MATLAB-三次样条函数s(x)去模拟汽车门,四川大学,硕士研究生数值分析作业
matlab三次样条插值例题解析
文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。
而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。
2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。
3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。
这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。
通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。
4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。
spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。
5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。
在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。
在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。
我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。
通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。
在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。
用MATLAB计算等距三次样条插值问题
2 表达式中系数的求解
S 4( π ) 中的任意一个三次样条函数可以表示成
38
n1
四川工业学院学报 2003 年 x ), x ∑ k iB i( ∈ [ a , b] ( 2) 于是求满足条件( 3) 、 ( 4) 的 三次插值样条函数( 2)的 问题转换为求解线性方程组( 7) 的问题 。 只要从( 7)中 解出 k i( i =-1 , 0 , …, n -3) , 即可求得样条函数 。
T
k n -1 = y n 及中间系数满足的等式 k -1 B -1( x 1)+ k 0 B 0( x 1)= y 1 - y 0 + h y′ 0 Bx 1) 2( 3
ki 3 B i3( x i) +k i 2 B i2( xi ) +k i 1 B i1 ( xi )= y i i = 2 , 3 , … , n -2 k n -4 B n -4( xn -1)+k n -3 B n -3 = y n -1 h - y n - y ′ B ( x )= y i 3 n n -2 n -1 ( 6) 利用基函数( 1) , 及已知数据( 3) , 可将( 6) 式写成矩阵 形式 : 7 2 1 4 0 1 1 4 1 1 4 2 1 7 · k -1 k0 k1 ┇ k n -4 k n -3
用matlab计算等距三次样条插值问题matlab等距节点插值三次样条插值matlabmatlab样条插值matlab样条插值函数matlab样条插值求曲率matlabb样条插值拟合matlab中三次样条插值matlabb样条插值双三次样条插值matlab
四川工业学院学报
Journa l of Sichua n University o f Science and Technolog y
数值分析复习题答案
数值分析复习题 一、填空Chapter1 绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位， 已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值1210.10(0)s n x a a a a =⨯≠的绝对误差为1x*-x 102s t-≤⨯。
设 2.40315x *=是真值 2.40194x =的近似值，则x *有 3 位有效数字。
设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44111010224--⨯=⨯⨯ ，其绝对误差限是41102-⨯。
当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使=。
Chapter2 插值方法设642()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。
若42f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。
对32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。
设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。
已知y=f(x)的均差021[,,]5f x x x =,402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14，f[x0, x3, x2]=8 ,.那么均差f[x4, x2, x0]= 9 。
（交换不变性）设有数据112032x y -则其2次Larange 插值多项式为32(1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为 （最佳平方逼近可求）。
以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则nkk=0kl(x)=∑ x 。
？？（注：k y k=，则有拉格朗日插值公式：nk k k=0y l (x)(),0,1,2...,0,1,2...,n y L x x n n≈==∑；y=，即：y x =）若332x -1x 1S(x)=1(x -1)+a(x -1)+b(x -1)+c 1x 220⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩是三次样条函数， 则：a=_3_, b=_3_, c= 0 。
三次样条插值函数MATLAB编程实现
三次样条插值函数为()()[)()[]1011,,,,n n n S x x x x S x S x x x x-⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩ 利用三次埃尔米特插值函数表示三次样条插值函数，即()()()()())111111,,j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x ααββ++++++⎡=+++∈⎣（0,1,,1j n =-）基函数满足()()()()()()21112111121121111212jj j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j j j x x x x x x x x xx xx x x x x x xx xx x x x xx x x x x x xααββ++++++++++++⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭由上式易得()()()()()()()()()()()()()()1331111331112211112211612612246246j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx ααββ+++++++++++++++''=---+''=-+--+''=---+''=---则有()()()()()()()()()()()111111113333111111122221111661212242466j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x x y x y x x x x x x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x ααββ+++++++++++++++++++''''''''''=+++⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤++⎢⎥+-+-⎢⎥----⎣⎦)1,j j x x x +⎡⎤⎢⎥⎡∈⎣⎢⎥⎣⎦（0,1,,1j n =-）同理有()()()()()()()()()()()()()()()11111113333111111122221111661212242466j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x x y x y x x x x x x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x ααββ------------------''''''''''=+++⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡++⎢⎥+-+-⎢⎥----⎣⎦⎣)1,j j x x x -⎤⎢⎥⎡∈⎣⎢⎥⎦（1,,j n =）根据样条函数二阶导数连续性，即()()100j j j j S x S x +''''+=-（1,,1j n =-）即()()()()()()()()()()()()()()()()111111332211111111113322111166426624j j jj j j j j j j jj j jj j j j j j jj j j j jj j j j j jjj jj jj jj x x y x x y x x x x m m x x xx xx xx x x y x x y x x x x m m x x xx xx xx ++++++++++--------------+++--------=+++----（1,,1j n =-）化简得()()()()()111111111111233j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j xx m x x m x x m x x x x y y y y x x x x +-+--+-++-+--+-+---=-+---（1,,1j n =-）可得线性方程组()()()()()()()()()()0121201023231213121221111110212110211032213221322122233333n n n n n n n n n n n n m m x x x x x x m x x x x x x m x x x x x x m m m x x x x y y y y x x x x x x x x y y y y x x x x y ------⨯+-+⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭---+------+---=()()()121112112113n n n n n n n n n n n n n x x x x y y y x x x x ----------⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪-+- ⎪--⎝⎭为了使样条插值问题有惟一解，我们在原有方程基础上增加两个边界条件。
matlab三次样条插值的方法
matlab三次样条插值的方法Cubic spline interpolation is a common method used in MATLAB to approximate values between specified data points. This technique involves fitting a piecewise cubic polynomial to the data points, ensuring that the function is smooth and continuous at the knots. Through this process, the spline curve can accurately represent the overall trend of the data, making it particularly useful in various scientific and engineering applications.三次样条插值是MATLAB中常用的一种方法，用于在指定数据点之间近似数值。
这种技术涉及将分段三次多项式拟合到数据点，确保在节点处函数平滑连续。
通过这个过程，样条曲线可以准确地表示数据的总体趋势，使其特别适用于各种科学和工程应用。
One advantage of cubic spline interpolation is its ability to capture the local behavior of the data while maintaining global smoothness. This is achieved by constructing individual cubic polynomials between adjacent data points, ensuring that the interpolated curve passes through each data point without introducing significant oscillations or deviations. As a result, cubic splines provide a reliableand visually appealing way to interpolate data that may exhibit complex patterns or fluctuations.三次样条插值的一个优点是能够捕捉数据的局部行为，同时保持全局的平滑性。
数值分析试题及答案
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差r i＝(b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii，(i=0,1,…,n)。
三次样条插值函数的构造与Matlab实现
自动测量与控制 Automatic Measurement and Control
O. I. Automation 2006, Vol. 25, No. 11
三次样条插值函数的构造与 Matlab 实现
许小勇 1 ，钟太勇 1,2 （ 1. 云南民族大学 数学与计算机科学学院， 云南 昆明 650031 ； 2. 郧阳师范高等专科学校 数学系， 湖北 丹江口 442700 ） 摘要： 三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出。以第 1 边界条件为例， 用节点处二阶导数表示三次样条插值函数，用追赶法求解相关方程组。通过 Matlab 编制三次样条函数的通用程序， 可直接显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出已给点插值并显示各区间分段曲线图。 关键词： 三次样条；插值函数； Matlab 程序 中图分类号： O242.1 文献标识码： A
注意到 S(x) 在 [x j, x j+1 ]（ j=1,2,… ,n- 1 ）上是三 次多项式，于是 S"(x)在 [x j, x j+1 ] 上是一次多项式， 如果 S"(x) 在 [x j,x j+1 ]（ j=1,2,… ,n -1）两端点上的值 已知，设 S"(x j)=M j，S"(x j+1 )=M j+1 ，则 S"(x) 的表达 x j+1 − x x −xj Mj + M j+1 ， 其 中 h j ＝ 式 为 ： S'' ( x ) = hj hj x j+1 -x j，对 S"(x) 进行两次积分，则得到 1 个具有 2
S j (x) ＝ a j x 3 ＋ b j x 2 ＋ c j x ＋ d j , (j ＝ 1,2, … ,n - 1) (1)
MATLAB 三次样条
12.1
基本特征
在三次样条中，要寻找三次多项式，以逼近每对数据点间的曲线。在样条术语中，这 些数据点称之为断点。因为，两点只能决定一条直线，而在两点间的曲线可用无限多的三 次多项式近似。因此，为使结果具有唯一性。在三次样条中，增加了三次多项式的约束条 件。通过限定每个三次多项式的一阶和二阶导数，使其在断点处相等，就可以较好地确定 所有内部三次多项式。此外，近似多项式通过这些断点的斜率和曲率是连续的。然而，第 一个和最后一个三次多项式在第一个和最后一个断点以外，没有伴随多项式。因此必须通 过其它方法确定其余的约束。最常用的方法，也是函数 spline 所采用的方法，就是采用非 扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第一个和第二个三次多项式的三阶导数相等。对最后 一个和倒数第二个三次多项式也做同样地处理。 基于上述描述，人们可能猜想到，寻找三次样条多项式需要求解大量的线性方程。实 际上，给定 N 个断点，就要寻找 N-1 个三次多项式，每个多项式有 4 个未知系数。这样， 所求解的方程组包含有 4*(N-1)个未知数。把每个三次多项式列成特殊形式，并且运用各种 约束，通过求解 N 个具有 N 个未知系数的方程组，就能确定三次多项式。这样，如果有 50 个断点，就有 50 个具有 50 个未知系数的方程组。幸好，用稀疏矩阵，这些方程式能够简 明地列出并求解，这就是函数 spline 所使用的计算未知系数的方法。
0 7.0000 0.0007 -0.0083 0.0042 0.3542 0.1635 4.9136 0.9391
1.0000 8.0000 0.0007 0.1068 0.0072 -0.2406 0.1925 0 1.2088
2.0000 9.0000 0.0010 -0.1982 0.0109 4.2439 0.2344 0.1263 1.5757
数值分析实验报告1
p
得到m=(00)T
即M0=0 ;M1=;M2=;M3=;M4=0
则根据三次样条函数定义，可得：
S(x)=
接着，在Command Window里输入画图的程序代码，
下面是画牛顿插值以及三次样条插值图形的程序：
x=[ ];
y=[ ];
plot(x,y)
hold on
for i=1:1:5
y(i)= *(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)
Pn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+ f[x0,x1,x2](x-x0) (x-x1)+···+ f[x0,x1，···xn](x-x0) ···(x-xn-1)
我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。
在MATLAB的Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多项式系数的程序如下：
【实验原理】
《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。
【实验环境】（使用的软硬件）
软件：
MATLAB 2012a
硬件：
电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑
操作系统：Windows 8 专业版
处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @
实验内容：
【实验方案设计】
第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
用matlab实现3次样条曲线插值的算法程序
注意：采用的是Lagrange插值的第二种情况实验二Lagrange插值【实验目的】1.了解插值法及Lagrange插值的基本概念.2.学习、掌握MATLAB软件有关的命令。
【实验原理】插值法定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知f(x)在[a,b]上n+1个互异点a x0<x1<…<xn b处的值yi=f(xi),i=0,1,2,…,n.若存在一个简单函数P(x),使P(xi)=yi (i=0,1,2,…,n)（2.1）成立，则称P(x)为f(x)的插值函数，f(x)称为被插函数，点xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点，[a,b]称为插值区间，(2.1)式为插值条件。
求插值函数的方法为插值法。
利用n次插值基函数可以将满足条件Ln(xn)=yk(k=0,1,2,…,n)的插值多项式Ln(x)表示为yk （2.2）称Ln(x)为拉格朗日插值多项式【实验内容】在区间[-5,5]上取截点n=11，等距间隔h=1的节点为插值节点，对函数f(x)=1/(1+x2)进行拉格朗日插值，并绘图。
下面的程序基于公式(2.2)，且在xi点，Ln(xi)= yk相应的Matlab代码为function yi=lagrange(x,y,xi)%Lagrange插值%x,y为已知节点及其函数值向量%xi为插值点（可以是多个），yi为插值n=length(x);m=length(xi);%length是x的长度，for i=1:mz=xi(i);s=0;for k=1:n%for循环语句p=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));endends=p*y(k)+s;endyi(i)=s;end下面用MATLAB运行程序得到以下结果，如下图：用Matlab实现了3次样条曲线插值的算法。
边界条件取为自然边界条件，即：两个端点处的2阶导数等于0；共包含3各个函数文件，主函数所在文件（即使用的时候直接调用的函数）为spline3.m,另外两个函数文件是在splin3函数文件中被调用的自定义函数。
三次样条差值拟合车门曲线
———————————————————————————————— 作者：
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ﻩ
数学实验
(三次样条）
数学实验(三次样条插值）
实验１：
某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：
0
1
2
3
4
5
6
7
{
ﻩＨ[i］ ＝ pow(h[i］, ２）；//求h[i]的平方；
}
／/利用追赶法解三对角方程组前期初始值；
ﻩａ[N］ = 1;/／a［N]相当于μ[N］；
b[0] = 1;／/λ[0];
ﻩc[0］ ＝ ６.*(f［０]]；
c[N] = 6.*(tiaｏｊiａn2 - f［N- １]) / ｈ[N－ １］;//相当于d［Ｎ]；
for(ｉ = １； ｉ <＝N; i＋＋）
ﻩｙ[i] ＝ (c[i］ － a［i］ * ｙ[i - 1]) ／ (2. - a[i] ＊ beta［i - 1])；//顺序求解计算y[i];
M[Ｎ] = y[N］；
fｏr(i = Ｎ - 1； i >＝ 0; ｉ－－)/／逆序求解计算M[i]
ﻩM[i] = ｙ[ｉ] - betａ［i] * M[ｉ + 1］;
ﻩfor(i = 1; ｉ <=N- 1； ｉ++)
{
ﻩﻩa[i] ＝ h[i - 1］ ／ (ｈ[ｉ － 1] ＋ h[i]);
ｂ[ｉ] = h[i] / (ｈ[i - １] + h[ｉ］）;
ﻩｃ[i］ = 3 ＊ (a[i] * ｆ[i － 1］ + b[i] * ｆ[i]);
三次样条插值MATLAB程序及结果展示
23、汽车门曲线三次样条插值曲线相关程序以及结果原始数据点：x = 0:10; %取自变量为1,2,3， (10)y = [2.51 3.30 4.04 4.70 5.22 5.54 5.78 5.40 5.57 5.70 5.80];%输入因变量y的值xx = linspace(min(x),max(x),200);%在x的上下界之间取200个插值节点pp = csape(x,y,'comlete',[0.8,0.2]);%分段三次样条插值，边界条件为左右端点的一阶导数为0.8和0.2 yy = ppval(pp,xx);%计算200个插值节点对应的y值plot(x,y,'ko',xx,yy,'k') %画出给定的11个点以及插值函数的图像24、飞鸟外形上部自然边界条件的三次样条插值曲线相关程序以及结果原始数据如下：x =[0.9 1.3 1.9 2.1 2.6 3.0 3.9 4.4 4.7 5.0 6.0 7.0 8.0 9.2 10.5 11.3 11.6 12.0 12.6 13.0 13.3];y = [1.3 1.5 1.85 2.1 2.6 2.7 2.4 2.15 2.05 2.1 2.25 2.3 2.25 1.95 1.4 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.25];xx = linspace(min(x),max(x),200);pp = csape(x,y,'second'); %分段三次样条插值，边界条件为左右端点的二阶导数为0，也称为自然边界条件yy = ppval(pp,xx);plot(x,y,'ko',xx,yy,'k')。
三次样条函数系数的求解
详细描述
在实际应用中，数据的分布和特点可能比较复杂，需要综合考虑数据的特性和实际需求来选择合适的 节点和求解方法。有时候可能需要对参数进行调整和优化，以获得更好的拟合效果和预测精度。
04
三次样条函数系数的求 解结果分析
结果的准确性分析
三次样条函数的应用场景
数据拟合
三次样条函数可以用于拟合一系列离散的数据点，从 而得到一个连续的函数。
数值分析
在数值分析中，三次样条函数可以用于求解微分方程 的近似解。
机器学习
在机器学习中，三次样条函数可以用于插值和拟合数 据，从而进行预测和分类等任务。
02
三次样条函数系数的求 解方法
最小二乘法求解
共轭梯度法求解
共轭梯度法是一种用于求解无约束优化问题的迭代算 法，通过构造一组共轭方向来逼近最优解。
在求解三次样条函数系数时，共轭梯度法利用函数的 梯度和Hessian矩阵信息，构造一组共轭方向，并沿
着这些方向进行搜索以找到最优解。
这种方法在处理大规模优化问题时具有较好的收敛速 度和数值稳定性，但在处理小规模问题时可能不如其
他方法高效。
03
三次样条函数系数的求 解实例
实例一：简单数据集的求解
总结词
简单数据集的求解相对容易，可以通过手动计算或使用简单 的数学软件进行求解。
详细描述
对于简单的数据集，可以通过观察数据点的分布和变化趋势 ，手动选择合适的节点，然后利用三次样条插值的公式计算 系数。也可以使用一些简单的数学软件，如Excel或Python 的NumPy库，进行计算。
最小二乘法是一种常用的数学优化技术，通过 最小化误差的平方和来找到数据的最佳函数匹 配。
MATLAB 三次样条
3.0000 10.0000 0.0012 1.4948 0.0181 0.1257 0.3167 0.2568 2.1251
因为矩阵 coefs 的大小确定了 npolys 和 neofs，所以 mkpp 不需要 npolys 和 ncoefs 去 重 构 pp 形 式 。 pp 形 式 的 数 据 结 构 仅 在 mkpp 中 给 定 为 pp=[10 1 npolys
x1
x
其中，是 s(x1)=0
式中的 x1 是第一个样条的断点。因为 s(x)由被连接的三次多项式组成，其中第 k 个三 次多项式为：
sk(x)=ak(x-xk)3+ bk(x-xk)2+ ck(x-xk)+dk,
xk<=x<= xk+1
并且该函数在区间 xk<=x<= xk+1 所含的面积为：
S k ( x) sk ( x)dx a k / 4( x x k ) 4 b k / 3( x x k ) 3 c k / 2( x x k ) 2 d k ( x x k )
3.0000 10.0000 0.0012 1.4948 0.0181 0.1257 0.3167 0.2568 2.1251
3.0777
5.2422
Hale Waihona Puke 当采用这种方式调用时， spline 返回一个称之为三次样条的 pp 形式或分段多项式形式 的数组。这个数组包含了对于任意一组所期望的内插值和计算三次样条所必须的全部信息。 给定 pp 形式，函数 ppval 计算该三次样条。例如， >>yi=ppval(pp, xi); 计算先前计算过的同样的 yi。 类似地， >>xi2=linspace(10, 12); >>yi2=ppval(pp, xi2); 运用 pp 形式，在限定的更细区间[10，12]内，再次计算该三次样条。 >>xi3=10 : 15 >>yi3=ppval(pp, xi3) yi3 = 3.0777 5.2422
MATLAB 数值分析
13.2
极小化
作图除了提供视觉信息外，还常常需要确定一个函数的其它更多的特殊属性。在许多 应用中，特别感兴趣的是确定函数的极值，即最大值（峰值）和最小值（谷值）。数学上， 可通过确定函数导数（斜率）为零的点，解析上求出这些极值点。检验 humps 的图形在峰 值和谷值点上的斜率就很容易理解这个事实。显然，如果定义的函数简单，则这种方法常 常奏效。然而，即使很多容易求导的函数，也常常很难找到导数为零的点。在这种情况下， 以及很难或不可能解析上求得导数的情况下，必须数值上寻找函数的极值点。MATLAB 提 供了两个完成此功能的函数 fmin 和 fmins。 这两个函数分别寻找一维或 n 维函数的最小值。 这里仅讨论 fmin。有关 fmins 的详细信息，参阅《MATLAB 参考指南》。因为 f(x)的最大 值等于-f(x)的最小值，所以，上述 fmin 和 fmins 可用来求最大值和最小值。如果还不清楚， 把上述图形倒过来看，在这个状态下，峰值变成了谷值，而谷值则变成了峰值。 为了解释求解一维函数的最小值和最大值， 再考虑上述例子。 从图 13.2 可知， 在 xmax=0.7 附 近 有 一 个 最 大 值 ， 并 且 在 xmin=4 附 近 有 一 个 最 小 值 。 而 这 些 点 的 解 析 值 为 ： x m a x / 4 0.785 和 x min 5 / 4 393 . 。为了方便，用文本编辑器编写一个脚本 M 文件，并用 fmin 寻出数值上极值点，给出函数主体如下： % ex_fmin.m fn=‘ 2*exp(-x)*sin(x) ‘; xmin=fmin(fn , 2 , 5)
% better approximation
自然地，上述两个结果不同。基于对图形的观察，粗略近似可能低估了实际面积。除 非特别精确，没有准则说明哪种近似效果更好。很明显，如果人们能够以某种方式改变单 个梯形的宽度，以适应函数的特性，即当函数变化快时，使得梯形的宽度变窄，这样就能 够得到更精确的结果。 MATLAB 的函数 quad 和 quad8 是基于数学上的正方形概念来计算函数的面积， 这些 积分函数的操作方式一样。为获得更准确的结果，两个函数在所需的区间都要计算被积函 数。 此外， 与简单的梯形比较， 这两个函数进行更高阶的近似， 而且 quad8 比 quad 更精确。 这两个函数的调用方法与 fzero 相同，即 >>area=quad(‘ humps ‘ , -1 , 2) % find area between -1 and 2
三次样条插值法matlab程序
三次样条插值法引言在数学和计算机科学领域中，插值是一种常见的技术，用于通过已知数据点的值来估计在这些数据点之间的未知数据点的值。
三次样条插值法是一种广泛应用的插值方法，它通过使用三次多项式来逼近原始数据，从而实现对未知数据点的估计。
本文将介绍三次样条插值法的原理、实现和应用。
原理三次样条插值法的基本原理是通过在每个相邻数据点之间使用三次多项式来逼近原始数据。
这些多项式在每个数据点处具有相同的值和导数，从而保证了插值函数的平滑性。
具体而言，对于给定的数据点集合{ (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) }，三次样条插值法将在每个相邻数据点之间构造一个三次多项式，即S(x) = a_i(x - x_i)^3 + b_i(x - x_i)^2 + c_i(x - x_i) + d_i其中，i 表示数据点的索引。
为了确定这些多项式的系数 a_i, b_i, c_i 和 d_i，需要满足以下条件：1.在每个数据点处，插值函数的值与原始数据点的值相等：S(x_i) = y_i2.在每个相邻数据点之间，插值函数的一阶导数连续：S’(x_i) = S’(x_i+1)3.在每个相邻数据点之间，插值函数的二阶导数连续：S’‘(x_i) =S’’(x_i+1)通过求解这些条件，可以得到一个线性方程组，并确定三次样条插值法的插值函数。
实现三次样条插值法的实现可以通过以下步骤完成：1.根据给定的数据点集合，计算相邻数据点之间的差值：h_i = x_i+1 - x_i2.构建一个三对角矩阵 A，其中主对角线元素为 2(h_i + h_i+1)，上下对角线元素为 h_i 和 h_i+13.构建一个向量 B，其中元素为 6 * ((y_i+1 - y_i)/h_i+1 - (y_i - y_i-1)/h_i)，其中 y_i 为原始数据点的值4.解线性方程组 A * C = B，其中 C 为包含S’’(x_i) 的向量5.根据 C 的值计算 a_i, b_i 和 d_i 的值6.根据 a_i, b_i, c_i 和 d_i 的值，构建插值函数 S(x)应用三次样条插值法在实际应用中具有广泛的用途，特别是在曲线拟合、数据平滑和函数逼近方面。