阵可经有限次初等行

逆矩阵

（2）将单位矩阵的第 i 行（列）乘以一个数 k ，得下列初等矩阵：
1
E (i(k
))
1 k 1
i列
i行
．
1
若用 E(i(k)) 去左乘一个矩阵 Amn ，其结果就是对矩阵 Amn 施行一次第 i 行乘以数 k 的初等行变换．
1.3 初等矩阵
（3）将单位矩阵的第 j 行（列）的 k 倍加到第 i 行（列），得到下列初等矩阵：
证明因为 AB(B1A1) A(BB1)A1 AEA1 AA1 E ， (B1 A1) AB B1( A1A)B BEB1 BB1 E ，故 ( AB)1 B1A1 ．
1.2 逆矩阵的性质
性质 4 若 A 是可逆矩阵，则 Am 也可逆，且 ( Am )1 ( A1)m ；
证明因为 Am ( A1)m ( AA1)m Em E ， ( A1)m Am ( A1A)m E m E ，故 ( Am )1 ( A1)m ．
1.4 利用初等变换求矩阵的逆
定理4 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积．
证明充分性是显然的，因为初等矩阵是可逆的，根据逆矩阵的性质，所以 A 也可逆．必要性：由定理 3 可知，存在初等矩阵 P1 ，，Ps ，使得 Ps P1A E ．所以有 A (Ps P1)1 E P11 Ps1 ．其中 P11 ，，Ps1 仍然是初等矩阵．
因 Ps P1A E ，Ps P1E A1 ，所以，也可用初等列变换求矩阵的逆，即
1.3 初等矩阵
（1）互换单位矩阵的两行（两列），得下列初等矩阵
1 E(i ，j)
0 1
1
i列
1
1 0
j列
i行． j行 1

线性代数2_3逆矩阵

又因为
0 −1 B= 1 2
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
《线性代数》
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结束
2. 可逆矩阵的定义定义1 对于n阶矩阵阶矩阵A，如果存在n阶矩阵阶矩阵B，定义对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得 AB=BA=E， = = ，那么矩阵A称为可逆矩阵，称为可逆矩阵称为A的逆矩阵那么矩阵称为可逆矩阵，而B称为的逆矩阵. 称为的逆矩阵. 定理1 如果矩阵A可逆可逆，的逆矩阵是唯一的. 定理如果矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的即若AB= = = A的逆矩阵记为 −1 . 即若 =BA=E ，则B=A−1 . 的逆矩阵记为A 的逆矩阵记为由于A，位置对称位置对称，互逆，由于，B位置对称，故A，B互逆，即B=A−1， A=B−1. 如，互逆 = ， =
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,
《线性代数》
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
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0 −1 ∴B = 1 2
结束
例1
设
2 A= −1
1 , 求 A 的逆阵 . 0
逆矩阵(inverse matrix) 第3节逆矩阵
3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质 3.4 用逆矩阵求解线性方程组 3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 3.6 伴随矩阵的常用性质

求逆矩阵的方法

求逆矩阵的方法逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、微积分、概率统计等领域都有着广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要对矩阵进行逆运算，以便求解方程组、进行线性变换等。

那么，如何求逆矩阵呢？下面我们将介绍几种常用的方法。

1. 初等变换法。

初等变换法是求逆矩阵的一种常用方法。

首先，我们将待求逆的矩阵写成增广矩阵的形式，即将单位矩阵拼接在原矩阵的右侧，然后通过一系列的初等行变换，将原矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右侧就是所求的逆矩阵。

这种方法简单直观，适用于小规模矩阵的求逆运算。

2. 初等矩阵法。

初等矩阵法是另一种常用的求逆矩阵的方法。

我们知道，对一个矩阵进行一系列的初等行变换，实质上可以看作是左乘一个初等矩阵，因此，如果我们能够找到一系列的初等矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵，那么这些初等矩阵的逆矩阵的乘积就是原矩阵的逆矩阵。

这种方法适用于大规模矩阵的求逆运算，因为可以通过计算初等矩阵的逆矩阵，避免直接进行行变换。

3. 克拉默法则。

克拉默法则是另一种求逆矩阵的方法，它适用于方阵且可逆的情况。

根据克拉默法则，一个矩阵的逆矩阵可以通过它的伴随矩阵来求解，具体的求解过程可以通过矩阵的代数余子式和行列式来完成。

这种方法在理论上很有意义，但在实际计算中往往效率较低，因此一般不适用于大规模矩阵的求逆运算。

4. 特征值和特征向量法。

特征值和特征向量法是一种更加高级的求逆矩阵的方法。

通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，从而进一步求得矩阵的逆矩阵。

这种方法在理论上非常有深度和广泛的适用性，但在实际计算中往往较为复杂，因此一般适用于特定的矩阵结构和特定的求逆问题。

综上所述，求逆矩阵的方法有很多种，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。

在实际应用中，我们往往会结合多种方法，以求得更加高效和精确的结果。

希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，谢谢阅读！。

逆矩阵的几种求法及解析

. .. . .. ..逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证: 如果方阵A 满足A K= 0, 那么E-A是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K证明因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,因A K= 0 ,于是得(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111 其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性：设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111，其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A4.2.准三角形矩阵求逆命题设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。

逆矩阵三个公式

逆矩阵三个公式逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在求解线性方程组、计算矩阵的行列式、求解线性变换等问题中都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍逆矩阵的三个公式，并通过实例展示其应用。

一、逆矩阵的定义逆矩阵是指对于一个给定的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

如果一个矩阵存在逆矩阵，则称之为可逆矩阵或非奇异矩阵，反之则称为奇异矩阵。

二、逆矩阵的计算公式1. 克拉默法则克拉默法则是求解线性方程组的一种方法，它可以通过逆矩阵的概念来推导。

对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·adj(A)，其中det(A)为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。

2. 初等变换法通过初等变换法，我们可以将方阵A通过一系列初等行变换或初等列变换转化为单位矩阵I，此时我们所做的变换操作在另一个矩阵上执行，得到的矩阵即为A的逆矩阵。

具体而言，设A经过一系列初等行变换得到I，则对应的初等行变换矩阵记为E1，同理，设A经过一系列初等列变换得到I，则对应的初等列变换矩阵记为E2，则A的逆矩阵为A^-1=E1·E2。

3. 公式法对于一个2阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·[d -b;-c a]，其中a、b、c、d分别为A的元素。

对于一个3阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·[A11 A12 A13;A21 A22 A23;A31 A32 A33]的转置矩阵，其中Aij为A的代数余子式。

三、逆矩阵的应用实例为了更好地理解逆矩阵的应用，我们以线性方程组的求解为例进行说明。

考虑一个线性方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 2我们可以将其表示为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。

我们可以通过求解逆矩阵来解得未知数向量x。

第二章§3 逆矩阵

注意排列
伴随矩阵，简称伴随阵，伴随矩阵，简称伴随阵，记作 A 有结论: 对于 A∗ 有结论 A∗ A = AA∗ = A E
A = A
∗ n −1
(教材教材P48 例4) 教材
3.2 矩阵可逆的条件
定理 2.2
为可逆阵，且如果 A 为可逆阵，则有
−1
给出求A 给出求 -1的方法
矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 ,
∗
a22 L a2 n 0 A21 L MAn1 = M M An 2 L ann n 2 0 L A a 22
a12 L a1n A 0 L 0 A 的各元素的代数余子式 Aij
A L M
0 M 0 L A 称为方阵A的称为方阵的
−1
= A
−1
Proof Go on
当 A ≠0
可定义 A0 = E，A- k=(A-1)k k ∈ N ，
3.3 可逆矩阵的性质
Note： 1、若 A 可逆，则 AB = AC 、
−1 −1
⇒
B=C
−1
2、 A、B 可逆，A+B 未必可逆；即使 A+B 、可逆，未必可逆；可逆，可逆，一般
Q A = 2 ≠ 0, ∴ A 可逆
解:
A11 = 1，A12 = 0，A13 = −1， A21 = −2，A22 = 2，A23 = 2
A31 = 1，A32 = −2，A33 = 1
1 −2 1 ∗ 1 −1 A = 0 2 ∴ A = A 2 −1 2
3 2 1 1 ( A∗ )−1 = 1 A = 1 1 1 1 2 A 1 0 1 −2

总结求矩阵的逆矩阵方法

华北水利水电学院总结求矩阵的逆矩阵方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：浅析求矩阵的逆矩阵方法摘要：矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

关键字矩阵逆矩阵可逆1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA11例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理，存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AAE 11--==即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q Al 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

矩阵和逆矩阵的关系公式

矩阵和逆矩阵的关系公式
摘要：
一、矩阵和逆矩阵的定义
二、矩阵和逆矩阵的关系公式
三、逆矩阵的应用场景
正文：
矩阵和逆矩阵的关系公式在数学领域具有重要的地位。

矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列，通常用于表示线性方程组。

逆矩阵则是矩阵的逆矩阵，是一个与其相乘后等于单位矩阵的矩阵。

矩阵和逆矩阵的关系公式是矩阵乘法的逆矩阵公式，即若A 是一个n 阶矩阵，则其逆矩阵A^-1 存在当且仅当矩阵A 的行列式不为零，此时A^-1 的元素是矩阵A 的元素的反转。

矩阵和逆矩阵的关系公式在解决线性方程组时非常有用。

设线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为[A|I]，其中I 是单位矩阵。

若A 的行列式不为零，则可以使用矩阵乘法的逆矩阵公式来求解该线性方程组，即X=A^-1*B，其中B 是方程组的常数项向量。

逆矩阵的应用场景包括但不限于以下几个方面：
1.求解线性方程组：逆矩阵可以用于求解线性方程组，尤其是当系数矩阵的行列式不为零时，逆矩阵是解决该线性方程组的高效方法。

2.矩阵的幂：设矩阵A 的逆矩阵为A^-1，则矩阵A 的幂可以表示为
A^n = A*A^(n-1) = A*(A^-1)^(n-1)。

3.矩阵的行列式：逆矩阵可以用于计算矩阵的行列式，若矩阵A 的逆矩阵
为A^-1，则|A| = 1/|A^-1|。