大学物理第十章讲义

§10-1 电场 电场强度

一、电荷及其性质

1、电荷的种类

两种电荷：正电荷和负电荷，同种电荷相斥，异种电荷相吸 2、电荷守恒定律：孤立系统内，电荷的代数和保持不变 3、电荷的量子性

在自然界中电荷总是以一个基本单元的整数倍出现。 基本电量： 1910602.1-⨯=e C 宏观物体可认为电量连续变化。 4、电荷的相对论不变性

在不同的参考系观察，同一带电粒子的电量不变。

二、库仑定律

1、库仑定律

真空中两个静止点电荷之间作用力 0

122

01

4q q F r r πε=

r

r 22120/1085.8Nm C -⨯=ε 真空中的介电常数

适用条件：真空，静止，点电荷 点电荷是个理想化的模型 2、静电力的叠加原理 两个以上静止点电荷

两个以上静止的点电荷，它们共同作用于某一点电荷的静电力等于其它各点电荷单独存在时作用在该点电荷上的静电力的矢量和 → 静电力的叠加原理

02

11014n n i i i i i i

q q F F r r πε====∑∑r r r 实验基础上总结出来的基本事实。

三、电场与电场强度

1、电场

电荷周围存在着一种特殊的物质，称为电场。处于电场中的电荷都受到该电场的作用力。

静止的点电荷之间是通过电场这种特殊的物质传递相互作用的。 电荷

电场 电荷 （法拉第最早提出）

电场具有能量、动量和质量等重要性质，是一种特殊形式的物质！ 2、电场强度

通过检验电荷 0q 受力定义电场强度矢量

q F

E ρρ= 单位正电荷在该点所受的电场力

检验电荷 0q 电量足够小、尺寸足够小 场强 E ρ

是空间坐标的函数

1

q F ρ

2q 0r

()r E E ρ

ρρ=

四、场强叠加原理

检验电荷 0q 放在点电荷系 1q 、2q ，…，n q 所产生的电场中 根据静电力的叠加原理，0q 所受的静电力为

n F F F F ρ

Λρρρ+++=21

002

010q F q F q F q F n ρΛρρρ

+++=

∑==n i i E E 1

ρ

ρ 场强的叠加原理

电场中某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。

五、场强的计算

已知场源电荷分布，根据场强叠加原理，求场强分布。 1、点电荷的场强

0201

4qq F r r πε=

r

r

2

0014F q E r q r

πε==r r r 球对称性 0>q ， E ρ 与 r ρ

同向

0

与 r ρ

反向

2、点电荷系的场强

设真空中有点电荷系 n q q q ,,,21Λ，求场点 P 的场强 0

201

4i i i i q E r r πε=

r

r

其中 i r ρ

——点电荷 i 到 P 的矢径

r 2q

q F ρ

q E ρ

211014n n i i i

i i i

q E E r r πε====∑∑r r r ⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

===∑∑∑===n i iz

z n

i iy y n

i ix

x E E E E E E 111

例：求电偶极子中垂线上一点B 和两点电荷延长线上一点A 的场强。

两个等值异号的点电荷 q + 和 q - 组成的点电荷系，当它们之间的距离l 比所讨论问题中涉及的距离 r 小得多时，即 r l <<，这一对点电荷系称为电偶极子。

电偶极矩 l q p ρρ

=

设A 和B 到两点电荷连线中点O 的距离均为r

解：建立如图所示的坐标系 （1）A 点的场强

q +在A 点产生场强的大小

2

0142q

E l r πε+=

⎛⎫

- ⎪

⎝

⎭ 方向沿x 轴正方向

2

0142q

E l r πε-=

⎛⎫+ ⎪⎝

⎭ 方向沿x 轴负方向

A 点总的场强大小

2223200201122444224A q ql r ql E r l l l r r r πεπεπε⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=≈⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝

⎭r 3

024A p

E r

πε≈

r r

（2）B 点的场强

l

-

q -q +

x

A

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

=-+441220l r q

E E πε

B 点场强大小

42

4412cos 22

2220l r l l r q

E E B +

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+==+πεθρ

2

/32

20441⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

l r l

q πε3

04r

l q πε≈

方向与电偶极矩的方向相反。

3

03044r

p

r l q E B πεπερρρ-=-≈ 3、连续带电体的电场

把带电体分割成无限多个电荷元 dq

2014dq dE r r πε=

r

r

2

014dq E dE r r πε==⎰⎰r r r

体分布 dV dq ρ= ρ — 体电荷密度 面分布 dS dq σ= σ — 面电荷密度

线分布 dl dq λ=

λ — 线电荷密度

例：真空中均匀带电直导线，线电荷密度为 λ，场点 P 到直线的距离为a ，P

点和直线两端的连线与直线之间的夹角分别为 1θ 和 2θ，如图所示，试求P 点的场强。 解：

电荷线密度 22001

144dq dx dE r r λπεπε=

=

x