初中分类讨论专题训练(含详解)
2020年九年级中考数学专题之分类讨论专题复习(含解析)
分类讨论专题复习分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.本讲主要三个内容: 1、 代数中的分类讨论 2、 几何中的分类讨论 3、 数学综合问题中的分类讨论代数中的分类讨论类型一 概念型分类讨论题有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的,如a 的定义分a <0、a =0和a >0三种情况描述的.解决这一类问题,往往需要分类讨论,这一类问题我们称之为概念型分类讨论题.【例1】若,且,,则 .类型二 性质型分类讨论题有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的,这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论.这一类问题我们称之为性质型分类讨论题.【例2】已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A (1,2),B (3,2),C (5,7).若点M (-2,y 1),N (-1,y 2),K (8,y 3)也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上,则下列结论正确的是 ( )A .y 1<y 2<y 3B .y 2<y 1<y 3C .y 3<y 1<y 2D .y 1<y 3<y 2m n n m -=-4m =3n =2()m n +=【例3】已知函数1yx=的图象如下,当1x≥-时,y的取值范围是()A.1y<-B.1y≤-C.1y≤-或0y>D.1y<-或0y≥类型三参数型分类讨论题解答含有字母系数(参数)的题目时,需要根据字母(参数)的不同取值范围进行讨论,这一类分类讨论问题我们称之为参数型分类讨论题.【例4】若,则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是()【例5】对任意实数,点一定不在..()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例6】关于x的方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解),则a的值为( )(A)a=0.(B)a=2.(C)a=1.(D)a=0或a=2.类型四解集型分类讨论题求一元二次不等式及分式不等式的解集时,可以利用有理的乘(除)法法则“两数相乘(除),同号得正,异号得负”来分类,把它们转化为几个一元一次不等式组来求解.我们把这一类问题我们称之为解集型分类讨论题.【例7】先阅读理解下面的例题,再按要求解答:例题:解一元二次不等式.解:∵,∴.由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,有ab<y ax=byx=x2(2)P x x x-,290x->29(3)(3)x x x-=+-(3)(3)0x x+->O-1-1X(1) (2)解不等式组(1),得,解不等式组(2),得, 故的解集为或, 即一元二次不等式的解集为或. 问题:求分式不等式的解集. 类型五 统计型分类讨论题有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时,由于题设的不确定性,往往需要分类讨论才能获得完整的答案.这一类问题我们称之为统计型分类讨论题.【例8】已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3,则这三个数分别为 .类型六 方案设计型分类讨论题在日常生活中,针对同一问题,借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案,这一类问题我们称之为方案设计型分类讨论题.【例9】一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住,某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间,且每个房间都住满,租房方案有 ( )A .4种B .3种C .2种D .1种 类型七 综合型分类讨论题【例10】在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别为(﹣3,0),(3,0),点P 在反比例函数的图象上,若△P AB 为直角三角形,则满足条件的点P 的个数为( )A. 2个B. 4个C. 5个D. 6个.3030x x +>⎧⎨->⎩3030x x +<⎧⎨-<⎩3x >3x <-(3)(3)0x x +->3x >3x <-290x ->3x >3x <-51023x x +<-2y x=几何中的分类讨论类型之一:与等腰三角形有关的分类讨论与角有关的分类讨论:1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________与边有关的分类讨论2.已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________.与高有关的分类讨论3.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°,则此等腰三角形的顶角是________度.4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,这个等腰三角形的顶角是______度.30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地,请你5.为美化环境,计划在某小区内用2求出这个等腰三角形绿地的另两边长.6. 如图建立了一个由小正方形组成的网格(每个小正方形的边长为1).(1)在图1中,画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′;(2)在图2中,点D,E为格点(小正方形的顶点),则线段DE=;若点F也是格点且使得△DEF是等腰三角形,标出所有的点F.综合应用7.在直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(-2,2),试在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,求符合条件的点P的坐标类型之二:与直角三角形有关的分类讨论8. 已知x轴上有两点A(﹣3,0),B(1,0),在直线l:x+y+1=0上取一点C(x,y),使得△ABC为直角三角形.求点C的坐标.9.如图,在平面直角坐标系xoy中,分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4).连接OA,若在直线a上存在点P,使△AOP是等腰三角形.那么所有满足条件的点P的坐标是。
2020中考数学冲刺练习-第06讲 分类讨论性问题--含解析
2020数学中考冲刺专项练习【难点突破】着眼思路,方法点拨, 疑难突破;1.分类讨论是重要的数学思想,也是一种重要的解题策略,很多数学问题很难从整体上去解决,若将其划分为所包含的各个局部问题,就可以逐个予以解决.分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破.2.一般分类讨论的几种情况:(1)由分类定义的概念必须引起的讨论;(2)计算化简法则或定理、原理的限制,必须引起的讨论;(3)相对位置不确定,必须分类讨论;(4)含有多种不定因素,且直接影响完整结论的取得,必须分类讨论.3.分类讨论要根据引发讨论的原因,确定讨论的对象及分类的方法,分类时要做到不遗漏、不重复,善于观察,善于根据事物的特性与规律,把握分类标准,正确分类.应用分类讨论思想解决问题,必须保证分类科学、统一、不重复、不遗漏,并力求最简.运用分类的思想,通过正确的分类,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.分类讨论应当遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清层次应逐级进行,不越级讨论,其中最重要的一条是“不漏不重”.分类讨论的基本方法是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对各个分类逐步进行讨论,分层进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论.【名师原创】原创检测,关注素养,提炼主题;【原创1】阅读下列解方程的过程,并完成(1)、(2)小题的解答.解方程:|x﹣2|=3解:当x﹣2<0,即x<2时,原方程可化为:﹣(x﹣2)=3,解得x=﹣1;当x﹣2≥0,即x≥2时,原方程可化为:x﹣2=3,解得x=5;综上所述,方程|x﹣2|=3的解为x=﹣1或x=5.(1)解方程:|2x+1|=5.(2)解方程:|2x+3|﹣|x﹣1|=1.【原创2】已知点P 为线段CB 上方一点,CA ⊥CB ,PA ⊥PB ,且PA =PB ,PM ⊥BC 于M ,若CA =1,PM =4.求CB 的长是 .此题分以下两种情况:①如图1,过P 作PN ⊥CA 于N ,∵PA ⊥PB ,∴∠APB =90°,∵∠NPM =90°,∴∠NPA =∠BPM , 在△PMB 和△PNA 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠N =∠BMP ∠NPA =∠BPM PA =PB,∴△PMB ≌△PNA ,∴PM =PN =4=CM ,BM =AN =3,∴BC =7; ②如图2,过P 作PN⊥CA 于N ,∵PA⊥PB, ∴∠APB=90°,∵∠NPM=90°, ∴∠NPA=∠BPM,在△PMB 和△PNA 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠N=∠BMP ∠NPA=∠BPM PA =PB ,∴△PMB≌△PNA,∴PM=PN=4=CM,BM=AN=5,可得BC=9.学!科网综上所述,CB=7或9【原创3】如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=10,AB⊥AC,点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动,同时点Q 从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动,当点P到达点C时,点Q随之停止运动,设点P运动的路程为x,y=PQ2,下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是()A. B. C. D.【原创4】如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数 y=kx+b的图像和正比例函数y=3x相交于点A(1,m),且与y轴的交点为C为(0,5),在一次函数y=kx+b图像上存在点B,点B到x轴的的距离为6.(1)求A点的坐标和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积.分析:(1)因为点A的坐标在正比例函数上,利用正比例函数关系求得m的值,又根据一次函数经过点C (0,5),则列二元一次方程组可以解得k、b的值,从而得到一次函数的解析式;(2)点B 到x 轴的的距离为6. 故存有这样的B 点有两种情况,一种在x 轴的上方,一种在x 轴的下方,故连接OB 之后分别得到如图2所示的两种情况,根据三角形面积公式计算即可得到答案.(2)∵一次函数的解析式为y=-2x+5,故与x 轴的交点为(52,0),则OD=52, 第一种情况:当点B 在x 轴上方时,点B 到x 轴的的距离为6.则点B 在第二象限,如图所示,三角形AOB 的面积=三角形OBD 的面积-三角形OAD 的面积, 即AOB S V =15622⨯⨯-15322⨯⨯=154.第二种情况:当点B 在x 轴下方时,点B 到x 轴的的距离为6,则点B 在第四象限,如图所示,三角形AOB 的面积=三角形OBD 的面积+三角形OAD 的面积, 即AOB S V =15622⨯⨯+15322⨯⨯=454.故△AOB 的面积为154或454. 【原创5】如图所示,平面直角坐标中一边长为4的等边△AOB ,抛物线L 经过点A 、O 、B 三点。
分类讨论型试题(含答案)[下学期]
分类讨论型问题探究分类思想是解题的一种常用思想方法,它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性,使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题,学生只有掌握了分类的思想方法,在解题中才不会出现漏解的情况.例1(2005年黑龙江) 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地,腰长为40米,一条笔直的水渠从菜地穿过,这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰,水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计),请你计算这块等腰三角形菜地的面积.分析:本题是无附图的几何试题,在此情况下一般要考虑多种情况的出现,需要对题目进行分情况讨论。
分类思想在中考解题中有着广泛的应用,我们在解题中应仔细分析题意,挖掘题目的题设,结论中可能出现的不同的情况,然后采用分类的思想加以解决.解:(1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1),由勾股定理得AE =25(m )由DE ∥FC 得,FCED AC AE =,得FC =24(m ) S △ABC =12 ×40×24=480(m 2)(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2)同理可得,S △ABC =12×64×24=768(m 2)说明:本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性质等内容。
练习一 1、(2005年资阳市)若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为( )A. 2a b +B. 2a b -C. 2a b +或2a b - D. a+b 或a-b2.(2005年杭州)在右图的几何体中, 上下底面都是平行四边形, 各个侧面都是梯形, 那么图中和下底面平行的直线有( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 4条 (D) 8条3(2005年潍坊市)已知圆A 和圆B 相切,两圆的圆心距为8cm ,圆A 的半径为3cm ,则圆B 的半径是( ).A .5cmB .11cmC .3cmD .5cm 或11cm图1图2A4.(2005年北京) 在△ABC 中,∠B =25°,AD 是BC 边上的高,并且AD BD DC 2 ·,则∠BCA 的度数为____________。
初中数学专题复习分类讨论(含答案)
专题复习二 分类讨论Ⅰ、专题精讲:在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行. Ⅱ、典型例题剖析【例1】(2005,南充,11分)如图3-2-1,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线.直线AB 与双曲线的一个交点为点C ,CD ⊥x 轴于点D ,OD =2OB =4OA =4.求一次函数和反比例函数的解析式. 解:由已知OD =2OB =4OA =4,得A (0,-1),B (-2,0),D (-4,0). 设一次函数解析式为y =kx +b . 点A ,B 在一次函数图象上, ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上,当4-=x 时,1=y ,即C (-4,1). 设反比例函数解析式为my x=. 点C 在反比例函数图象上,则41-=m ,m =-4.故反比例函数解析式是:xy 4-=.点拨:解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
【例2】(2005,武汉实验,12分)如图3-2-2所示,如图,在平面直角坐标系中,点O 1的坐标为(-4,0),以点O 1为圆心,8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点,过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。
以点O 2(13,5)为圆心的圆与x 轴相切于点D. (1)求直线l 的解析式;(2)将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移,同时直线l 沿x 轴向右平移,当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时,直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切,求直线l 平移的速度; (3)将⊙O 2沿x 轴向右平移,在平移的过程中与x 轴相切于点E ,EG 为⊙O 2的直径,过点A 作⊙O 2的切线,切⊙O 2于另一点F ,连结A O 2、FG ,那么FG·A O 2的值是否会发生变化?如果不变,说明理由并求其值;如果变化,求其变化范围。
完整)初一数学分类讨论思想例题分析及练习
完整)初一数学分类讨论思想例题分析及练习分类讨论思想是一种解题方法,在数学中常用于处理条件或结论不唯一确定、有多种可能情况的问题。
在数学研究中,分类讨论思想是一种重要的思想方法之一,常见于中高档次题。
本文将介绍初一一年常见的分类讨论问题,并强调分类讨论中的三个注意事项:确定何时使用分类讨论思想、注意分类标准的统一性、并检验分类结果是否合题意。
在分类讨论的问题中,需要注意以下三个重要事项:首先,要确定何时使用分类讨论思想,通常是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”。
其次,分类讨论需要注意分类标准的统一性,避免出现重复或遗漏的情况。
最后,分类讨论中最容易出错的是“讨论有重漏”和“讨论之后不检验是否合题意”。
举例来说,解绝对值问题通常有三种情况:化简、类似于“解方程”和使用绝对值的几何意义解题。
在解方程|x-1|=2时,需要注意解往往不止一个,需关注绝对值为正数的数有两个。
另外,比较大小的问题可以通过作差法来解决,如比较1+a和1-a的大小,需要分类讨论a的正负情况,得出结论1+a>1-a 或1+a<1-a。
总之,分类讨论思想是数学研究中的一种重要思想方法,能够帮助我们处理复杂的问题,但需要注意分类标准的统一性和结果的合题意。
当a大于0时,1+a大于1-a;当a等于0时,1+a等于1-a;当a小于0时,1+a小于1-a。
已知线段AB长度为6cm,点C在直线AB上,且AC等于2cm,求BC的长度。
因为点C的位置不能确定,所以需要画一个示意图来帮助理解。
根据示意图,有两种情况:当点C 在AB之间时,BC等于AB减去AC,即4cm;当点C在BA 的延长线上时,BC等于AB加上AC,即8cm。
一张桌子有四个角,砍掉一只角后,还剩下4个角、5个角或3个角。
已知△ABC的周长为20cm,AB等于AC,其中一边的长度是另一边的长度的2倍。
要求求出BC的长度。
设AB等于AC等于x。
根据题意,列出x+x+0.5x=20的方程,解得x等于8cm,因此BC等于0.5x,即4cm。
最新通用版九年级中考数学小专题复习分类讨论型问题(解析版)
分类讨论型问题在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行。
正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏。
类型1 代数计算中的分类讨论(数学公式、性质引起的分类讨) 例1 =+=-+a 3x 49x ax 3-x 32无解,则例题分层分析本题既要讨论方程有增根无解,还要讨论去分母后得到的整式方程无解。
对应练习:1.若关于x 的函数y=k 2x +2x -1与x 轴仅有一个公共点,则实数k 的值为 . 2.一次函数y=kx+b ,当-3≤x ≤l 时,对应的y 值为l ≤y ≤9, 则kb 值为( )A .14B .-6C .-4或21D .-6或143.已知抛物线1y =a 2x +bx +c (a ≠0)与x 轴相交于点A ,B (点A ,B 在原点O 两侧),与y 轴相交于点C ,且点A ,C 在一次函数2y =34x +n 的图象上,线段AB 长为16,线段OC 长为8,当1y 随着x 的增大而减小时,求自变量x 的取值范围.类型2 几何图形中的分类讨论例2 如图,已知⊙P 的半径为2,圆心P 在抛物线y =12x 2-1上运动,当⊙P 与x 轴相切时,圆心P 的坐标为 .例题分层分析⊙P 与x 轴可能在x 轴上方相切,也有可能在x 轴下方相切,要分别讨论。
对应练习:1、如图,已知直线l 的表达式是y =43x -4,并且与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点.一个半径为1.5的⊙C ,圆心C 从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动,当⊙C 与直线l 相切时,则该圆的运动时间为( )A .3 s 或6 sB .6 sC .3 sD .6 s 或16 s2、如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y =kx(k >0)分别交反比例函数y =1x 和y =9x 在第一象限的图象于点A ,B ,过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,交y =1x 的图象于点C ,连结AC.若△ABC 是等腰三角形,则k 的值是________.类型3 动点问题中的分类讨论例3 如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别是(-3,0),(0,6),动点P 从点O 出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C 从点B 出发,沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动.以CP ,CO 为邻边构造□PCOD ,在线段OP 延长线上取点E ,使PE =AO ,设点P 运动的时间为t 秒.(1)当点C 运动到线段OB 的中点时,求t 的值及点E 的坐标; (2)当点C 在线段OB 上时,求证:四边形ADEC 为平行四边形;(3)在线段PE 上取点F ,使PF =1,过点F 作MN ⊥PE ,截取FM =2,FN =1,且点M ,N 分别在第一、四象限,在运动过程中,设□PCOD 的面积为S.①当点M ,N 中,有一点落在四边形ADEC 的边上时,求出所有满足条件的t 的值; ②若点M ,N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时,直接写出S 的取值范围.例题分层分析对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解.(1)当点C 在BO 上时,第一种情况,当点M 在CE 边上时,由△EMF ∽△ECO 求解,第二种情况,当点N 在DE 边上时,由△EFN ∽△EPD 求解;当点C 在BO 的延长线上时,第一种情况,当点M 在DE 边上时,由EMF ∽△EDP 求解,第二种情况,当点N 在CE 边上时,由△EFN ∽△EOC 求解;(2)当1≤t <94时和当92<t≤5时,分别求出S 的取值范围.这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略. 对应练习:如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 、B 的坐标分别为(8,0)、(0,6).动点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发,分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动,运动时间为t (秒)(0<t≤5).以P 为圆心,PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ,连接CD 、QC . (1)求当t 为何值时,点Q 与点D 重合?(2)设△QCD 的面积为S ,试求S 与t 之间的函数关系式,并求S 的最大值; (3)若⊙P 与线段QC 只有一个交点,请直接写出t 的取值范围.课后作业:1.若等腰三角形有两条边的长度为3和1,则此等腰三角形的周长为( ) A .5 B .7 C .5或7D .62.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则腰长为___________,底边长为_____________.3.如图,O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,A(10,0),C(0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,则P 点的坐标为 .4.已知3+=kx y 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24,求其函数解析式。
分类讨论问题(经典题型)
1 / 2分类讨论问题初中数学中的分类讨论问题是近年来中考命题的热点内容之一,要用分类讨论法解答的数学题目,往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性,既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力,分类讨论问题充满了数学辨证思想,它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。
第一部分例题解析1、代数部分例1:化简:|x-1|+|x-2|例2、代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个2、函数部分例题1:一次函数y kx b x =+-≤≤,当31时,对应的y 值为19≤≤x ,则kb 的值是( )。
A. 14B. -6C. -4或21D. -6或14例题2:已知一次函数2+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,试在x 轴上找一点P ,使△PAB 为等腰三角形。
3、几何部分1.若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A .50°B .80°C .65°或50°D .50°或80°2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ,则它的周长为( )A .9cmB .12cmC .15cmD .12cm 或15cm4、综合类:例1:正方形ABCD 的边长为10cm ,一动点P 从点A 出发,以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。
如图,回到A 点停止,求点P 运动t 秒时,P ,D 两点间的距离。
2 / 2试题精练1、已知直线AB 上一点C ,且有CA=3AB ,则线段CA 与线段CB 之比为2、在同一平面上,∠AOB=70°,∠BOC=30°,射线OM 平分∠AOB ,ON 平分∠BOC ,求∠MON 的大小。
3、在△ABC 中,∠B =25°,AD 是BC 上的高,并且AD BD DC 2=·,则∠BCA 的度数为_____________。
中考数学专题:例+练——第8课时 分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1.(沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为()A.50°B.80°C.65°或50° D.50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为()A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm或15cm3. (江西省)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处,(1)求证:B′E=BF;(2)设AE=a,AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下,有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.4.(湖北罗田)在Rt △ABC 中,∠C =900,AC =3,BC =4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点,则r 的取值范围是___ __.5.(上海市)在△ABC 中,AB=AC=5,3cos 5B .如果圆O 的半径为10,且经过点B 、C ,那么线段AO 的长等于 .6.(•威海市)如图,点A ,B 在直线MN 上,AB =11厘米,⊙A ,⊙B 的半径均为1厘米.⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B 的半径也不断增大,其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为r =1+t (t≥0).(1)试写出点A ,B 之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式; (2)问点A 出发后多少秒两圆相切?类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.(上海市)已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;(3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.8.(福州市)如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.(1)直接写出点E、F的坐标;(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴...于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角,所以要分类讨论:(1)当50°角是顶角时,则(180°-50°)÷2=65°,所以另两角是65°、65°;(2)当50°角是底角时,则180°-50°×2=80°,所以顶角为80°。
初中数学分类讨论专题练习(学生) (1)
分类讨论有一类数学题,我们在解答时,需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查.这一类试题,我们称之为分类讨论题.解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则,分类时要考虑研究对象的相同点和差异点,将它划分为不同种类加以分析和研究.分类时必须遵循以下原则:(1) 分类中的每个分支是相互独立的,不能有重复情况出现;(2) 分类时标准要统一,不能有遗漏情况出现;(3) 分类讨论应逐级进行.解决分类讨论题的基本方法和步骤是:(1) 确定研究对象的全体范围;(2) 确定分类标准,合理地进行分类;(3) 逐级对所分类别进行讨论,获取阶段性结果;(4) 综合各级结果,得出最终结论.分类讨论的类型:1、 概念分类讨论① a ≥0 , |a |=a⑴ 绝对值② a <0 , |a |=-a【例1】(2009·孝感)若m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += .⑵ 等腰三角形的底角和顶角 ⑶ 等腰三角形的底边和腰 ⑷ 直角三角形的直角边和斜边 ⑸ 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧(①优弧;②劣弧)⑹ 点与弦的位置关系2、 性质型分类有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的,这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论【例2】(2008·威海)已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A (1,2),B (3,2),C (5,7).若点M (-2,y 1),N (-1,y 2),K (8,y 3)也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上,则下列结论正确的是 ( )A .y 1<y 2<y 3B .y 2<y 1<y 3C .y 3<y 1<y 2D .y 1<y 3<y 2【例3】(2008·株州)已知函数1y x=的图象如下,当1x ≥-时,y 的取值范围是( )A .1y <-B .1y ≤-C .1y ≤- 或O -1-1X0y >D .1y <-或0y ≥3、 参数型分类讨论解答含有字母系数(参数)的题目时,需要根据字母(参数)的不同取值范围进行讨论【例4】(2009·凉山州)若0ab <,则正比例函数y ax =与反比例函数b y x=在同一坐标系中的大致图象可能是( )【例5】(2008·贵阳)对任意实数x ,点2(2)P x x x -,一定不在..( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【例6】(2009·荆门)关于x 的方程ax 2-(a +2)x +2=0只有一解(相同解算一解),则a 的值为 ( )(A)a =0. (B)a =2. (C)a =1. (D)a =0或a =2.4、 解集型分类讨论求一元二次不等式及分式不等式的解集时,可以利用有理的乘(除)法法则“两数相乘(除),同号得正,异号得负”来分类,把它们转化为几个一元一次不等式组来求解【例7】(2009·深圳)先阅读理解下面的例题,再按要求解答:例题:解一元二次不等式290x ->.解:∵29(3)(3)x x x -=+-,∴(3)(3)0x x +->.由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,有(1)3030x x +>⎧⎨->⎩ (2)3030x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组(1),得3x >,解不等式组(2),得3x <-,故(3)(3)0x x +->的解集为3x >或3x <-,即一元二次不等式290x ->的解集为3x >或3x <-.问题:求分式不等式51023x x +<-的解集. 5、 统计型分类讨论有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时,由于题设的不确定性,往往需要分类讨论才能获得完整的答案.【例8】(2009·牡丹江)已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3,则这三个数分别为 .6、 方案设计型分类讨论在日常生活中,针对同一问题,借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案【例9】(2009·绥化)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住,某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间,且每个房间都住满,租房方案有 ( ) y x O yx Oy x O y x O B .。
浙教版中考数学专题复习——分类讨论题
分类讨论题类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1.(·沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为()A.50° B.80° C.65°或50°D.50°或80°【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角,所以要分类讨论:(1)当50°角是顶角时,则(180°-50°)÷2=65°,所以另两角是65°、65°;(2)当50°角是底角时,则180°-50°×2=80°,所以顶角为80°。
故顶角可能是50°或80°.答案:D .同步测试:1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为()A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm或15cm2. (·江西省)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处,(1)求证:B′E=BF;(2)设AE=a,AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下,有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.例2.(•湖北罗田)在Rt△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4.若以C点为圆心, r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是___ __.【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切,此时r=2.4;2、圆与线段相交,点A 在圆的内部,点B在圆的外部或在圆上,此时3<r≤4。
2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析
2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.1:分式方程无解的分类讨论问题【例题】(2017贵州)分式方程=1﹣的根为()A.﹣1或3 B.﹣1 C.3 D.1或﹣3【考点】B3:解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:3=x2+x﹣3x,解得:x=﹣1或x=3,经检验x=﹣1是增根,分式方程的根为x=3,故选C【同步训练】(2017山东聊城)如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根,那么m的值为()A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣4【考点】B5:分式方程的增根.【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x﹣2=0,确定可能的增根;然后代入化为整式方程的方程求解,即可得到正确的答案.【解答】解:﹣=1,去分母,方程两边同时乘以x﹣2,得:m+2x=x﹣2,由分母可知,分式方程的增根可能是2,当x=2时,m+4=2﹣2,m=﹣4,故选D.2:“一元二次”方程系数或者函数最高次项系数的分类讨论问题【例题】(2017宁夏)关于x的方程(a﹣1)x2+3x﹣2=0有实数根,则a的取值范围是()A. B. C.且a≠1 D.且a≠1【分析】根据方程的形式可以看出最高次是2次,当a﹣1≠0时,定义和判别式的意义得到a ≠1且△=32﹣4(a﹣1)(﹣2)≥0,然后求出两个不等式的公共部分即可.当a=1时,则方程为一次方程,故有a=1。
【解答】解:根据题意得a≠1且△=32﹣4(a﹣1)(﹣2)≥0,解得a≥﹣.故选B.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题【例题】(2017浙江义乌)如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是x=0或x=4﹣4或4<x<4.【考点】KI:等腰三角形的判定.【分析】分三种情况讨论:先确定特殊位置时成立的x值,①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;②如图2,构建腰长为4的等腰直角△OMC,和半径为4的⊙M,发现M在点D的位置时,满足条件;③如图3,根据等腰三角形三种情况的画法:分别以M、N为圆心,以MN为半径画弧,与OB的交点就是满足条件的点P,再以MN为底边的等腰三角形,通过画图发现,无论x取何值,以MN为底边的等腰三角形都存在一个,所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可.【解答】解:分三种情况:①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;②如图2,以M为圆心,以4为半径画圆,当⊙M与OB相切时,设切点为C,⊙M与OA交于D,∴MC⊥OB,∵∠AOB=45°,∴△MCO是等腰直角三角形,∴MC=OC=4,∴OM=4,当M与D重合时,即x=OM﹣DM=4﹣4时,同理可知:点P恰好有三个;③如图3,取OM=4,以M为圆心,以OM为半径画圆,则⊙M与OB除了O外只有一个交点,此时x=4,即以∠PMN为顶角,MN为腰,符合条件的点P 有一个,以N圆心,以MN为半径画圆,与直线OB相离,说明此时以∠PNM为顶角,以MN为腰,符合条件的点P不存在,还有一个是以NM为底边的符合条件的点P;点M沿OA运动,到M1时,发现⊙M1与直线OB有一个交点;∴当4<x<4时,圆M在移动过程中,则会与OB除了O外有两个交点,满足点P恰好有三个;综上所述,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是:x=0或x=4﹣4或4.故答案为:x=0或x=4﹣4或4.【同步训练】(2017齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A=46°,则∠ACB的度数为113°或92°.【考点】S7:相似三角形的性质;KH:等腰三角形的性质.【分析】由△ACD是等腰三角形,∠ADC>∠BCD,推出∠ADC>∠A,即AC≠CD,分两种情形讨论①当AC=AD时,②当DA=DC时,分别求解即可.【解答】解:∵△BCD∽△BAC,∴∠BCD=∠A=46°,∵△ACD是等腰三角形,∵∠ADC>∠BCD,∴∠ADC>∠A,即AC≠CD,①当AC=AD时,∠ACD=∠ADC==67°,∴∠ACB=67°+46°=113°,②当DA=DC时,∠ACD=∠A=46°,∴∠ACB=46°+46°=92°,故答案为113°或92°.4:动点问题的分类分类讨论问题4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论;【例题】(2017.江苏宿迁)如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=,点E在边CD上移动,连接AE,将多边形ABCE沿直线AE翻折,得到多边形AB′C′E,点B、C的对应点分别为点B′、C′.(1)当B′C′恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;(2)若B′C′分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°(如图2),求△DFG的面积;(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C′运动的路径长.【考点】LO:四边形综合题.【分析】(1)如图1中,设CE=EC′=x,则DE=1﹣x,由△ADB′′∽△DEC,可得=,列出方程即可解决问题;(2)如图2中,首先证明△ADB′,△DFG都是等腰直角三角形,求出DF即可解决问题;(3)如图3中,点C的运动路径的长为的长,求出圆心角、半径即可解决问题.【解答】解:(1)如图1中,设CE=EC′=x,则DE=1﹣x,∵∠ADB′+∠EDC′=90°,∠B′AD+∠ADB′=90°,∴∠B′AD=∠EDC′,∵∠B′=∠C′=90°,AB′=AB=1,AD=,∴DB′==,∴△ADB′′∽△DEC,∴=,∴=,∴x=﹣2.∴CE=﹣2.(2)如图2中,∵∠BAD=∠B′=∠D=90°,∠DAE=22.5°,∴∠EAB=∠EAB′=67.5°,∴∠B′AF=∠B′FA=45°,∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°,∴DF=FG ,在Rt △AB′F 中,AB′=FB′=1,∴AF=AB′=,∴DF=DG=﹣,∴S △DFG =(﹣)2=﹣.(3)如图3中,点C 的运动路径的长为的长,在Rt △ADC 中,∵tan ∠DAC==,∴∠DAC=30°,AC=2CD=2,∵∠C′AD=∠DAC=30°,∴∠CAC ′=60°,∴的长==π.【同步训练】如图是一张长方形纸片ABCD ,已知AB=8,AD=7,E 为AB 上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP ),使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上,则等腰三角形AEP 的底边长是 .【考点】矩形的性质;等腰三角形的性质;勾股定理.【分析】分情况讨论:①当AP=AE=5时,则△AEP是等腰直角三角形,得出底边PE=AE=5即可;②当PE=AE=5时,求出BE,由勾股定理求出PB,再由勾股定理求出等边AP即可;③当PA=PE时,底边AE=5;即可得出结论.【解答】解:如图所示:①当AP=AE=5时,∵∠BAD=90°,∴△AEP是等腰直角三角形,∴底边PE=AE=5;②当PE=AE=5时,∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3,∠B=90°,∴PB==4,∴底边AP===4;③当PA=PE时,底边AE=5;综上所述:等腰三角形AEP的对边长为5或4或5;故答案为:5或4或5.4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。
中考数学专题复习:分类讨论题
中考数学专题复习:分类讨论题中考数学专题复:分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。
这些问题中,等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。
例如,对于一个等腰三角形,如果其中一个角度数为50°,则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。
如果这个角是顶角,则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数;如果这个角是底角,则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。
因此,顶角可能是50°或80°。
同样地,在解决三角形高的问题时,也需要分类讨论。
例如,如果一个三角形的底边和斜边长度已知,需要求解这个三角形的高的长度,则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。
如果高在三角形内部,则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度;如果高在三角形外部,则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。
圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。
由于圆是轴对称图形和中心对称图形,因此在解决圆的问题时,需要注意分类讨论,以避免漏解。
例如,对于一个直角三角形,如果以直角为圆心画圆,则这个圆与斜边只有一个公共点。
这个问题可以分类讨论,分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况,从而得到圆的半径的取值范围。
函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。
在解决这些问题时,需要注意分类讨论,以避免遗漏解或得到错误的解。
例如,对于一个函数方程,如果该方程在某个区间内有多个解,则需要分类讨论这些解的性质,例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。
从而可以得到方程的解的取值范围。
总之,分类讨论是解决数学问题的重要方法之一,尤其适用于复杂的问题。
在进行分类讨论时,需要认真分析问题,将问题分成若干个互不重叠的情况,并对每种情况进行单独的讨论和求解。
本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解,同时也需要注意特殊点的情况。
最新中考数学专题第8课时-分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1.(沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为()A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为()A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm或15cm3. (江西省)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处,(1)求证:B′E=BF;(2)设AE=a,AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下,有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.4.(湖北罗田)在Rt △ABC 中,∠C =900,AC =3,BC =4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点,则r 的取值范围是___ __.5.(上海市)在△ABC 中,AB=AC=5,3cos 5B.如果圆O 点B 、C ,那么线段AO 的长等于 .6.(•威海市)如图,点A ,B 在直线MN 上,AB =11厘米,⊙A ,⊙B 的半径均为1厘米.⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B 的半径也不断增大,其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为r =1+t (t≥0).(1)试写出点A ,B 之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式;(2)问点A 出发后多少秒两圆相切?类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.(上海市)已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;(3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.8.(福州市)如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.(1)直接写出点E、F的坐标;(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴...于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角,所以要分类讨论:(1)当50°角是顶角时,则(180°-50°)÷2=65°,所以另两角是65°、65°;(2)当50°角是底角时,则180°-50°×2=80°,所以顶角为80°。
专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间(含参)(解析版)
专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间(含参)1.设函数21()sin cos 2f x x x x ax =+-. (1)当12a =时,讨论()f x 在(,)ππ-内的单调性; (2)当13a >时,证明:()f x 有且仅有两个零点.【答案】(1)在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭或,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在,3ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增;(2)证明见解析.【分析】(1)先求导,根据导数和函数的单调性,结合三角函数的性质即可求出单调区间;(2)先判断出函数为偶函数,则问题转化为()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点,再利用导数和函数单调性的关系,以及函数零点存在定理即可求出. 【详解】 (1)当12a =时,21()sin cos 4f x x x x x =+-, 11()sin cos sin (cos )22f x x x x x x x x ∴'=+--=-,令()0f x '=,解得0x =或3x π=,3x π=-,当()0f x '<时,解得03x π-<<或3x ππ<<,当()0f x '>时,解得3x ππ-<<-或03x π<<,()f x ∴在(3π-,0)或(3π,)π上单调递减,在(,)3ππ--或(0,)3π上单调递增;(2)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=+-=,()f x ∴为偶函数,(0)10f =>,()f x ∴有且仅有两个零点等价于()f x 在(0,)+∞有且只有一个零点,()(cos )f x x x a '=-,当1a 时,cos 0x a -,()0f x '恒成立,()f x ∴在(0,)+∞上单调递减,2211()sin cos 1022f a a ππππππ=+-=--<,(0)?()0f f π∴<,()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点,当113a <<时,令()(cos )0f x x x a '=-=,即cos x a =, 可知存在唯一(0,)2πθ∈,使得cos a θ=,当(0,)x θ∈或(22,22)x k k ππθππθ∈+-++时,k ∈N ,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 当(2,22)x k k πθππθ∈++-时,k ∈N ,()0f x '<,函数()f x 单调递减,由tan θ=113a <<,可得0tan θ<<当k ∈N ,22tan 2(k ππθθπ++->-,2221113(22tan )10(22)[(22tan )1][(22tan )1]022626k f k a k k a ππθθππθππθθππθθ++--∴++=-++--+<-++--+=-<,()f x ∴在(0,)+∞上有且只有一个零点,综上所述,当13a >时,()f x 有且仅有两个零点. 【点睛】方法点睛:1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f (x )含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论;若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.2、用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决. 2.已知函数2()2ln 2(1)f x mx x m x =-+-. (1)讨论函数()f x 的单调区间;(2)当1x ≠时,求证:2286ln 3521x x x x x x---<-. 【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)先求导,分为0m ≥,1m =-,1m <-和10m -<<四种情形进行分类讨论,根据导数和函数单调性的关系即可求出;(2)等价于3226(1ln )23501x x x x x -+--<-,令()()3261ln 235h x x x x x =-+--,利用当2m =时的结论,根据导数判断()h x 与0的关系,即可证明. 【详解】解:()f x 的定义域为(0,)+∞,则22(1)1(1)(1)()22(1)22mx m x mx x f x mx m x x x+--+-'=-+-=⋅=⋅, 当0m 时,10mx +>,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞,当0m <时,令()0f x '=,解得1x =或1x m=-, 当1m =-时,2(1)()2?0x f x x-'=-恒成立,∴函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞,无单调递增区间,当1m <-时,101m<-<, 当1(0,)x m ∈-或(1,)+∞时,()0f x '<,当1(x m∈-,1)时,()0f x '>, ∴函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -或(1,)+∞,单调递增区间为1(m-,1),当10m -<<,11m ->,当(0,1)x ∈或1(m -,)+∞时,()0f x '<,当1(1,)x m∈-时,()0f x '>,∴函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -,)+∞,单调递增区间为1(1,)m.综上所述:当0m 时,函数()f x 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞,当1m =-时,函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞,无单调递增区间,当1m <-时,函数()f x 的单调递减区间为1(0,)m -,(1,)+∞,单调递增区间为1(m-,1), 当10m -<<时,函数()f x 的单调递减区间为(0,1)或1(m -,)+∞,单调递增区间为1(1,)m.(2) 证明:要证2286ln 3521x x x x x x---<-,即证3226(1ln )23501x x x x x -+--<-, 令32()6(1ln )235h x x x x x =-+--,则22()66ln 6663(22ln 2)h x x x x x x x '=--+-=--, 由(1),当2m =时,2()22ln 2f x x x x =--,可得()f x 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞, 即()h x '的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞,()h x h ∴''(1)0=, ()h x ∴在(0,)+∞上单调递增,h (1)6(1ln1)2350=-+--=,∴当01x <<时,()0h x <,210x ->,当1x >时,()0h x >,210x -<,∴3226(1)23501x lnx x x x-+--<-, 即22863521x xlnx x x x ---<-.【点睛】含有参数的函数单调性讨论常见的形式: (1)对二次项系数的符号进行讨论; (2)导函数是否有零点进行讨论; (3)导函数中零点的大小进行讨论;(4)导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等. 3.已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈. (1)若1a =,求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值;(2)讨论函数()f x 的单调性.【答案】(1)极小值为0,无极大值;(2)答案见解析. 【分析】(1)当1a =时,求得()1x f x x-=,利用导数分析函数()f x 的单调性,由此可求得函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值; (2)求得()()10ax f x x x-'=>,分0a ≤和0a >两种情况讨论,分析导数的符号变化,由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间.【详解】(1)当1a =时,()1ln f x x x =--,所以,1110x fx x x x,列表; 所以,()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的有极小值()10f =,无极大值; (2)函数()f x 的定义域为()0,∞+,()11ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时,10ax ,从而()0f x '<,故函数()f x 在()0,∞+上单调递减;当0a >时,若10x a<<,则10ax ,从而()0f x '<; 若1x a>,则10ax ->,从而()0f x '>. 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述,当0a ≤时,函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+,无单调递增区间; 当0a >时,函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛:讨论含参数函数的单调性,通常以下几个方面:(1)求导后看函数的最高次项系数是否为0,需分类讨论;(2)若最高次项系数不为0,且最高次项为一次,一般为一次函数,求出导数方程的根; (3)对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论,结合导数的符号变化可得出函数的单调性. 4.已知函数()21()xm x xf x e++=.(1)试讨论()f x 的单调性;(2)若0m ≤,证明:()ln ef x x x +≤. 【答案】(1)答案不唯一见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)对函数进行求导得(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-,再对m 分三种情况讨论,即0m =,0m >,0m <三种情况;(2)要证明()ln ef x x x +≤,只需证明 ()ln ef x x x ≤-,而ln 1x x -≥,因此只需证明1()f x e≤,再利用函数的单调性,即可得证; 【详解】解析:(1)因为(1)(1)()xx mx m f x e--'+=-, ①当0m =时,1()x x f x e-=-',当1x >时,()0f x '<,当1x <时,()0f x '>,所以()f x 在(,1)-∞上单调递增,在(1,)+∞上单调递减;①当0m >时,1(1)11(),11x m x x m f x e m'⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=--<, 当11,1x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0f x '>,当1,1(1,)x m ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,所以()f x 在11,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增,在1,1,(1,)m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递减;①当0m <时,111m ->,当11,1x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,当1(,1)1,x m ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,所以()f x 在11,1m ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减,在1(,1),1,m ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增. (2)要证明()ln ef x x x +≤,只需证明 ()ln ef x x x ≤-, 而ln 1x x -≥,因此只需证明1()f x e≤,当0m =时,()x xf x e =,由(1)知()f x 在(,1)-∞上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,所以max1()(1)f x f e==; 当0m <时,()211()xx m x xx f x e e e++=<≤,故()ln ef x x x +≤. 【点睛】利用导数研究含参函数的单调区间,要注意先求导后,再解导数不等式. 5.已知函数()e x f x ax =,a 为非零常数. (1)求()f x 单调递减区间;(2)讨论方程()()21f x x =+的根的个数.【答案】(1)当0a >时,()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-,当0a <时,()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞;(2)当0a >时,原方程有且仅有一个解;当0a <时,原方程有两个解. 【分析】(1)求导,对a 分类讨论,利用()0f x '<可解得结果;(2)转化为函数2(1)()exx g x x +=与y a =的图象的交点的个数,利用导数可求得结果. 【详解】(1)()(1)e x x xf x ae axe a x '=+=+,由()0f x '=得1x =-,①若0a >时,由()0f x '<得1x <-,所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-;①若0a <时,由()0f x '<得1x >-,所以()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.综上所述,当0a >时,()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-;当0a <时,()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞.(2)因为方程2()(1)f x x =+等价于2(1)e x x a x +=,令2(1)()exx g x x +=, 所以方程()()21f x x =+的根的个数等于函数2(1)()exx g x x +=与y a=的图象的交点的个数, 因为()2222(1)12(1)(1)()()()ex x x x x x x x xe x e xe g x xe x +++-++=-'=, 由()0g x '=,得1x =-,当(,1)x ∈-∞-,时,()0g x '>,()g x 在(,1)-∞-上单调递增; 当()()1,00,x ∈-+∞时,()0g x '<,所以()g x 在()1,0-,()0,∞+上单调递减,又()10g -=,所以当(,1)x ∈-∞-时,()(),0g x ∈-∞; 当()1,0x ∈-时,()(),0g x ∈-∞; 当()0,x ∈+∞时,()()0,g x ∈+∞.所以,当0a >时,原方程有且仅有一个解; 当0a <时,原方程有两个解. 【点睛】方法点睛:讨论函数零点(或方程根)的个数的常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,可得方程根的个数;(2)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解 6.已知函数()21ln 2f x ax x x b =-⋅+,()()g x f x '=. (1)判断函数()y g x =的单调性;(3)证明:1233ln 2341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭【答案】(1)答案见解析;(2)存在,2a e =;(3)证明见解析. 【分析】(1)先求()()g x f x '=,再对()y g x =求导,对参数a 进行讨论确定导数的正负,即得函数单调性; (2)对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负,即得函数()y g x =单调性,再根据单调性确定最值等于2,解得符合条件的参数值即得结果;(3)先构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭,证明其小于零,即得1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+,再将1nx n =+代入求和即证结论. 【详解】 解:(1)由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+,知()()ln 1g x f x ax x '==--,0x >,故()11ax g x a x x-'=-=,0x >.当0a ≤时,()0g x '<,即()g x 在()0,∞+为减函数, 当0a >时,在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<,所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数,在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>,所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数. (2)当0a ≤时,()g x 在(]0,e 为减函数,所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3. 当10a e <≤时,1e a≥,()g x 在(]0,e 为减函数,所以()()min 1ln 2g x g e ea e ==--=,所以4a e=,不合题意,舍去 当1a e >时10e a <<,在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<,函数()g x 单调递减;在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>,函数()g x 单调递增,由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--=⎪⎝⎭,所以ln 2a =.解得2a e = 故2a e =时,使函数()g x 的最小值为2. (3)构造函数11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭,则119()3033x h x x x -'=-=>, 故1()ln 313h x x x =-+在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减,111111()ln 31ln 20232232h x h ⎛⎫≤=-⨯+=--< ⎪⎝⎭,故1ln 3103x x -+<, 即1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时13ln 13x x >+,而11,1,1112n n N x n n *⎡⎫∈==-∈⎪⎢++⎣⎭,故13ln 1311n n n n >++⋅+,即[]ln(13ln 131)1n n n n ->++⋅+,将n *∈N 依次代入并相加得 []()1ln1ln 12313ln 2ln 3...ln(1)ln 1231ln 4323n n n n n n n ⎛⎫++++>-+-++-+-+ ⎭+⎪+⎝=,即12332341n n n ⎛⎫++++>- ⎪+⎝⎭【点睛】本题解题关键在于观察证明式12332341n n n ⎛⎫++++>-⎪+⎝⎭11()ln 31,,132h x x x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭,以证明13ln 13x x >+,将1n x n =+代入求和即突破难点.用导数解决与正整数n 有关的不等式证明问题,属于难点,突破点就在于观察构造合适的函数,通过导数证明不等式,再将关于n 的式子代入即可. 7.已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈,()()g x f x '=. (1)判断函数()y g x =的单调性;【答案】(1)答案见解析;(2)存在,2a e =. 【分析】(1)先求()()g x f x '=,再对()y g x =求导,对参数a 进行讨论确定导数的正负,即得函数单调性; (2)对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负,即得函数()y g x =单调性,再根据单调性确定最值等于2,解得符合条件的参数值即得结果; 【详解】 (1)由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+,知()()ln 1g x f x ax x '==--,0x >,故 ()11ax g x a x x-'=-=. 当0a ≤时,()0g x '<,即()g x 在()0,∞+为减函数, 当0a >时,在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<,所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数,在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>,所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数. (2)当0a ≤时,()g x 在(]0,e 为减函数,所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3. 当10a e <≤时,1e a≥,()g x 在(]0,e 为减函数,所以 ()()min1ln 2g x g e ea e ==--=,所以4a e=,不合题意,舍去.当1a e >时,10e a <<,在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<,函数()g x 单调递减;在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>,函数()g x 单调递增,由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭, 所以ln 2a =.解得2a e =,故2a e =时,使函数()g x 的最小值为2. 【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤:①写定义域,对函数()f x 求导()'f x ;①在定义域内,讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<①对应得到增区间和减区间及极值点,进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.8.已知函数()()()ln 1f x x ax a =+-∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性.(2)若()()2112g x x x a f x =--+-,设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点,若32a ≥,求证:()()12152ln 28x g x g -≥-. 【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)先求得()f x 的定义域和导函数()'fx ,对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论,由此求得()f x 的单调区间.(2)求得()g x 的表达式,求得()'g x ,利用根与系数关系得到12,x x 的关系式以及1x 的取值范围,将()()12g x g x -表示为只含1x 的形式,利用构造函数法求得()()12g x g x -的最小值,从而证得不等式成立. 【详解】(1)由题意得,函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,()11f x a x '=-+. 当0a ≤时,()101f x a x '=->+, ∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增.当0a >时,令()0f x '=,得11x a=-+.若11,1x a ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增;若11,x a ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭,则()0f x '<,此时函数()f x 单调递减.综上,当0a ≤时,函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增;当0a >时,函数()f x 在11,1a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,a ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)()()21ln 12g x x x a x =+-+,0x >,()()11g x x a x '∴=+-+()211x a x x-++=.由()0g x '=得()2110x a x -++=,()240321a a ∆=+⇒-≥>121x x a ∴+=+,121=x x ,211x x ∴=. 32a ≥,512a +≥,12x x < 111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩,解得1102x <≤.()()12x g x g ∴-()()()221121221ln12x x x a x x x =+--+-21121112ln 2x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 设()221112ln 022x h x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 则()()22331210x h x x x x x-'=--=-<, ∴函数()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.∴当112x =时,()min 1152ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.32a ∴≥时,()()12152ln 28x g x g -≥-成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题,求导后要根据导函数的形式进行分类讨论. 9.已知函数()2xf x e ae x =-.(1)讨论()f x 的单调区间;(2)当0a <时,证明:()2ln f x e x >.【答案】(1)当0a ≤时,()f x 的增区间为(),-∞+∞,无减区间;当0a >时,()f x 的减区间为(),2ln a -∞+,增区间()2ln ,a ++∞,(2)证明见解析 【分析】(1)先求出函数的定义域,再求导数,分0a ≤和0a >,分别由导数大于零和小于零,可求得函数的单调区间;(2)要证明22ln x ae x e x e ->,只要证2ln 0x e e x ->,构造函数()2ln xg x e e x =-,然后利用导数求出此函数的最小值即可,或要证明22ln xae x e x e ->,只要证22ln x e x xe x ae ->,构造函数()()20x g x ae x x e =->,然后用导数求其最小值,构造函数()()2ln 0x h x e x x=>,然后利用导数求其最大值,或要证明22ln x ae x e x e ->.由于当0a <时,20ae x <,只要证2ln 0x e e x ->,构造函数()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--,令()()220x h x e e x e x =-+>,()222ln m x e x e e x =--,再利用导数求其最小值即可【详解】(1)解:()f x 的定义域为(),-∞+∞,()2x f x e ae '=-.当0a ≤时,0f x ,则()f x 的增区间为(),-∞+∞,无减区间. 当0a >时,由0fx,得2ln x a =+.当(),2ln x a ∈-∞+时,0fx;当()2ln ,x a ∈++∞时,0fx,所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+,增区间()2ln ,a ++∞. (2)证明:法一:要证明22ln x ae x e x e ->. 由于当0a <时,20ae x <,只要证2ln 0x e e x ->.设()2ln xg x e e x =-,则()2xg x e e x '=-,()220xg x e xe ''=+>,所以()g x '在0,上是增函数.又()210g e e '=-<,()2222022e g ee '=-=>,所以存在()01,2x ∈,使得()02000x g e x e x '=-=,即020x e e x =,00ln 2x x =-. 所以当()00,x x ∈时,0g x;当()0,x x ∈+∞时,0g x,因此()g x 在()00,x 上是减函数,在()0,x +∞上是增函数, 所以()g x 有极小值,且极小值为()()022222222000000ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=. 因此()0gx >,即2ln 0x e x -->.综上,当0a <时,()2ln f x e x >.法二:要证明22ln xae x e x e ->,只要证22ln x e x xe x ae ->. 设()()20x g x ae x x e =->,则()()21x x e g x x-'=. 当01x <<时,0g x;当1x >时,0g x ,所以()g x 在0,1上是减函数,在1,上是增函数,所以1x =是()g x 的极小值点,也是最小值点,且()()2min 1g x g e ae ==-.令()()2ln 0xh x e x x =>,则()()221ln x h x xe -'=. 当0x e <<时,()0h x '>;当e x >时,()0h x '<, 所以()h x 在()0,e 上是增函数,在(),e +∞上是减函数,所以x e =是()h x 的极大值点,也是最大值点,且()()max h x h e e ==,所以当0a <时,()()2g x e ae e h x ≥->≥,即22ln x e x xe x ae ->. 综上,当0a <时,()2ln f x e x >.法三:要证明22ln x ae x e x e ->.由于当0a <时,20ae x <,只要证2ln 0x e e x ->. 设()()()222222ln ln xxg x e e x e x ex ee e e x =-=-++--,令()()220xh x e e x ex =-+>,则()2x h x e e '=-,当02x <<时,()0h x '<;当2x >时,()0h x '>, 所以()h x 在()0,2上是减函数,在2,上是增函数,所以2x =是()h x 的极小值点,也是()h x 的最小值点,即()()min 20h x h ==.设()222ln m x e x e e x =--,则()()2221x e m x e x xe -'=-=. 当01x <<时,()0m x '<;当2x >时,()0m x '>, 所以()m x 在0,1上是减函数,在1,上是增函数,所以1x =是()m x 的极小值点,也是()m x 的最小值点,即()()min 10m x m ==. 综上,()0h x ≥(当且仅当2x =时取等号),()0m x ≥(当且仅当1x =时取等号), 所以()()()0g x h x m x =+>,故当0a <时,()2ln f x e x >.【点睛】关键点点睛:此题考查导数的应用,考查利用导数证明不等式,解题的关键是将不等式等价转化,然后构造函数,利用导数求函数的最值,考查数学转化思想,属于较难题 10.已知函数2()ln f x x ax x =-+. (1)试讨论函数()f x 的单调性;(2)对任意0a <,满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点,求k 的取值范围.【答案】(1)当0a ≤时,在(0,)+∞单调递增;当0a >时,在⎛ ⎝⎭单调递增,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减;(2)1k ≤或3221k e -+≥. 【分析】(1)首先求函数的导数2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>,分0a ≤和0a >两千情况讨论导数的正负,确定函数的单调性;(2)由方程()f x kx =,转化为2ln x ax xk x -+=,构造函数()2ln x ax x h x x-+=,利用二阶导数判断函数的单调性,并分情况讨论()h x '最小值的正负,并结合零点存在性定理,确定函数的性质,根据2ln x ax xk x-+=有唯一解,确定k 的取值范围.【详解】(1)2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时,恒有'()0f x >,所以()f x 在(0,)+∞单调递增; 当0a >时,令2210ax x -++=,则180a ∆=+>,则10x => ,20x =<(舍去),当x ∈时,'()0f x >,()f x在单调递增;当)x ∈+∞时,'()0f x <,()f x在)+∞单调递减.综上所述,当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞单调递增;当0a >时,()f x在单调递增,()f x在)+∞单调递减.(2)原命题等价于对任意0a <,2ln x ax x kx -+= 有且仅有一解, 即2ln x ax xk x-+=;令ln ()1x h x ax x=-+ 则21ln '()x h x a x -=-,332(ln )2''()x h x x -=,令''()0h x =得32x e = 所以)'(h x 在32(0,)e 上递减,在32(,)e +∞上递增,3232min331ln 1'()'()2e h x h e a a e e-==-=-- 当312a e ≤-时,'()0h x ≥,所以()h x 在R 上单调递增, 又当0x →时,ln ,0xax x→-∞-→,所以()h x →-∞; 当x →+∞时,ln ,xax x→+∞-→+∞,所以()h x →+∞. 所以()h x 在R 上必存在唯一零点,此时k ∈R ; 当3102a e -<<时,32min'()'()0h x h e =<,同时又当0x →时,21ln ,x a x -→+∞-→+∞, 所以'()h x →+∞;当x →+∞时,21ln 0,xa x-→-→+∞,所以'()h x →+∞.所以方程'()0h x =存在两根12,x x ,即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--= 且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞,所以()h x 在1(0,)x 上单调递增,12(,)x x 上单调递减,在2(,)x +∞上单调递增, 所以()h x 的极大值为1()h x ,极小值为2()h x要使有方程2ln x ax xk x-+=唯一解,必有1()k h x >或2()k h x <,又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+, 又322(,)x e ∈+∞ ,则2ln 1()1x x xϕ-=+,232ln '()0x x x ϕ-=<,所以()ϕx 在32(,)e +∞递减, 且x →+∞时,2ln 1()11x x xϕ-=+→,所以1k ≤; 同理1112ln 1()1x h x x -=+,321(0,)x e ∈,2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增, 3322322()()121x e eeϕϕ-<=+=+,所以3221k e -+≥.综上可得,1k ≤或3221k e -+≥. 【点睛】思路点睛:本题是一道利用导数研究函数性质,零点的综合应用题型,属于难题,一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时,需根据题意构造函数()f x ,利用导数研究函数在该区间上的单调性,极值,端点值等性质,以及零点存在性定理等研究函数的零点.11.设函数223223()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ⎛⎫=-+=-++-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若函数[]()23()()()0,222a x f x g x x x ϕ=--∈在0x =处取得最大值,求a 的取值范围. 【答案】(1)当3a ≥时,()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞,无单调递减区间;当3a <时,()f x的单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭;(2)6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】(1)先对()f x 求导,对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可.(2)因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值,所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈,利用分离参数法转化为不等式恒成立问题,求函数的最值即可. 【详解】解:(1)()22()36313f x x x a x a '=-+=-+-, 当3a ≥时,()0f x '≥,所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞,无单调递减区间;当3a <时,令()0f x '>,得1x <-或1x >+所以()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭和1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭令()0f x '<,得11x <<,所以()f x 的单调递减区间为1⎛+ ⎝⎭. 综上,当3a ≥时,()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞,无单调递减区间;当3a <时,()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,单调递减区间为1⎛-+ ⎝⎭. (2)由题意得[]322133()(1)3,0,2222x ax a x x a x ϕ=+--+∈.因为函数()x ϕ在0x =处取得最大值,所以[]23223133(0)()(1)3,0,22222a x ax a x x a x ϕϕ==+--+∈,即[]3213(1)30,0,222ax a x x x +--∈, 当0x =时,显然成立. 当(]0,2x ∈时,得()21313022ax a x +--≤,即()()()()()22323232322221+2x x ax xx x x x ++==++-+-+--. 令(]22,4t x =+∈,则2()1,(2,4]th t t t =--∈, ()2210h t t '=+>恒成立,所以 2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数,5()0,2h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以3625(2)12x x +--+,即65a ,所以a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】思路点睛:对含参数的函数求单调区间,根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法;已知函数的最大值求参数的取值范围,往往转化为不等式恒成立问题,如果能分离参数的话,分离参数是解决这类题的常用方法,然后再求函数的最值即可.12.已知函数()()()21ln 1f x x a x x =-+-+(0a >). (1)讨论函数()f x 的单调性; (2)若关于x 的不等式()1ln x xf x x x-'≥在()1+∞,上恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案不唯一,见解析;(2)02a <≤. 【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a 的范围,判断函数的单调性即可; (2原不等式化为:ln 2x a x x ≤-在()1+∞,上恒成立,设()ln 2xh x x x=-,()1,x ∈+∞,求出函数的导数,再令()221ln g x x x =-+,根据函数的单调性求出a 的范围即可. 【详解】(1)()()()1121121x f x x a x a x x -⎛⎫⎛⎫'=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121a x x a x x x x---=--=,()0,x ∈+∞, 令()0f x '=,则2ax =或1x =,当02a <<时,函数()f x 在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增,在区间,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 当2a =时,函数()f x 在()0+∞,上单调递增, 当2a >时,函数()f x 在区间()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在区间1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减; (2)原不等式化为:ln 2xa x x≤-在()1+∞,上恒成立, 设()ln 2xh x x x=-,()1,x ∈+∞, ()2221ln 21ln 2x x x h x x x--+'=-=,令()221ln g x x x =-+,则()140g x x x '=+>, 所以()g x 在()1+∞,上单调递增,()()110g x g >=>,所以()0h x '>, 则函数()h x 在()1+∞,上单调递增,且()12h =,02a ∴<≤. 【点睛】方法点睛:本题考查利用导数研究单调性(含参),考查利用导数研究恒成立问题,解决第(2)问的关键是将原不等式转化为ln 2xa x x≤-在()1+∞,上恒成立,进而利用导数研究函数的单调性,从而得解,考查逻辑思维能力和运算求解能力,考查转化和划归思想,属于常考题. 13.已知函数()ln 2a g x x x x=++. (1)讨论()g x 的单调性;(2)当10a e <<时,函数()()222a f x xg x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在其定义域内有两个不同的极值点,记作1x 、2x ,且11x x <,若m 1≥,证明:112mm x x e +⋅>.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)求出函数()g x 的定义域,求得()222x x a g x x+-'=,对实数a 的取值进行分类讨论,分析导数的符号变化,由此可得出函数()g x 的单调递增区间和递减区间;(2)利用分析法得出所证不等式等价于()()()121212121ln0m x x x x x x x mx +-<>>+,令()120,1x t x =∈,构造函数()()()11ln m t ht t t m+-=-+,其中()0,1t ∈,利用导数证明出()0h t <对任意的()0,1t ∈恒成立,由此可证得原不等式成立. 【详解】(1)函数()ln 2ag x x x x=++的定义域为()0,∞+, ()()222122a x x ag x a R x x x+-'=+-=∈, 方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+.①当18a ≤-时,0∆≤,()0g x '≥,()g x 在()0,∞+为增函数; ①当18a >-时,0∆>,方程220x x a +-=的两根为114x --'=,214x -'=, (i )当108a -<≤时,120x x ''<≤,对任意的0x >,()0g x '>,()g x 在()0,∞+为增函数; (ii )当0a >时,120x x ''<<,令()0g x '<,可得20x x '<<,令()0g x '>,可得2x x '>. 所以,()g x在1,4⎛⎫+∞ ⎝⎪⎪⎭为增函数,在10,4⎛⎤⎥ ⎝⎦为减函数. 综上所述:当0a ≤时,()g x 的增区间为()0,∞+,无减区间;当0a >时,()g x的增区间为1,4⎛⎫+∞ ⎝⎪⎪⎭,减区间10,4⎛⎤⎥ ⎝⎦; (2)证明:()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈,所以()ln f x x ax '=-, 因为()f x 有两极值点1x 、2x ,所以11ln x ax =,22ln x ax =, 欲证112mm x x e +⋅>等价于要证:()112ln ln mm x x e +⋅>,即121ln ln m x m x +<+,所以()1212121ln ln m x m x ax max a x mx +<+=+=+,因为m 1≥,120x x <<,所以原不等式等价于要证明121ma x mx +>+.又11ln x ax =,22ln x ax =,作差得()1122lnx a x x x =-,1212ln x x a x x ∴=-, 所以原不等式等价于要证明()()112211212212ln11ln x m x x x x m x x x mx x x mx +-+>⇔<-++, 令12x t x =,()0,1t ∈,上式等价于要证()()11ln m t t t m+-<+,()0,1t ∈,令()()()11ln m t ht t t m+-=-+,所以()()()()221t t m h t t t m --'=+, 当m 1≥时,20t m -<,则()0h t '>,所以()h t 在()0,1上单调递增,因此()()10h t h <=,()()11ln m t t t m+-∴<+在()0,1t ∈上恒成立,所以原不等式成立.【点睛】利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 14.已知实数0a >,函数()22ln f x a x x x=++,()0,10x ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)若1x =是函数()f x 的极值点,曲线()y f x =在点()()11,P x f x 、()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l 、2l ,且1l 、2l 在y 轴上的截距分别为1b 、2b .若12//l l ,求12b b -的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2)6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)对函数求导,按照110a ≥、1010a<<分类,求得()0f x '<、()0f x '>的解集即可得解; (2)由极值点的性质可得1a =,由导数的几何意义可得1b 、2b 及()12122x x x x =+,转化条件为1211212221ln 1x x x b b x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=++,构造新函数结合导数即可得解. 【详解】(1)由题意,()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<, 0a >,010x <<,①20ax +>,①当110a ≥,即10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x '<,()f x ∴在()0,10上单调递减; ①当1010a <<,即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<;当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>, ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上所述:当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()f x 在()0,10上单调递减;当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增;(2)①1x =是()f x 的极值点,①()10f '=,即()()210a a +-=, 解得1a =或2a =-(舍), 此时()2ln f x x x x =++,()2211f x x x'=-++, 1l ∴方程为()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令0x =,得1114ln 1b x x =+-, 同理可得2224ln 1b x x =+-,12//l l ,221122212111x x x x ∴-++=-++,整理得:()12122x x x x =+,12122x x x ∴=-, 又12010x x <<<,则1112102x x x <<-,解得1542x <<,()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++,令12x t x =,则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭, 设()()211ln ,,114t g t t t t -⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭,则()()()()222141011t g t t t t t -'=-+=>++, ()g t ∴在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,又()10g =,16ln 445g ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭, 即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点点睛:解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件,再构造新函数,结合导数即可得解. 15.已知函数32()23(1)6()f x x m x mx x R =+++∈. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)若(1)5f =,函数2()()(ln 1)0f x g x a x x=+-≤在(1,)+∞上恒成立,求证:2a e <. 【答案】(1)答案不唯一,见解析(2)证明见解析 【分析】(1)求导后分解因式,分类讨论即可得到函数的单调性; (2)由题意求出0m =,转化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立,利用导数求出23()(1)ln 1x h x x x +=>+的最小值,即可求解.【详解】 (1)()()()'22661661fx x m x m x m x m ⎡⎤=+++=+++⎣⎦6(1)()x x m =++若1m =时,()0f x '≥,()f x 在R 上单调递增;若1m 时,1m -<-,当x m <-或1x >-时,()0f x '>,()f x 为增函数, 当1m x -<<-时,()0f x '<,()f x 为减函数,若1m <时,1m ->-,当1x <-或x m >-时,()0f x '>,()f x 为增函数, 当1x m -<<-时,()0f x '<,()f x 为减函数. 综上,1m =时,()f x 在R 上单调递增;当1m 时,()f x 在(,)-∞-m 和(1,)-+∞上单调递增,在(,1)m --上单调递减; 当1m <时,()f x 在(,1)-∞-和(,)m -+∞上单调递增,在(1,)m --上单调递减. (2)由(1)23(1)65f m m =+++=,解得 0m =, 所以32()23f x x x =+,由(1,)x ∈+∞时,ln 10x +>,可知()(ln 1)230g x a x x =+--≤在(1,)+∞上恒成立可化为23ln 1x a x +≤+在(1,)x ∈+∞上恒成立,设23()(1)ln 1x h x x x +=>+, 则22132(ln 1)(23)2ln ()(ln 1)(ln 1)x x x x x h x x x +-+⨯-'==++, 设3()2ln (1)x x x x ϕ=->,则 223()0x x xϕ'=+>,所以()ϕx 在(1,)+∞上单调递增, 又3ln163(2)2ln 2022ϕ-=-=<,3()20e eϕ=-> 所以方程()0h x '=有且只有一个实根0x ,且 00032,2ln .x e x x <<=所以在0(1,)x 上,()0h x '<, ()h x 单调递减,在0(,)x +∞上,()0,()h x h x '>单调递增,所以函数()h x 的最小值为0000002323()223ln 112x x h x x e x x ++===<++, 从而022.a x e ≤< 【点睛】关键点点睛:解答本题的难点在于得到232ln ()(ln 1)x x h x x -'=+后,不能求出()h x '的零点,需要根据()h x '的单调性及零点存在定理得到0x 的大致范围,再利用0x 的范围及0032ln x x =证明不等式. 16.设()1,,54m h x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,其中m 是不等于零的常数, (1)写出()4h x 的定义域; (2)求()h x 的单调递增区间;【答案】(1)15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)答案见解析. 【分析】(1)由已知得出1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,解出x 可得()4h x 的定义域; (2)对函数()h x 求导,按0m <,1016m <≤,12516m <<和25m ≥四种情况,分别求出函数的单调递增区间即可. 【详解】(1)①1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,①15164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ①()4h x 的定义域为15164⎡⎤⎢⎥⎣⎦, (2)()21m h x x '=-0m <时,()0h x '>恒成立,()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦,递增;0m >时,令()0h x '>,解得x >x <(,-∞,)+∞14≤即1016m <≤时,()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦,递增当154<<即12516m <<时,()h x 在⎤⎦递增5即25m ≥时,()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦,无递增区间 综上可得:0m <时,()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦,递增; 1016m <≤时,()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦,递增; 12516m <<时,()h x 在⎤⎦递增 【点睛】关键点点睛:本题考查函数的定义域,考查导数研究函数的单调性,解决本题的关键是令()0h x '>求出函数的单调增区间,讨论定义域的区间端点和单调区间的关系,考查了学生分类讨论思想和计算能力,属于中档题. 17.已知1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦,函数2()(1)x f x x e kx =--.( 2.71828e =为自然对数的底数).(1)求函数()f x 的单调区间; (2)求函数()f x 在[0,]k 上的最大值.【答案】(1)单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞,,单调减区间为(0,ln 2)k ;(2)3(1)k k e k --.【分析】(1)由题得()(2)xf x x e k '=-,再利用导数求函数的单调区间得解;(2)证明0(2)ln k k <<,列出表格得出单调区间,比较区间端点与极值即可得到最大值. 【详解】(1)由题得()(1)2(2)xxxf x e x e kx x e k '=+--=-,令0()0,20x x f x e k >⎧'>∴⎨->⎩或020x x e k <⎧⎨-<⎩,因为1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦,所以122k <≤, 所以不等式组的解为ln 2x k >或0x <,所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞,; 令0()0,20x x f x e k >⎧'<∴⎨-<⎩或020x x e k <⎧⎨->⎩,解之得0ln 2x k <<,所以函数()f x 的单调减区间为(0,ln 2)k ;所以函数()f x 的单调增区间为(ln 2,),(0)k +∞-∞,,单调减区间为(0,ln 2)k . (2)令()(2)k k ln k ϕ=-,1(2k ∈,1],11()10k k k kϕ-'=-=所以()k ϕ在1(2,1]上是减函数,ϕ∴(1)1()()2k ϕϕ<,112()2ln k k ϕ∴-<<. 即0(2)ln k k <<所以()'f x ,()f x 随x 的变化情况如下表:(0)1f =-,()(0)f k f -3(1)(0)k k e k f =--- 3(1)1k k e k =--+ 3(1)(1)k k e k =--- 2(1)(1)(1)k k e k k k =---++ 2(1)[(1)]k k e k k =--++。
(word完整版)初一数学分类讨论思想例题分析及练习(2)
分类讨论思想在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在数学学习中,我们不仅要分阶段学习知识,还要适时的总结一下数学思想方法。
初中常见的数学思想有:分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。
分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。
特别就中考而言,经常出现带有这种思想的考题。
几乎可以这么说:“分类讨论一旦出现,就是中高档次题”。
今天,我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”(如几何中,画图的不确定;代数中,出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”,特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏,讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】解方程:|x-1|=2分析:绝对值为2 的数有2个解:x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1说明应该说,绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。
其实归根究底,一般考察绝对值的问题有三。
1. 化简(如当a<0<b时,化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)处理方法:根据绝对值符号内的式子的正负性2. 类似于“解方程”(如本题)处理方法:注意解往往不只一个,需关注绝对值为正数的数有两个。
3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2,求x的取值范围)处理方法:画数轴,|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。
【例2】试比较1+a与1-a的大小。
分析:常规的比较大小的方法有很多种,现阶段最常用的是作差法。
两个数量的大小可以通过它们的差来判断:①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a<b即a-b<0解:作差(1+a)-(1-a)=2a分类讨论:①当a>0时,2a>0,即(1+a)-(1-a)>0,即1+a>1-a②当a=0时,2a=0,即(1+a)-(1-a)=0,即1+a=1-a③当a<0时,2a<0,即(1+a)-(1-a)<0,即1+a<1-a答:当a>0时,1+a>1-a ;当a=0时,1+a=1-a ;当a<0时,1+a<1-a 。
(完整版)中考数学分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查•这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论,特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要•1. (沈阳市)若等腰三角形中有一个角等于50 °则这个等腰三角形的顶角的度数为()A . 50 ° B. 80 ° C. 65。
或50 ° D . 50。
或80 °2. (?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm,则它的周长为()A . 9cm B. 12cm C. 15cm D . 12cm 或15cm3. (江西省)如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'处,点A落在点A'处,(1)求证:B ' E=B;(2)设AE=a, AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系,并给予证明•类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在解决圆的有关问题时,特别是无图的情况下,有时会以偏盖全、造成漏解,其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.4. (湖北罗田)在Rt△ ABC中,/ C= 90°, AC = 3, BC = 4•若以C点为圆心,r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是__ _ .,,5. (上海市)在厶ABC中,AB=AC=5 , COSB 3.如果圆O的半径为.10,且经5过点B、C,那么线段AO的长等于_____________ .6. (碱海市)如图,点A, B在直线MN上,AB = 11厘米,O A , O B的半径均为1厘米.O A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,O B的半径也不断增大,其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为r = 1+t (t >).(1 )试写出点A , B之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式;(2)问点A出发后多少秒两圆相切?B C类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况7. (上海市)已知AB=2 , AD=4,/ DAB=90°, AD // BC (如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.(1 )设BE=x , △ ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;(3)联结BD ,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△ BME相似,求线段BE的长.备甲图8. (福州市)如图,以矩形OABC的顶点0为原点,OA所在的直线为x轴,0C所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知0A = 3, 0C= 2,点E是AB的中点,在0A上取一点D,将△ BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.(1) 直接写出点E、F的坐标;(2) 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角,所以要分类讨论:(【答案】D小题要注意分类讨论•证:连结BE ,贝y BE BE .点A 在圆的内部,点 B 在圆的外部或在圆上,此时 3v r <4【答案】3 v r <4或 r = 2.4得BC 边上的高AD 为4,圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上,若O 在BC 上方,则 BC 下方,则AO=5。
初中分类讨论例题
初中分类讨论例题
1. 哎呀呀,比如在求等腰三角形的角度时,就可能要分类讨论啦!如果只知道顶角的大小,那底角是多少呢?这时候就得想想,是锐角等腰三角形呢,还是钝角等腰三角形呀,不同情况答案可不一样哟!
2. 嘿,再看看绝对值的问题吧!比如x-1=3,那 x 到底是多少呢?是 x-
1=3 还是-(x-1)=3 呢?这是不是就需要分类讨论一下呀,好好想想哦!3. 你们知道吗,还有那种已知两边长求三角形周长的题目呢!要是只给了两条边的长度,第三边到底是多长呢?会不会有多种可能性呀?哈哈,这就得认真分类讨论咯!比如两边分别是 3 和 5,第三边是小于 8 大于 2 哟,这里面就有好几种可能呢!
4. 哇塞,在讨论圆中的线段长度时也很有趣呀!圆里有好多条线呢,它们的关系可复杂啦!比如一条弦把圆分成两段弧,不同的位置会得到不同的答案呢,这能不分类讨论吗?
5. 呀,还有解方程时遇到含有参数的方程!那参数取不同的值,方程的解是不是就不一样啦?就像走不同的路会看到不同的风景一样呢!例如
x+2a=3x-6,这里的 a 可就得好好研究下呢!
6. 哈哈,在讨论函数图像与坐标轴交点的时候也会用到分类讨论呀!到底有几个交点呢?会不会有特殊情况呢?这就好像闯关游戏一样刺激呢!
7. 哇,甚至在讨论图形的位置关系时也离不开分类讨论哟!两个图形是相交呢,还是相切呢,或者是相离呢?这中间的变化可多啦,就如同多变的天气一样让人捉摸不透呢!
我觉得分类讨论真的很重要,可以让我们考虑问题更全面,不会漏掉任何一种可能的情况呀!。
(完整word版)初中数学分类讨论思想例题分析
分类讨论思想例题分析[线段中分类讨思想的应用]――线段及端点位置的不确定性引发讨论。
例1已知直线AB上一点C,且有CA=3AB,则线段CA与线段CB之比为_3:2 或3:4 。
练习:已知A、B、C三点在同一条直线上,且线段AB=7cm点M为线段AB的中点,线段BC=3cm点N为线段BC的中点,求线段MN的长.解析:(1)点C在线段AB上: (2)点C在线段AB的延长线上A M C NB A M B N C例2下列说法正确的是()A、两条线段相交有且只有一个交点。
B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。
C、两条射线不平行就相交。
D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
[与角有关的分类讨论思想的应用]――角的一边不确定性引发讨论。
例3在同一平面上,/ AOB=70,/BOC=30,射线0M平分/ AOB ON平分/ [练习]已知AOB303060°,过0作一条射线0C 射线0E 平分 AOC ,射线0D 平分D0E=A0B60°BOC ,求 D0E 的大小。
这两种情况下,都有°小结:(对分类讨论结论的反思)——为什么结论相同?虽然 AOC 的大小不确 定,但是所求的 DOE 与AOC 的大小无关。
我们虽然分了两类,但是结果是相 同的!这也体现了分类讨论的最后一个环节一一总结的重要性。
[三角形中分类讨论思想的应用]一般有以下四种类型:一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类;二是 由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类;三是由于直角三角形的斜边不 确定而进行的分类;四是由于相似三角形的对应角 (或边)不确定而进行的分类。
1、 三角形的形状不定需要分类讨论2例4、在厶ABC 中,/ B = 25°, AD 是BC 上的高,并且AD BD • DC ,则 / BCA 勺度数为 ____________ 。
解析:因未指明三角形的形状,故需分类讨论。
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分类讨论专题训练
1.已知,且,则的值等于()
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
2.已知,,则的值等于()
A. 或
B. 或
C.
D.
3.在同一直线上有、、、四点,已知,,且,求
的长.
4.如图,点在射线上,若,,点是线段的中点,则的长为
________.
5.在直线上有,,三个点,已知,点是的中点,且,求线段
的长.
6.如图,将一条长为的卷尺铺平后沿着图中箭头的方向折叠,使得卷尺自身的一部分重合,
然后在重合部分沿与卷尺的边垂直的方向剪一刀,此时卷尺分为了三段,若这三段长度比为,则折痕对应的刻度可能的值有________.
7. 阅读下面材料并解决有关问题:
我们知道:.现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代
数式时,可令和,分别求得(称分别为与的零点值).在实数范围内,零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况:
①;②;③.
从而化简代数式可分以下种情况:
①当时,原式;
②当时,原式;
③当时,原式.综上讨论,原式.
通过以上阅读,请你解决以下问题:
1. 化简代数式.
2.求的最大值.
8. 如图,已知数轴上的点表示的数为,点表示的数为,点到点、点的距离相等,动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为(大于)秒.
1.点表示的数为________.
2.当点运动到达点处时运动时间为________秒.
3.运动过程中点表示的数的表达式为________.(用字母的式子表示).
4.求当等于多少秒时,之间的距离为个单位长度.
9. 如图,已知平分,射线在的内部,.
1. 求的度数.
2.作射线,使射线是三等分线,则的度数为________.
10. 甲、乙两人从、两地同时出发,沿同一条路线相向匀速行驶,已知出发后经小时两人相遇,相遇时乙比甲多行驶了千米,相遇后再经小时乙到达地.
1.甲,乙两人的速度分别是多少?
2.两人从、两地同时出发后,经过多少时间后两人相距千米?
11. 如图,已知直线上有一点,点、同时从出发,在直线上分别向左、向右做匀速运动,且、的速度之比是:,设运动时间为.
1.当时,,此时,点的运动速度是________,点运动的速度是
________.
2.若点为直线上一点,且,求的值.
3.如图,在的条件下,若、同时按原速向左运动,再经过几秒,?
参考答案
1.【答案】B
【解析】解:,
时,,则;
时,,则.
故选B.
【知识点】绝对值的定义、综合-分类讨论
2.【答案】B
【解析】解:,,
,,
,
当,时,,,,;
当,时,,,,;故选B.
【知识点】代入参数、综合-分类讨论
3.【答案】或或
【解析】解:依题意,有以下种情况,
情况如图,
,,
设,
则,,
,
,
,
.
情况如图,
,,
设,
则,,,
,
,
,
.
情况如图,
即,
,,,
,,,
,.
情况如图,
,即,
,,,
,,,
,.
综上所述或或.
【知识点】数轴上点运动与距离问题、综合-分类讨论
4.【答案】或
【解析】解:当点在点的左边时,,所以,
当点在点的右边时,,所以.
故答案为或.
【知识点】线段的计算、综合-分类讨论
5.【答案】见解析
【解析】解:如图.设,则.是的中点,
;
如图.设,则.是的中点,
.
综上,当在的延长线上时,.当在的延长线上时,.【知识点】线段的计算、综合-分类讨论
6.【答案】
【解析】解:三段长度由短到长的比为,
三段长度分别为:.
①当剪切处右边上部分的长度为,剪切处左边的卷尺为时,折痕处为:;
②当剪切处右边上部分的长度为,剪切处左边的卷尺为时,折痕处为:;
③当剪切处右边上部分的长度为,剪切处左边的卷尺为时,折痕处为:;
④当剪切处右边上部分的长度为,剪切处左边的卷尺为时,折痕处为:;
⑤当剪切处右边上部分的长度为,剪切处左边的卷尺为时,折痕处为:;
⑥当剪切处右边上部分的长度为,剪切处左边的卷尺为时,折痕处为:;
综上所述,折痕对应的刻度有种可能:.【知识点】线段的计算、综合-分类讨论
7.(1)【答案】见解析
【解析】当时,;
当时,;
当时,.
【知识点】绝对值分类讨论化简
【解析】当时,原式,
当时,原式,
当时,原式,
则的最大值为.
点睛:本题考查了绝对值的意义,一个正数的绝对值等于它的本身,零的绝对值还是零,一个负数的绝对值等于它的相反数,即.
【知识点】一元一次不等式的概念、综合-分类讨论
8.(1)【答案】
【解析】解:.
【知识点】绝对值化简
8.(2)【答案】
【解析】解:(秒).
【知识点】绝对值化简、动点问题
8.(3)【答案】
【解析】解:点每秒钟运动个单位,即秒钟运动个单位,起点为,则表达式为.
【知识点】动点问题
8.(4)【答案】见解析
【解析】解:当点在点的左边时,,则秒,
当点在点的右边时,,则秒,
综上所述,当等于或者秒时,、之间的距离为个单位长度.
【知识点】动点问题、综合-分类讨论
【解析】因为,平分,可得.又,故可得.
【知识点】角平分线、角的计算
9.(2)【答案】或
【解析】解:分两种情况求解即可.
①当时,.
,.
②当时,.
,.
【知识点】角的计算、综合-分类讨论
10.(1)【答案】见解析
【解析】解:设甲的速度为千米/时,
则,
解得,,
,
即甲的速度为千米/时,乙的速度为千米/时.
【知识点】一元一次方程的应用-行程
10.(2)【答案】见解析
【解析】解:设经过小时后两人相距千米,
则或,
解得,或,
即经过小时或小时后两人相距千米.
【知识点】一元一次方程的应用-行程、综合-分类讨论
11.(1)【答案】见解析
【解析】解:设点的运动速度为,点运动的速度为,由题意,得,
解得:,
即点的运动速度是,点运动的速度是.
故答案为:.
【知识点】一元一次方程的其他应用、动点问题
11.(2)【答案】见解析
【解析】解:如图所示,当在线段之间时,
,
,
,
设,则,,,
;
如图所示,当在的延长线上时,
,
,
,
设,则,,,
.
答:或.
【知识点】线段的计算、综合-分类讨论
11.(3)【答案】见解析
【解析】解:设,同时按原速向左运动,再经过秒,,由题意,得或,
解得:或.
答:再经过秒或秒,.
【知识点】一元一次方程的其他应用、动点问题。