10[1].7_斯托克斯公式__环流量与旋度

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∫Γ Pdx +Qdy + Rdz
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
即有
∫Γ Pdx +Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂Q ∂P ∂P ∂R = ∫∫ − cosα+ − cos β+ − cosγ dS y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ ∂
r n
Σ
Γ
右手法则
Γ 是有向曲面 Σ的
正向边界曲线
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ∫∫( − )dydz +( − )dzdx +( − )dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
∫Γ Pdx +Qdy + Rdz
斯托克斯公式
证明思路 分三步 (1) 把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分; 把曲面积分化为坐标面上投影域的二重积分 (2) 把空间闭曲线 上的曲线积分化为坐标面上 把空间闭曲线Γ上的曲线积分化为坐标面上 的闭曲线积分; 的闭曲线积分 (3) 在坐标面上 应用格林公式把 得到的平面 在坐标面上, 应用格林公式把(2)得到的平面 闭曲线积分化为二重积分. 闭曲线积分化为二重积分
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式的又一种形式 斯托克斯公式的又一种形式
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∫∫[( ∂y − ∂z )cosα +( ∂z − ∂x)cosβ +( ∂x − ∂y )cosγ ]dS Σ
= ∫ (Pcosλ +Qcos µ + Rcosν)ds
Γ
其中
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
Γ的正向与 的正侧法向量符合右手法则 的正向与Σ的正侧法向量符合右手法则 的正向与 的正侧法向量符合右手法则: 当右手除拇指外的四指依Γ 的绕行方向时, 当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时 拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同 拇指所指的方向与 上法向量的指向相同. 称Γ 上法向量的指向相同 是有向曲面Σ的正向边界曲线, 是有向曲面 的正向边界曲线 记为 ∂Σ+ .
Dxy
3 3dxdy = . 2
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
r 所作的功, 例 求力 F = ( y, z, x) 沿有向闭曲线Γ 所作的功 其中Γ 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成 轴正向看去沿顺时针方向. 三角形的整个边界, 三角形的整个边界 从z轴正向看去沿顺时针方向
由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好 抵消, 即可证上式仍然成立. 抵消 即可证上式仍然成立
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ∫∫( − )dydz +( − )dzdx +( − )dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
∫Γ Pdx +Qdy + Rdz
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ∫∫( − )dydz +( − )dzdx +( − )dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
∫Γ Pdx +Qdy + Rdz
斯托克斯公式
证 情形 Σ 与平行 轴的直线 情形1 与平行z轴的直线 只交于一点, 只交于一点 设其方程为 Σ : z = f (x, y), (x, y)∈Dx y (如图 如图). 为确定起见, 为确定起见, 不妨设Σ 取上侧 (如图). 转化为xOy面上的第二类 面上的第二类 则 ∫ Pdx转化为
利 用 对 称 性
z
B
W = ∫ Pdx +Q y + R z d d
Γ
= ∫ ydx + zdy + xdz
Γ
C A x O
y
∫AB ydx+ zdy + xdz 3 =3 ∫ xdz= 3∫ (1− z)dz= 2.
=3
1
A B
0
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
cosα cosβ cosγ r 例 求力 F = ( y, z, x) 沿有向闭曲线Γ 所作的功 ∂ ∂所作的功, ∂ d ∫Γ 为平面 d + Rdz =Σ ∂x ∂y ∂z d 其中ΓP x +Qxy +y + z= 1 被三个坐标面所截成S 轴正向看去沿顺时针方向. 三角形的整个边界, 三角形的整个边界 从z轴正向看去沿顺时针方向 P Q R z 解 法二 利用斯托克斯公式 利用斯托克斯公式 r n B 方向向上, 设三角形区域为∑ , 方向向上 则
在Stokes公式的条件中, 应注意两点: 公式的条件中, 公式的条件中 应注意两点: (1) 曲面 是定向曲面 其边界 ∂Σ是定向曲 曲面Σ是定向曲面 是定向曲面, 的正向与Σ的正侧法向量符合右手法则 的正侧法向量符合右手法则; 线, ∂Σ的正向与 的正侧法向量符合右手法则 (2) 被积函数P, Q, R在包含曲面 在内的 被积函数 在包含曲面Σ在内的 在包含曲面 具有一阶连续偏导数. 一个空间区域内 具有一阶连续偏导数
∫∫
W=
∫
Γ
ydx + zdy + xdz
∂ ∂x
y
1 3
=−
∫∫
Σ
∂ ∂y
1 3
∂ dS ∂z
x
1 3
Σ O A y x
1
C
y
z
d OS =
r 1 n = xy (1, 1, 1) D 3
x + y + y == 1 x+ z 1
3 1xdy d x
1 =− ∫∫ (−3)dS = 3 3 Σ
∫∫
1
第10章 曲线积分与曲面积分 10章
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面 积分情形下的推广, 积分情形下的推广 也是格林公式在空间的 推广, 它将定向曲面上的面积分与曲面的定向 推广 边界曲线上的线积分联系了起来. 边界曲线上的线积分联系了起来
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯 Stokes,G.G. (1819–1903) 国数学家、 英国数学家、物理学家
10.7 斯托克斯 斯托克斯(stokes)公式 公式 环流量与旋度 环流量与旋度 量与
circulation curl
斯托克斯公式 物理意义-----环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 小结 思考题 作业
Γ
z
r n
Σ
Γ
O
曲线积分, 曲线积分 即
x
Dy x C
y
P ∫Γ Pdx= ∫C (x, y,z(x, y))dx 格林公式 ∂ = ∫∫ − [P(x, y, z(x, y))]dxdy ∂y D
xy
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
∫Γ Pdx z= x =− ∂Q[cos x,dy, z(x, y))]dxdy ∫∫ Qd d ∫∫ ∫∫ y P(β S
cosα cosβ cosγ ∂ ∂ ∂ ∫Γ Pdx +Qdy + Rdz = ∫∫ ∂x ∂y ∂z dS Σ P Q R z 1 1 1 3 3 3 r ∂ ∂ ∂ n 原式 = ∫∫ dS ∂x ∂y ∂z Σ y +1 z + 2 x + 3 O Γ R
x = − 3∫∫ dS= − 3πR . Σ 设∑为Γ 所围的圆盘
cosα cosβ cosγ ∂ ∂ ∂ dS = ∫∫ ∂x ∂y ∂z Σ P Q R
r 其 n = (cosα,cos β,cosγ ). 中
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
Stokes公式的实质 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其 边界曲线上的曲线积分之间的关系. 边界曲线上的曲线积分之间的关系
一、斯托克斯(Stokes)公式 斯托克斯 公式
定理10.11 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线 为分段光滑的空间有向闭曲线 定理 为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ是以 为边界的分片光滑的有向闭曲面 Γ的正向 是以Γ为边界的分片光滑的有向闭曲面, 的正向 是以 为边界的分片光滑的有向闭曲面 r 的正侧符合右手法则, 与Σ的正侧符合右手法则 若向量函数 F ( x , y , z ) 的正侧符合右手法则
Dy x C
y
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ∫∫( − )dydz +( − )dzdx +( − )dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
∫Γ Pdx +Qdy + Rdz
斯托克斯公式
∂P ∂P ∫∫ ∂z dzdx− ∂y dxdy = ∫ΓPdx Σ 如果Σ取下侧, 由于等式两边同时变号, 如果 取下侧 由于等式两边同时变号 故上式仍然 成立. 成立 与平行于z 轴的直线交点多于一个, 情形2 情形 曲面Σ 与平行于 轴的直线交点多于一个 上添加辅助曲线 辅助曲线, 则可以在Σ上添加辅助曲线 将Σ 分成有限个符合条件 的定向曲面片, 在每个曲面片上应用上式, 然后相加, 的定向曲面片 在每个曲面片上应用上式 然后相加
斯托克斯公式
∂P ∂P ∫∫ ∂z dzdx− ∂y dxdy = ∫ΓPdx Σ
类似可证
∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy − ∂z dydz= ∫Γ Qdy Σ
∂R ∂R ∫∫ ∂ydydz − ∂x dzdx = ∫Γ Rdz Σ 将上述三式两边分别相加, 即证. 将上述三式两边分别相加 即证
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r r r r Σ的单位法向量为 n = cosα i + cos β j + cos γ k 的单位法向量为 r r r r Γ的单位切向量为 τ = cos λ i + cos µ j + cosν k 的单位切向量为
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫Γ Pdx +Qdy + Rdz = ∫∫ ∂x ∂y ∂z Σ P Q R
∑所在的曲面方程为 x + y + z = 0,
R 取上侧, 取上侧 其单位法向量为 x 1 1 1 , , = (cosα , cosβ , cosγ ), 3 3 3 斯托克斯公式, 按斯托克斯公式
O
Γ
y
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
1 1 1 (cosα , cosβ , cosγ ) = , , 3 3 3
= { P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )}的三个分量在包含
曲面Σ在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数 则有斯托克斯公式 则有斯托克斯公式
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ∫∫( − )dydz +( − )dzdx +( − )dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
Σ
∫Γ Pdx +Qdy + Rdz
斯托克斯公式
D xy
Σ
Γ
OHale Waihona Puke Baidu
x
y
另一方面, 按照第二类曲面积分的 另一方面 1 + f 2 + f 2 dxdy x dS = x y 计算公式,有 计算公式 有 ∂P ∂z ∂P ∂P ∂P dzdx − dxdy =∫∫[ (− )− ]dxdy ∫∫ ∂z ∂z ∂y ∂y ∂y Dxy Σ 比较以上两式知
∂P − fy ∂P ∂z )dxdy cosβ = ∫∫( − 2 − 2 ∂ y ∂z ∂ y D 1+ f + f
xy
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ∫∫( − )dydz +( − )dzdx +( − )dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ r z nΣ : z = f (x, y) ∂
2
y
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
r 所作的功, 例 求力 F = ( y, z, x) 沿有向闭曲线Γ 所作的功 其中Γ 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 角形的整个边界 从z轴正向看去沿顺时针方向 轴正向看去沿顺时针方向. 解 法一 化为参变量的定积分
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
例 计算曲线积分
x 2 + y 2 + z 2 = R2 , 若从x轴正向看过去 轴正向看过去, 若从 轴正向看过去 其中Γ 为曲线 z x+ y+z=0 Γ 为取逆时针方向 为取逆时针方向. r n 解 设∑为Γ 所围的圆盘, 所围的圆盘,
∫Γ ( y + 1)dx + ( z + 2)dy + ( x + 3)dz ,
指定一侧的法向量方向 其中 cos α , cos β , cos γ 是Σ指定一侧的法向量方向 余弦. 余弦
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = ∫∫( − )dydz +( − )dzdx +( − )dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
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∫Γ Pdx +Qdy + Rdz
斯托克斯公式