高中数学教材变式题汇总：平面向量

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第13讲平面向量十大题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型

第13讲平面向量十大题型总结【题型目录】题型一：平面向量线性运算题型二：平面向量共线问题题型三：平面向量垂直问题题型四：平面向量的夹角问题题型五：平面向量数量积的计算题型六：平面向量的模问题题型七：平面向量的投影问题题型八：万能建系法解决向量问题题型九：平面向量中的最值范围问题题型十：平面向量中多选题【典型例题】题型一：平面向量线性运算【例1】在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA+ B ．2CD CA- C ．2CD CA- D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=22【例2】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【例3】在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC = ，则DP =()A ．1144AB AC+B ．1144AB AC--C ．1144AB AC-D ．1144AB AC-+【答案】B【解析】∵点P 为AC 中点，∴12AP AC = ,∵3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=- ,∴1344AD AB AC =+ ,∴113244DP AP AD AC AB AC =-=-- =1144AB AC --,故选：B.【例4】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D Q 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=- ，即34λ=，14μ=-.故答案为：34；14-.【例5】如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．2136AB AC+B ．2136AB AC-+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-+点F 为线段BC 的中点，13BD BA AD BA BC BA =+=+=+ 又2BD FE = ，2136FE AB AC ∴=-+.【题型专练】1.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=()A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A2.设D为△ABC所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CBλμ==+,则μλ=_____.【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD=+=+，CA=+3(CD CB-)，即有CD=﹣1322CA CB+，因为CD CA CBλμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3.3.在ABC中，4AC AD=，P为BD上一点，若13AP AB ACλ=+，则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．38【答案】C【解析】4AC AD=，14AD AC∴=，则14BD AD AB AC AB=-=-，1233BP AP AB AB AC AB AC ABλλ⎛⎫=-=+-=-⎪⎝⎭，由于P为BD上一点，则//BP BD，设BP k BD=，则21344kAC AB k AC AB AC k ABλ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，所以423kkλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.4.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．13B ．23C ．38D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =， 4BC =，∴14BD BC =，∴14AD AB BD AB BC =+=+， O 为AD 中点，∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， AO AB BC λμ=+ ，∴1128AB BC AB BC λμ+=+ ，∴12λ=，18μ=，∴115288λμ+=+=.5.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD=C ．3AO OD=D ．4AO OD =【答案】A【解析】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，∵20OA OB OC ++=，∴0OA OD =+，即AO OD =.6．设D 为ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（）A ．3122AD AB AC =-B ．3122=+AD AB ACC ．4133AD AB AC =-D ．4133AD AB AC=+ ∴2CB BD =，即12BD CB = .()12123122AD AB BD ABCBAB AB ACAB AC ∴=+=+=+-=- 故选：A.题型二：平面向量共线问题【例1】已知向量()1,2a =- ，()sin ,cos b αα= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【例2】与模长为13的向量()12,5d =平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1251313⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．1251313⎛⎫ ⎪，或1251313⎛⎫-- ⎪，D ．1251313⎛⎫- ⎪，或1251313⎛⎫- ⎪，【例3】已知向量()1,2AB =，(),7BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =________．【例4】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=___．【答案】21【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a ba μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ【例5】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC = ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+B ．12+C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC = ，即()3AP AB AC AP -=- ，1344AP AB AC∴=+ ，AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>> ，1AB AM λ∴=，1AC ANμ= ，1344AP AM ANλμ∴=+ ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B.【题型专练】1.已知非零向量a ，b ，c ，若(1)a x = ，，(41)b =- ，，且//a c ，//b c则x =（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-【答案】D【解析】：因非零向量c b a ,,，且//a c ，//b c ，所以a 与b 共线，所以()x 411=-⨯，所以41-=x 2.已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =- ，(1,2)AD m =- ，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.3.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =．4.设12e e，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D【解析】因为向量12=-+ m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ，所以有2211(2)λ-+=- e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.5.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.6.已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+ ，则AMNBCNS S =△△（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC = ，所以MN ∥BC ，又因为M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离，所以13AMNBCNMN S S BC== △△,题型三：平面向量垂直问题【例1】已知向量(1)(32)m =-，，=，a b ，且()+⊥a b b ，则m =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】：()()()2,42,3,1-=-+=+m m b a ，因()b b a ⊥+，所以()0=⋅+b b a ，即()()()022122,32,4=--=--m m ，所以8=m 【例2】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.【例3】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【例4】已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________.【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解.【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+，因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+g ，所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=.故答案为：1【例5】已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为（）A ．4B ．–4C ．94D ．–94【答案】B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．【例6】已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为_____．【答案】712【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．【题型专练】1.ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ= a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是（）A ．1=b B ．⊥a bC ．1⋅=a b D ．()4ΒC-⊥a b 【答案】D【解析】如图由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，故||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，所以()4C a b +⊥B ，故选D ．2.已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是．【答案】33【解析】解法一：因1e ，2e 11==，021=⋅e e所以221212112122)()λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e ，12|2-=e ，12||λ+===e e ，2cos60λ==，解得：33λ=．解法二：建立坐标系，设()()1,0,0,121==e e ()()λλ,1,1,3212=+-=-e e e ，所以()()2221213λ+=+=-+=)()λλ-=+-3212e e e所以由数量积的定义得︒⨯+⨯=-60cos 1232λλ，解得：33λ=．3.已知向量()(),2,1,1a m b ==，若()a b b +⊥ ，则m =__________.【答案】4-【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()1,3a b m +=+，则130m ++=，解得4m =-.故答案为：4-4.已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=- ，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________．【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥- ，所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=，解得2a =．故答案为：2.5.在ABC 中，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()2,3,1C -，若ABC 为直角三角形，则k 的值为（）A ．23B ．83C ．－1D ．325-题型四：平面向量的夹角问题【例1】已知平面向量a ，b满足||4,||1== a b ，()a b b -⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．14B ．4C．4D ．4【例2】已知(2,0)a = ，1,22b ⎛= ⎝⎭r ，则a b - 与12a b + 的夹角等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【例3】已知向量a=（2，1），()3,1b =- ，则（）A．若c =-⎝⎭ ，则a c ⊥B ．向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C ．a 与a b -D ．()//a b a+【例4】若向量a ，b 满足||a = ，(2,1)b =-，5a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为_________．【例5】已知向量a b ，满足566a b a b ==⋅=-，，，则cos ,a a b +=()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例6】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为________．【例7】设向量(68)=-，a ，(34)=，b ，t =+c a b，t ∈R ，若c 平分a与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以=c b c a ==，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλb a c ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例8】已知A B C △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB 【题型专练】1.设非零向量、ab满足||2||,||||a b a b b =+= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2.已知(2,1)a =-，||b =，且()10a b a +⋅= ，则,a b 〈〉= ___________.3.已知向量,a b 满足||1a =，||a b =+1)b =- ，则,a b 的夹角等于___________.4.若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则a b - 与b 的夹角___________.5.已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若向量c =+，则sin ,a c ＝（）A B C D6.已知向量,a b 满足()()3,4,·28a b a b a b ==+-=，则向量a 与b 所成的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -= ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知向量()PA =，(1,PB =，则APB ∠=A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得2,2PA PB ===，所以333cos 222PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅，结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ．9.非零向量a ，b 满足：-=a b a ，()0⋅-=a a b ，则-a b 与b 夹角的大小为A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】A【解析】非零向量a ，b 满足()0⋅-=a a b ，∴2=⋅a a b，由-=a b a 可得2222-⋅+=a a b b a，解得=b ，()22cos 2θ-⋅⋅-∴===--a b ba b b a b ba b，θ为-a b 与b 的夹角，135θ∴= ，故选A ．10.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=c a，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．11.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b的夹角为θ，则sin θ=__________.【答案】55【解析】依题意[]0,πθ∈，所以255cos ,sin 55||||a b a b θθ⋅===-== .故答案为.12.已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +== ，因此()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．题型五：平面向量数量积的计算【例1】（2021新高考2卷）已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．【答案】29-【解析】方法一：因为0=++c b a ，所以()02=++cb a ，即0222222=+++++c b c a b a c b a所以0222441=+++++c b c a b a ，所以9222-=++c b c a b a ，所以29-=++c b c a b a 方法二：因为0=++c b a ，所以c b a -=+，所以()()22c b a -=+，即2222cb a b a=++所以4241=++b a ，所以21-=b a ，同理b c a -=+，所以()()22b ca -=+，即2222b c a c a =++，所以4241=++c a ，所以21-=c a ，同理a c b -=+，所以()()22a c b -=+，即2222a c b c b =++，所以1244=++c b ，所以27-=⋅c b ，所以29-=++c b c a b a 【例2】在△ABC 中，6,AB O =为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．6C ．12D ．18【答案】D【解析】试题分析：如图，过点O 作OD AB ⊥于D ，则()36018AO AB AD DO AB AD AB DO AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，应选D.【例3】已知边长为3的正2ABC BD DC = ，，则AB AD ⋅=（）A ．3B ．9C ．152D ．6【例4】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12B ．12C ．12±D故选：A.【例5】在ABC 中，6A π=，||AB =||4AC =，3BD BC =，则AB AD ⋅=______．【答案】24-【分析】利用基底,AB AC 3AD AB BD AB BC =+=+ ,BC AC = 23AD AB AC ∴=-+ ,∴()232AB A AB AD AB AB C =⋅-+=-⋅ 【题型专练】1.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC =，1AD = ，则AC AD ⋅=（）A ．B CD ．3-2.在ABC 中，3AB AC ==，DC BD 2=﹒若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=______．3.ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（）A ．8B ．4C ．2D ．64.已知ABC 为等边三角形，D 为BC 的中点，3AB AD ⋅=，则BC =（）A BC ．2D ．45.如图，在ABC 中，3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足2AP mAC AB =+，若||3AC =，||4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．-3B ．1312-C ．1312D ．1126．在平行四边形ABCD 中，AC ＝6，AB AD ⋅＝5，则BD ＝____________.【详解】AC AB BC AB AD =+=+ ，则2AC AB = 236226AD AB AD +=-⋅=，AD AB - ，则222BD AD AB AD =-⋅+ 7．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-##123-题型六：平面向量的模问题【例1】已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=a 【例2】（2021新高考1卷）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【例3】已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =．【答案】324211244+⨯⨯⨯+====+3212==【例4】已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0，23π）2p ：||1+>a b ⇔θ∈(23π，π]3p ：||1->a b ⇔θ∈[0，3π）4p ：||1->a b ⇔θ∈(3π，π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 【答案】A【解析】由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3π，π]，故选A ．【例5】设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C【解析】对于A b b a a2222-=⇒+-=+⋅+⇒=θ，所以1cos -=θ，所以︒=180θ，所以A 错，B 错；C 对，D 有可能为︒0【题型专练】1．设向量(10)，a =，22()22=-b ，若t =+c a b (t ∈R)，则||c 的最小值为A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 2.已知向量(1,2)a =- ，(21,1)b m =- ，且a b ⊥，则|2|a b -= （）A ．5B ．4C ．3D ．23.已知向量a ，b满足1a =，2b =，a b -=，则2a b +=（）A ．B ．C D4.已知[02π)αβ∈、，，(cos ,sin )a αα=r，(cos(),sin())b αβαβ=++，且23a b -=，则β可能为（）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】BD【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得cos β的值，进而求得正确答案.5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1==a b ，则|2|a b += _____________．6.已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b == ，且|2|6a b += ，则||a b += __________．7.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==，解得：21a b ⋅=-所以a b -==8.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a ab b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．9.已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |=．【答案】．【解析】∵|2-a b |=平方得224410-= a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）题型七：平面向量的投影问题【例1】已知向量(2,1),(1,1)a b =-= ，则a 在b上的投影向量的模为（）A B ．12C ．2D ．1【例2】已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅ 为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【例3】已知平面向量a ，b ，满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为23π，2b 在a 方向上的投影向量为（）A ．1-B ．12aC ．12a - D ．1【例4】已知平面向量a ，b 满足2=a ，()1,1b =，a b +=r r a 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．()1,1--D ．⎛ ⎝⎭【例5】已知O 为正三角形ABC 的中心，则向量OA 在向量AB 上的投影向量为（）A ．ABB C ．12AB-D ．12AB故选：C【例6】设向量a 在向量b 上的投影向量为m ，则下列等式一定成立的是（）A ．||a b m bb ⋅=⋅ B ．2||a b m bb ⋅=⋅ C ．m b a b⋅=⋅ D ．ma b a⋅=⋅【题型专练】1．已知()1,2a = ，()1,2b =- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．36,55⎛⎫- ⎪B ．36,55⎛⎫- ⎪C ．36,55⎛⎫-- ⎪D ．36,55⎛⎫ ⎪2．如图，在平面四边形ABCD 中，120ABC BCD ∠=∠= ，AB CD =，则向量CD 在向量AB 上的投影向量为（）A ．2AB -B ．12AB -C ．12AB D ．2AB 【答案】B【分析】根据图形求出向量AB 与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长AB ，DC 交于点E ，如图所示，3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()a b a+⊥r r r B ．2a b +=C ．向量a 与向量b 的夹角为34πD ．b 在a的投影向量是()1,34.已知()3,1a =-，()1,2b =，下列结论正确的是（）A ．与b同向共线的单位向量是⎝⎭B ．a 与bC ．向量a在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15a b b⎛⎫-⊥ ⎪ 5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若1,,120a b a b ===︒，则()2a b a+⊥r r r B ．点()()1,1,3,2M N --，与向量MN同方向的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若20a b a b a +=-=≠ ，则+r r a b 与a b - 的夹角为60°D ．若向量()()2,1,6,2a b =-= ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a-同方向的单位向量为6．己知空间向量||3,||2a b ==，且2a b ⋅=，则b 在a 上的投影向量为________．【答案】29a ##29a7.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b -B ．bC ．14b- D ．14b【答案】C 【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即220,0a a b a a b +⋅=+⋅= ，又因为1a = ，设,a b 的夹角为θ，所以1a b ⋅=-，a 在b 上的投影为：cos b a b a θ⋅=⋅ ，所以a 在b 上的投影向量为214cos b a b b b ba b θ⋅⋅=⋅=⋅- .故选：C8.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC．D．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ9.若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB．CD．【答案】B【详解】由题意2,22a a b =+= ，所以2||4164b a b +⋅+=，设,a b 的夹角为θ，则2||8cos 120b b θ++= ，所以212cos 8b bθ+=- ，所以a 在b 方向上投影为2123cos 2()(48b b a bb θ+=⨯-=-+，因为3b b +≥cos a θ≤ ，故选B.题型八：万能建系法解决向量问题边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OAl l =+-（对面女孩看过来）．【例1】如图，在等腰梯形ABCD 中，2,3,4AB BC CD BC BE ==== ，则CA DE ⋅=（）A ．43B ．154-C ．558-D ．6516-3315,0,,0,1,D C A ⎛⎛⎫⎛⎫【例2】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．正八边形的中心【详解】、HD BF 所在的直线分别为x y 、轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心M 点，3608⎛∠=∠=∠=∠= ⎝AOB COB AOH EOD 18045135-= ，所以22.5∠= BAC ，13522.5112.5∠-∠=-= HAB CAB ，所以∠HAC y 轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2，则2=====OD OF OE OA OC ，()0,2F ，2===OM MC ，所以()2,2--A ，(2,-C【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【题型专练】1.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，10AB =，7BC =，2CD =，5AD =，则AC BD ⋅=___________.则5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，532,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，15,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，530,2D ⎛ ⎝953,22AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1553,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AC BD ∴⋅ 故答案为：15-.2.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.题型九：平面向量中的最值范围问题【例1】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【例2】ABC 是边长为4的等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DE BC ⊥，则DA DE ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3则(0,0),(2,23),(4,0)C A B【例3】四边形ABCD 中，4AB =，60A B ∠=∠=︒，150D ∠=︒，则DA DC ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3∴90,60DCB E ∠=︒∠= ，设CE x =，则3,DC x DA =∴()423cos150DA DC x x ⋅=-⋅⋅ 所以当1x =时，DA DC ⋅的最小值为【例4】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，9BC =，5AB =，cos 5B =，若M ，N 是线段BC上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为（）A ．134B ．132C ．634D ．352//AD BC ，32AD =，9BC =，5AB =(9,0)C ∴，∴3cos 5A xB AB ==，3,4A A x y ==9(3,4),(,4)2A D ∴，【例5】已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，3AE BD ⋅=-，则AF BE⋅的最小值为（）A ．0B ．23C ．43D ．2【例6】已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，0a b⋅=，则ab c++的最大值是（）A B C1D1【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，BEC △，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18故选：A【例8】已知AB AC ⊥ ，1AB t = ，AC t = ，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯- =1174t t --17-≤=13（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅ 的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知梯形ABCD 中，3B π∠=，2AB =，4BC =，1AD =，点P ，Q 在线段BC 上移动，且1PQ =，则DP DQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．112C ．132D ．1142．在ABC 中，902A AB AC ∠=== ，，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为___________.【答案】78【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出3.ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD =，CE EA =，则AD BE ⋅的。

高中数学高一平面向量常见题型分类总结

平面向量常见题型题型一、利用平面向量待定系数求参数值（平面向量基本定理的应用）例题1：在正方形中，分别是的中点，若，则的值为（）变式1：如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝___y ＝___题型二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合例题2：在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为变式2：已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC −−= 则221a ba b b+++的最小值是___________变式3：给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以ABCD ,M N ,BC CD AC AM BN λμ=+λμ+O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______.变式4：变式5：若非零向量a b 、满足a b b −=，则下列不等式恒成立的为（） A. 22b a b >− B. 22b a b <− C. 22a a b >− D. 22a a b <−题型三、坐标系法处理平面向量的数量积在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化解1. 数量积的定值问题例2.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=____变式6：如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是____________变式7：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________2. 数量积的最值问题例3.平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=−==，则a b ⋅最小值是______变式8.已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .3. 数量积的范围问题例题3：如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______变式8：如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是变式9：在平面上，12AB AB ⊥ ，12121,OB OB AP AB AB ===+，若12OP <，则OA 的取值范围是题型四、平面向量的投影问题数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。

高中数学-平面向量(含详细答案)

＝
－
２３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ＝Ｂ→Ｐ
２. 答案Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ分别是△ＡＢＣ各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ＝Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ＝
１２
｜ →ＡＣ｜
３. 答案Ｄ根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ＝Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ但ａꎬｂ方向不确定ꎬ所以ａꎬｂ的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ所以｜ →ＡＢ｜＝｜Ｄ→Ｃ｜且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量ａꎬｂ共线时ꎬ一定有ｂ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ则ａ＝ｂ或ａ＝－ｂꎻ
③若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ则ＡＢＣＤ为平
行四边形ꎻ ④ａ＝ｂ的充要条件是｜ａ｜＝｜ｂ｜且ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ＝ μｂꎬ则ａ与ｂ共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③

(完整版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。

它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。

掌握平面向量的基本概念和运算法则对于解决各种实际问题具有重要意义。

本文将为大家提供一些平面向量练习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a + b的结果。

解答：向量a + b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相加得到。

所以，向量a + b = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。

2. 题目：已知向量a = (2, -5)和向量b = (4, 3)，求向量a - b的结果。

解答：向量a - b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相减得到。

所以，向量a - b = (2 - 4, -5 - 3) = (-2, -8)。

3. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解答：向量a与向量b的数量积可以通过将向量a和向量b的对应分量相乘，并将结果相加得到。

所以，向量a与向量b的数量积为3*(-1) + (-2)*4 = -3 - 8 = -11。

4. 题目：已知向量a = (2, -5)，求向量a的模长。

解答：向量a的模长可以通过计算向量a的坐标分量的平方和的平方根得到。

所以，向量a的模长为√(2^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29。

5. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

解答：向量a与向量b的夹角的余弦值可以通过计算向量a与向量b的数量积与向量a和向量b的模长的乘积的商得到。

所以，向量a与向量b的夹角的余弦值为(-11) / (√(3^2 + (-2)^2) * √((-1)^2 + 4^2)) = -11 / (√13 * √17)。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

高中教材变式题3：平面向量

平面向量命题人：越秀区教育发展中心余建炜一、平面向量的实际背景与基本概念 1．（人教版P85例2）如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OA 、OB 、OC 相等的向量。

变式1：如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OD 、DC 共线的向量。

解：变式2：如图2，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA 的模相等的向量以及方向相同的向量。

解：二、平面向量的线性运算 2.（人教版第96页例4）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =a ，AD =b ，你能用a ，b 表示向量 AC ，DB 吗？变式1：如图，在五边形ABCDE 中，AB =a ，BC =b ，CD =c ，EA =d ，试用a ，b ， c ， d 表示向量CE 和DE . 解：CE BE CB BA AE CB =+=++=-( a + b + d )()DE EA AB BC CD =-+++=-( d + a + b +c )变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA =a ，OB =b则下列各表述是正确的为（）A ．OA OB AB += B ．OC OD AB +=D EC A BC BAC O FD E图1图2C ．CD =-a + b D ．BC =-(a + b ) 正确答案：选D变式3：已知=a ，=b, =c ,=d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（）A. a +b +c +d =0B. a －b +c －d =0C. a +b －c －d =0D. a －b －c +d =0正确答案：选A变式4：在四边形ABCD 中，若12AB CD =-，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形正确答案：选C变式5：已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a －b )垂直的（）A ．充分但不必要条件 BC ．充要条件D ．既不充分也不必要条件正确答案：选C变式6：在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（） A.平行四边形 B.矩形C.梯形D.菱形【解析】 ∵AD =CD BC AB ++=－8a －2b =2BC ，∴BC AD //.∴四边形ABCD 为梯形. 正确答案：选C变式7：已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则等于（） A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,22) C.λ(－),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,22)【解析】由向量的运算法则AC =AB +AD ，而点P 在对角线AC 上，所以AP 与AC 同向，且||＜||,∴=λ(+),λ∈(0,1).正确答案：选 A变式8：已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且=a ，=b ，=c ,则下列各式： ①EF =21c －21b ②BE =a +21b ③=－21a +21b ④++=0其中正确的等式的个数为（）A.1B.2C.3D.4正确答案：选B 3．（人教版第98页例6）如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA =a + b ，OB =a + 2b ， OC =a + 3b ，你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？变式1：已知OA =a + 2b ，OB =2a + 4b ，OC =3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．证明：∵AB OB OA =-=a + 2b ，AC OC OA =-=2a + 4b ，∴ 2AC AB = 所以，A 、B 、C 三点共线．变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA =a + b ，(2)OB m =- a + 2b ，(1)OC n =+ a + 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．解：(3)AB OB OA m =-=- a + b ，AC OC OA n =-= a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =，则 (3)21m kn k -=⎧⎨=⎩ 所以 1(3)2m n -= 即 260m n --=为所求．4．（人教版第102页第13题）已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF HG = 变式1：已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=.证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=和EF FB EB +=可得，EA AB EF FB +=+ （1）由ED DC EC +=和EF FC EC +=可得，ED DC EF FC +=+ （2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++ （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=，0FB FC +=，代入（3）式得，2AB DC EF +=ba三、平面向量的基本定理及坐标表示 2.（人教版第109页例6）已知a = (4，2)，b = (6，y )，且a // b ，求 y ．变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭，- B ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，-C ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭，或1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，- D ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，或1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，-正确答案：选C变式2：已知a (1,2)=，b (),1x =，当a +2b 与2a －b 共线时，x 值为（）A ．1B ．2C ．13D ．12正确答案：选D变式3：已知A (0,3) 、B (2,0) 、C (－1,3) 与AC AB 2+方向相反的单位向量是( )A ．(0,1)B ．(0,－1)C ． (－1,1)D ．(1,－1) 正确答案：选A变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k 为何实数时， k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？解：因为 k a －b ()21k =--，，a +3b ()73=，．由已知得，()3270k -+= 解得 13k =-，此时，k a －b 713⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，a +3b ()73=，，二者方向相反． 2.（人教版第110页例8）设点P 是线段12PP 上的一点，1P 、2P 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ，． (1) 当点P 是线段12PP 上的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段12PP 的一个三等分点时，求P 的坐标变式1：已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =，则P 点坐标是（）A ．()8,1-B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 正确答案：选B变式2：如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＝2133+a b ， OQ ＝1233+a b (用a 、b 表示)四、平面向量的数量积 5．（人教版第116页例3）已知|a |＝6，|b | ＝4且a 与b 的夹角为60︒，求 (a + 2b)·(a 3-b ) ．变式1：已知()()3,4,223,a b a ba b ==++=那么a 与b 夹角为A 、60︒B 、90︒C 、120︒D 、150︒正确答案：选C变式2：已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b ）·a 等于（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 正确答案：选B变式3：在△ABC 中，已知||=4，||=1，S △ABC =3，则·等于（）A.－2B.2C.±2D.±4 正确答案：选C变式4：设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ．另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ， ∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ．2.（人教版第116页例4）已知|a |＝3，|b | ＝4且a 与b 不共线，k 为何实数时，向量a + k b 与a k -b 互相垂直？变式1：已知a ⊥b ，|a |＝2，|b | ＝3，且向量3a + 2b 与k a -b 互相垂直，则k 的值为（）A ．32-B ．32C ．32± D ．1 正确答案：选B变式2：已知|a |＝1，|b | ＝2且（a －b ）⊥a ，则a 与b 夹角的大小为 45º ．解：2.（人教版第119页第11题）已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标．变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j正确答案：选C变式2：已知向量)1,1(=a ，)3,2(-=b ，若b a k 2-与a 垂直，则实数k =（）A ．1B ．－1C ．0D ．2正确答案：选B变式3：若非零向量,互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A ．b a b a -=+B ．||||b a b a -=+C ．0))((=-+D ．0)(2=-b a正确答案：选B变式4：已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．解：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-． ∴ b ＝（2， 38-）． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 23）．而b －c ＝（2，38-）－（2，23）＝（0，－256），∴ |b －c |＝256．（人教版第118页例5）已知A (1，2)，B (2，3)，C (2-，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明．变式1：O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足()()0OB OC OC OA -⋅-=，则ABC ∆ 一定为（）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形正确答案：选C变式2：已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若＋＋＝0，则O 是△ABC 的（）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心正确答案：选A变式3：已知02=+⋅，则△ABC 一定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形正确答案：选B变式4：四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===y x （1）若//，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。

平面向量习题及答案

平面向量习题及答案平面向量习题及答案引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。

通过解决平面向量习题，我们可以加深对平面向量的理解，提高解题能力。

本文将介绍几个常见的平面向量习题，并给出详细的解答过程。

一、向量的加法和减法1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a+b和a-b。

解答：a+b=(2+4)i+(3-5)j=6i-2ja-b=(2-4)i+(3+5)j=-2i+8j2. 已知向量a=3i+2j，b=-i+4j，求2a-3b。

解答：2a-3b=2(3i+2j)-3(-i+4j)=6i+4j+3i-12j=9i-8j二、向量的数量积和向量积1. 已知向量a=2i+3j，b=-i+4j，求a·b和|a×b|。

解答：a·b=(2)(-1)+(3)(4)=-2+12=10|a×b|=|(2)(4)-(3)(-1)|=|8+3|=112. 已知向量a=3i+2j，b=4i-5j，求a×b的模长和方向角。

解答：a×b=(3)(-5)-(2)(4)=-15-8=-23|a×b|=|-23|=23设a×b与x轴正向的夹角为θ，则cosθ=(4)/√(4^2+(-23)^2)=4/√545θ≈84.3°三、向量的共线与垂直1. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否共线。

解答：若a和b共线，则存在实数k，使得a=kb。

2i+3j=k(-4i-6j)2i+3j=-4ki-6kj2=-4k，3=-6k解得k=-1/2所以，a和b共线。

2. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否垂直。

解答：若a和b垂直，则a·b=0。

a·b=(2)(-4)+(3)(-6)=-8-18=-26-26≠0所以，a和b不垂直。

结论：通过解答上述平面向量习题，我们可以巩固向量的加法、减法、数量积、向量积等基本概念和运算规则。

高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型

（5）若 AB CD ，则 A、 B、 C、 D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若 a与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。
（8）若 ma mb，则 a b 。
（9）若 ma na ，则 m n 。
（10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。
(iii) 若 a 、 b 是互为相反向量，则 a = b , b = a , a + b = 0
②向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、b
5.已知 A(1,2), B(3,2) ,向量 a ( x 2, x 3y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值。
6.已知 AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD ( 1,4) ，则 DA
。
7.已知 O 是坐标原点， A(2, 1), B( 4,8) ，且 AB 3BC 0 ，求 OC 的坐标。
及其各运算的坐标表示和性质
运几何方法
坐标方法
运算性质
算
类
型
向 1 平行四边形法量则
a b (x1 x2,y1 y2) a b b a (a b) c a (b c)
的 2 三角形法则
AB BC AC
加
法
向三角形法则量
a b (x1 x2,y1 y2) a b a ( b ) AB BA
的
OB OA AB
题型 7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

历年高三数学高考考点之平面向量的线性问题必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<平面向量的线性问题>必会题型及答案体验高考1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 D解析由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.3.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.高考必会题型题型一平面向量的线性运算及应用例1 (1)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →， CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝_____.答案 (1)D (2)23解析 (1)设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. (2)因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.点评平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB →＋kAC →，则λ＋k 等于( )A.1＋ 2B.2－ 2C.2D.2＋2(2)在△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.答案 (1)A (2)6解析 (1)根据向量的基本定理可得， AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋(ED →－EC →) ＝AC →＋(2AC →－22BC →)＝AC →＋2AC →－22(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22·AC →＋22AB →，所以λ＝22，k ＝1＋22，所以λ＋k ＝1＋ 2.故选A.(2)由GA →＋GB →＋GC →＝0，知点G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.题型二平面向量的坐标运算例2 (1)已知点A (－3，0)，B (0，3)，点O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________.答案 1解析由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 ①由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.②a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.③设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2，4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5，3).点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练2 (1)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )A.8＋2 2B.8C.6D.6＋2 2(2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 答案 (1)B (2)m ≠12解析 (1)因为点D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为点F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y ＞0，所以1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4xy＝8，当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y的最小值为8.(2)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，所以AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m ).由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB →与BC →不共线，而当AB →与BC →共线时，有3－m －1＝1－m ，解得m ＝12，故当点A 、B 、C 能构成三角形时，实数m 满足的条件是m ≠12.高考题型精练1.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|a答案 B解析对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小.2.设点M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，点D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A.13B.12 C.1 D.2 答案 A解析 ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ， ∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →).∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 3.已知点A (－3，0)，B (0，2)，点O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.23答案 D解析过点C 作CE ⊥x 轴于点E (图略). 由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.4.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对答案 C解析由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形.5.设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立； ∵a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2， ∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2).因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，点E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →.7.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤ 答案 A解析 ①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b ＝0，则不对.8.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2)解析在矩形ABCD 中，因为点O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2).9.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案 45解析依题意得，AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝AB →＋BC →－14AB →＝34AB →＋BC →，AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12BC →.又AB →＝λAM →＋μAN →，于是有AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋BC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2BC →.又AB →与BC →不共线，因此有⎩⎪⎨⎪⎧34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.10.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________.答案 2解析因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角.又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.11.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值.(1)证明由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.12.已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，a 的值. (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，又∵AM →与AB →有公共点A ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.(3)解当t 1＝a 2时， OM →＝(4t 2，4t 2＋2a 2).又AB →＝(4，4)，OM →⊥AB →， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2). |AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。

平面向量常见题型汇编(含答案)

变式11：如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为
解析：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，
所以在上的投影为，而恰好为中点，
故考虑，
所以
2.范围问题
例题8：若过点的直线与相交于两点，则的取值范围是_______
解析：本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，
，则，，
由，为中点可得：为中点，从而在方向上的投影分别为，由即可求得的范围为
3.综合问题
例题10：已知为直角三角形的外接圆，是斜边上的高，且，，点为线段的中点，若是中绕圆心运动的一条直径，则 _________
解析：本题的难点在于是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。
解析：由可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中，，
∵ ∴
∵ ，即当且仅当时取等号
∴
变式2：已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且 ,则的最小值是___________
分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析：，
变式9：在平面上，，，若，则的取值范围是
分析：以为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中用字母表示：设，则，所求范围即为求的范围。下一步将题目的模长翻译成关系，再寻找关于的不等关系即可
解析：如图以为轴建立坐标系：设，

高三数学平面向量试题答案及解析

高三数学平面向量试题答案及解析1.已知，若共线，则实数x=A．B．C．1D．2【答案】B【解析】此题考查向量共线的条件；由已知得到，又因为共线，所以。

选B2.已知向量的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】故选C3.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量＋2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D【解析】设量与向量＋2的夹角为故选D4.设向量，是两个相互垂直的单位向量，一直角三角形两条边所对应的向量分别为，，，则的值可能是（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】若则；若则若则无解；故选C5.已知，则实数k的值是。

【答案】-1【解析】略6.已知：（1）求关于x的表达式，并求的最小正周期；（2）若时，的最小值为5，求m的值.【答案】（1）（2）3【解析】7.已知向量，则实数k的值为（）A．B．0C．3D．【答案】C【解析】，又，，即，解得【考点】平面向量的坐标运算。

8.已知平面向量，，，，，，若，则实数（）A．4B．－4C．8D．－8【答案】D．【解析】∵，，∴，故选D【考点】平面向量共线的坐标表示．9.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，，所以．故选B．【考点】向量减法的坐标的运算．10.已知向量，满足，，则夹角的余弦值为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，，则的夹角余弦值为．故选D.【考点】向量的基本运算.11.已知向量若与平行，则实数的值是（）A．－2B．0C．2D．1【答案】C【解析】，根据题意有，解得，故选C．【考点】向量的运算，向量共线的坐标表示．12.（本小题满分12分）已知向量，函数．（1）若，求的值；（2）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换的应用、两角和与差的正弦公式、倍角公式、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，即可得到结论；第二问，由，则可以得到，运用正弦函数的图象和性质，即可得到函数的值域．试题解析：（1）向量，则函数，，则，；（2）由，则，，则．则的值域为．【考点】平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质．13.设，，若，则= ．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以＝．【考点】1、平面向量垂直的充要条件；2、平面向量的模．14.己知向量，满足||=||=2且，则向量与的夹角为．【答案】【解析】因为||=||=2，所以由数量积的运算律可将化为，即，所以，故向量与的夹角为．【考点】①向量数量积的运算律；②向量夹角计算公式．15.在△ABC中，若点D满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，因此．【考点】向量的加法法则．16.设向量，，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，解得，故选C．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．17.已知，，，且与垂直，则实数的值为．【答案】．【解析】本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单．由得．由得，所以．【考点】向量垂直，向量的数量积．18.设直角的三个顶点都在单位圆上，点M，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，故选：C．【考点】1．点与圆的位置关系；2．平面向量及应用．【思路点睛】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即可求出的最大值．19.已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，故选C．【考点】向量的回头法运算及几何意义．20.已知点，，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是．【考点】1．向量的运算；2．二次函数．21.已知向量，，，若向量与共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故由与共线得，解得，故D项正确．【考点】平面向量的运算及共线定理．22.设是所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又，所以，即．故选D．【考点】向量的线性运算．23.已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角正弦值为，．【答案】，或【解析】作，则，向量，由题意可得为边长为的等边三角形，向量的夹角为，可得，由，可得四点共圆，在中，，由正弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，解得，当在中，同理可得．【考点】平面向量的数量积的运算．24.设向量与的夹角为，且，则等于（）A．B．C．D．6【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量数量积的定义.25.已知向量，，则当时，的取值范围是___________．【答案】．【解析】根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是，故填：．【考点】平面向量的线性运算．26.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，．若＝－3，则＝．【答案】【解析】因为，所以【考点】向量数量积27.如图，中，，为的中点，以为圆心，为半径的半圆与交于点，为半圆上任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，所以，设且，所以，令，则，其中.所以当时有最小值.故选D.【考点】1、平面向量的数量积公式；2、圆的参数方程的应用.28.梯形中，，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得，故选C.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的平行.29.设向量，若向量与向量垂直，则的值为（）A．3B．1C．D．-1【答案】D【解析】因为向量，向量与向量垂直，所以，故选D.考点 1、向量的坐标表示；2、平面向量的数量积公式 .30.边长为的等边三角形中心为，是边上的动点，则（）A．有最大值B．有最小值C．是定值D．与的位置有关【答案】C【解析】设是中点，则.故选C．【考点】向量的数量积．【名师】本题是求平面向量的数量积的问题，解题时要把动点与定点结合起来，如果能化动为静，则问题易解．为此可选取两个向量作为基底，其他向量都用它们表示，然后求解，在求数量积时，垂直的向量是我们要着重考虑的，因为垂直的数量积为0，计算时比较方便，易于求解．31.如图，四边形是三个全等的菱形，，设，，已知点在各菱形边上运动，且，，则的最大值为 .【答案】4【解析】根据条件知，G，O，C三点共线，连接OE，则OE⊥GC；∴分别以OC，OE所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则；设，则；∴；∴；∴；设，则，表示在y轴上的截距；当截距最大时，取到最大值；由图形可以看出当直线经过点时截距最大；∴；即x+y的最大值为4．【考点】向量的线性运算．【名师】考查向量的线性运算，通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用．这是一道综合题，有一定的难度，对学生分析问题解决问题的能力要求较高．32.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，向量，故选B．【考点】向量的运算．33.设是圆上不同的三个点，且，若存在实数，使得，则实数的关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，两边平方得：，∵，∴,故选A．【考点】（1）直线与圆的方程的应用；（2）向量共线定理；（3）平面向量的垂直.【思路点晴】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．由是圆上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．34.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1【答案】A【解析】，又,所以,又,那么.故本题选A．【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.35.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限，是其终边上的一点，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与轴正向的夹角为，则，因为角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限且，所以，．故应选D．【考点】1、向量垂直的性质；2、两角和的正切公式.36.已知非零向量且对任意的实数都有，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为非零向量且对任意的实数都有，所以，，，即，，故选C.【考点】1、平面向量数量积公式；2、一元二次方程根与系数的关系.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.37.已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以A错；因为，所以B错；因为，所以，所以，所以C正确，故选C．【考点】向量平行与垂直的充要条件．38.如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】,,所以，故选C.【考点】平面向量基本定理39.已知向量＝（－1，1），向量＝（3，t），若∥（＋），则t＝________．【答案】－3【解析】，由∥（＋）得，．【考点】向量平行．40.已知向量,若,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,故代入可得,故应选C.【考点】向量坐标形式及运算.41.已知向量满足，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【答案】D【解析】.【考点】向量运算.42.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，即有，由，可得，即有，，由，可得与夹角的大小为．故选：D．【考点】向量的夹角.43.等腰直角三角形中，，，点分别是中点，点是（含边界）内任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，设，则且，,，令，结合线性规划知识，则，当直线经过点时，有最小值，将代入得，当直线经过点时，有最大值，将代入得，故答案为A．【考点】（1）平面向量数量积的运算；（2）简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题．选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．44.设向量，且，则的值是（）A．2B．C．8D．【答案】C【解析】由已知得，∴.【考点】平面向量坐标运算．45.边长为的正三角形，其内切圆与切于点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点，，内切圆的方程为，设点，则．【考点】向量的坐标运算；向量的数量积．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算、平面向量的数量接的运算等知识点的应用，解答中，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，确定点的坐标，利用内切圆得出的坐标，利用向量的数量积的公式和坐标运算，即可求解的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．46.平面向量与的夹角为30°，已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D．【考点】向量的有关运算．47.已知非零向量的夹角为，且，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】由得，，解得，故选A．【考点】向量的数量积．48.在等腰梯形中，已知，点和点分别在线段和上，且，则的值为_____________．【答案】【解析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，所以.【考点】向量的数量积、向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量的数量积、向量运算，利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．对向量与几何图形的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为代数问题来求解．49.已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，点是线段上,，故选A．【考点】向量及其运算．50.设是单位向量，且，则的最小值为（）A．-2B．C．-1D．【答案】D【解析】当时，，故选D．【考点】向量及其基本计算．51.在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）【解析】,故选C.【考点】平面向量的线性运算．52.已知在内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由知P是的重心，则，所以，∵共线，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．故选A．【考点】平面向量基本定理，三点共线定理．【名师】设上直线外一点，，则三点共线的条件是．利用此共线定理可以解决平面向量中的共线点问题，通过它把几何问题代数化．53.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】由正弦定理得，所以，而，所以表示与共线的向量，而点是的中点，即的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A.【考点】平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.54.已知向量，，且，则．【答案】【解析】因为，所以，所以.【考点】向量运算.55.已知菱形的对角线，则（）A．1B．C．2D．【解析】在菱形中，，设相交于点，由向量数量积的几何意义可知，故选C.【考点】向量数量积的几何意义.56.已知向量，向量，则_____________.【答案】【解析】,所以.【考点】向量的坐标运算.57.已知向量满足，且，则___________．【答案】【解析】由于，两边平方得，因为.【考点】向量运算.58.已知向量，满足，，且（），则．【答案】【解析】设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．【考点】向量的坐标运算．59.已知向量_________.【答案】【解析】，解得，，那么，故填：.【考点】向量数量积的坐标表示60.已知向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以所以所以故答案选A【考点】向量的数量积；向量的模.61.设向量.若，则实数等于（）A．-1B．1C．-2D．2【解析】，∴，得.故选C.【考点】向量的基本运算.62.已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】因为向量，，所以有 , 若,则有，解得.63.已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点，,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.试题解析：（1）易知.，设，则，又.联立，解得，故.（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.64.若向量，且∥，则实数_________.【答案】【解析】依题设，，由∥得，，解得.65.已知向量，若，则__________．【答案】11【解析】由题意可知，因为，所以∙=0，解得m=11.66.已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】解：∵函数的周期，则，即C点是一个对称中心，根据向量的平行四边形法则可知： ,则： .本题选择D选项.67.已知向量，若向量与向量共线，则实数__________．【答案】【解析】因为，又因为向量与向量共线，所以，所以.68.（理科）已知平面上共线的三点和与这三点不共线的定点，若等差数列满足：，则数列的前38项之和为__________．【答案】19【解析】三点共线，，，，故答案为.69.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】因为所以；因为，所以的最大值与最小值之和为，选C.70.已知向量，，且，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，，则向量和的夹角为，选C.【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.71.在中，，，，，是线段的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,则【点睛】向量的运算有两种方法，一种是线性运算，如本题以为基底，把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来，然后利用数量积运算计算出结果，另一种方法是建立直角坐标系，把相关点得坐标写出来，然后利用坐标运算公式计算出结果.72.在为所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知．故本题选．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合．在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.73.已知，，则的最大值是__________．【答案】3【解析】，所以的最大值是3.74.设向量，．则与垂直的向量可以是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：，本题选择A选项.75.已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】设三个角所对的边分别为，由于，，，所以，解得，.76.若向量，且，则的最大值是A．1B．C．D．3【答案】D【解析】× ,选D.77.设，向量且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为____．【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，据此可得：，其中整理可得：，当时满足题意，否则：当时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数k的最大值为.78.已知向量，若与垂直，则实数的值是_________.【解析】，79.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，知，直线的方程为．设，则，．由，得，即①．设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以②．联立①②，得或（舍去），所以．因为＝，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．点睛：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和平面向量的坐标运算．求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．80.（20分）已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.（1）若,试用表示；（2）证明：；（3）若的外接圆的半径为，用表示.【答案】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，即∣∣=∣∣=∣∣,而，=∣∣-∣∣=0，（3）在中,O是外心A=，B=于是∣∣2=（=+2+2=（），【解析】略81.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）(4，＋∞)【解析】解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)，又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，∴sin(θ－)∈[－，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.故m的取值范围为(4，＋∞)．82. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.83.已知，若，则__________.【答案】1【解析】因为，所以，，解得。

(完整word版)高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算•基础知识自主学习13•共线向量定理向量a（a和）与b共线的 __ 条件是存在唯一一个实数入使得b =减二•难点正本疑点清源1. 向量的两要素向量具有大小和方向两个要素. 用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系. 同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.2 •向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线（或重合）的情况，而直线平行不包括共线的情况•因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.三. 基础自测1.化简OP — QP + MS — MQ 的结果等于 _______下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量;④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是 ____________ .A . A 、B 、C . B 、C 、四. 题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例1给出下列命题：① __________________________________________________________________________________________________ 若|a|=|b|,则a = b ;②若A , B , C , D 是不共线的四点，贝U AB = DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a = b , b = c ,则a = c ;④a = b 的充要条件是|a|= |b|且a // b ;⑤若a // b, b // c ,则a // c.其中正确的序号是 __________________________ 变式训练1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1) 若向量a 与b 同向，且|a|=|b|,则a>b ;(2) 若|a|= |b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3) 若|a|=|b|,且a 与b 方向相同，贝U a = b ;(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；⑸若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；⑹若向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A , B , C , D 四点在一条直线上; ⑺起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等B 、 CC 、 D3. 4.5.b表示OM、ON、MN.题型二平面向量的线性运算BM= 3BC, CN= 3CD，用a、—> 2 ~-> —>变式训练2 △ ABC 中，AD = 3AB , DE // BC 交AC 于E , BC 边上的中线 AM 交DE 于N.设AB = a , AC = b ，用a 、b 3 f f f f表示向量 AE 、BC 、DE 、DN 、AM 、AN.题型三平面向量的共线问题例 3 设 e i , e 2是两个不共线向量，已知 AB = 2e i — 8e 2, CB = e i + 3e 2, CD = 2e i — e 2.(1) 求证：A 、B 、D 三点共线；(2) 若BF = 3e i — ke 2,且B 、D 、F 三点共线，求 k 的值.变式训练3设两个非零向量a 与b 不共线，T T T(1) 若AB = a + b , BC = 2a + 8b , CD = 3(a — b) •求证: ⑵试确定实数k ,使ka + b 和a + kb 共线.五. 思想与方法5•用方程思想解决平面向量的线性运算问题ABO 中，OC = 4OA , 0D = 2O B , AD 与 BC 相交于点 M ，设 OA = a , OB = b.试用 a 和 b表示向量0M.六. 思想方法感悟提高方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础. 2 .可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题. 如AB / CD 且AB 与CD 不共线，则AB // CD ;若AB / BC ，则A 、B 、C 三点共线. 失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2 .在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.A 、B 、D 三点共线; 试题：如图所示，在△ O七. 课后练习1 .给出下列命题：① 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；② 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③ 七=0（入为实数），则入必为零； ④ 入□为实数，若扫，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42 .若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：AB + CD = BC + DA •，②AC + BD= BC AD :③AC —BD = DC+ AB .其中正确的有（） A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个3.已知0、A 、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点C ,满足2AC CB =0,则OC 等于（）A. 2OA — OBB. OA + 20BC. 2 OA —3<O B3 34.如图所示，在厶ABC 中,D . -OA +3OB33BD = 2DC , AE = 3ED ,若 AB = a , AC = b ，则 BE 等于(1 1 A. §a + 3b 1 1 C*2a + 4b1 1B . — qa + 4b 1 1D. —3a +3b5.在四边形 ABCD 中，AB = a + 2b, BC =— 4a — b , CD = — 5a — 3b ，则四边形 ABCD 的形状是（）A .矩形B .平行四边形u uuuiur6. A B =8, A C=5,贝U BC 的取值范围是① 向量AB 的长度与向量BA 的长度与向量BA 的长度相等; ② 向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④ 两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 与向量CD 是共线向量，则点 A 、B 、C 、D 必在同一条直线上. 其中不正确的个数为 _________________ .8•如图，在厶ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线 AB 、AC 于不同的两点AB = mAM ,AC = nAN ,贝V m + n 的值为 _________ .9. ____________________________________________________________________ 设a 与b 是两个不共线向量，且向量 a + ?b 与—（b — 2a ）共线，则 = __________________ .10.在正六边形 ABCDEF 中，AB = a , A F = b ，求 AC, AD , AE. N.若11.如图所示，△ ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN = 2NC ,AM 与BN 相交于点 P ,求AP : PMC .梯形7.给出下列命题:12.已知点G是厶ABO的重心，M是AB边的中点.(1 )求GA + GB + G0 ；(2) 若PQ过厶ABO 的重心G,且AO = a, 0B= b, OP = ma, 0Q = nb,求证：一 + - = 3.m n第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示.基础知识自主学习1.两个向量的夹角2. 平面向量基本定理及坐标表示(1) 平面向量基本定理如果e i, e2是同一平面内的两个________ 向量，那么对于这一平面内的任意向量a, _________ 一对实数乃，血使a = __________ •其中，不共线的向量e i, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 __________ .(2) 平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个___________ 的向量，叫做把向量正交分解.(3) 平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x, y,使a = xi + yj，这样，平面内的任一向量a都可由x, y唯一确定，把有序数对______ 叫做向量a的坐标，记作a = ________ ，其中_叫做a在x轴上的坐标，_叫做a在y轴上的坐标.②设0A= xi + yj,则向量0A的坐标(x, y)就是_________ 的坐标，即若0A= (x, y)，则A点坐标为_________ ，反之亦成立.(0是坐标原点)3 .平面向量坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a = (X i, y i), b=(X2, y2)，贝a +b = ________________ , a—b= _________________ ,入 a _______________ , |a|= .(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x i, y i), B(X2, y2),则AB= _________________ ,|AB|= .4. 平面向量共线的坐标表示______________________________________ ：设a = (x i, y i), b =(X2, y2)，其中b* (a// b? .二.难点正本疑点清源I.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e i, e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.2 .向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量0A=a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x, y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x, y),向量a = 0A= (x, y).f f f f f当平面向量0A平行移动到0i A i时，向量不变即0i A i= 0A = (x, y),但0i A i的起点0i和终点A i的坐标都发生了变化.三.基础自测1 .已知向量a= (2,—1), b = (- 1, m), c= (- 1,2)，若(a + b) // c,则m= ____________ .2 .已知向量a= (1,2), b = (-3,2)，若ka+ b 与b 平行，则k= ____________ .3 .设向量a= (1, - 3), b = (-2,4), c= (- 1, - 2).若表示向量4a、4b - 2c、2(a - c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d= ________________ .4 .已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2), B( - 1,- 2), C(3,1)，且BC= 2AD，则顶点D的坐标为()7 1A. 2, 2B. 2, - 2C. (3,2)D. (1,3)5 .已知平面向量a = (x,1), b = (- x, x2)，则向量a+ b( )A .平行于y轴B .平行于第一、三象限的角平分线C.平行于x轴 D •平行于第二、四象限的角平分线四.题型分类深度剖析题型一平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD中，M , N分别为DC, BC的中点，已知AM = c, AN = d，试用c, d表示AB, AD.变式训练1如图，P是厶ABC内一点，且满足条件AP + 2BP+ 3CP= 0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令CP= p, 试用p表示CQ.题型二向量坐标的基本运算f f f f f例 2 已知A(-2,4), B(3, - 1), C(- 3,- 4).设AB= a, BC = b, CA = c,且CM = 3c, CN=- 2b,(1) 求3a + b- 3c;⑵求满足a= mb+ nc的实数m, n;⑶求M、N的坐标及向量MN的坐标.变式训练2 (1)已知点A、B、C的坐标分别为A(2, - 4)、B(0, 6)、C( —8,10),求向量AB + 2BC —£A C的坐标;1 1⑵已知a= (2,1), b= (—3,4)，求：① 3a+ 4b;② a —3b;③ 2a—-b.题型三平行向量的坐标运算例3平面内给定三个向量 a = (3,2), b= (—1,2), c= (4,1)，请解答下列问题:(1)求满足a= mb+ nc 的实数m, n; (2)若(a+ kc) // (2b —a)，求实数k;(3) 若d 满足(d —c) // (a+ b),且|d —c|= 5,求d.变式训练3 已知a= (1,0), b= (2,1).(1)求|a + 3b|; (2)当k为何实数时，ka—b与a+ 3b平行，平行时它们是同向还是反向?五.易错警示8•忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(一1,0), (3,0), (1 , —5)，求第四个顶点的坐标.六.思想方法感悟提高方法与技巧1•平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.2 •向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题.3 •在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.失误与防范1. 要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.2 .若a= (x1, y1), b = (x2, y2),则a // b的充要条件不能表示成号=^，因为X2，y2有可能等于0,所以应表示为x1y2—X2y1= 0.同时，a / b的充要条件也不能错记为X1X2—y1y2= 0, X1y1 —X2y2= 0等.七. 课后练习a = (1, - 2),b = (1 + m,1 — m),若 a // b ，则实数 m 的值为( B . — 3C . 2D . — 22 .已知平面向量 a = (1,2), b = (— 2, m)，且 a / b ,贝U 2a + 3b 等于( )4. 已知向量a = (1, — m), b = (m 2, m),则向量a + b 所在的直线可能为()A . x 轴B .第一、三象限的角平分线C . y 轴D .第二、四象限的角平分线1 ___________________ h5.已知A(7,1)、B(1,4),直线y —ax 与线段AB 交于C,且AC2CB ，则实数a 等于( )245A . 2B . 1C. D 531 16. ______________________________________________________________ 若三点 A(2,2), B(a,0), C(0, b) (ab ^ (共线，则；+二的值等于 ______________________________________________________ .a b7 .已知向量 a = (1,2), b = (x,1), u = a + 2b , v = 2a — b ,且 u// v ,则实数 x 的值为 _____________ .一 _ 2 _ _8 .若向量 a (x 3,x 3x 4)与 AB 相等，其中 A(1,2), B(3, 2)，则 x = _____________________ . 9. _____________________________________________________________________________ 若平面向量 a , b 满足|a + b|= 1, a + b 平行于y 轴，a = (2,— 1),贝U b = ___________________________________________ . 10. a = (1,2), b = (— 3,2)，当k 为何值时，ka + b 与a — 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11. 三角形的三内角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c ,设向量m = (3c — b , a — b), n = (3a + 3b , c),(1) 求 cos A 的值；(2)求 sin(A + 30 ° 的值.12 .在△ ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，已知向量 m = (a , b),向量n = (cos A , cos B),B I C向量p = 2 ,2sin — ', 2sin A ，若m // n , p 2= 9,求证：△ ABC 为等边三角形.1 .已知向量 A . 3A . ( — 2,— 4)B . (— 3, — 6)C . (— 4,— 8)D . (— 5, — 10)3•设向量 a = (3,3),A.b 为单位向量，且 3 1 ~2 , 2 a / b ,贝U b 等于( m // n.第三部分：平面向量的数量积一.基础知识自主学习1 •平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为则数量_____________ 叫做a和b的数量积(或内积)，记作 __________________ 规定：零向量与任一向量的数量积为______ .两个非零向量a与b垂直的充要条件是_____________ ，两个非零向量a与b平行的充要条件是____________________ 2 •平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_____________ 的乘积.3 .平面向量数量积的重要性质⑴e a= a e= ___________ ;(2) 非零向量a, b, a丄b? __________ ;(3) 当a与b同向时，ab = __________ ;当 a 与 b 反向时，a b= ____________ , a a= a2, |a|= a •;a •b⑷cos 0=丽I；(5) |a b|—|a||b|.4 .平面向量数量积满足的运算律(1) a • b ___ (交换律);(2) (入)b= _______ = _________ (入为实数);(3) (a+ b) c= _____________ .5. 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a= (x i, y i), b= (x2, y2),贝U a • b ______________ ，由此得到(1) 若a = (x, y)，贝U |a|2= _____ 或|a|= ___________ .uun(2) 设A (x i ,y i) ,B(x2,y2),则A、B 两点间的距离|AB|= AB = ______________________ .(3) 设两个非零向量a, b, a= (x i, y i), b =(X2, y2),贝U a丄b? _______________ .二.难点正本疑点清源i.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围.2•数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a b)c不一定等于a(b c).这是由于(a b)c表示一个与c共线的向量，而a(b c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.三.基础自测i.已知向量a和向量b的夹角为30 ° |a|= 2, |b|=J5，则向量a和向量b的数量积a • b ________________2•在△ ABC 中，AB=3, AC=2 , BC= V T0 ,则AB AC = _______ .3 .已知a= (2,3), bb ( —4,7)，贝U a在b方向上的投影为_____4. 已知|a|= 6, |b|= 3, a •茹一12,则向量a 在向量b 方向上的投影是四. 题型分类深度剖析题型一求两向量的数量积例 1 (1)在 Rt △ ABC 中，/ C = 90° AB = 5, AC = 4，求 AB BC ；(2) 若 a = (3, — 4), b = (2,1)，试求(a — 2b) •(曲3b). 变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向,(2) 如图，在△ ABC 中，AD 丄AB ,A . 2羽 B.爭 C •普题型二求向量的模例 2 已知向量 a 与 b 的夹角为 120° 且 |a|= 4, |b|= 2,求:(1)|a + b|; (2)|3a — 4b|; (3)(a — 2b) •倚 b).变式训练2设向量a , b 满足|a — b| = 2 , |a|= 2,且a — b 与a 的夹角为才，则|b|= ___________ • 题型三利用向量的数量积解决夹角问题例3 已知a 与b 是两个非零向量，且|a|=|b|=|a — b| ,求a 与a + b 的夹角.变式训练3设n 和m 是两个单位向量，其夹角是 60°求向量a = 2m + n 与b = 2n — 3m 的夹角.A . - 4B . 4C .— 2D . 25.已知向量a = (1,A . (2,1)C. J ，2 1), b = (1,2)，向量 c 满足(c + b)丄a , (c — a)// b ,贝U c 等于()B . (1,0)向量 b 的方向是正东方向，且|a|=|b|= 1,则(一3a) •他b) = ___________uuu T uur____BC = 3 BD , | AD |= 1，则 AC AD 等于()D. 3题型四平面向量的垂直问题例 4 已知a= (cos a, sin a , b = (cos B, sin ®(0< a B<n)⑴求证：a + b 与a — b 互相垂直；⑵若ka + b 与a — kb 的模相等，求3- a (其中k 为非零实数)五. 答题规范5.思维要严谨，解答要规范试题：设两向量 e i 、e 2满足|ei|= 2, 1, e i 、e 2的夹角为60 °若向量2te i + 7e 2与向量e i + te 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.六. 思想方法感悟提高方法与技巧1.向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似.如 (a + b)2 = a 2 + 2a ・!b b 2;(?a + pb) sa + tb) = ^a 2 + (入 + )a • +(人 s , t € R).2 .求向量模的常用方法：利用公式 |a f = a 2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.3 .利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧. 失误与防范 1.(1)0与实数0的区别：0a = 0工0 a + (— a) = 0工0 a •爭0工0(2)0的方向是任意的，并非没有方向， 0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系. 2. a ・#0不能推出a = 0或b = 0，因为a ・#0时，有可能 a 丄b. 3. 一般地，(a • b)c 工(b 即乘;法的结合律不成立.因 a •是一个数量，所以(a • b 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b • c)表示一个与a 共线的向量，而 a 与c 不一定共线，故一般情况下 (a • b)c 丰(b • c)a.4. a •非a • c(a 不0)推出b = c.即消去律不成立.变式训练4UJU TOA = (— 2, m), OB = (n,1),uuiu OC = (5,—1)，且 OA 丄 OB ,uuu UULT5. 向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈AB,BC〉应为120°而不是60°.七. 课后练习1 11•设向量a = (1,0), b =(2, 2)，则下列结论中正确的是( )A. |a|= |b|B . a •非学-C . a // bD . a — b 与 b 垂直2•若向量 a = (1,1), b = (2,5), c = (3, x)，满足条件(8a — b) c= 30,则 x 等于( )A . 6B . 5C . 4D . 3 3•已知向量a , b 的夹角为60°且|a| = 2, |b|= 1,则向量a 与a + 2b 的夹角等于( )A . 150°B . 90°C . 60°D . 30°—— . uur uuu4. 平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB= (2,4), AC= (1,3)，贝U AD BD 等于()A . 6B 8C . — 8D . — 66 .若向量a , b 满足|a|= 1 , |b|= 2且a 与b 的夹角为彳则R + b|= _____________ .7. ________________________________________________________________ 已知向量a , b 满足|a|= 3, |b|= 2, a 与b 的夹角为60°贝U a •扣 _____________________________________________________ ，若(a — mb)丄a ,则实数 m= _________ 8. _____________________________________________________ 设a 、b 、c 是单位向量，且 a + b = c ,贝U a •的值为 _____________________________________________________________ .9. (O 是平面上一点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点•平面内的动点P 满足OP OA (AB AC),1uuu uuu uuu 若匸1时，PA (PB PC)的值为 ____________ . 10 .不共线向量a , b 的夹角为小于120。

(完整word版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，共线，Θ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

【新高考数学】平面向量(含答案解析)

①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若 a
，b
满足
a
b
且 a 与 b 同向，则 a
b
；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若 a ∥ b，b ∥ c ，则 a∥c ．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2.巩固提升综合练习【练习 1】给出下列命题：
量线性运算求参数.解题过程中应注意：
1.例题
【例 1】在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB （）
A. 3 AB 1 AC 44
B. 1 AB 3 AC C. 3 AB 1 AC
44
44
【例 2】在梯形 ABCD 中，A→B＝3D→C，则B→C等于( )
B.1
3
2
C.2
D.3
3
4
【练习 2】设向量 a ， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _________．
【四】平面向量基本定理及应用
1如.平果面e1向，量e2基是本一定平理面: 内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 a ，有且只有一对实数 1，2 ，使 a 1e1 2e2 .其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
D. 1 AB 3 AC 44
A．－1A→B＋2A→D 33
B．－2A→B＋4A→D 33
C.2A→B－A→D 3
D．－2A→B＋A→D 3
2.巩固提升综合练习
【练习
1】在正方形
ABCD
中，
E
为
DC
的中点，若

高中数学平面向量精选题目(附答案)

高中数学平面向量精选题目（附答案）一、平面向量的概念及线性运算1.在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→. ∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)， ∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→ ＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16. [答案] 12 －16 注：向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D ∵AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)．又∵AB ―→∥AC ―→，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.3.如图，点A ，B ，C 是圆O 上不重合的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若OC ―→＝m OA ―→＋2m OB ―→，AP ―→＝λAB ―→，则λ＝( )A.56B.45C.34D.23解析：选D 由题意，设OP ―→＝n OC ―→. 因为AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，故n OC ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，n (m OA ―→＋2m OB ―→)－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，即(mn ＋λ－1)OA ―→＋(2mn －λ)OB ―→＝0.而OA ―→与OB ―→不共线，故有⎩⎨⎧mn ＋λ－1＝0，2mn －λ＝0，解得λ＝23.选D.4.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且∠COB ＝30°.若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝________.解析：由已知，可得OA ⊥OC ，以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有C (1,0)，A (0,1)，B (cos 30°，－sin 30°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.于是OC ―→＝(1,0)，OA ―→＝(0,1)，OB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，由OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得(1,0)＝λ(0,1)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32μ，λ－12μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧32μ＝1，λ－12μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33.∴λ＋μ＝ 3. 答案：3二、平面向量的数量积5.(1)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53D.32(2)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ―→|＝6，|AD ―→|＝4.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，NM ―→＝NC ―→－MC ―→＝13AB ―→－14AD ―→， ∴AM ―→·NM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋34 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB ―→－14 AD ―→ ＝13|AB ―→|2－316|AD ―→|2＋14AB ―→·AD ―→－14AB ―→·AD ―→＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C 注：(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．6．已知△ABC 中，AB ―→＝c ，BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，若a ·b ＝b ·c 且c ·b ＋c ·c ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．等腰非直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D 由c ·b ＋c ·c ＝c ·(b ＋c )＝0，即AB ―→·(CA ―→＋AB ―→)＝AB ―→·CB ―→＝0，可得∠B 是直角．又由a ·b ＝b ·c ，可得b ·(a －c )＝0，即CA ―→·(BC ―→＋BA ―→)＝0，所以CA 与CA 边的中线垂直，所以△ABC 是等腰直角三角形．7．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，知a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0，知(a ＋b )·c ≥c 2＝1.因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1.8．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.答案：19．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ―→·BE ―→＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB ―→|＝x ，x ＞0，则AB ―→·AD ―→＝12x .又AC ―→·BE ―→＝(AD ―→＋AB ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12 AB ―→ ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：12三、平面向量与三角函数的综合问题10.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． [解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12. 注：在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．11．已知向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，则锐角α＝( ) A.π4B.π6C.π3D.5π12解析：选B 因为向量a ＝(6sin α，2)与向量b ＝(3,4sin α)平行，所以24sin 2α＝6，所以sin 2α＝14，sin α＝±12.又α是锐角，所以sin α＝12，α＝π6.12．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.巩固练习：1.如图所示，在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ―→＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0B ．1C ．2 D. 53．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)4．已知平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，|a －b |＝x ，a ·b ＝－38x ，则x ＝( ) A. 3 B ．2 C. 5D ．35．在△ABC 中，(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．67．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 8．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 9．已知向量OA ―→＝(1,7)，OB ―→＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA ―→·MB ―→的最小值是________．10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.11．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |，其中k >0.(1)用k 表示a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a ，b 的夹角．12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们两两之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|ka ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求实数k 的取值范围．参考答案：1.解析：选C 连接BP ，则AP ―→＝AC ―→＋CP ―→＝b ＋PR ―→， ① AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝a ＋RP ―→－RB ―→. ② 由①＋②，得2AP ―→＝a ＋b －RB ―→.③ 又RB ―→＝12QB ―→＝12(AB ―→－AQ ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，④将④代入③，得2AP ―→＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ―→ ，解得AP ―→＝27a ＋47b .2.解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D.3.解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4.解析：选B |a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝x 2，两式相减得4a ·b ＝1－x 2.又a ·b ＝－38x ，所以1－x 2＝－32x ，解得x ＝2或x ＝－12(舍去)．故选B.5.解析：选C 由(BC ―→＋BA ―→)·AC ―→＝|AC ―→|2，得AC ―→·(BC ―→＋BA ―→－AC ―→)＝0，即AC ―→·(BC ―→＋BA ―→＋CA ―→)＝0，∴2AC ―→·BA ―→＝0，∴AC ―→⊥BA ―→，∴A ＝90°.故选C.6.解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－3－32＝3，∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7.解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－28.解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－69.解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ，则MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，7－12x ，MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x ，1－12x ，MA ―→·MB―→＝(1－x )(5－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝54(x －4)2－8.所以当x ＝4时，MA ―→·MB ―→ 取得最小值－8.答案：－810.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61，即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13.11.解：(1)将|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方，得|ka ＋b |2＝(3|a －kb |)2，k 2a 2＋b 2＋2ka ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2ka ·b )，∴8ka ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 2， a ·b ＝(3－k 2)a 2＋(3k 2－1)b 28k.∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝1，b 2＝1，∴a ·b ＝3－k 2＋3k 2－18k ＝k 2＋14k .(2)∵k 2＋1≥2k (当且仅当k ＝1时等号成立)，即k 2＋14k ≥2k 4k ＝12，∴a ·b 的最小值为12.设a ，b 的夹角为γ，则a ·b ＝|a ||b |cos γ. 又|a |＝|b |＝1，∴12＝1×1×cos γ，∴γ＝60°，即当a ·b 取最小值时，a 与b 的夹角为60°.12.解：(1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间的夹角均为120°， ∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos 120°－|b ||c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c . (2)∵|ka ＋b ＋c |>1，∴(ka ＋b ＋c )2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1，∴k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. ∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2.∴实数k 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．。

平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

平⾯向量知识点总结、经典例题及解析、⾼考题50道及答案第五章平⾯向量【考纲说明】1、理解平⾯向量的概念和⼏何表⽰，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其⼏何意义，会⽤坐标表⽰。

2、了解平⾯向量的基本定理，掌握平⾯向量的坐标运算。

3、掌握数量积的坐标表达式，会进⾏平⾯向量数量积的运算，会⽤向量⽅法解决简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题。

【知识梳理】⼀、向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，记作AB u u u r ；向量的⼤⼩即向量的模（长度），记作|AB u u u r| 向量不能⽐较⼤⼩，但向量的模可以⽐较⼤⼩．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其⽅向是任意的，0与任意向量平⾏（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常⽤e 表⽰．（4）平⾏向量（共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量，记作a ∥b平⾏向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且⽅向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a⼤⼩相等，⽅向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、⽅向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =02 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满⾜交换律与结合律；向量加法有“三⾓形法则”与“平⾏四边形法则” ．（2）向量的减法：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三⾓形法则，b a 可以表⽰为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a；②当0 时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0 时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；当0 时，0 a ，⽅向是任意的③数乘向量满⾜交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与⾮零向量a共线有且只有⼀个实数，使得b =a向量b 与⾮零向量a共线有两个均不是零的实数、，使得0a b ．⼆、平⾯向量的基本定理与坐标表⽰ 1 平⾯向量的基本定理：如果21,e e 是⼀个平⾯内的两个不共线向量，那么对这⼀平⾯内的任⼀向量a，有且只有⼀对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表⽰这⼀平⾯内所有向量的⼀组基底2. 平⾯向量的坐标表⽰：（1）在直⾓坐标系中，分别取与x 轴、y 轴⽅向相同的两个单位向量,i j r r作为基底由平⾯向量的基本定理知，该平⾯内的任⼀向量a r 可表⽰成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是⼀⼀对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0r =（0,0），(1,0)i r ，(0,1)j r ．（2）设OA xi y j u u u r r r.则向量OA u u u r 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA u u u r =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成⽴（O 是坐标原点）． 3 平⾯向量的坐标运算：（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr ．（2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r，AB u u u r（3）若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)．（4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr ．（5）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr ．三、平⾯向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个⾮零向量a r 与b r ，它们的夹⾓为，a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r ⽅向上的投影的乘积叫做a r 与b r 的数量积（或内积），即a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos ，规定00a r r2 向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r ⽅向上的投影投影的绝对值称为射影3 向量的模与平⽅的关系：22||a a a a r rr r4 乘法公式成⽴：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r ．5 平⾯向量数量积的运算律：①交换律成⽴：a b b a r r r r．②对实数的结合律成⽴：a b a b a b R r r r r r r．③分配律成⽴： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r ；特别注意：①结合律不成⽴： a b c a b c r r r r r r．②消去律不成⽴a b a cr r r r不能得到b c r r．③a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r6 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·b r=1212x x y y 7 向量的夹⾓：已知两个⾮零向量a r 与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （0 01800 ）叫做向量a r 与b r 的夹⾓cos =cos ,a b a b a b r r r rr r当且仅当两个⾮零向量a r 与b r 同⽅向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反⽅向时θ=1800，同时0r 与其它任何⾮零向量之间不谈夹⾓这⼀问题8 垂直：如果a r 与b r 的夹⾓为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b ra ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a ，ECBA CA b ，1,2a b ，则CD = （）（A ）1233a b （B ）2133a b （C ）3455a b （D ）4355a b 【答案】B ．【解析】由⾓平分线的性质得2AD DB u u u u r u u u u r ,即有22()()33AD CB CA a b u u u r u u u r u u u r ．从⽽221()333CD CA AD b a b a b u u u r u u u r u u u r ．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k a b (k R ),d a b ,如果c //d ，那么（） A ．1k 且c 与d 同向 B ．1k 且c 与d 反向 C ．1k 且c 与d 同向 D ．1k 且c 与d 反向【答案】D ．【解析】取a 1,0 ，b 0,1 ，若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，显然，a 与b 不平⾏，排除A 、B ．若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷⽂）如图，D ，E ，F 分别是 ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF u u u r u u u r u u u r r C ．0AD CE CF u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC u u u r u u u r u u u r r【答案】A ．【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ 得0AD BE CF u u u r u u u r u u u r r ．或0AD BE CF AD DF CF AF CF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r．【例4】（2009宁夏海南卷⽂）已知 3,2,1,0a b ，向量a b 与2a b 垂直，则实数的值为( )A.17B.17C.16D.16【答案】A ．【解析】向量a b ＝（－3 －1，2 ），2a b ＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3 －1，2 ）×（－1,2）＝0，即3 ＋1＋4 ＝0，解得：＝17，故选A ．【例5】（2009全国卷Ⅰ⽂）设⾮零向量a 、b 、c 满⾜c b a c b a |,|||||，则b a , （）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平⾏四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对⾓线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷⽂）在平⾏四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43．【解析】设BC b u u u r r 、BA a u u u r r 则12AF b a u u u r r r ,12AE b a u u u r r r ,AC b a u u ur r r代⼊条件得2433u u ．【例7】（2009辽宁卷⽂）在平⾯直⾓坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________．【答案】(0,－2)．【解析】平⾏四边形ABCD 中,OB OD OA OC u u u r u u u r u u u r u u u r∴OD OA OC OB u u u r u u u r u u u r u u u r＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF u u u r u u u r g ,得cos 2AB AF FAB u u u r u u u r g g ,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF u u u rg ．∵2AB ，∴22DF ，∴1DF ∴21CF ．记AE BF u u u r u u u r和之间的夹⾓为,AEB FBC ，，则．⼜∵2BC ，点E 为BC 的中点，∴1BE ．∴ =cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g g=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g g .本题也可建⽴以, AB AD 为坐标轴的直⾓坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ，已知2233AB AC AB AC BC u u u r u u u r u u u r u u u r ，求⾓A ，B ，C 的⼤⼩．【答案】2,,663A B C．【解析】解：设,,BC a AC b AB c由23AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r 得2cos 3bc A bc ，所以3cos 2A⼜(0,),A 因此6A由233AB AC BC u u u r u u u r 得23bc a ，于是23sin sin 3sin 4C B A所以53sin sin()6C C ，133sin (cos sin )2C C C ，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ，既sin(2)03 C由A=6 知506C ，所以3 ，4233C ，从⽽20,3C 或2,3C ，既,6C 或2,3C 故2,,,636A B C 或2,,663A B C．【课堂练习】⼀、选择题1.（2012辽宁理）已知两个⾮零向量a ,b 满⾜|a +b |=|a b |,则下⾯结论正确的是（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a b2. (2009年⼴东卷⽂)已知平⾯向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量 a b ( )A. 平⾏于x 轴B. 平⾏于第⼀、三象限的⾓平分线C. 平⾏于y 轴D. 平⾏于第⼆、四象限的⾓平分线3.（2012天津⽂）在ABC 中,90A ,1AB ,AC=2,设点,P Q 满⾜,(1),AP AB AQ AC R u u u r u u u r u u u r u u u r .若2BQ CP u u u r u u u r,则 ( )（）A ．13B ．23 C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满⾜：||3 a ，||4 b ，0 a b ．以a ，b ， a b 的模为边长构成三⾓形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y R,向量 4,2,,1,1,y x ,且//, ,则a b r r（）A B C ．D ．106. （2009浙江卷⽂）已知向量(1,2) a ，(2,3) b ．若向量c 满⾜()// c a b ，() c a b ，则c （）A ．77(,)93B ．77(,)39C ．77(,)39D ．77(,)937．（2012浙江理）设a ,b 是两个⾮零向量.（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则 a c b c ? 的最⼩值为( )A.2 2D.1 9.（2012天津理）已知△ABC 为等边三⾓形,=2AB ,设点P,Q 满⾜=AP AB u u u r u u u r ,=(1)AQ AC u u u r u u u r,R ,若3=2BQ CP u u u r u u u r ,则=（）A ．12B C D10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量 2,1,10,||a a b a b ||b ( )5 D. 2511.（2012⼤纲理）ABC 中,AB 边上的⾼为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b u u u r r u u u r r r r r r ,则AD u u u r（）A ．1133a b r rB ．2233a b r rC ．3355a b r rD ．4455a b r r12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD u u u r u u u r 2,CE EA u u u r u u u r 2,AF FB u u u r u u u r则AD BE CF u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r( ) A. 反向平⾏ B. 同向平⾏C. 互相垂直D. 既不平⾏也不垂直13.（2008⼴东）在平⾏四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC u u u r a ，BD u u u r b ，则AF u u u r（）A ．42a bB ．2133 a b C ．1124 a bD ．1233a b 14.（2007湖北）设(43) ，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（）A ．(214)，B ．227，C ．227，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平⾯直⾓坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP uuu r 按逆时针旋转34后,得向量OQ uuu r 则点Q 的坐标是（） A ．(72,2) B ．(72,2) C ．(46,2)D ．(46,2)⼆、填空题16.（2012浙江⽂）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC u u u r u u u r=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平⾯向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹⾓为120o.如图所⽰，点C 在以O 为圆⼼的圆弧AB u u u v上变动. 若,OC xOA yOB u u u r u u u r u u u r其中,x y R ,则x y的最⼤值是________.18.（2012上海⽂）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满⾜||||||||CD CN BC BM,则AN AM 的取值范围是_________ .19.（2012课标⽂）已知向量a ,b 夹⾓为045,且|a |=1,|2 a b |=10,则|b |=_______.20.（2012湖南⽂）如图4,在平⾏四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂⾜为P,3AP 且AP AC u u u v u u u vg = _____.A DBP21.（2012湖北⽂）已知向量(1,0),(1,1)a b r r,则(Ⅰ)与2a b r r同向的单位向量的坐标表⽰为____________; (Ⅱ)向量3b a r r 与向量a r夹⾓的余弦值为____________.22.（2012北京⽂）已知正⽅形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB u u u r u u u r的值为________.23.（2012安徽⽂）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m r r r ,若()a c r r⊥b r ,则a r_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___.25.（2012安徽理）若平⾯向量,a b r r满⾜:23a b r r ;则a b r r g的最⼩值是_____ 三、解答题26. (2009年⼴东卷⽂)（已知向量)2,(sin a 与)cos ,1( b 互相垂直，其中)2,0(（1）求 sin 和 cos 的值（2）若 cos 53)cos(5 ，02,求 cos 的值 27.（2009上海卷⽂）已知ΔABC 的⾓A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b u r ， (sin ,sin )n B A r ，(2,2)p b a u r（1）若m u r //n r，求证：ΔABC 为等腰三⾓形；（2）若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，⾓C = 3，求ΔABC 的⾯积 .28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的⾓，向量)sin ,(sin B A m ，)cos ,(cos A B n ，且C n m 2sin .（Ⅰ）求⾓C 的⼤⼩；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)( AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】⼀、选择题1.（2009辽宁卷理）平⾯向量a 与b 的夹⾓为060，(2,0)a ，1b 则2a b ( )B. 2.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC 所在平⾯内，且,0OA OB OC NA NB NC ，且PA PB PB PC PC PA ? ? ?，则点O ，N ，P 依次是ABC 的( )A. 重⼼外⼼垂⼼B. 重⼼外⼼内⼼C. 外⼼重⼼垂⼼D. 外⼼重⼼内⼼3.（2008安徽）在平⾏四边形ABCD 中，AC 为⼀条对⾓线，若(2,4)AB u u u r ，(1,3)AC u u u r ,则BD u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平⾯内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满⾜0)()( c b c a ,则c 的最⼤值是( )A. 1B. 2C. 2D.25.（2007海南、宁夏）已知平⾯向量(11)(11) ，，，a b ，则向量1322 a b（） A ．(21) ， B ．(21) ，C ．(10) ，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是⾮零向量，若函数()()()f x x x g a b a b 的图象是⼀条直线，则必有（）A ．⊥a bB ．∥a bC ．|||| a bD ．|||| a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos ) ，a 和sin 2m m，b ，其中m，，为实数．若2 a b ，则m的取值范围是（） A ．[-6，1] B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]。

(完整版)平面向量题型汇总

《平面向量》题型汇总类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量b a ,41==且满足2.=b a ，则b a 与的夹角为 .2.已知非零向量b a ,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为 .3.已知向量b a ,满足424)2.(==-=+-b a b a ）（，则b a 与的夹角为 . 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , .类型（二）：向量共线问题1.已知向量），（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是 .2.已知），（），，（），，（73231x C B A --a AB =，b BC =且a ∥b ，则x= . 3．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 共线，则k= .4.已知b a ,不共线，b a d b a k c -=+=,，如果c ∥d ，那么k= ,c 与d 的方向关系是 .5. 已知向量且），（），，（,221m b a -==a ∥b ，则=+b a 32 .类型（三）: 向量的垂直问题1．已知向量=--==b b a n b n a 垂直，则与），若，（），，（211 .2.已知),1,1(),0,1(==b a 当λ= 时，a b a 与λ+垂直？3.已知,24），（=a 与a 垂直的单位向量的坐标为 .4. 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-=5. =⊥-===k b c a k c b a ，则）若（，），（),2,()3,1(,13 .6. ）满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥c b a c ），则（类型（四）投影问题1．已知，4,5==b a ，b a 与的夹角32πθ=，则向量b 在向量a 上的投影为 2．在Rt △ABC 中，===∠AC AB AC C .,4,2则π 3．关于c a b a ..=且0≠a ，下列几种说法正确的是 ① )(c b a -⊥； ② b ⊥c ； ③0).(=-c b a④b 在a 方向上的投影等于c 在a 方向上的投影；⑤a b λ=； ⑥c b =类型（四）求向量的模的问题1. 已知零向量==+==b b a b a a ，则），（25,10.,12 .2. 已知向量b a ,满足=+=-==b a b a b a ，则2,2,1 .3. 已知向量a )3,1(=，=+-=ba b ，则)0,2( . 4．已知向量b a b a -==则),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 .5. 设向量a ，b 满足的值为则b a b a a b a +-⊥==2),2(,2,1 .类型（五）平面向量基本定理的应用问题1．若a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，-2），则c 等于（）(A) b a 2321+- (B)b a 2321-- (C)b a 2123- (D)b a 2123+- 2.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝ .3.已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101类型（六）平面向量与三角函数结合题1.已知向量(2sin ,cos )42x x m =，(cos 4x n =，设函数()f x m n =⋅ ⑴求函数()f x 的解析式（2）求()f x 的最小正周期；（3）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值．2. 已知322ππα<<，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 (3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα.(1)若||||AC BC =，求角α的值；(2)当1AC BC ⋅=-时，求22sin sin(2)1tan ααα++的值.3. 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量).1),2sin((sin A C n -=（1）如果,3,3,2=∆==S ABC C c 的面积且π求a 的值；（2）若,n m ⊥请判断ABC ∆的形状.4. 已知向量)cos 2,(sin ),sin ,2(2x x b x a ==,函数b a x f ⋅=)((1)求)(x f 的周期和单调增区间；(2)若在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。

平面向量练习题大全及答案

平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。

通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。

本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。

一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。

解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。

解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。

3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。

解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。

4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。

解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。

二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。

解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。

首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。

然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。

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高中数学教材变式题汇总：平面向量一、平面向量的实际背景与基本概念 1．（人教版P85例2）如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 相等的向量。

变式1：如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OD u u u r 、DC u u u r共线的向量。

变式2：如图2，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA u u u r的模相等的向量以及方向相同的向量。

二、平面向量的线性运算 2.（人教版第96页例4）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，你能用a ，b 表示向量 AC u u u r ，DB u u u r吗？变式1：如图，在五边形ABCDE 中，AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CD =u u u r c ，EA =u u u rd ，试用a ，b ， c ， d 表示向量CE u u u r 和DE u u u r.解：CE BE CB BA AE CB =+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( a + b + d ) ()DE EA AB BC CD =-+++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( d + a + b +c )变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA =u u u r a ，OB =u u u rb 则下列各表述是正确的为（）A ．OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r B ．OC OD AB +=u u u r u u u r u u u r C ．CD =-u u u r a + b D ．BC =-u u u r(a + b )正确答案：选D变式3：已知OA =a ，OB =b, OC =c ,OD =d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（）A. a +b +c +d =0B. a －b +c －d =0D CA BD EC A BD C OA BB AC O FD E图1B AC O FD E 图2C. a +b －c －d =0D. a －b －c +d =0正确答案：选A变式4：在四边形ABCD 中，若12AB CD =-u u u r u u ur ，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形正确答案：选C变式5：已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a －b )垂直的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件正确答案：选C变式6：在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】 ∵AD =CD BC AB ++=－8a －2b =2BC ，∴BC AD //.∴四边形ABCD 为梯形.正确答案：选C变式7：已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（） A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)B.λ(AB +BC ),λ∈(0,22) C.λ(AB －AD ),λ∈(0,1)D.λ(BC AB -),λ∈(0,22)【解析】由向量的运算法则AC =AB +AD ，而点P 在对角线AC 上，所以AP 与AC 同向，且|AP |＜|AC |,∴AP =λ(AB +AD ),λ∈(0,1).正确答案：选 A变式8：已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a r ，CA =b r，AB =c r ,则下列各式： ①EF =21c r －21b r②BE =a r +21b r③CF =－21a r +21b r④AD +BE +CF =0r其中正确的等式的个数为（）A.1B.2C.3D.4正确答案：选B 3．（人教版第98页例6）如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA =u u u r a + b ，OB =u u u ra + 2b ， OC =u u u ra + 3b ，你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？b a变式1：已知OA =u u u r a + 2b ，OB =u u u r 2a + 4b ，OC =u u u r3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．证明：∵AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b ，AC OC OA =-=u u u r u u u r u u u r2a + 4b ，∴ 2AC AB =u u u r u u u r所以，A 、B 、C 三点共线．变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA =u u u r a + b ，(2)OB m =-u u u r a + 2b ，(1)OC n =+u u u ra + 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．解：(3)AB OB OA m =-=-u u u r u u u r u u u ra +b ，AC OC OA n =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =u u u r u u u r ，则 (3)21m kn k -=⎧⎨=⎩ 所以 1(3)2m n -= 即 260m n --=为所求．4．（人教版第102页第13题）已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF HG =u u u r u u u r变式1：已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r .证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r三、平面向量的基本定理及坐标表示2.（人教版第109页例6）已知a = (4，2)，b = (6，y )，且a // b ，求 y ．变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭，- B ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，-C ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭，或1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，- D ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，或1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，-DCE FAAPQBab正确答案：选C变式2：已知a (1,2)=，b (),1x =，当a +2b 与2a －b 共线时，x 值为（）A ．1B ．2C ．13 D ．12正确答案：选D 变式3：已知A (0,3) 、B (2,0) 、C (－1,3) 与2+方向相反的单位向量是( )A ．(0,1)B ．(0,－1)C ． (－1,1)D ．(1,－1) 正确答案：选A变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k 为何实数时， k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？解：因为 k a －b ()21k =--，，a +3b ()73=，．由已知得，()3270k -+= 解得13k =-，此时，k a －b 713⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，a +3b ()73=，，二者方向相反．2.（人教版第110页例8）设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ，． (1) 当点P 是线段12P P 上的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求P 的坐标变式1：已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =u u u r u u u u r，则P 点坐标是（）A ．()8,1-B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 正确答案：选B变式2：如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝ 2133+a b ，OQ u u u r ＝ 1233+a b (用a 、b 表示)四、平面向量的数量积 5．（人教版第116页例3）已知|a |＝6，|b | ＝4且a 与b 的夹角为60︒，求 (a + 2b)·(a 3-b ) ．变式1：已知()()3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r rg 那么a r 与b r 夹角为A 、60︒B 、90︒C 、120︒D 、150︒ 正确答案：选C变式2：已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b ）·a 等于（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 正确答案：选B变式3：在△ABC 中，已知|AB |=4，||=1，S △ABC =3，则AB ·等于（）A.－2B.2C.±2D.±4 正确答案：选C变式4：设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ．另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ，∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ． 2.（人教版第116页例4）已知|a |＝3，|b | ＝4且a 与b 不共线，k 为何实数时，向量a + k b 与a k -b 互相垂直？变式1：已知a ⊥b ，|a |＝2，|b | ＝3，且向量3a + 2b 与k a -b 互相垂直，则k 的值为（）A ．32-B ．32C ．32± D ．1正确答案：选B 变式2：已知|a |＝1，|b | ＝2且（a －b ）⊥a ，则a 与b 夹角的大小为 45º ． 2.（人教版第119页第11题）已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标．变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j 正确答案：选C变式2：已知向量)1,1(=a ，)3,2(-=b ，若k 2-与垂直，则实数k =（）A ．1B ．－1C ．0D ．2 正确答案：选B 变式3：若非零向量,互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A ．-=+B ．||||-=+C ．0))((=-+b a b aD ．0)(2=-b a 正确答案：选B变式4：已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．解：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-． ∴ b ＝（2， 38-）． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 23）．而b －c ＝（2，38-）－（2，23）＝（0，－256），∴ |b －c |＝256．（人教版第118页例5）已知A (1，2)，B (2，3)，C (2-，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明．变式1：O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足()()0OB OC OC OA -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆一定为（）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形正确答案：选C变式2：已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA ＋OB ＋OC ＝0，则O 是△ABC 的（） A ．重心 B ．垂心C ．内心D ．外心正确答案：选A变式3：已知02=+⋅AB BC AB ，则△ABC 一定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形正确答案：选B变式4：四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===y x （1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。