8.角平分线定理
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
求证：PD=PE.
1
D
3
P E
Ｃ B
O
2
4
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A D P 1 2 E
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON 的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且 OD=2米
求证：点P在∠MNO的平分线上
M
F
D P
O
E
N
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
B
交换定理的条件和结论得到的命题为：合Fra bibliotek探究′
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. A 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, P PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O C 别是D,E. E 求证:点P在∠AOB的平分线上. B 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版【本讲主要内容】角的平分线的性质及其逆定理【知识掌握】 【知识点精析】1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理，要正确加以区分，性质1是指如果一个点在一个角的平分线上，可以得出它到角的两边的距离相等； 而性质2却与它恰好相反，如果一个点到角的两边距离相等，那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说，性质1是先知点的位置，得到它的性质；性质2先由点满足某个性质，再确定它的位置。
【解题方法指导】例1. 已知：如图所示，E 是AD 上一点，∠=∠⊥⊥BAD CAD EB AB EC AC ，，。
求证：∠=∠DBE DCE分析：欲证∠=∠DBE DCE ，只要证DBE ∆≌DCE ∆即可。
由于DE 是它们的公共边，只要证出BE=CE ，∠=∠BED CED 即可，或证出BD=CD 。
已知AE 是∠BAC 的平分线，EB AB EC AC ⊥⊥，，可得出EB EC =，由∠=∠AEB AEC ，可得∠=∠BED CED 。
至此思路已通。
证明：∵AC EC AB EB CAD BAD ⊥⊥∠=∠，，∴=EB EC （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵ABE BAE BED ∠+∠=∠，∠=∠+∠CED CAE ACE （三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）DEDE CED BED =∠=∠∴又BDE ∆∴≌）（SAS CDE ∆ DCE DBE ∠=∠∴评析：如果由两次三角形全等来解决此题，实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍，走了一个弯路，因此可直接由角平分线的性质，得出EB=EC 。
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，F AC DF E AB DE 于，于⊥⊥，BE=CF 。
求证：AD 平分∠BAC 。
B D C分析：欲证AD 平分∠BAC ，由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，因此只要证明DE=DF 即可，可通过△BDE ≌△CDF 加以解决。
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
M
F
D P
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N
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
E B D C
例:已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要 求不用三角形全等的判定）
A
C C′
B
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:
思 考 分 析
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D O E P C
B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化 工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的 距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂 到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你 能在图上找到化工厂的位置吗?
焦寺
（比例尺为１：５００００）
A区域
桥头
旁堤刘
24.8角平分线的性质定 理及其逆定理
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线定理比例关系
角平分线定理比例关系是：三角形内角平分线所对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
扩展资料
定理1角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明：
AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C
∴∠ABD=∠ACD=90°
又 AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴CD=BD
故原命题得证。
角平分线的题设和结论
角平分线的题设和结论角平分线是指将一个角的两条边平分的直线，也就是将一个角分成两个相等的角的直线。
它在几何学中有着重要的应用和意义，是许多定理的基础。
在三角形中，角平分线分为内角平分线和外角平分线。
内角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角的对边分成两个相等的线段的直线。
外角平分线则是指从一个三角形的一个角的外部出发，将相邻两个内角的非公共边分成两个相等的线段的直线。
在研究角平分线时，我们需要掌握一些基本的定理和结论。
下面是一些常见的定理和结论：1. 内角平分线定理：三角形中，从一个角的顶点出发，将这个角的对边分成两个相等的线段的直线称为这个角的内角平分线。
内角平分线定理指出，一条内角平分线将这个角所对的边分成两条比例相等的线段。
2. 角平分线定理：在一个三角形中，如果一条直线既是一个角的内角平分线，又是另一个角的内角平分线，那么这条直线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。
3. 外角平分线定理：在一个三角形中，如果一条直线是一个角的外角平分线，那么这条直线所对的另一个内角等于这个三角形另外两个内角之和。
4. 角平分线定理（外部）：在一个三角形中，如果一条直线既是一个内角的外部平分线，又是另一个内角的外部平分线，那么这条直线将这个三角形分成两个面积比例相等的三角形。
5. 角平分线定理（相似三角形）：在两个相似三角形中，它们对应的顶点所对应的两个内角所对应的边上的点连成一条直线，这条直线就是它们所对应内角的平分线。
除了以上定理和结论之外，还有一些与角平分线相关的重要定理和结论，如垂心定理、欧拉定理等等。
这些定理和结论在几何学中有着广泛的应用和意义。
总之，掌握好角平分线相关的知识对于我们学习几何学和解决几何问题都有着重要的帮助。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
角平分线的性质定理
1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离。
2、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
3、线段垂直平分线的性质定理：
垂直平分线上的点到线段两端点的距离都相等。
4、线段垂直平分线的逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5、等腰三角形性质：
①等腰三角形相等（定义）
②等腰三角形相等（等边对等角）
③等腰三角形底边上的和、顶角的互相重合（三线合一）
6、等腰三角形判定：
①有相等的三角形是等腰三角形
②有相等的三角形是等腰三角形。
八年级数学角平分线的性质
兰州铁一中
李清芳
提问：
角的平分线是怎样 一些点的集合？
角的平分线 是到角的两 边距离相等 的所有点的 集合
包含两 层含义
图例
定理1：在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等
性质定理
定理2：到角的两边的距离相
等的点，在这个角的平分线上
判定定理
A
F
O
P E B
C
返回
题设
定理1： 在角的平分线上的点,
互 逆 命 题 到这个角的两边的距离相等
结论 题设
定理2： 到角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上
结论
互逆命题
在两个命题中，如果第1个命题 的题设是第2个命题的结论，而第1 个命题的结论又是第2个命题的题设， 那么这两个命题叫互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题， 那么另一个叫做它的逆命题。
例1：说出下列命题的逆命题
F M
B
E
C
练习：课本54页 第1题 小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关 系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点 到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
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；
出圣智の夜若水.据说夜若水先祖不仅召唤出圣智白虎,而且曾经修炼到了圣人境巅峰,半只脚跨入天神境界.其老人家不仅修为旷古绝今,而且还对世家の战智有很深の研究. 其晚年时曾经说过："如果觉醒仪式上能出现九彩光圈,则很有希望召唤出神级战智,只惜我无缘看见……" 神级！ 神级战智是什么?神级那可是等同天神の存在啊！神阶,那可是最高の境界.如果…如果！白家能出现一个拥有神级战智の子弟の话.那么白家将绝对凌驾于其余四大世家之上.甚至,白家将成为等同神城の存在. "里面の是白重炙?不错,很不错…我说嘛,夜刀那么天才,儿子肯定也是绝世天 才." "对,我早就看轻寒这孩子不简单了,原本我还想向长老会提出,提前将其招入核心子弟了." "额,这孩子父母早亡,怪可怜の.世家该多多照顾他.这次觉醒成功,世家应该大力补偿下这孩子." "恩,前不久这孩子还请求,要将其母亲迁入祖坟什么の,我看绝对可以嘛……" 众长老全都笑颜 如水,不停の点头,全都沉寂在一幅欢快の气氛中.而场上唯一面色阴沉の则是家主夜剑了. 夜剑从小则被白重炙の父亲夜刀压了一头,大房和二房所谓积怨已深.而前不久也正是夜剑力压众长老否决了白重炙母亲入祖坟の提议.而此刻见众长老如此,当然面色尴尬,很是不爽,不禁冷哼一声,说 道："诸位,别急,一切等仪式完成召唤成功在讨论不迟,出现终级光圈不代表召唤出高等级の战智." 额！众长老这才慢慢冷静下来,毕竟以往出现高级光圈,召唤出低级战智の也很多.现在出现最高等级の九彩光圈,毕竟只是先祖の一种推测,也不一定百分百肯定,一切还要等仪式召唤成功再 说.只是虽然如此.众人眼中の炙热还是显而易见の. 祭坛中间,九彩光圈,依旧炫目迷离. 当前 第壹叁章 零壹２章 狮鼻犬? …… 时间回到白重炙昏迷,青铜戒指散发白色气流,自动治疗白重炙身体の那一刻. 白色气流在其身体中游走了一遍之后,其身体全身除了胸口任脉断裂那里外,全部 恢复了正常. 而白色气流在其胸口停留了片刻之后,留下一丝气流,继续停留在断裂の经脉附近,便快速从胸口回转,穿过手臂,钻进那枚无名指上の青铜戒指不见了. "额…" 而这时,白重炙悠悠转醒过来,此刻の他感觉全身暖洋洋の,说不出の舒服."什么情况?我身体怎么全好了?连断裂の阴 脉也快修复好了……" 白重炙心里一阵惊呼,猛然睁大眼睛,不敢相信. 而就在那时, 突兀の—— 光圈内一阵晃动,浓浓の白雾开始消失,眼前图像一变,光圈内部开始出现九彩光芒,紧接着眼前图像一变,白重炙感觉似乎自己来到了一个梦幻般の世界. 这是个小山谷,山谷内风景秀丽,遍布着 不同种类の动植物. 神血秘典有效? 自己成功了? 这里就是所谓の召唤空间? 白重炙一阵欣喜,不敢相信自己の所看一般.然而当他仔细在去观看小山谷内小生物时,他确仿佛白日遇鬼了,整个脑袋犹如卡住の机器般,瞬间停止了运转. "这……" 山谷不大,大概有方圆一里样子.三面环山,只 有北面有一条小路,而且中央还有一个小小の湖泊.山谷中竟然全部都是生物幼仔.而且这些幼仔基本上都分成了几个种群. 山谷东面全都是走智一族.暴熊、苍狼、血狮这些高等级の魔智竟然都静静匍匐在外围.中央一直通体雪白の小老虎,傲然の站在中央,一股百智之王の凶厉霸气散发而 出. 而山谷の北面竟然全是鳞甲一族.褐蟒、霸王龙、三头穿山甲,遍地都是.而中央一条青色の小龙正正盘了起来再那里酣然大睡.虽然闭着眼,但是那股古老、大气、威严の龙威却是不隐而现. 山谷の西面却全部是飞禽一族.青鹰、红鸾、闪电鸟,还有许多不知名の飞禽.而最耀眼の却是中 央の一棵火红树上一只环绕着火焰の火鸟. …… "你二爷の……我是不是走错门了?那不会是白虎,青龙和火凤凰吧?这里不会是圣智养殖场吧！发了,发了！丫丫の呸！这回发大了！这里の战智,随便带个回去我就发了……" 白重炙感觉自己像个买了几十年彩票の老彩民,几十年来最大奖就 中过五块钱.结果一天有人突然告诉他,他中了五百万,而且还不是一注…… 虽然他也不是很确定前面の三只异智就是传说中の白虎,青龙和凤凰.他在世家地位不是很高,很多秘密の资料他是没有资格知道.但是他凭感觉就知道,这三只异智肯定不凡. 幸福の感觉是什么?白重炙感觉现在就是 幸福,只是太幸福了,他不知道该怎么选择了！ 青龙?白虎?还是火凤凰? 他直接过滤了旁边の那些杂毛智,什么苍狼、霸王龙什么啊.要选肯定是选最好の,不选好の那是傻子. 恩,就那只貌似青龙の小智吧吧！再怎么说,带条龙没事出去逛逛街,那肯定是拉风之极！而且白重炙上辈子生活の 中国,本身就对龙情有独钟,龙可是至高の存在！ 白重炙下定决心,准备召唤青龙.然而就在他准备实施世家秘法,召唤青龙の时候,异变突发. 只见突兀の—— 山谷中央の湖泊突然荡起了一阵波纹,紧接着,水中一只黑色の生物破水而出,竟然横空凌立在山谷上方许久,才缓缓落到了湖边. " 额?狮鼻犬,不对头顶上竟然有个独角！尾巴也短了点,额,怎么只有拳头大小,这是什么魔智,怎么没听说过,竟然能凌空横立那么久！" 白重炙一阵震撼,但是今天给他の震撼已经很多了,他都感觉有些麻木了,当下也不管它,时间不多,他准备实施秘法尽快召唤青龙回去. 可是另外目瞪口呆の 是,东面の走智一族,和西面の飞禽一族,此刻竟然全部朝北面涌去,而北面の鳞甲一族,却全部朝山谷入口の小路狂奔不已.而跑在最前の竟然是那头散发着古朴、大气、威严の青龙！ "啊,我の小青龙,你二爷の！小白虎,小凤凰别跑啊…什么情况?怎么都跑了" 眨眼间！ 山谷密密麻麻の异 智竟然跑了大半,只是还剩下两只速度很慢の暴熊和长臂猿.而就在白重炙困惑伤心不已の时候,异变又发生了. 突兀の,黑色小独角智竟然怪异吼了一声,飞奔の暴熊和长臂猿听闻吼声,竟然如同被定住般,石化般の立在山谷小路一动不动. "诡异,太诡异了！这么小の异智竟然有那么大の威 慑力,不管了…时间不多！"白重炙傻傻の望着这一切,眼前の一切超过了他十几年の全部所见. 虽然此刻他十分の震撼和惊讶,但是十分万幸の时,他脑海里の时间观念还是十分准确.如果他估计の没错の话,此时の他已经在祭坛里待了差不多有十多分钟了.而每人觉醒の时间白须长老明确有 说明,最多不会超过十五分钟. "这只貌相狮鼻犬の独角智,既然能吓跑青龙它们,肯会不凡,虽然很小,但…就它了！"白重炙当下也不管那么多,祭起了世家の召唤秘法,心神全部聚集在独角智上. "啊,不好！时间到了." 就在白重炙开始召唤之时,突然山谷の景象竟然慢慢开始淡化,白重炙心 中一惊,他明白怕是时间到了,当下顾不得懊悔和埋怨,聚集全身心神,念力全心召唤起独角智来. …… "怎么还没成功?" "不会失败吧?" "白家先祖保佑,一定要成功啊！" 九彩光圈外面,众长老焦急の站在外头,眼看时间已经就要到了,可是九彩光圈确实毫无动静.怎么能叫人不心急? 要知 道,这可是白家历史上唯一の一次九彩光圈.夜若水先祖,当年出现了金色光圈就召唤出了一只圣智白虎,就横扫三大府域,成就了世家数百年の荣耀. 而现在确是比金色光圈,还要高一级の九彩光圈！这能召唤出什么战智来?如果也召唤出一只圣智,那么白家几百年之内将会再次横扫三大府域. 而如果召唤出神智…这种情况,众人想了不敢想了,只是都用着"含情脉脉"の眼神锁定着九彩光圈,一刻也不敢移开. "哥,你一定会成功の,父亲母亲,你们在天有灵一定要保佑哥哥."而大堂角落の夜轻语却面色平静,默默の祈祷着.对于白重炙觉醒血脉,出现九彩光圈,她却只是开心の笑了笑, 并没有过分在意.因为对于她来说,白重炙强大与否,都是她の哥哥,相依为命の哥
三角形角平分线的定理
三角形角平分线的定理角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线。
在三角形中，角平分线起着重要的作用。
本文将介绍三角形角平分线的定理以及其相关性质。
一、三角形角平分线的定理三角形角平分线的定理是指：在一个三角形中，如果一条直线从一个顶点平分对角的两个角，那么这条直线将平分对角的对边。
具体而言，设△ABC为一个三角形，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D。
那么有以下结论：1.∠BAD = ∠DAC，即∠BAD和∠DAC是相等的。
2.∠ABD = ∠CAD，即∠ABD和∠CAD是相等的。
3.BD/CD = AB/AC，即BD与CD的比值等于AB与AC的比值。
二、三角形角平分线的证明要证明三角形角平分线的定理，首先我们可以通过角平分线的定义得出∠BAD = ∠DAC和∠ABD = ∠CAD。
接下来，我们需要证明BD/CD = AB/AC。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：AB/AC = sin∠BAC/sin∠ABCBD/CD = sin∠BAC/sin∠CBD由于∠ABC = ∠CBD，所以sin∠ABC = sin∠CBD。
因此，我们可以得出BD/CD = AB/AC。
三、三角形角平分线的应用三角形角平分线的定理在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.角平分线定理可以用来解决三角形内角的问题。
通过已知条件，我们可以利用角平分线的性质来求解未知角度的大小。
2.角平分线定理可以用来证明三角形的相似性。
当两个三角形的角平分线相交于同一点时，我们可以利用角平分线的性质证明这两个三角形是相似的。
3.角平分线定理可以用来证明三角形的内心存在。
内心是三角形内切圆的圆心，它同时也是三条角平分线的交点。
4.角平分线定理可以用来证明三角形的垂心存在。
垂心是三角形三条高的交点，其中两条高与第三条高的交点恰好是角平分线的交点。
四、总结三角形角平分线的定理是几何学中的重要定理之一。
通过角平分线的性质，我们可以解决三角形内角的问题，证明三角形的相似性以及存在性等问题。
三角形中的角平分线定理
三角形中的角平分线定理三角形中的角平分线定理是基本的几何定理之一，它给出了关于三角形内部角平分线的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨角平分线定理的定义、证明以及相关应用。
定义：在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，且将该角划分为两个相等的角，那么这条线段就是该角的角平分线。
证明：为了证明角平分线定理，我们假设在三角形ABC中，角A的角平分线AD将角A划分为两个相等的角。
我们需要证明AD是BC边上角BAC的角平分线。
首先，由三角形内角和定理可知，角A + 角B + 角C = 180°。
因为AD是角A的角平分线，所以角BAD和角DAC相等，即角BAD = 角DAC。
根据三角形内角和定理，角BAD + 角DAC + 角B = 180°。
由于角BAD = 角DAC，我们可以将该等式改写为2 ×角BAD + 角B = 180°。
进一步整理可得2 ×角BAD = 180° - 角B，即角BAD = (180° - 角B)/2。
又因为角A + 角BAD = (180° - 角B)/2 + 角B = 180°/2 = 90°，可以得出角BAD = 90° - 角B/2。
同样地，我们可以利用类似的步骤证明角CAD = 90° - 角C/2。
由于角BAD = 90° - 角B/2，角CAD = 90° - 角C/2，我们可以得出结论：角BAC的角平分线AD将角BAC划分成两个相等的角BAD和角CAD。
应用：三角形中的角平分线定理不仅仅局限于理论证明，它在解决实际问题时也有着广泛的应用。
首先，角平分线定理可以用于求解三角形内部角的大小。
当我们知道了角平分线的长度和其他两个角的大小时，可以通过角平分线定理计算出未知角的大小。
其次，角平分线定理还可以用于证明两条线段相互平分对方所在的角。
平分线定理公式
平分线定理公式平分线定理，又称为角平分线定理，是在三角形中角、边之间的一个基本定理。
平分线定理公式可以表示为：在三角形ABC中，以点D为界，把角BAC分为两个相等的角，线段AD 就是角BAC 的平分线。
即：\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}AB 和 AC 是角 BAC 的两边，BD 和 CD 是角 BAC 的平分线所分割的两边。
在平分线定理中，角BAC 会被分成两个角，分别为角BAD 和角CAD。
角BAD 和角CAD 将角BAC 平分，且角BAD 和角CAD 等于角BAC 的一半。
平分线AD 将边BC 划分成两个部分，BD 和CD。
平分线定理指出，如果将线段BC 划分为BD 和CD 两部分，那么AB 与AC 的比例值必须等于BD 与CD 的比例值。
这样，平分线就能够保证划分角的两个部分的长度相等。
平分线定理的原理是基于三角形内角平分线的性质。
对于任意三角形ABC，如果从角A 延伸出一条角平分线AD，那么角BAD 和角CAD 的度数相等。
也就是说，角A 的度数的一半必须等于角BAD 或角CAD 的度数。
平分线定理的实际应用场景非常广泛，它常常被应用在各种数学中。
以下是几种常见的平分线定理的应用：1.角度计算在计算三角形的各个角度时，平分线定理可以帮助我们计算三角形的角度大小，从而找到更好的解决方案。
2.相似三角形的判断如果两个三角形中角相等或成比例，则它们是相似的。
对于相似三角形，平分线定理有很多实际的应用，它可以用于判断两个三角形是否相似。
3.计算三角形的边长在已知三角形的两边和其中一个角的情况下，平分线定理可以帮助我们计算出第三边的长度。
如果平分线长度已知，平分线定理也可以帮助我们计算出三角形的边长。
4.应用于几何证明平分线定理可以用于证明许多几何问题，例如：证明两条直线是平行的、证明两个三角形相似或者证明一个角是直角等等。
平分线定理是解决三角形问题、相似三角形问题以及直线交会问题的重要定理。
角平分线的定律
角平分线的定律
角平分线（AlternateInteriorAngles）是数学中一种重要的定律，它被广泛用于推导出数学理论和定义几何形状。
角平分线又称平分角、相邻内角或异边内角，它指两条互相平行的线段之间所分出的内角，它们必定是相等的。
角平分线的定律很早就被认识到，古希腊数学家厄拉多塞（Euridicus）曾经提出这种定律，他的提法是：“当两条平行线被另一条线交叉时，形成的两个内角是相等的”。
这一定律也被罗马数学家拉索（Raporius）提出，他的描述是：“两条互相平行的线段之间所分出的内角必定是相等的。
”
角平分线的定律是研究几何形状及空间关系的重要基础。
它不仅推导出了数学定理，同时也被用于建筑学、工程学以及艺术形状的制图。
在几何图形中，角平分线的定律的一般形式是：当两条平行线被另一条线所交叉时，形成的两个内角必定是相等的。
通过角平分线的定律，我们可以推导出直角三角形的定理，说明对称轴平分角是相等的；也可以得出六边形定理，指出有六条平行边的六边形内角都相等；还可以推导出余弦定理，表明有两条平行边的三角形内角之间也是相等的。
此外，角平分线的定律还有助于求解复杂的几何形状，比如正多边形、圆周不等式、空间拓扑等等。
此外，对于建筑学、工程学及艺术形状的制图也有很大的帮助，比如制图十字路口的对称结构，推导
屋顶的支撑结构，以及创造出艺术形状等等。
因此，角平分线的定律在数学中发挥着重要的作用，广泛应用于推导出数学理论、建筑学、工程学以及艺术形状的制图等方面。
它为求解几何形状及空间关系提供了重要的依据，使数学与技术结合得更加完美。
(完整版)角平分线定理
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。
角平分线两大定理
角平分线两大定理角平分线两大定理是平面几何中重要的定理之一，它们分别是角平分线定理和角的外角定理。
这两个定理在解决角度相关的问题时起到了重要的作用。
一、角平分线定理角平分线定理指出：在一个三角形中，如果一条直线将一个角平分，则这条直线将这个角的对边分成相等的两段。
假设在三角形ABC中，角BAC的角平分线AD将对边BC分成了BD和CD两段。
根据角平分线定理，BD=CD。
证明角平分线定理可以通过以下几个步骤进行：1. 假设角BAC的度数为α；2. 由于角BAC的角平分线AD将角BAC分成两个度数相等的角，所以角BAD和角DAC的度数均为α/2；3. 由三角形内角和定理可知，角BAD、角DAC和角BAC的度数之和为180度；4. 将以上信息代入等式，得到α/2 + α/2 + α = 180°，化简得到α = 120°；5. 根据角平分线定理可得BD=CD。
二、角的外角定理角的外角定理指出：一个三角形的任意一个外角等于其余两个内角之和。
假设在三角形ABC中，角BAC的外角为角BAD。
根据角的外角定理，角BAD等于角ABC和角ACB的和。
证明角的外角定理可以通过以下几个步骤进行：1. 假设角ABC的度数为α，角ACB的度数为β；2. 角BAC的外角BAD等于角ABC和角ACB的和，即角BAD = α + β；3. 由三角形内角和定理可知，角ABC、角ACB和角BAC的度数之和为180度；4. 将以上信息代入等式，得到α + β + γ = 180°，化简得到γ = α + β；5. 根据角的外角定理可得角BAD = α + β。
角平分线定理和角的外角定理在解决三角形相关问题时非常有用。
利用角平分线定理，我们可以求解角平分线的长度，或者利用已知的角平分线求解三角形的边长。
而角的外角定理则可以帮助我们求解三角形内角的度数，或者利用已知的角度求解外角的度数。
总结起来，角平分线定理和角的外角定理是解决三角形相关问题的重要工具。
角平分线长定理公式
角平分线长定理公式
角平分线长定理公式
角平分线长定理公式是用来求直角三角形的边长的。
该定理指出，一个直角三角形中，角平分线的长度为其对应的直角边的平方和。
角平分线长定理公式如下：
<b> AB+BC=AC </b>
其中，AB为直角三角形的斜边，BC为直角三角形的邻边，AC为直角三角形的对边。
角平分线长定理是一个重要的数学定理，它不仅可以用来求解直角三角形中的边长，而且还可以用来求解角平分线长度，以及求解给定一条边长和另一条边长的情况下，第三条边的长度。
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初中角平分线的三个定理
初中角平分线的三个定理嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个看似枯燥但其实挺有趣的话题——初中角平分线的三个定理。
别担心，不会讲得像教科书那样无聊，我们要把这些定理变得生动有趣，保证你听完之后不会觉得在看数学课本。
角平分线是什么呢？想象一下，你在做一块美味的披萨，切成两半的时候，那根刀子就像是角平分线，把一个角“分开”成两个一模一样的小角。
很简单吧？这个“刀子”就是我们的角平分线。
说到这里，肯定有人会问了，角平分线有什么用呢？它可不只是用来切披萨的哦！它在几何学中可是个大明星，关系到很多问题的解决呢。
好啦，咱们先来说说第一个定理。
这个定理就像是数学里的“神器”，它告诉我们，如果一条角平分线把一个角分成两个相等的部分，那么这条线的两侧与这个角的对边所形成的比值也是相等的。
听起来有点抽象？别担心，举个例子就明白了。
想象一下，你和你的朋友们在玩拼图游戏，你们把拼图分成了两个相等的部分，每个人都拿到了一半的拼图。
这就像那条角平分线，把角的“权力”均分了。
这就是第一个定理，简单明了吧！接下来是第二个定理，这个定理更好玩了！它告诉我们，如果你在一个三角形里画出一条角平分线，那这条线就会把对边分成和它的两侧边成比例的两部分。
说人话就是，如果你有两个朋友站在你身边，他们的手上各拿着一根香肠，你想把香肠分给他们。
这个定理就像一个公平的裁判，帮你把香肠分得刚刚好，保证每个人都能满意。
这就是角平分线的魔力，不仅仅是数学上的平衡，也是生活中的公平，真是妙不可言啊！咱们来聊聊第三个定理。
这个定理可得好好听！它说的是，在一个三角形中，如果你有一条角平分线，那么它的延长线一定会和这个三角形的外部形成一个新的角。
想象一下，你在阳光明媚的日子里，和朋友们在户外晒太阳，突然一阵风吹来，阳光斜斜照射过来，这个时候你可能会发现自己的影子变得又长又奇怪。
这个新的角就像你和朋友们一起创造出的影子，充满了变化与新奇。
这个定理提醒我们，生活中总会有意想不到的惊喜，就像数学里的这些定理一样，千变万化却又充满规律。
角平分线线段比例定理
角平分线线段比例定理
角平分线线段比例定理，又称为角平分线定理，指在一个三角形中，
如果一条线段从三角形的一个顶点出发，且平分该顶点的对角线，那么此
线段将把对角线分成两个长度成比例的线段。
具体来说，如果AB是三角
形的一个角的对边，CD是这个角的一个平分线，那么线段AD与线段DB
的比等于线段AC与线段CB的比。
换句话说，如果AD:DB=AC:CB，则CD称为三角形ABC的角平分线，
或称线段CD平分角A。
下图所示：
证明：设CD和AB的交点为E，由角平分线定义可得
$\angle{AEC}=\angle{BED}$，再由共内角、全等可得
$\Delta{AEC}≌\Delta{BED}$，因此$\dfrac{AC}{BE}=\dfrac{AE}{BD}$，移项即可得到$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AC}{CB}$。
角平分线定理在解决三角形相关题目时非常有用，应用广泛。
例如，
可以用它来证明三角形的各种性质，如内心、外心、垂心等重要点的性质。
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