二项分布与poission分布

第五章 常用概率分布 (二)
11
三、二项分布的特征
二项分布的图形：取决于两个参数（n ,π)
π ≠0.5时（0.2， n =6， n =10， n =15， n =20， n =30， n =50 ）
p 0.40 0.38 0.36 0.34 0.32 0.30 0.28 0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 1 2 3 m 4 5 6 p 0.31 0.30 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 1 2 3 4 5 m 6 7 8 9 10
X ~ B(n, )
恒有
K 0
P( X k ) 1
第五章 常用概率分布 (二) 9
n
2013-2-2
二、二项分布的适用条件
每次实验只会出现两种对立的可能结果之一
（结果对立）
每次实验出现某种结果的概率固定不变，即每次实验条 件不变； （概率固定） 每次实验相互独立 （相互独立）
2013-2-2
p 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 m 8 9 10 11 12 13 14 15
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
10
三、二项分布的特征
二项分布的图形：取决于两个参数（n，π)
π=0.5时（ n =6， n =10， n =15， n =20， n =50）
p 0.32 0.31 0.30 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 1 2 3 m 4 5 6
第一节 二项分布
Binomial distribution
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
1
二项分布(binomial distribution)的引入
在随机现象中，最
例如： 药物毒理实验（生存、死亡）
新药疗效（有效、无效）
生化检测（阳性、阴性）、调查疾病情况（患病、未 患病）
描述这类问题，常用离散型随机变量的分布—二项分布
具备这三点， n 次中有x 次摸到黄球（或白球）的概率分
布就是二项分布。
第五章 常用概率分布 (二) 3
2013-2-2
二项分布(binomial distribution)的定义
Bernoulli试验：只有两个互斥结果A和 A 的随机事件。 n次独立、重复的Bernoulli试验需满足下列条件 每次试验只有两个互斥的结果
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
19
四、二项分布的应用
利用二项分布的正态近似性条件，可简化计算
k 0.5 n P( X k ) P( X ) n (1 ) X 0
k
n


k 0.5 n P( X k ) P( X ) 1 n (1 ) X k
p 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 m 8 9 10 11 12 13 14 15
台呼吸机，才能保证90％以上的概率够用？
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
21
四、二项分布的应用
例：现用同类设备300台，各台设备工作是相互独立的， 且发生故障的概率都为0.01，在通常情况下，一台设备 的故障可由一人来处理。问至少需要配备多少工人，才
A1A2 A3 A 4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A 4 A5 A1A2 A3 A 4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5 A1A2 A3 A4 A5
患者5例，2例有效的概率是多少？
的人数X的概率分布为二项分布，记作B（n，π）。
二项分布的概率函数P(X) 公式为
P( X ) C (1 )
x n x
n x
x n
n! 其中C x !(n x)!
2013-2-2 第五章 常用概率分布 (二) 7
二项分布(binomial distribution)的概念
P( A) P( A) 1
记P( A)
独立：指各次试验出现的结果之间是无关的 重复：每次试验的条件不变 P( A)
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
4
二项分布(binomial distribution)的定义
任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种结果，发 生和不发生的概率分别是： 和1－ 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，用x 表示这 n
14
三、二项分布的特征
二项分布的均数和标准差
若x～Ｂ（n，π）
若以p表示阳性率，则p的取值可为0、1/n、2/n、 …、
k/n、…、n/n,
则样本率p的总体均数为 样本率p的总体方差为 样本率p的总体标准差为
p
2 p
(1 )
n
p

(1 )
n
2013-2-2
Βιβλιοθήκη Baidu
p 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 10 20 m 30 40 50
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
12
三、二项分布的特征
二项分布的正态近似性条件
n较大,π不接近0也不接近1时( nπ和n(1-π)均≥5) Ｘ～Ｂ（n，π）近似正态分布 N ( nπ, nπ(1- π) )
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
2
摸球实验
一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球。 摸球游戏，每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概 率是0.6。
这个实验有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是
每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；三是每次 摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。
X k n
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
17
二项分布
根据公式（4-10）至多有2名感染钩虫的概率为
P( X 2)
P( X ) X !(n X )!
X 0 X 0
2
2
n!
X
(1 ) n X
8.47 1010 1.80108 2.11107 2.30 107
C (1 )
2 5 2
2013-2-2
52
第五章 常用概率分布 (二)
6
二项分布(binomial distribution)的概念
如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结 果的发生概率均为（1－）；而且各个观察对象的结果 是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果
第五章 常用概率分布 (二) 18
2013-2-2
四、二项分布的应用
当n相当大时，只要p不太靠近0或1， 特别是当nπ和n(1－π)都大于5 时，二项分布B（n，π）近似正态分布。
k
(a)
k-0.5
k k+0.5
k-0.5
k k+0.5
(b)
(c)
图 二项分布连续性校正和正态近似示意图 （a）概率函数直条图；（b）连续性校正直方图；（c）正态近似图
至少有2名感染钩虫的概率为
P( X 2) P( X )
X 2 150
150 ! 0.13X (1 0.13)150 X X 2 X !(150 X )!
150
1 [ P( X 0) P( X 1)]
1 [8.471010 1.80108 ] 1
x
0.60=1 0.6 0.6×0.6 0.6×0.6×0.6
(1－) n-x 0.4×0.4×0.4 0.4×0.4 0.4 0.40
出现该结果概率 P(x) 0.064 0.288 0.432 0.216
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
8
二项分布
如果随机变量Ｘ服从二项分布，记为：
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
20
四、二项分布的应用
二项分布的实际应用广泛：预测、管理决策、疾病的家 族聚集性等 例：新生儿窒息在非顺产婴儿中会经常出现。据北京几
家医院的记载，1070例住院新生儿中有107例发生新生
儿窒息。抢救新生儿需要长时间使用呼吸机。如果一家 医院每天平均接受10名新生儿，那么该医院需准备多少
可利用正态分布原理解决二项分布的问题
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
13
三、二项分布的特征
二项分布的均数和标准差 若x～Ｂ（n，π） Ｘ的总体均数为：μ= nπ
Ｘ的总体方差为σ2= nπ(1- π)
Ｘ的总体标准差为
n (1 )
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
第五章 常用概率分布 (二)
15
四、二项分布的应用
Ｘ～Ｂ（ｎ，π ），计算恰有k例“阳性”的概率：
P( X k ) C (1 )
K n k
n k
例5-3
如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，
其中有10人感染钩虫的概率有多大？
150 ! P( X 10) 0.1310 0.87140 0.0055 10!(150 10)!
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
16
四、二项分布的应用
Ｘ～Ｂ（ｎ，π）, 计算累积概率 出现“阳性”的次数至多为k次的概率
P( X k ) P( X )
X 0
k
出现“阳性”的次数至少为k次的概率
P( X k ) P( X ) 1 P( X k 1)
p 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 10 m 20
p 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 10 m 20 30
p 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 0 1 2 3 4 5 m 6 7 8 9 10
临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3 例，其中2例有效的概率是多大？ 本例=0.6，随机治疗3例，有效例数为2的概率为
2 C3 0.62 (1 0.6) (32) 0.432
表1 治疗3例可能的有效例数及其概率 有效人数(x) 0 1 2 3 C nx 1 3 3 1
次试验中事件A发生的次数
那么x服从二项分布，记做 x ～B (n，)，也叫Bernolli分 布。
2013-2-2
第五章 常用概率分布 (二)
5
二项分布(binomial distribution)
例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果 不是有效就是无效，每一例有效的 概率为π。某医生用此方法治疗头痛