新高考高中数学核心知识点全透视专题3.1 函数(精讲精析篇)

专题3.1函数（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 求函数的定义域

1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

2.已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．

3．抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

【典例1】（2019·江苏高考真题）函数2

=+-_____.

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y x x

【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2

B.1

[1]3

，

C.[-15]，

D.无法确定

【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()

2

1f x -的定义域为

_______________. 【特别提醒】

求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．

热门考点02 求函数的解析式

1. 求函数解析式的四种方法

【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3

+3x 2

+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2

，

x R ∈，则实数a=_____，b=______.

【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()2

2144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.

【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式

()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．

【特别提醒】

谨防求函数解析式的两种失误：

(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．

如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2

＋1，函数f (x )的定义域是[0，

＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．

热门考点03 分段函数及其应用

1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．

3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则

的值等于

__________．

【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩

，则下列函数的图象错误的是

（ ）

A.(1)f x -的图象

B.()f x -的图象

C.(||)f x 的图象

D.|()|f x 的图象

【典例9】（上海高考真题（理））设若

，则a 的取值范围为_____________.

【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围

是__________．

【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0

,0

,2

2

x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围

是______ 【总结提升】

关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．

热门考点04 函数的单调性与最值（值域）

1.增函数、减函数

（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有

()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；

（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有

()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.

2.函数的最值

（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：