材料力学 弯曲变形
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材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学：第七章 弯曲变形
刚度设计依据
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学 弯曲变形分析
a)3
C2 x2
D2
目录
B B x
FBy
§6.3 用积分法求弯曲变形
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, y1(0) 0 x2 l, y2(l) 0 光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, y1(a) y2 (a)
代入求解，得
C1
C2
y M (x) > 0
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
y M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
目录
§6.2 挠曲线的微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶 导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
d 2 y M (x) dx2 EI z
由上式进行积分，求出梁横截面的转角和挠度。
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
d2y dx2
M(x) EI z
EI z
d2y dx2
M(x)
积分一次得转角方程为：
EI z
dy dx
EI z
M( x)dx C
再积分一次得挠度方程为：
EIz y M( x)dxdx Cx D
7-3
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
材料力学
龚峰 gongfeng@
第6章 弯曲变形
§6.1 工程中的弯曲变形问题 §6.2 挠曲线的微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形 §6.4 用叠加法求弯曲变形 §6.5 简单超静定梁 §6.6 提高弯曲刚度的一些措施
材料力学6弯曲变形
=
M 0 L2 9 3EI Z
<[f ]
刚度满足要求。 刚度满足要求。
例二、长度为 的梁 的梁AC， 为常数， 例二、长度为L的梁 ，其EI为常数，在自由端承受集 为常数 中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角 ），试求自由端 的挠度和转角。 中力 （如图），试求自由端 的挠度和转角。 外力分析： 解： 1）外力分析：
解： 1）外力分析： ）外力分析： M0 M0 RA = (↓), R B = (↑ ) L L 2）内力分析：(M方程 方程) ）内力分析： 方程
3）挠曲线方程和转角方程： ）挠曲线方程和转角方程：
M0 M(x) = − x (0 ≤ x ≤ L ) L
M0 2 d2V M0 EIzθ= − x +C x EIz 2 = − 2L dx L M0 3 EI z V = − x + Cx + D 6L
思考题： 思考题：求VB
试用叠加法求C截面的挠度和转角 例5、试用叠加法求C截面的挠度和转角 (I2=2I1)。
EI 2 A a C a EI1
A
C a
m0= Pa A a P
解:(1)BC段变形，AC段刚化 :(1)BC段变形，AC段刚化 段变形 ( VC(1) = 0 θ C1) = 0 B (2)AC段变形 BC段刚化 段变形， (2)AC段变形，BC段刚化 P 3 2 Pa Pa VCP = ( ↑) θ CP = ( ) 3EI 2 2EI 2 B Pa 2 ( ) Pa 3 θ Cm0 = VCm0 = ( ↑) EI 2 2 EI 2 P 5Pa 3 VC( 2 ) = VCP + VCm0 = ( ↑) 6 EI 2 3Pa 2 B ( θ C2 ) = θ CP + θ Cm0 = ( ) 2 EI 2 (3)总变形 (3)总变形
材料力学弯曲变形
13
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
材料力学第八章-弯曲变形
q0 B x 等价 MA A EI f q0 B
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
材料力学教程-7.弯曲变形
数据处理
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
《材料力学》第六章-弯曲变形
当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
x1
l2 0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距中 点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大挠 度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程中 当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度发 生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变形， y
§6.3 用积分法求弯曲变形
一、积分法求弯曲变形 w Mx
EI
积分
挠曲线近似微分方程
w E 1IM xd x C
积分
转角方程
w E 1IM xd x CD x 挠曲线方程
式中C和D是待定的积分常数，可根据梁的具体条件来确定。
积分法计算梁的变形的步骤： 1.建立梁截面的弯矩方程式M(x)； 2.代人挠曲线近似微分方程式，并积分； 3.确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式； 4.求梁任一截面的转角和挠度。
令
w1 10 F 2lx b12-F 6lb l2-b2 0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wm若求最大转角，求θA、θB，比较大小，取其大者。
当
x1
l2 -b2 3
wmax-
Fb 9
材料力学 第6章 弯曲变形
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
材料力学第七章 弯曲变形
1.叠加原理 各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角
等于各个 载荷单独作用时同一截面挠度和转角 的代数和。
2.叠加原理的前提 小变形 材料是线弹性材料
例1：求大梁跨度中点的挠度 F
q
A
c
B
l
l
F
2
2
q
A
c
B+ A
c
B
l
l
l
l
2
2
2
2
(wc )F
Fl 3 48 EI
(wc )q
5ql 4 384 EI
dx
o
三、弯曲刚度条件
x
w
w f (x) 挠曲线
| w |max [w], | |max [ ]
§7.2 挠曲线的近似微分方程
| ds | | d | (a)
纯弯曲时挠曲线曲率与弯矩的关系为 1 M (b)
EI
横力弯曲时, 剪力对梁弯曲变形很小，可忽略不计。此时曲率与 弯矩为x的函数 。它们的关系仍满足(b)式。
EI2 EIw2' C2 EIw2 C2 x D2
确定积分常数
边界条件 x 0,1 0 w1 0
连续条件 x a,1 2 w1 w2
求得自由端转角和挠度为
C1 0 C2 ma
D1 0
D2
1 2
ma2
B
2
|xl
ma EI
fB
w2
|xl
ma (l EI
a) 2
§7.4 用叠加法求弯曲变形
由(a)(b)可得 d M (c)
ds EI
y
d
由于挠度很小，挠曲线非常平
坦，ds dx,并考虑到符号(c)可
材料力学 第六章 弯曲变形
Q A
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。
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4、各自积分
EI1EI12 FLb x2C1 EI16 FLb x3C1xD 1
E2 IE2I2 F Lx2 b F 2(x a )2 C 2
E2I6 F Lxb 3F 6(xa)3C 2xD 2
5、确定积分常数
边界条件： x0 1 0
xL 2 0
连续条件： xa 1 2
1 2
C16FLb(L2b2) C2, D1D20
载荷叠加法 （查表法）
应用于多个载荷作用的情形
例1 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
ωC , B
1、载荷分解
2查表：单独载荷作用下
B1
ql3 24EI
,
C1
5ql4
384EI
B2
(q)ll2 q3l , 16EI 16EI
wC2
(ql)l3 48EI
B3(q3E 2l)Il 3qE3l,I
案例1： 车削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；
案例2： 摇臂钻床简化为刚架， 受工件的反力作用； 如果钻床的变形过大， 不能准确定位。
车间桁吊大梁的变形
案例3： 车间桁吊大梁的过大变形
会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 案例1：
在小变形， 材料服从胡克定律的情况下，
挠曲线的近似微分方程 EI(x)M (x)是线性的；
计算弯矩时，使用变形前的位置
弯矩 M(x)与载荷之间的关系 是线性的；
对应于几种不同的载荷， 弯矩可以叠加， 近似微分方程的解也可以叠加。
证明 设弯矩 M(x)MFMq 挠曲线 F q
分别满足各自的近似微分方程
w
w w
w w
w
C1
ql3 6EI
,
C1
ql4 8EI
q( l )3
w
B2
2 6 EI
,
c2
C2 B2B22l
q( l )4 2
8 EI
B
2
l 2
w
CC1C2 ql 4
8 EI
q( l )4 2
8 EI
B
2
l 2
41ql4 384EI
CC1C2 ql 3
6 EI
q( l )3 2
2、分段列出梁的弯矩方程
AC段 (0xa)
M1(x)FAxFLbx,
x
x a L
F B
C b
x
F By
BC段 (axL) M 2(x)F Lb xF(xa),
3、代入各自的挠曲线近似微分方程中
M1(x)
Fbx, L
EI1
Fbx, L
Fb M 2(x)LxF(xa),
EI2 F Lb xF(xa),
四、不宜采用高强度钢; 各种钢材Ｅ大致相同。
1、y’’=M(x)/EI在 条件下成立？ A：小变形； B：材料服从虎克定律； C：挠曲线在XOY面内； D：同时满足A、B、C；
2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大 处一定最大。
A：挠度 B：转角； C：弯矩；
弯曲变形的物理量 挠度ω + 转角
§6-2 挠曲线的微分方程
1、建立y坐标系
x
x
2、挠曲线方程：
Xoy平面 就是梁的纵向对称面； 在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内
的一条平面曲线； 该曲线方程为 ： f(x)
3、挠度、转角物理意义
y
x
①：挠度的物理意义：
挠曲线在该点处的纵坐标；
2）考虑BC段变形引起C截面的挠度 AB段看作刚体
F
A
BC
wC2
Fa3 () 3EI
l
a
F
C
B a
wC 2
C截面的总挠度
CC1C2
Fa2l Fa3 () 3EI 3EI
讨论 积分法求变形有什么优缺点？ 叠加法求变形有什么优缺点？
弯曲变形的刚度条件：
[], []
max
m ax
[ω]——许用挠度，[]——许用转角
2
积分一次： EI'EI1q3xC
6
转角方程
B x
积分二次： EI1q4xCxD
24
挠曲线方程
3、确定常数C、D. 边界条件：
xL: 0 0
C 1qL3 6
D 1 qL4 8
q
A
B
L
EI'EI1q3xC
6
EI1q4xCxD
24
1(1q3x1q3L)
EI 6 6
1(1q4xq3L xq4L )
EI24 6 8
4、计算A截面的挠度和转角
A截面处 x0
A
qL3 6EI
A
qL4 8EI
q
A
B
L
1(1q3x1q3L)
EI 6 6
1(1q4xq3L xq4L )
EI24 6 8
例2 一简支梁受力如
ω
图所示。试求 (x),w(x) A
和 A 。
F Ay
1、求支座反力
Fb
FAy
, L
FBy
Fa L
A l
F
BC a
1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度 (BC段看作刚体)
外力向研究的ＡＢ段上简化
F
Fa
F：作用在支座上，不产生变形。
A
B C Fa：使AB梁产生变形。
l
a
F
Fa
Fa引起梁的变形形状为
A
B B
ＡＢ段上凸； C C1
l
a
B
(Fa)l 3EI
C1Ba
(Fa)l 3EI
a
Fa2l 3EI
()
梁的边界条件
悬臂梁：
ω
L
x
x0:
0 0
梁的边界条件
简支梁： ω
x L
x0: 0
xL: 0
连续性条件：
ω
边界条件
A
x0: 0
xL: 0
P B
C a
x
L
连续性条件
xa:
C左
C右
C左
C右
连续性条件：
ω A
C a
M
B
x
L
xa: C左C右
特别强调
C左 C右
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
1
y''(x) 1y'2(x)
3 2
（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）
平面弯曲的挠曲线 正好为xoy平面内的一条曲线，
所以曲线y=f(x)： 从数学上讲 是一条普通的平面曲线，
从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
挠曲线微分方程
1 M (x)
EI
1
y''(x) 1y'2(x)
例1：写出梁的边界条件、连续性条件：
边界条件
ω
P
B
x0: 0
A
a
C
x
k
xL: FBy
k
L
连续性条件
xa: C左 C右
C左
C右
例2：写出梁的边界条件、连续性条件： 边界条件
EA P
h
x0: 0
xL: FByh
A
a
C
B
EA
连续性条件
L
xa:
C左
C右
C左
C右
讨论：挠曲线分段
6 EI
7ql4 48EI
第二类叠加法 逐段刚化法
将梁的挠曲线分成几段;
首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位 移（挠度和转角）; 然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。
在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，
除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。
例3 ： 用叠加法确定ωC ?
工程中， [ω]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示。
对于桥式起重机梁：
[] l ~ l
500 750
对于一般用途的轴： [] 3l ~ 5l
1000010000
在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：
[]0.00r1ad
1、求自由端的挠度与转角
q
P
L
2、求自由端的挠度与转角
q
P2
P1
L
L
3、求简支梁中点的挠度
5、挠曲线近似微分方程 在小变形的条件下，
(x) M(x)
12(x)32 EzI
挠曲线是一条光滑平坦的曲线，
转角 较小，
(x)(x)0 12(x)1
故得挠曲线近似微分方程：
''M(x)
EI
符号规定：
ω M
M0
d 2
dx 2
0
M x
M0
ω
d 2 dx 2
0
M
Mx
挠曲线为凹曲线
挠曲线为凸曲线
汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；
二、弯曲变形的物理量
拉伸 F
扭转：
F
l FN l
EA
T l
G IP
弯曲变形的物理量如何？
内 力 杆 件 长 度 抗变形刚度
弯曲变形的物理量 1、挠曲线
x
2、挠度 截面形心在力的方向的位移 ω 向上为正
3、转角 截面绕中性轴转过的角度 逆时针为正
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0