第四章 屈服准则
第四章屈服准则
第四章屈服准则在社会生活中，人们不可避免地会面临各种各样的压力和挑战。
在一些情况下，为了达到个人的目标或解决问题，我们可能需要考虑屈服准则。
屈服准则是指在面对一定的压力或影响力时，个体为了适应环境或达到特定目标而改变自己的原则、价值观或行为。
屈服准则是一个复杂的社会心理现象，其背后涉及到多种因素。
首先，人们在社会中生活，需要与不同的人打交道。
在这个过程中，我们会受到他人的意见、期望和群体压力的影响。
有时为了维护人际关系，我们可能会妥协自己的立场，进行屈服。
其次，人们不同的心理需求也会影响屈服准则的运用。
例如，对于那些追求社会认同感、归属感的人来说，他们可能更容易受到群体的影响。
在追求个人目标的过程中，他们可能会为了得到认同和接纳而改变自己的行为。
此外，文化差异也会影响屈服准则的运用。
在一些个人主义的社会中，人们更强调个体的自由和独立，可能不太愿意屈服于他人的压力。
相反，在一些集体主义的社会中，人们更注重团队合作和社会阶层秩序，更容易受到群体的影响。
屈服准则的运用不仅仅是单向的，也可以是双向的。
即使在屈服的过程中，个体也可以对外界施加影响。
当个体在一个强势群体中时，可能会改变自身的态度和行为，以适应群体的期望。
然而，同时也可能通过自己的言行来影响群体，使得群体在其中一种程度上屈服于个体的意愿。
在一些情况下，个体的屈服可能会带来一些负面的后果。
例如，在政治环境中，个体可能会因为政府的压力而放弃自己的信仰或原则，甚至违背良心。
在家庭中，父母可能因为对子女的过度要求而导致孩子过度消沉或逆反。
然而，在一些情况下，屈服准则也可以起到积极的作用。
在一些争议问题上，个体通过屈服可以促成双方的妥协和和解，达到社会和谐。
在团队合作中，个体也可能会为了整体利益而妥协自己的意见，以达成共同的目标。
为了更好地应对屈服准则，个体需要保持对自己的价值观和原则的清晰认知，有自己的立场和底线。
同时，也需要了解他人的需求和期望，做到灵活适应。
屈服准则与失稳准则介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ- s
O
s
2 s
e1
2018/2/28
3.3两种屈服条件的比较
1.相同点 （1）都是与应力状态无关； （2）都与静水压力无关； （3）进入塑性状态，都为一固定常数。 2. 不同点 Mises 屈服准则考虑中间主应力的影响 Tresca 屈服准则不考虑中间主应力的影响
3
平
面
1
2
2018/2/28
1 2 2 K s 2 3 2 K s 用数学表达式表示为： 2 K 1 s 3
对于平面变形以及主应力为异号的平面应力问题，则用任意坐标系应力分量表示的 Tresca屈服准则可写成： 2 2 2 2
其中 R11 , R22 , R33 , R12 , R13 , R23 为各向异性屈服应力比，在金属板料成形条件下，假设板料 i 3 0 所以，此屈服准则共有四个参量： F , G, H , N 的应力状态为平面应力状态，由于 那么： r90 (r0 1) r (r 1) 3r90 (r0 1) R11 1, R22 , R33 90 0 , R22 r0 (r90 1) r0 r90 (2r45 1)(r0 r90 ) 其中 r0 , r45 , r90 分别为沿着轧制方向、与轧制方向成45°、以及横截面方向拉伸试样宽 度方向的应变与厚度方向应变的比值。
3F 3G 3H L M N 时，Hill各向异性屈服准则就变为Mises各向同性屈服准则 当 2018/2/28
4.各向异性屈服准则
4.2Hill79屈服准则 考虑到Hill48屈服准则在处理r<1的材料时与实验结果不相等，Hill于1979年提出一个 更具有普遍意义的针对厚向异性指数小于1的第二个各向异性屈服准则，其表示如下：
4屈服准则
第四章 屈服准则第一节 真实应力应变曲线单向拉伸（或压缩）→屈服应力 sσ继续变形→材料强化→流动应力（真实应力） 真实应力应变曲线可以由实验建立一 拉伸试验曲线单向拉伸：2323211,0,εεεσσσ-====存在等效应力1σσ= 1εε=， 因此εσεσ-⇒-曲线一致（一）拉伸图和条件应力——应变曲线 00A F=σ 0ιιε∆=p.比例极限 e.弹性极限 c.屈服极限 b.抗拉强度（颈缩点）b s σσσ,2.0,概念与定义（二）真实应力——应变曲线真实应力()εσε+===10A FA F S ， 真实应变()ε+∈=1ln劲缩后断裂点：K K K A F S = K nK A A 0ι=∈修正：ρ811d KKS S +=（颈缩处为三向应力）（三）失稳点特性（S ：真实应力）()bbds S =AA n n SA F 00......ιιι=∈==∈=∴e A A 0因此∈=e A S F 0 由于失稳点F有极大值，dF=0()00=∈-⇒∈-d se d e A ts化简得dS-Sd ∈=0或 b S d dS=∈即：失稳点处曲线的斜率等于纵坐标值二 压缩试验曲线拉伸时∈达不到很大（一般∈≤1.0），但压缩时存在摩擦必须解决方法：1） 直接消除摩擦的圆柱体压缩法 2） 外推法拉伸曲线与压缩曲线略有区别（压缩时S 略大）三 真实应力—应变曲线的简化形式目的：便于计算 硬化曲线图1） 指数型()幂次式硬化n B S ∈= ()失稳点b n =∈且0<n<1)(1b B S ms ∈+=σ(有初始值硬化)2）直线型()()2sb S s Dc D S σσ-=∈+=直线硬化，用于室温下大变形s S σ=(无加工硬化)用于高温低速变形，理想弹塑性。
∈E =S c ∈≤∈()c s D S ∈-∈+=1σ c ∈≥∈弹塑性线性硬化，用于室温下小变形第二节 理想塑性材料的屈服准则一 定义及有关概念单向应力时：只要单向应力达到屈服极限，材料就屈服，进入塑性状态。
屈服准则——精选推荐
一．屈服准则的概念1 ．屈服准则A.受力物体内质点处于单向应力状态时，只要单向应力大到材料的屈服点时，则该质点开始由弹性状态进入塑性状态，即处于屈服。
B.受力物体内质点处于多向应力状态时，必须同时考虑所有的应力分量。
在一定的变形条件（变形温度、变形速度等）下，只有当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，也称塑性条件。
它是描述受力物体中不同应力状态下的质点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须遵守的力学条件，这种力学条件一般可表示为f（σij）＝C又称为屈服函数，式中C是与材料性质有关而与应力状态无关的常数，可通过试验求得。
屈服准则是求解塑性成形问题必要的补充方程。
2 ．有关材料性质的一些基本概念A.理想弹性材料物体发生弹性变形时，应力与应变完全成线性关系，并可假定它从弹性变形过渡到塑性变形是突然的。
B.理想塑性材料（又称全塑性材料）材料发生塑性变形时不产生硬化的材料，这种材料在进入塑性状态之后，应力不再增加，也即在中性载荷时即可连续产生塑性变形。
C.弹塑性材料在研究材料塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形的材料这里可分两种情况：Ⅰ.理想弹塑性材料在塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增加可连续产生塑性变形。
Ⅱ.弹塑性硬化材料在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前的弹性变形，又要考虑加工硬化的材料，这种材料在进入塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。
只有在应力不断增加，也即在加载条件下才能连续产生塑性变形。
D.刚塑性材料在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前的弹性变形。
这又可分两种情况：Ⅰ.理想刚塑性材料在研究塑性变形时，既不考虑弹性变形，又不考虑变形过程中的加工硬化的材料。
Ⅱ.刚塑性硬化材料在研究塑性变形时，不考虑塑性变形之前的弹性变形，但需要考虑变形过程中的加工硬化材料。
真实应力-应变曲线及某些简化形式二．屈雷斯加（ H.Tresca ）屈服准则当受力物体（质点）中的最大切应力达到某一定值时，该物体就发生屈服。
屈服准则、失效准则、硬化准则、速率
屈服准则、失效准则、硬化准则、速率0)为什么讨论这些基本问题有限元技术发展到今天，其算法基本上已经成熟。
对从事有限元软件开发的⼈员⽽⾔，主要的⼯作就是根据新材料的发展不断补充各种材料模型，不断完善材料库，同时也不断完善单元库；⽽对有限元使⽤⼈员来说，主要的⼯作就是建⽴⼏何模型，选择合适的材料及单元，设置求解参数。
选择单元及设置求解参数主要牵涉到有限元基本算法，通过集中的学习可以较快的掌握；⽽材料模型种类繁杂，有时候并不容易选择，有必要群策群⼒，共同学习。
我先抛砖引⽟，真诚希望⼤家能把这些⼯作做起来。
为容易理解计，尽量避免使⽤特别专业的词汇。
(1)屈服对许多延展性较好的材料（如⼤多数⾦属）⽽⾔，其弹性和⾮弹性⾏为⼀般⽤屈服强度（yield strength)这个标量来区分、界定。
在ANSYS⾥，屈服点（yield point)和⽐例极限(proportional limit)被假定为是⼀致的。
应⼒分量的组合千变万化，不可能对每个应⼒状态都指定屈服强度，屈服准则的作⽤就是将林林总总的多向应⼒转化为单向应⼒（屈服强度⼀般通过单向拉伸试验来测定，因为这个实验最简单。
），然后将转化后的等效应⼒和屈服强度进⾏⽐较。
在ANSYS⾥，主要有von Mises 和 Hilll（可以通过TB,HILL指定Hill Potential)两类准则。
当然⼀些塑性模型有⾃⼰特殊的屈服准则，如Drucker-Prager 。
失效指材料失去承载能⼒或者不能满⾜规定的使⽤要求（如过⼤的变形等），对脆性材料，失效⼀般表现为断裂，对延展性材料，失效的表现形式可以是最后的断裂，或者是产⽣永久变形，或过⼤的变形等等。
ANSYS6.0以后，FC系列命令可以⽤来为所有的单元指定失效准则，如最⼤主应⼒，最⼤主应变，蔡-吴准则等等，和TB,FAIL命令有些类似。
对复合材料单元（如SHELL91/99，SOLID46/191)也可以⽤TB,FAIL指定失效；对混凝⼟（SOLID65)，可以使⽤TB,CONCR指定裂纹的产⽣条件。
屈服准则(《金属塑性成型原理》3.4)
六、应变硬化材料的屈服准则
初始屈服服从上述屈服准则 硬化后，屈服准则发生变化（变形过程每一刻都 在变化）其轨迹或表面称为后继屈服表面或后续 屈服轨迹。
2
后继屈服轨迹 初始屈服轨迹
2
f ( ij ) Y
单一曲线假设
Y g
3
1
3
1
各向同性应变硬化材料的后继屈服轨迹
一般金属材料是理想弹性材料 2、金属在慢速热变形时——接近理想塑性材料 3、金属在冷变形时——弹塑性硬化材料 4、金属在冷变形屈服平台部分——接近理想塑性
二、Tresca屈服准则
1864年，法国工程师屈雷斯加提出材料的屈服与最大切应力有关
当材料中的最大切应力达到某一定值时，材料就屈服。 即材料处于塑性状态时，其最大切应力是一不变的定 值 ——又称为最大切应力不变条件
关于材料性质的基本概念
真实应力－应变曲线及某些简化形式
（1）理想弹性材料——图a,b,d （2）理想塑性材料——图b,c 理想弹塑性材料-图b （3）弹塑性材料 弹塑性硬化材料-图d 理想刚塑性材料-图c （4）刚塑性材料 刚塑性硬化材料-图e
s
讨论： 1、实际金属材料在比例极限以下——理想弹性
第四节：屈服准则
南昌航空大学 材料科学与工程学院
本章主要内容
1 基本概念 2 屈雷斯加屈服准则 3 米塞斯屈服准则 4 屈服准则的几何描述 5 屈服准则的实验验证与比较 6 应变硬化材料的屈服准则
一、基本概念
金属变形：弹性+塑性 （关心—什么时候开始 进入塑性） 一、屈服准则（塑性条件）：
f( ij ) = C
max
max min
工程塑性力学-屈服准则
Mohr-Coulomb 准则
Drucker-Prager 准则
Rankine 准则
1876 年，Rankine提出：一点的最大主应力 达到拉伸强度时，材料发生拉伸破坏。 用于确定脆性材料是否会发生拉伸破坏。 可用来判断混凝土拉伸开裂的起因。 屈服面：拉伸破坏面
1
max(1 , 2 , 3 ) ft ft 由简单拉伸试验确定。
2
那么Tresca准则变为：
xx yy 2 xy k 2
2
即
xx
yy 4
2 2 xy
2 s
上式分别代入yy = -s , 0, s，得到xx-xy 平面 上的屈服轨迹。
xy
xx
Mises 屈服准则
轴向拉伸试验：
1 s , 2 3 0
1 3 s , 2 0
s k 2
k s
纯剪试验：薄壁圆筒扭转试验
1 s s 2
s 与 s 均可由试验测定，常用钢材的试验 结果与上式不完全符合，说明Tresca屈服准则 是近似正确的。
Tresca准则是分段线性的，简化计算；适用 于主方向已知且不变的情况下；
Mises 、 Tresca 准则分别对应于材料力学中 的第三、第四强度理论。
例3：闭端薄壁圆筒受内压 p 的作用，理想 塑性材料，屈服极限为s = 245 GPa。 用Mises、Tresca准则求最大许可的内压 p。 解：首先确定危险 点的应力状态（远离 封头的筒身位置）：
Drucker-Prager 准则
1952 年提出，是对 Mises 准则的修正，它考 虑了静水压力对屈服的影响：
屈服准则
Mises屈服准则 1913年，德国力学家Mises提出。
定义
当等效应力 达到某定值 C 时，材料即
产生屈服。 表达式
=C
对于单向拉伸
1 s
2 3 0
则有
=σ1= σs 即
C=σs
可以通过单向拉伸试验确定Mises屈服条件
C（临界等效应力）。
两种屈服准则的比较
这三个式子中有一个满足即进入塑性变形状 态。
对于单向拉伸
1 s
2 3 0
则Tresca屈服条件为：
max K
可以通过单向拉伸试验确定Tresca屈服条 件K（剪切屈服强度）。
思考：
Tresca屈服条件的三个式子 σ1- σ2 =±2K σ2- σ3 =±2K σ3- σ1 =±2K
屈服准则（塑性条件） 在不同应力状态下，变形体内某点进入塑性
状态并使塑性变形得以继续进行，各应力分量 与材料性能之间必须符合一定的关系，这种关 系称为屈服准则，一般表示为:
f( ij ) = C
式中C是与材料性质有关而与应力状态无关 的常数。
主应力状态下
f(1,2,3 )= C
讨论：
f( ij ) C f( ij ) C f( ij ) C
1 相同点 （1）都是与应力状态无关； （2）都与静水压力无关； （3）进入塑性状态，都为一固定常数。 2 不同点 （1）Mises屈服准则考虑中间主应力的影响； （2）Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影 响。
质点处于弹性状态 质点处于塑性状态 在实际变形中不存在
屈服准则 变形体发生塑性变形时应力与材料性能之间
的关系。
两种主要屈服准则
■ Tresca屈服准则 ■ Mises屈服准则
4_板料本构理论与屈服准则
FASTAMP
专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 增量理论本构方程
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件全量形变理论本构方程
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
全量形变理论本构方程
⎦
⎣
090
FASTAMP 各向同性屈服准则
FASTAMP FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
材料的J2随动强化本构关系
K εσ=FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
板料各向异性
FASTAMP 各向异性参数R 定义FASTAMP 各向异性系数ΔR
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件Barlat_Lian 屈服准则
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
Barlat 六参量正交各向异性屈服准则
6
FASTAMP 各种屈服准则比较
FASTAMP J2流动理论
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件
Barlat_Lian 屈服准则
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件Barlat 六参量正交各向异性屈服准则
FASTAMP 专业钣金成形快速仿真软件。
4.1Tresca屈服准则、Mises屈服准则
对于平面变形及主应力异号的平面应力问题
1 x y x y 2 xy 2 3 2
2
x y 2 1 3 2 xy 2
2
Tresca准则为
2 ( x y ) 2 4 xy s2 4 K 2
Mises准则可写成
或 2 2 2 [( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )] 2 s2
[( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 2 s2
Von.Mises屈服准则
在纯切应力状态 xy 1 3 K Mises准则可写成 或 [(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 6K 2 由此得出σs与K的关系 与等效应力比较
K 1 s 3
C K2
2 2 2 [( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )] 6 K 2
有关一些材料的基本概念
应力应变曲线及其简化
实际金属材料 理想弹塑性 理想刚塑性 弹塑性硬化
刚塑性硬化
主要讨论：均质、各向同性、理想刚塑性材料
Tresca屈服准则
H. Tresca准则：当受力物体(质点)中的最大切应力达 到某一定值时，该物体就发生屈服。或者说，材料处于 塑性状态时，其最大切应力是一不变的定值。该定值只 取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。 该屈服准则又称最大切应力不变条件。 表达式：
m ij ij ' m ( x ' y ' z ' ) 0
基本概念（2）：屈服准则
基本概念（2）：屈服准则本期，给大家介绍一下有限元计算中经常遇到的一个概念：屈服准则。
上期讲的屈服强度属于材料特性。
屈服准则是一个计算概念。
一、屈服准则的含义屈服准则表示在复杂应力状态下材料开始进入屈服的条件，它的作用是控制塑性变形的开始阶段。
屈服条件在主应力空间中为屈服方程。
物体力在外载荷(通常为外力)作用下发生的变形有二种形态：(1)弹性变形。
弹性变形是可逆的，当外载荷卸去后物体可以恢复到初始状态，物体中任何二个质点之间的距离都恢复到初始值，物体内无任何残余变形。
(2)塑性变形。
塑性变形是不可逆的，物体中任何二个质点之间的距离不可能全部恢复到初始值，从而使得变形永久地保留在物体中，一般说来，在外载荷的作用下，物体中的任一质点开始时都只发生弹性变形，但是随着外载荷的增大使得该质点处的应力张量达到某一临界值时，该质点才能发生塑性变形受力物体内质点处于单向应力状态时，只要单向应力大到材料的屈服点时，则该质点开始由弹性状态进入塑性状态，即处于屈服。
受力物体内质点处于多向应力状态时，必须同时考虑所有的应力分量。
在一定的变形条件（变形温度、变形速度等）下，只有当各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服准则，也称塑性条件。
简而言之，屈服准则，就是将实际结构的多轴应力状态与材料试验的单轴屈服应力等效转换的方法。
二、常用的屈服准则1.Tresca屈服准则当材料的最大剪应力达到材料屈服强度时，这判断材料在多轴应力状态下发生屈服。
换言之当变形体或质点中的最大切应力达到某一定值时，材料就发生屈服。
或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一个不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。
所以Tresca 屈服准则又称为最大切应力不变条件。
这种模型与静水压力无关，也不考虑中间应力的影响。
在平面上屈服条件为一个正六边形，在主应力空间内，屈服曲面为一个正六面柱体。
Tresca 屈服准则不足之处就是不包含中间主应力，没有反映中间主应力对材料屈服的影响优点：当知道主应力的大小顺序，应用简单方便缺点：（1）没有考虑正应力和静水压力对屈服的影响。
屈服准则新版
各向同性应变硬化材料旳后续屈服轨迹
屈服轨迹 形状和中心位置由应力状态函数f(ij)决定， 轨迹旳大小取决于材料旳性质。
对于硬化材料和理想塑性材料旳屈服准则都可表达为 f ( ij ) Y
后续屈服准则也叫加载函数，因为各向同性应变硬化材料 旳硬化曲线 f ( ) Y 是等效应力旳单调增长函数，所以，对 硬化材料有： 1）当 d 0 时，为加载，表达应力状态从屈服轨迹向外移 动，发生了塑性流动；理想塑性材料不存在该情况； 2）当 d 0时，为卸载，表达应力状态从屈服轨迹向内移 动，发生了弹性卸载； 3）当d 0 时，表达应力状态保持在屈服轨迹上移动，对 于硬化材料，既不产生塑性流动，也不发生弹性卸载，为 中性变载。 对于理想塑性材料，此时，塑性流动继续进行， 仍为加载。
两个屈服准则旳统一体现式
设1>2>3，Tresca屈服准则为 1 3 s
表白中间主应力2不影响材料旳屈服。
为评价2对屈服旳影响，引入罗德（Lode）应力参数
2
3 1
1 3
2
2
1
2
1 3
3
2
式中：分子是三向应力莫尔圆中2到大圆圆心旳距离，分母为 大圆半径。当2在1与3之间变化时，则在1~-1之间变化。 所以， 实际上表达了2在三向莫尔圆中旳相对位置变化。
三、密塞斯（Von Mises）屈服准则
Mises屈服准则：当等效应力到达定值时，材料质点发 生屈服，该定值与应力状态无关。或者说，材料处于塑性 状态时，其等效应力是不变旳定值，该定值取决于材料变 形时旳性质，而与应力状态无关。
体现如下：
1
2
1 2 2 2 3 2 3 1 2 C
屈服准则
屈服准则:又称屈服条件或塑性条件，是判断材 料从弹性状态进入塑性状态旳判据。
05 屈服准则
屈服准则:又称屈服条件或塑性条件，是判断材 料从弹性状态进入塑性状态的判据。 不同应力状态下，变形体某点进入塑性状态并 使塑性变形继续进行，各应力分量与材料性能之 间必须符合一定的关系，这种关系称为屈服准则。 金属材料最常用的两个屈服准则——屈雷斯加 屈服准则和密塞斯屈服准则。
理想塑性材料的屈服准则
σ1 −σ 3
2
=C
式中：常数C 可由单向拉伸实验来确定。
由σ1=σs，σ2 = σ3=0 得 ，则Tresca屈服准则写成
σ1 −σ 3 = σ S
若不知主应力大小顺序，则Tresca屈服准则写成
| σ 1 − σ 2 |= σ S | σ 2 − σ 3 |= σ S | σ 3 − σ 1 |= σ S
2
式中：分子是三向应力莫尔圆中σ2到大圆圆心的距离，分母为 大圆半径。当σ2在σ1与σ3之间变化时，µσ则在1~-1之间变化。 因此， µσ实际上表示了σ2在三向莫尔圆中的相对位置变化。
则可得
σ2 =
σ1 + σ 3
2
+ µσ
σ1 −σ 3
2
代入Mises屈服准则式，整理后得
σ 1 − σ 3 = βσ S
1 2 J− σ S ,力，它们既表示平面应 力状态又表示平面应变状态，两个屈服准则相差达到15.5％
三、平面上的屈服轨迹
π平面：在主应力空间中，通过坐标原点，并垂直于等倾 线ON 的平面称为π平面。其方程为
σ1 + σ 2 +σ 3 = 0
2 2 2
1 (σ 1 + σ 2 + σ 3 )2 3
=
1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = 3
屈服准则
D-P准则与C-M准则的拟合
如图所示:
1 2 3
6
外接圆---压缩圆
1 2 3
6
内接圆---拉伸圆
f 0
tan
1 sin
3
内切圆
折中圆为拉伸圆与压缩圆的平均值
2、D-P准则与M-C准则的拟合关系
1. 表达式
① Tresca准则表达式 ② 广义Tresca准则表达式
图3-1 Tresca准则的屈服曲面及屈服曲线
③ Z-P准则表达式 双曲线屈服曲线 抛物线屈服曲线 椭圆屈服曲线
图3-2 Z-P准则在p-q子午面屈服曲线
Z-P准则与M-C准则的拟合
当形状函数 g ( ) 满足以下条件：
2 0
tan
sin 3
平
单压
1 c,2 3 0
面
单拉
3 t ,2 1 0
应 力
双压 双拉
1 3 c,2 0 1 3 t ,2 0
2 sin 3(3 sin ) 2 sin 3(3 sin )
2 c cos 3
2. 评价结果
表4-1 Mises屈服破坏准则评价结果
M-C准则可用不变量 I1、J2、 表达如下：
f tan c 0
f
(I1, J2 )
1 3
I1 sin
(cos
1 3
s in
s in )
J2 c cos
J2 M-CI1 k M-C 0
其中：
屈服准则介绍
4 3
2 S
或 3
1
2
2
1 2
2 3
S
轴对称应力状态下 z 0,且
z
2
3 z2
2 S
1 3 S
例3-6 Mises屈服 准则的应用
受内压薄壁圆筒，
半径r =300mm，内压p=35Mpa，(1) S =700Mpa，求管处于
弹性变形的最小壁厚tmin 。
p2r 2t
平面应变状态和主应力异号的平面应力状态下
max
x
2
y
2
2 xy
x y
2
4 xy2
2
2 S
4K 2
例3-5 Tresca屈服 准则的应用
受内压薄壁圆筒，
半径r =300mm，内压p=35Mpa，(1) S =700Mpa，求管处
于弹性变形的最小壁厚tmin 。
z
p r2 2r t
UVe
1
6E
1
2
2
2
3
2
3
1
2
1
3E
2
Mises屈服准则 s
U
e F
1
3E
2 S
平面应力状态下 z yz zx 0; 或 3 0
2 x
2 y
x y
3 xy2
2 S
2 1
2 2
1 2
2 S
平面应变状态下
yz
zx
0, z
x y ;
2
x y
2
4 xy2
六、硬化材料的屈服准则简介
材料加工硬化类型
等向强化
2
随动强化
2
1
1
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第四章 屈服准则§ 4-1屈服准则的意义：屈服是弹性变形的终了，塑性变形的开始。
屈服点是一个方向性的从量变到质变的转折点，屈服点以下为弹性变形区，在该区域，随着应力增加，变形量也不断增加，应力和应变的量不断积累，如果积累的量不超过屈服点，一旦卸载，应力和变形又回到原处。
如果积累的量超过了屈服点，材料性质则发生了质的变化，卸载之后，应力和变形都不会回到原处。
材料内部有残余应力，也有不可回复的塑性变形。
屈服点是材料性能上的一个转折点或者说分界点。
屈服点以下的变形特点是线性、单值、可逆，屈服点以上的变形特点恰恰相反，非线性、非单值、不可逆。
因此，屈服点以下是弹性力学研究的范围，而屈服点以上是塑性力学研究的范围。
从弹性方面说，它是弹性变形的极限，是强度的最高峰，由此构成了强度理论，从事结构研究的人绝对不能接近这一值，他们的活动范围是小于该值。
从塑性加工讲，屈服仅仅是塑性变形的开始，一切塑性加工必须从这一点开始，由此构成了屈服准则。
因此可以说，强度理论和屈服准则是同一事物的两个不同的侧面，必须联系起来看，质点处于单向应力状态下，若s σσ=1，对于结构而言，构件已经失效。
对于塑性加工，例如拔丝加工刚刚开始。
我们已 经学过第三][31σσσ≤-、第四强度理论])()()[(21213232221σσσσσσ-+-+-0≤，将第三、第四强度理论综合起来，可以写成C f ij ≤)(σ；和这两个理论相对应的屈服准则可以写成C f ij =)(σ，由此可见，屈服准则可以定义为：当各应力分量之间符合一定关系时，质点才进入塑性状态。
因为它是在解塑性力学问题时，除力学、几何、物理方程之外的补充方程，故又称塑性方程。
屈服准则是各应力分量之间的一种组合关系，这种关系是无限的，所发不能用有限的实验去穷属它，而只能在理想化的理论分析的基础上，用有限的实验支验证它，在逻辑学上叫有限归纳，所以，到目前为止，屈服准则的本质仍然是分析（推理）型的。
实验验证仍在进行，或许到了某一限度会有突破。
§ 4-2 有关材料性质的一些基本概念一 连续：材料中没有空隙、裂纹。
二 均质：各质点性能一样。
三 各向异性：材料在各个方向上的性能不一样。
四 各向同性：材料在各个方向上的性能一样。
五 理想弹性材料：弹性变形时应力应变关系成线性的材料。
六 理想塑性材料：塑性变形时不产生硬化的材料。
进入塑性状态后应力不再增加可连续产生塑性变形。
七 变形硬化材料：塑性变形时产生硬化的材料，进入塑性状态后不断增加应力才可连续产生塑性变形。
八 刚塑性材料：在塑 性变形前象刚体一样不产生弹性变形，而到达屈服点后不再增加可连续产生塑性变形。
§ 4-3 屈雷斯加（Tresca ）准则一 定义：材料质点中的最大剪应力达到某一定值时材料产生屈服。
二 数学表达式：c =-21σσ ； c =-31σσ； c =-32σσ；当已知1σ、2σ、3σ的值，且有321σσσ≥≥时，则屈雷斯加（Tresca ）准则可写成c =-31σσ；更为简单。
从莫尔圆方面讲，莫尔圆的最大直径达到一定值时材料屈服。
三 屈雷斯加（Tresca ）准则的优缺点：1 优点：一阶线性，数学上处理非常方便，尤其是已知1σ、2σ、3σ的值时，且有321σσσ≥≥时，则屈雷斯加（Tresca ）准则可写成c =-31σσ。
2 缺点：该准则不考虑2σ，在理论上不完整，如果1σ、2σ、3σ的值未知是，不能确定321σσσ≥≥时，数学上处理不一定方便。
四 常数C 的确定：屈服准则应该适用于任何应力状态的组合：故可用简单的材料试验测定常数C 。
1 单向应力状态：单向拉伸则有0;321===σσσσs ; 则s c σσσ==-31。
2 纯剪应力状态：k k-===3210σσσs k c σσσ===-231; s k σ21=这是一个很重要的结论，C 只与材料有关，只与变形历史有关。
这一准则是法国人Tresca1864年研究土力学时，通过对挤压的研究提出的。
§ 4-4 密席斯屈服准则(Mises)一 定义：当材料质点的应力状态的等效应力达到一定值时，材料就会屈服。
二 数学表达式：C =-+-+-=])()()[(21213232221σσσσσσσ三 优缺点：1 优点：全面考虑了三个分量1σ、2σ、3σ，并且从应力到能量在数学上比较严谨。
2 缺点：二阶非线性，数学上处理比较复杂。
四 常数C 的确定： 1单向应力状态：有0;321===σσσσs ;s C σσσσσσσσσ===-+-+-=1213232221])()()[(21；s C σ=∴2 纯剪应力状态：;;0;321k k -===σσσs C k k k k σ==--+++-])()0()0[(21222;s C k σ==∴3; k=s s σσ577.031=k s3])()()[(21213232221==-+-+-=σσσσσσσσ五 物理意义：1924年Henky 阐明了Mises 准则的物理意义，这就是当材料的质点内的单位体积上的变形能达到某临界值时，材料屈服。
Nadai 则认为，Mises 准则的意义是八面体面上的剪应力达到一定值时，材料就屈服。
即：s στ328=§ 4-5 屈服准则的几何表达---屈服表面和屈服轨迹 一 应力空间的屈服表面： 1 应力空间：1） 定义：以三条主应力为坐标轴构成的空间叫应力空间。
2） 应力空间的点与变形体内质点的应力状态一一对应。
变形体内任意点的应力状态为()321σσσ，按此值可以在应力空间中确定一个点p ，p 点的坐标为()321σσσ，反之，在应力空间中有一点，就可以确定一个应力状态，因此，应力状态与应力空间中的点是一一对应的。
2 应力空间中的应力球张量：1） 等倾线的定义：与每一个坐标男的夹角都相等 直线叫等倾线。
2） 应力空意味等倾线的意义：等倾线上的每一点都代表一个球张量。
在应力空间第一卦限中作等倾线ON ，在ON 线上任取一点M ，M 点的坐标分别为()321m m m σσσ，它们在三条坐标轴上的投影为：ασcos 1OM m =; βσcos 2OM m =;γσcos 3OM m =; 因为在等倾线上γβα==；所以有： 321m m m σσσ==；M 点表示一个球应力状态，是一个应力球张量。
由于M 点的任意性，可以确定ON 轴上的每一点都是一个球张量。
3 在应力空间中应力偏张量的表示：在应力空间中，任意点p 代表着一个点和应力状态，坐标为()321σσσ，矢量p o同样代表这点的应力状态，将p o向ON 投影得OM ，则OM 等于OP 各分量在ON 上的投影之和，即OM =++γσβσασcos cos cos 321 1c o s c o s c o s 222=++γβα ; 又γβα== ; 31cos cos cos ===γβα；OM =++)(31321σσσ；又232221σσσ++=op ;=-=22OM op MP 23212232221)(31)(σσσσσσ++-++；展开合并同类项而后配方得：=MP σσσσσσσ32])()()[(31213232221=-+-+-p o代表一点的应力张量，M O 代表点的应力球张量，M O p o P M -=代表该点的应力偏张量。
在应力空间中，=MP 32σ=32s σ时材料就会屈服。
4 应力空间中的屈服准则轨迹： 1） Mises 屈服轨迹：过p 点作垂直于ON 的平面，由O 点到平面上所有的点的矢量向ON 投影都为OM ，以M 为圆心，以MP 为半径，作圆，圆上的每一个点到M 的距离都等于MP ，圆上所有点所代表的应力状态的偏张量的模都为MP =32s σ，所以圆上的点表示屈服应力状态。
过p 点作ON 的平行线PQ ，以PQ 为母线作圆柱面，则该圆柱面上的每一点ON 的距离都等于MP ，以O 点到圆柱面上各点的矢量所代表的应力张量的偏张量的模均为MP =32s σ；所以柱面上每一点都代表屈服应状态。
在圆柱面内部的点所表示的应力张量的偏张量的模都小于MP =32s σ，都表示弹性应力状态。
对于刚塑性材料，s σσ=而不能大于s σ。
因为无更大的反作用力，点不会跑到圆柱而的外面。
2）Tresca 屈服准则轨迹：Tresca 屈服准则的数学表达式为：s σσσ=-21 ； s σσσ=-31； s σσσ=-32； ① s σσσ=-21; s σσσ±=-21 ;首先讨论s σσσ+=-21 当01=σ时，s σσ-=2; 得点（0，-s σ）；当02=σ时；s σσ=1；是点（s σ，0）； 所以，s σσσ+=-21是一条过点（0，-s σ）和点（s σ，0）的直线。
在空间是过点（s σ，0，0）、点（0，-s σ，0）的一个平面。
② s σσσ-=-21当01=σ时，s σσ=2; 得点（0，s σ）；当02=σ时；s σσ-=1；是点（-s σ，0）； 所以，s σσσ-=-21是一条过点（0，s σ）和点（-s σ，0）的直线。
在空间是过点（-s σ，0，0）、点（0，s σ，0）的一个平面。
③ s σσσ=-21平面的特性：211121)()(σσσσσσσσ-=---='-'m m ; 由此可见s σσσ=-21与应力球张量无关。
所以s σσσ±=-21两平面与ON 轴无交点，平行于ON 轴。
所以s σσσ±=-21在空间分别是过点（-s σ，0，0）、点（0，s σ，0）和过点（-s σ，0，0）、点（0，s σ，0）而且都平行于ON 轴的两平面。
同理可证s σσσ=-31在空间是过点（s σ，0，0）、点（0，0，-s σ）的一个平面和过点（-s σ，0，0）、点（0，0，s σ）的一个平面。
而s σσσ=-32，在空间是过点（0，-s σ，0）、点（0，0，s σ）的一个平面和过点（0，s σ，0）、点（0，0，-s σ）的一个平面。
这些平面都平等于ON 轴；且两相交，形成一个以ON 为轴的正六棱柱面。
3）Mises 准则和Tresca 准则的关系：在应力空间中，令点（s σ，0，0）为A 点，向量OA 的模为s σ，向ON 轴投影为OM s s ==σασ31cos ;OM s =σ31是A 点应力状态的应力球张量，A 点的应力偏张量应力为=-2231s s σσ32s σ，即过A 点的棱与ON 轴之的距离为32s σ。
并且棱与ON 轴平行。
而Mises 圆柱面的母线与ON 轴的距离或圆柱面的半径为32s σ；所以棱和圆柱面必定重合，也就是说，棱在圆柱面上，同理其它棱也在圆柱面上。