新高考高中数学核心知识点全透视专题3.1 函数(精讲精析篇)

专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【典例1】（2019·江苏高考真题）函数2=+-_____.76y x x【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________．【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（ ）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________．【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； ②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞B.[1,)+∞C.[2,)+∞D.(,2]-∞【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（ ）A.1B.2C.12D.13【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))． （3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． 【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ） A.50-B.0C.2D.50【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【总结提升】 拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（ ）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<<D.{}10x x -剟2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（ ）． A.32x + B.38x + C.31x -D.34x -3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞UD.R5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．16.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（ ） A.1-B.1C.3-D.07.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()f x = ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+f （2）= .10.（2019·上海闵行中学高一期中）已知21(1)()(1)(1)x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则(3)f =________11．（2019·上海市第二中学高二期末）若函数()3f x x a =+为奇函数，则()1f =______．12.（2018·上海上外浦东附中高一月考）函数()21y k x b =++在R 上是增函数，则实数k 的取值范围是_________.13.（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知函数2y x =，[]0,3x ∈，则函数的值域为__________.14.（2015·浙江高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．15.（2019·上海市高桥中学高一期末）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x -<，则x 的取值范围是_________.16.（2018·上海曹杨二中高一期末）设函数()1f x x =-，若0a b <<且()()f a f b =，则ab 的取值范围是_________；专题3.1函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 求函数的定义域1.(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【典例1】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例2】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，， 故选：C ．【典例3】（2018·上海上外浦东附中高一月考）已知()f x 的定义域为[]3,3-，则()21f x -的定义域为_______________.【答案】[]22-,【解析】由于函数()y f x =的定义域为[]3,3-，对于函数()21y f x =-，有2313x -≤-≤，即224x -≤≤，即24x ≤，解得22x -≤≤.因此，函数()21y f x =-的定义域为[]22-,. 故答案为：[]22-,. 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．热门考点02 求函数的解析式1. 求函数解析式的四种方法【典例4】（2016·浙江高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x –b)(x –a)2，x R ∈，则实数a=_____，b=______.【答案】－2，1【解析】()()32323232313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，()()()()2322222x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223{20 3a b a ab a b a a --=+=-=--，解得2{ 1a b =-=． 【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）若()22144f x x x +=+,则()f x 的解析式为__________.【答案】2()1f x x =- 【解析】 令21x t +=，12t x -∴=，代入()22144f x x x +=+，()22114()4122t t f t t --∴=+⋅=-， 故答案为：2()1f x x =-．【典例6】（2018·上海市金山中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的函数，且满足对任意,x y 等式()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，则()f x 的解析式为_____________．【答案】()()31f x x x =+ 【解析】Q ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y ，()()()22343f y x f x y x y -=-+-+恒成立，∴令y x =，得()()()22343f x x f x x x x -=-+-+， 即()()()2333f x f x x x =-++，()()3333f x x x ∴=+， ()()31f x x x ∴=+.故答案为：()()31f x x x =+ 【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．热门考点03 分段函数及其应用1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例7】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则的值等于__________． 【答案】【解析】 因为，所以.【典例8】（2018·上海市金山中学高一期末）已知()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是（ ）A.(1)f x -的图象B.()f x -的图象C.(||)f x 的图象D.|()|f x 的图象【答案】D 【解析】 作出()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，如下图(1)f x -的图象，由()f x 的图象向右平移一个单位，故A 正确；()f x -的图象，由()f x 的图象y 轴右侧的翻折到左侧，左侧翻折到右侧，故B 正确； (||)f x 的图象，由()f x 的图象右侧的保留不变，且把右边的翻折到左边，故C 正确；|()|f x 的图象，把x 轴下方的翻折到上方，图象与()f x 一样，故D 错误；故选：D【典例9】（上海高考真题（理））设若，则a 的取值范围为_____________.【答案】(,2]-∞ 【解析】由题意，若2a >，则(2)2f =不合题意，因此2a ≤，此时[,)x a ∈+∞时，2()f x x =，满足(2)4f =.【典例10】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________． 【答案】.【解析】 由，得或，得或，即得取值范围是，故答案为.【典例11】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤【解析】由题意()()()202f a f a f a <⎧⎪⎨+≤⎪⎩或()()202f a f a ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得()2f a ≥-，当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得，0a <或a ≤≤，故a ≤【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．热门考点04 函数的单调性与最值（值域）1.增函数、减函数（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； ②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.【典例12】函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A ．-3B ．13 C. 7 D ． 5 【答案】B【解析】由题意知函数()f x 的对称轴224b mx a =-==-，所以8m =-，所以(1)28313f =++=，故选B ．【典例13】（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）若函数2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,1]-∞ B.[1,)+∞ C.[2,)+∞ D.(,2]-∞【答案】D 【解析】由题意，函数2()21f x x mx =-+，开口向上，其对称轴x m =，∵在[2,)+∞上是增函数，∴2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞， 故选D.【典例14】函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的最大值为（ ）A.1B.2C.12D.13【答案】B 【解析】当1x ≥时，函数()1f x x=在()1,+∞单调递减，此时()f x 在1x =处取得最大值，最大值为()11f =； 当1x <时，函数()22f x x =-+在0x =处取得最大值，最大值为()02f =． 综上可得，()f x 的最大值为2．故选：B ． 【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))． （3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．热门考点05 函数的奇偶性、周期性与单调性1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：(2)图象法：2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f (－x )＝－f (x )或偶函数满足f (－x )＝f (x )列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f (0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． *3.函数周期性的判定及应用(1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合考查．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． 【典例15】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]- B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【典例16】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ） A.50- B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.【典例17】（2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】6 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=. 【典例18】（2013·上海高考真题（理））设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 .【答案】87a ≤- 【解析】∵()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，2()()97a f x f x x x=--=+-，而229729767a a x x a x x+-≥⋅-=-，当些仅当3x a =时，“=”成立，∴当0x >时，要使()1f x a ≥+恒成立，只需86717a a a -≥+⇒≤-或85a ≥，又∵0x =时，(0)01f a =≥+，∴1a ≤-，综上，故实数a 的取值范围是8(,]7-∞-.【总结提升】 拓展：1.函数奇偶性的判断(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 2．熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.3.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期.巩固提升1.有意义的实数x 的取值范围是（ ）A.{|0x x >或}1x <-B.{|0x x …或}1x -„ C.{}10x x -<< D.{}10x x -剟【答案】C 【解析】依题有，2x x ⎧--≥⎪≠，解得10x -<<．故选：C ．2．（2019·重庆高一）若()335f x x +=+，则()f x 等于（ ）． A.32x + B.38x + C.31x - D.34x -【答案】D 【解析】令3x t +=，所以3x t =-，所以()()33534f t t t =-+=-，所以()34f x x =-， 故选：D.3.（2017·浙江高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．4.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ） A.()2,+∞ B.()1,-+∞ C.()()1,22,-+∞U D.R【答案】C 【解析】幂函数的零次方底数不为0，即20x -≠ ，2x ≠；偶次方根被开方数大于等于零，分式分母不为零，即10x +>，1x >- 所以()()1,22,x ∈-+∞U . 故选：C5.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D 【解析】(2)f x +是偶函数，则()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是奇函数，则(0)0f =，且()f x 是周期函数，且周期为4，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．故选D ．6.（2019·山西省长治市第二中学校高一期中）已知函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则+a b 的值是（ ） A.1- B.1C.3-D.0【答案】B 【解析】∵函数2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -的偶函数， ∴320a a -+=，解得1a =，由()()f x f x =-得0b =，即1a b +=， 故选：B.7.（2019·浙江学军中学高一期中）函数()249x x f x x+-=-的奇偶性为（ ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】B 【解析】 函数()249x x f x x +-=-，所以有290->x ，解得33x -<<， 所以()f x 定义域为()3,3- 此时40x -<恒成立， 所以()2224999x x f x x x x +-===---，()()()2299f x f x xx -===---，所以()f x 是偶函数， 故选：B8.（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________. 【答案】12 【解析】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.9.（2016·四川高考真题（文））若函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=，则f （）+。