第四章 屈服准则

第四章 屈服准则
§ 4-1屈服准则的意义：
屈服是弹性变形的终了，塑性变形的开始。

屈服点是一个方向性的从量变到质变的转折点，屈服点以下为弹性变形区，在该区域，随着应力增加，变形量也不断增加，应力和应变的量不断积累，如果积累的量不超过屈服点，一旦卸载，应力和变形又回到原处。

如果积累的量超过了屈服点，材料性质则发生了质的变化，卸载之后，应力和变形都不会回到原处。

材料内部有残余应力，也有不可回复的塑性变形。

屈服点是材料性能上的一个转折点或者说分界点。

屈服点以下的变形特点是线性、单值、可逆，屈服点以上的变形特点恰恰相反，非线性、非单值、不可逆。

因此，屈服点以下是弹性力学研究的范围，而屈服点以上是塑性力学研究的范围。

从弹性方面说，它是弹性变形的极限，是强度的最高峰，由此构成了强度理论，从事结构研究的人绝对不能接近这一值，他们的活动范围是小于该值。

从塑性加工讲，屈服仅仅是塑性变形的开始，一切塑性加工必须从这一点开始，由此构成了屈服准则。

因此可以说，强度理论和屈服准则是同一事物的两个不同的侧面，必须联系起来看，质点处于单向应力状态下，若s σσ=1，对于结构而言，构件已经失效。

对于塑性加工，例如拔丝加工刚刚开始。

我们已 经学过第三
]
[31σσσ≤-、第四强度理论
])()()[(2
12
132
32
2
21σσσσ
σσ-+-+-0≤，将第三、第四强度理论综合起来，可以
写成C f ij ≤)(σ；和这两个理论相对应的屈服准则可以写成C f ij =)(σ，由此可见，屈服准则可以定义为：当各应力分量之间符合一定关系时，质点才进入塑性状态。

因为它是在解塑性力学问题时，除力学、几何、物理方程之外的补充方程，故又称塑性方程。

屈服准则是各应力分量之间的一种组合关系，这种关系是无限的，所发不能用有限的实验去穷属它，而只能在理想化的理论分析的基础上，用有限的实验支验证它，在逻辑学上叫有限归纳，所以，到目前为止，屈服准则的本质仍然是分析（推理）型的。

实验验证仍在进行，或许到了某一限度会有突破。

§ 4-2 有关材料性质的一些基本概念
一 连续：材料中没有空隙、裂纹。

二 均质：各质点性能一样。

三 各向异性：材料在各个方向上的性能不一样。

四 各向同性：材料在各个方向上的性能一样。

五 理想弹性材料：弹性变形时应力应变关系成线性的材料。

六 理想塑性材料：塑性变形时不产生硬化的材料。

进入塑性状态后应力不再增加可连续产生塑性变形。

七 变形硬化材料：塑性变形时产生硬化的材料，进入塑性状态后不断增加应力才可连续产生塑性变形。

八 刚塑性材料：在塑 性变形前象刚体一样不产生弹性变形，而到达屈服点后不再增加可连续产生塑性变形。

§ 4-3 屈雷斯加（Tresca ）准则
一 定义：材料质点中的最大剪应力达到某一定值时材料产生屈服。

二 数学表达式：c =-21σσ ； c =-31σσ； c =-32σσ；当已知1σ、2σ、3σ的值，且有321σσσ≥≥时，则屈雷斯加（Tresca ）准则可写成c =-31σσ；更为简单。

从莫尔圆方面讲，莫尔圆的最大直径达到一定值时材料屈服。

三 屈雷斯加（Tresca ）准则的优缺点：
1 优点：一阶线性，数学上处理非常方便，尤其是已知1σ、2σ、3σ的值时，且有
321σσσ≥≥时，则屈雷斯加（Tresca ）准则可写成c =-31σσ。

2 缺点：该准则不考虑2σ，在理论上不完整，如果1σ、2σ、3σ的值未知是，不能确定
321σσσ≥≥时，数学上处理不一定方便。

四 常数C 的确定：屈服准则应该适用于任何应力状态的组合：故可用简单的材料试验测定常数C 。

1 单向应力状态：单向拉伸则有0;321===σσσσs ; 则s c σσσ==-31。

2 纯剪应力状态：k k
-===3210σσσs k c σσσ===-231; s k σ2
1=
这是
一个很重要的结论，C 只与材料有关，只与变形历史有关。

这一准则是法国人Tresca1864年研究土力学时，通过对挤压的研究提出的。

§ 4-4 密席斯屈服准则(Mises)
一 定义：当材料质点的应力状态的等效应力达到一定值时，材料就会屈服。

二 数学表达式：C =-+-+-=])()()[(2
12
132
322
21σσσσσσσ
三 优缺点：
1 优点：全面考虑了三个分量1σ、2σ、3σ，并且从应力到能量在数学上比较严谨。

2 缺点：二阶非线性，数学上处理比较复杂。

四 常数C 的确定： 1单向应力
状态：有0
;321===σσσσs ;
s C σσσσσσ
σσσ===-+-+-=
12
132
32
2
21])()()[(2
1；
s C σ=∴
2 纯剪应力状态：;;0;321k k -===σσσ
s C k k k k σ==--+++-])()0()0[(2
12
2
2
;
s C k σ==∴
3; k=
s s σσ577.03
1=
k s
3])()()[(2
12
13232221==-+-+-=
σ
σσσσσσσ
五 物理意义：1924年Henky 阐明了Mises 准则的物理意义，这就是当材料的质点内的单位体积上的变形能达到某临界值时，材料屈服。

Nadai 则认为，Mises 准则的意义是八面体面上的剪应力达到一定值时，材料就屈服。

即：s στ3
28=
§ 4-5 屈服准则的几何表达---屈服表面和屈服轨迹 一 应力空间的屈服表面： 1 应力空间：
1） 定义：以三条主应力为坐标轴构成的空间叫应力空间。

2） 应力空间的点与变形体内质点的应力状态一一对应。

变形体内任意点的应力状态为
()321σσσ，按此值可以在应力空间中确定一个点p ，p 点的坐标为()321σσσ，
反之，在应力空间中有一点，就可以确定一个应力状态，因此，应力状态与应力空间中的点是一一对应的。

2 应力空间中的应力球张量：
1） 等倾线的定义：与每一个坐标男的夹角都相等 直线叫等倾线。

2） 应力空意味等倾线的意义：等倾线上的每一点都代表一个球张量。

在应力空间第一卦限中作等倾线ON ，在ON 线上任取一点M ，M 点的坐标分别为()321m m m σσσ，它们在三条坐标轴上的投影为：ασcos 1
OM m =; βσcos 2OM m =;
γσcos 3OM m =; 因为在等倾线上γβα==；所以有： 32
1
m m m σσσ==；M 点表
示一个球应力状态，是一个应力球张量。

由于M 点的任意性，可以确定ON 轴上的每一点
都是一个球张量。

3 在应力空间中应力偏张量的表示：
在应力空间中，任意点p 代表着一个点和应力状态，坐标为()32
1
σσσ，矢量p o
同
样代表这点的应力状态，将p o
向ON 投影得OM ，则OM 等于OP 各分量在ON 上的投影之和，即OM =++γσβσασcos cos cos 321 1c o s c o s c o s 2
2
2
=++γβα ; 又γβα== ; 3
1cos cos cos =
==γβα；
OM =++)(3
132
1σσ
σ；
又2
32221σσσ++=
op ;
=
-=2
2
OM op MP 2
32
12
2322
2
1)
(3
1)(σσ
σσσ
σ++-
++；展开合并同类项而后配
方得：=
MP σσσσσ
σσ3
2])()()[(3
12
13232
2
21=
-+-+-
p o
代表一点的应力张量，M O 代表点的应力球张量，M O p o P M -=代表该点的应力
偏张量。

在应力空间中，=
MP 3
2σ=
3
2s σ时材料就会屈服。

4 应力空间中的屈服准则轨迹： 1） Mises 屈服轨迹：
过p 点作垂直于ON 的平面，由O 点到平面上所有的点的矢量向ON 投影都为OM ，以M 为圆心，以MP 为半径，作圆，圆上的每一个点到M 的距离都等于MP ，圆上所有点
所代表的应力状态的偏张量的模都为MP =
3
2s σ，所以圆上的点表示屈服应力状态。

过p 点作ON 的平行线PQ ，以PQ 为母线作圆柱面，则该圆柱面上的每一点ON 的距离都等于MP ，以O 点到圆柱面上各点的矢量所代表的应力张量的偏张量的模均为
MP =
3
2s σ；所以柱面上每一点都代表屈服应状态。

在圆柱面内部的点所表示的应力张
量的偏张量的模都小于MP =
3
2s σ，都表示弹性应力状态。

对于刚塑性材料，s σσ=而
不能大于s σ。

因为无更大的反作用力，点不会跑到圆柱而的外面。

2）Tresca 屈服准则轨迹：
Tresca 屈服准则的数学表达式为：s σσσ=-21 ； s σσσ=-31； s σσσ=-32； ① s σσσ=-21; s σσσ±=-21 ;
首先讨论s σσσ+=-21 当01=σ时，s σσ-=2; 得点（0，-s σ）；当02=σ时；s σσ=1；是点（s σ，0）
； 所以，s σσσ+=-21是一条过点（0，-s σ）和点（s σ，0）的直线。

在空间是过点（s σ，0，0）、点（0，-s σ，0）的一个平面。

② s σσσ-=-21
当01=σ时，s σσ=2; 得点（0，s σ）；当02=σ时；s σσ-=1；是点（-s σ，0）； 所以，s σσσ-=-21是一条过点（0，s σ）和点（-s σ，0）的直线。

在空间是过点（-s σ，
0，0）、点（0，s σ，0）的一个平面。

③ s σσσ=-21平面的特性：21112
1)()(σσσσσσσσ-=---='-'m m ; 由此可见s σσσ=-21与应力球张量无关。

所以s σσσ±=-21两平面与ON 轴无交点，平行于ON 轴。

所以s σσσ±=-21在空间分别是过点（-s σ，0，0）、点（0，s σ，0）和过点（-s σ，0，0）、点（0，s σ，0）而且都平行于ON 轴的两平面。

同理可证s σσσ=-31在空间是过点（s σ，0，0）、点（0，0，-s σ）的一个平面和过点（-s σ，0，0）、点（0，0，s σ）的一个平面。

而s σσσ=-32，在空间是过点（0，-s σ，0）、点（0，0，s σ）的一个平面和过点（0，s σ，0）、点（0，0，-s σ）的一个平面。

这些平面都平等于ON 轴；且两相交，形成一个以ON 为轴的正六棱柱面。

3）Mises 准则和Tresca 准则的关系：
在应力空间中，令点（s σ，0，0）为A 点，向量OA 的模为s σ，向ON 轴投影为
OM s s ==
σασ3
1cos ;
OM s =σ3
1是A 点应力状态的应力球张量，
A 点的应力偏张量应力为=
-
2
2
3
1s s σσ3
2s σ，即过A 点的棱与ON 轴之的距离为
32s σ。

并且棱与
ON 轴平行。

而Mises 圆柱面的母线与ON 轴的距离或圆柱面的半径为
3
2s σ；
所以棱和圆柱面必定重合，也就是说，棱在圆柱面上，同理其它棱也在圆柱面上。

因此，六棱柱面是圆
柱面的内接六棱柱。

六棱柱面代表Tresca 准则，圆柱面代表Mises 准则，Mises 准则是外接于Tresca 准则这个棱柱面上的圆柱面。

二 π平面上的屈服规迹： 1 π平面
1）定义：在应力空间中，过原点且垂直于ON 轴的平面叫π平面。

2）π平面的方程：因为π平面过原点，其球张量为零，所以有式：0321=++σσσ。

3）π平面的特点：π平面上的任意点都表示一个应力偏张量。

因为它过原点且垂直于ON 轴，其上的每一点向代表球张量的ON 轴投影都为零。

2 π平面上的屈服规迹：
1）轨迹：Mises 准则在应力空间中的轨迹是以ON 为轴的圆柱面，Tresca 准则是以ON 为轴内接于圆柱面的下六棱柱。

π平面垂直于ON 轴，所以与圆柱面的母线垂直，也与六棱柱的棱垂直，所以，六棱柱和圆柱面在π平面上的投影分别是圆和内接于圆的正六棱柱。

2） π平面上的屈服轨迹更清楚地反映屈服准则的性质
在应力空间中，任意矢量向π平面投影，若投影 端点在屈服轨迹上，则表示该点应力屈服，若不在屈服轨迹上，则该点应力在弹性价段。

3）主轴与轨迹的关系
①三根主轴在π平面上的投影互成120°角，将主轴负向也投影到π平面上，把π平面分成6个60 °角的区间，六个区间的轴迹是一样的（也就是说，三条轴的投影将两个轨迹平均分为六份，每份都相同）。

所以一个区间上的轨迹就可以表示整个屈服轨迹的性质。

②π平面上的三条主轴的正负投影代表单向应力状态的应力偏张量。

③60 °角的有平分线是纯剪线。

如1σ和3σ所成的夹角的平分线OL 上的每点的坐标为（1σ，3σ）。

因此有31σσ=∴31σσ-=∴⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡-11σσ是纯剪应力状态，因此为纯剪线。

4）两轨迹的关系
两个轨迹在三条主轴上是一致的，即在正六边形的六个顶点两准则是一致的，在纯剪线上两准则差距最大。

三 两向应力状态时的屈服准则
在应力空间中，Mises 屈服准则为一圆柱面，Tresca 准则为一六棱柱面，它们共同的轴是等倾线ON ，它们的轴是等倾线ON ，用σ1οσ2平面去截这两个柱面，σ1οσ2平面不垂直于ON 轴，所以，所截图形一定为一个椭圆和一个内接六边形，下面求这两个轨迹的方程和图形。

1 Mises 准则：
因为σ1οσ2平面过原点O ，所以，σ3=0，代入s σσ=，整理后得： 2
2
2212
1s σσσσσ=+- (1) 化为标准椭圆方程：
由上式可知：A=1; B=-1; C=1; 所以A=C; 由些得：
4
πα=
， 2
24
cos
4
sin
=
=π
π
,
2
112
32
2σσσ'-
'=
(2) 2
112
32
2σσσ'+
'=
（3） 将（2）和（3）代入（1）式得：2
2
2
2
123s σσσ='+' 12322
2
2
2
21='+
'
s
s
σσσσ
由此可看出：椭圆的长半轴为:s σ2, 短半轴为：
s σ3
2
标准方程为：
1)
3
2(
3)
2(2
222
2
1='+'
s s σσσσ （4）
由此可知: Mises 准则在σ1οσ2平面上，且一个椭圆。

另外，σ1οσ2平面过原点且垂直于3σ轴，所以3σ在σ1οσ2平面上始终为零。

2 Tresca 准则的方程与图形
将03=σ代入Tresca 准则得：s σσσ=-21 s σσ=2 s σσ=3 1） 讨论s σσσ=-21
s σσσ=-21 s σσσ±=-∴21
s σσσ=-21是过点),0(),0,(s s σσ-的直线。

s σσσ-=-21是过点),0(),0,(s s σσ-的直线。

2）讨论s σσ=2
s σσ=2 s σσ±=∴2分别是过点),0(s σ和),0(s σ-且垂直于2σ轴的直线。

3）讨论s σσ=1
s σσ=1 s σσ±=∴1分别是过点)0(，s σ和),0(s σ且垂直于1σ轴的直线。

s σσ=2和s σσ=1所表示的直线分别相交于点),(s s σσ和),(s s σσ--。

六条直线构成的Tresca 准则的图形是椭圆的内接六边形。

四 两轨迹的意义：
1轨迹内部的点表示材料处于弹性状态，轨迹上的点表示材料质点的应力状态处于塑性状态。

对于理想塑性σ1οσ2平面过的点不会落到屈服轨迹的外部。

2 在六个接点处，两准则是一致的，A 、E 、G 、K 点表示单向应力状态，C 点表示双向等拉应力状态，I 点表示双向等压应力状态。

3除了以六点之外，两准则都 不一致，差别最大处在B 、D 、F 、H 、J 、L 等六个点上，其中F 、l 两点表示纯剪应力状态（一拉一压，绝对值相等）。

在这六个点处，两准则的差距最大，差值为0.155。

4 Mises 轨迹在外，而Treseca 准则在内，表示按Mises 准则需要更大的力才能使材料屈服。

§4-6中间主应力的影响 一两准则的区别
Mises 准则和Tresca 准则无论从公式还是从图形上，都可以看出差别很大，其根本区另是Tresca 不考虑中间主应力的影响，而Mises 准则则考虑了中间主应力的影响。

认为中间主应力对材料的屈服有贡献。

贡献究竟有多么大，为此引入了Lode 参数。

二Lode 参数
1参数形式：2
22
2
2
3
13
123
12
13
213
12
23σσσσσσσσσσστττμσ-+-
=
---
-=
-=
2参数的性质：与应力球张量无关（因为两准则不受平均应力m σ的影响）。

3 参数的变化：当321σσσ>>时，2σ在1σ━3σ之间变化，当12σσ=时，1=σμ，当
32σσ=时，1-=σμ，所以，当2σ在1σ━3σ之间变化时，σμ在1━-1之间变化。

三 用参数表示Mises 的准则
2
23
13
12σσσσσμσ-+-
=
2
2
3
13
12σσμσσσσ++
-=
∴ 代入s σσ=得：
s σμσσσ
2
3132+=-，令
2
32σ
μβ+=
，则，Mises 准则可写为：s βσσσ=-31。

由此Mises 准则化成了Tresca 准
则的形式，β表示2σ的影响。

四 两个准则的比较：
两个准则相比较实质上是讲讨论β，对于Tresca 准则β始终是1，对于Mises 准则β则随2σ而变化。

当12σσ=时 ； 1=σμ； 2
32σ
μβ+=
=1
当32σσ=时；1-=σμ；2
32σ
μβ+=
=-1
当2
3
12σσσ+=
时； 2
23
13
12σσσσσμσ-+-
=
= 0； 3
2322
=
+=
σ
μβ
因为2
3
12σσσ+=
是平面变形，而平面应变在π平面上的投影为纯剪线，两准则的差别最
大处。

所以平面应变状态时β=1.155。

因为Mises 准则在平面应变时β=1.155，Tresca 准则
β=1，所以平面应变状态下两准则的差别最大，相差15.5%。

五 两准则的统一形式
s βσσσ=-31；对于Tresca 准则β=1，对于Mises 准则β=1～1.155； 令k =max τ则2
2
131max s
k σσστ=
=-=。

k 231=-σσ也一种统一形式，对于Tresca 准则2
s k σ=，，对于Mises 准则
s s
k σβσ)577.0~5.0(2
==。

§4-8屈服准则的实验验证
两准则除了六个点之外，都不一致，相差最大值为15.5%，哪个准则更符合实际呢？需要验证。

自1926年以来，这项工作一直在进行，实验方法多种多样，这里仅讲金属管拉--扭复合载荷法，即P —M 法。

一 实验原理：
如图金属薄壁受管拉--扭复合作用。

2
3
12
2
τ
σσσσ+-±
+=
=
2
242
12
τσσ+±
； 02=σ
1对于Tresca 准则 s στ
σ
σσ=+=
-2
2
314 2
2
2
4s στ
σ
=+ 1)(
4)(
2
2
=+s
s
στσσ是标
准的椭圆方程。

若取X=
s
σσ; Y=
s
στ时，方程的长半轴为1，短半轴为
2
1。

2对于Mises 准则 将
3
1σσ=
2
2
42
12
τ
σ
σ+±
和02=σ都代入σ或将τσ,代入σ得：
2
2
2
3s στ
σ=+ 1)(
3)(
2
2
=+s
s
στσσ
若取X=
s
σσ; Y=
s
στ时，方程则为1)
3
1
(
)(2
2
2
=+
Y X 的长半轴为1，短半轴为3
1。

所
以在X 、Y 构成的平面中，Tresca 准则和Mises 准则是两个不同的椭圆这两个椭圆的长半轴相，而短半径不同，若实验近哪个椭圆，则那个椭圆则更接近实际。

二 实验方法
1 认真准备试件，尽可能做到各向同性。

2 作拉伸试验，实测s σ值（主要是要获取
s
σσ和
s
στ的值）。

3在试件上加一定的扭矩，产生一定的τ。

4 加拉力P ，并将P 值不断增加直至材料屈服。

5 测量P 值，扭转角φ、伸长量L ∆、并作记录。

6 将P 、φ、L ∆转换成σ、γ、ε。

7 由σ、γ、ε求出σ、ε，
8在σ、ε平面上作σ---ε曲线，并找出假想屈服点。

9 求出屈服时的
s
σσ和
s
στ的值，从而在
s
σσ和
s
στ构成的平面上得到一个点。

10 改变加载路线，重复以上步骤可得到另外一个点。

如此可求得许多个实验点，看这些点更接近哪个准则，由此验证两个准则。

§4-8应变硬化材料的屈服准则
Tresca 准则和Mises 准则是各向同性前提下提出的，所以是各向同性材料屈服准则，对于刚刚屈服还未硬化的材料是适用的，对于硬化材料是不适用的。

屈服是应力作用的结果，所以屈服准则还可以统一写成C f ij =)(σ的形式，屈服轨迹的中心位置和形状由
C f ij =)(σ确定，轨迹的大小由C 确定。

由于材料硬化，所以C 由原来的常数变为变量（C
的值不断增加），同样由于材料变形，由各向同性变化为各向异性，使得)(ij f σ发生了变化，所以材料变形过程中的每一瞬间，屈服准则的大小和形状都在不断变化。

这样的屈服准则称为后续屈服准则也称后续屈服表面或轨迹。

也称加载表面。

后续屈服准则是很复杂的，到今还处于假说之中，目前最常 用的假说各向同性硬化假说。

一各向同性假说
1假说：材料硬化后还保持各向同性。

2 形状： 因为材料硬化后还保持各向同性，所以屈服轨迹的中心位置和形状不变，仍然为圆柱面和内接正六棱柱，在π平面上是圆和圆的正内接六边形，只是常数C 在不断变化，所以，该假说的屈服轨迹是同轴的不断扩大的圆柱面和内接的正六棱柱面，在π平面上为不断扩大的同心圆和圆的内接的正六边形。

二 C 的假说
1 单一曲线假说：)(εf C =; )(εf 与材料的性质有关，与应力状态无关，因此可以由单向拉伸确定，实际上，C 是我们以后要讲的真实应力应变曲线。

这种假设已经部分地被证实，并得到了广泛应用。

2 能量条件假说：C 是塑性变形功的函数，与应力状态和加载路线无关，这一假说得到了更多的证明，更具有一般性。

但是这种函数关系比较复杂，使用起来极不方便。