δ函数在物理学中的应用

δ 1 函数
δ 函数是狄拉克在量子力学中首先引用的一种广义函数 , 其定义为 δ( x ) =
+∞
∞, x = 0 , 0, x ≠ 0
-∞
δ( x ) dx = 1. 同时具有上述性质的函数称为 δ 函数 . ∫
2 应用
211 在力学中的应用 21111 位于 x = x0 处的质点的质量为 m , 则该质点的线分布密度可视为 ρ( x ) = mδ( x - x0 ) , 而总质量为
[ 1 ]曾谨言 . 量子力学导论 [M ]. 北京 : 北京大学出版社 , 1998. [ 2 ]王 山 . 奇异函数及其在力学中的应用 [M ]. 北京 : 科学出版社 , 1989.
[责任编辑 冯喜忠 ]
T h e F u n c t io n δ A p p lic a t ion on P h y s ic s
φ′ 是位于 x ′ 点的电荷元激发的标势 . 全部电荷激发的标势应为各个电荷元激发势的叠加 , 即 ( , t - r/ c) 1 ρ( x ′ , t - r/ c) φ ( x, t) = 1 dQ ′x ′ τ′ = d . πv π ξ 4 r 4 r 0 v
∫
∫
类似地可求得 ( 1 ) 式每个分量方程的特解为 A i ( x, t) = 三个分量得 A ( x, t) =
[2 ] 阶导数 、 亥维赛 ( O. Heavisida ) 阶跃函数及其各阶微分函数族统称为奇异函数 ( S ingu la ritys) ( P20 )
. 奇异函
数的出现是和物理学问题密不可分的 , 因而在物理学中有广泛的应用 . 下面我们将着重讨论奇异函数中最 常见的 δ 函数及其导数在物理学中的一些应用 .
-
d Ψ = [E - γ δ( x ) ] Ψ ( x) 2m dx ′
2
2
( 5)
x = 0 是方程的奇点 , 在该点 Ψ ″ 不存在 , 表现为在 x = 0 点 Ψ ′ 不连续 . 对方程 ( 5 ) 积分可得
1 + Ψ′ (0 ) - Ψ′ ( 0 ) = 2Ψ ( 0 )
μ ji ( x ′ , t - r/ c) 0 τ′ d . ( i = x, y, z) . 合并失势的 πv 4 r
∫
μ ji ( x ′ , t - r/ c) 0 τ′ d , 即得到一个特解 πv 4 r
∫
φ( x′ , t) =
1 ρ( x, t - r/ c) τ′ d π ξ 4 r 0 v
t0 ) d t = I .
212 在电动力学中的应用
求达朗贝尔 ( D A ’ em bert) 方程的特解 — — —推迟势 解 : 由达朗贝尔方程
收稿日期 : 2006 - 11 - 08 作者简介 : 张梦梨 ( 1964 - ) ,女 ,河南商丘人 ,商丘技师学院讲师 ,主要从事电动力学研究 .
δ函数在物理学中的应用
张梦梨
(商丘技师学院 ,河南 商丘 476000 )
摘 要 :δ函数在表达集中量和处理不连续函数中有着广泛的应用 ,我们着重介绍 δ函数在力学 、 电动力学 、 量 子力学中的应用 . 关键词 :δ函数 ; 应用 ; 物理学 中图分类号 : O413 文献标识码 : A
on introducing function app lication on mechanics, electric, mechanics and quantum mechanics .
K e y w o rd s: function δ ; app lication; physics
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1 d φ′ φ′ π δ( x - x ′ ) f1 ( t - r/ c) , 即 - 2 =- 4 2
c dt
1 π δ( x - x ′ ) f1 ( t - r/ c) = ( x, t)δ( x - x ′ ). - 4 dQ ′ ξ 0
( x′ πf1 ( t) = dQ ′ dQ ′ , t - t / c) 在含 x ′ 点的任意区域上积分得 4 ( x′ , t) ξ , 代入 ( 6 ) 式得到一个特解 φ′ , 0 π 4 ξ 0 r
2
2
2
而反射系数 = | S |
3 结语
物理学的发展与数学至为密切 , 在物理学发展史上 , 物理学依靠数学工具得以繁荣和发展 . 而物理学在 其发展中不断出现新的课题 , 又反过来促进数学的许多分支不断发展 . 随着 δ 函数以及广义函数中的整个奇 异函数族的日趋完善 , 其在物理学中的应用领域在不断扩大 , 可解决更多的物理实际问题 . 参考文献 :
+∞ +∞
ρ( x ) dx =
-∞
∫
+∞ -∞
-∞
mδ( x - x ) dx = m. ∫
0
21112 物体在瞬间 t = t0 受到冲量为 I的作用 , 则该物体受到的冲击力为 F ( t) = δ I ( t - t0 ) , 而物体受到的冲
+∞
量为
-∞
δ F ( t) d t = I (t ∫ ∫
2007 年第 2 期 商丘职业技术学院学报 Vol . 6, No. 2 第 6 卷 (总第 29 期 ) JOURNAL OF SHANGQ I U VOCATI ONAL AND TECHN I CAL COLLEGE Ap r . , 2007
文章编号 : 1671 - 8127 (2007) 02 - 0059 - 03
2
确定 f1 的具体形式 . 可将 ( 4 ) 式代入 ( 3 ) 式中 , 并令 t′ = t - r/ c, 注意到 φ′= ( 所以 ( 3 ) 式左边化为
1
r ) f1 ( t′ ) 2
t′= - r cr, 9t′9t = 1 以及
2
r df1 与 cr d t′
2
2
1 d f1 φ′= - 4 π δ( x - x ′ ) f1 ( t - r/ c) + 2 2, c r d t′
0 引言
在物理学中 , 经常要处理一些包含某种无穷大的量以及不连续函数的微分问题 , 因而引入一种“ 非正规 函数 ” . 这种函数最初于 20 世纪 30 年代 , 是由著名物理学家狄拉克 ( P. L. M. D ira l) 在量子力学研究中引入 [ 1 ] ( P15 ) 和定义的 , 所以后来被命名为“ 狄拉克函数 ” , 简称 δ 函数 . 50年代法国数学家施瓦尔茨 ( L. S chw a rz) 在 深入研究 δ 函数性质的基础上 , 创立了分布论 (亦称 广义函数论 ) , 他从理论上不仅严格证实了 δ 函数 , 而且 还可以使用 δ 函数的各阶导数 , 从而使 δ 函数理论趋于完整和严密 . 在物理学中 , 人们习惯于将 δ 函数及其各
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2
A -
1
c
・
9A =-μ 0j 2 9t
2
2
( 1)
9φ φ- 1 ξ ( 2) = - ρ/ 0 2 ・ 2 c 9t τ′ τ′ 设位于 x ′ 点的小体积元 d 内的电荷量为 dQ ′ ,在 d 大小一定的情况下 , dQ ′ 是坐标 x ′ 和时间 t的函数 . τ ρ ( ) ( ) δ ( ) 如果 d 很小 , 就可把 dQ ′ 看作是点电荷 . 电荷密度为 ′x, t = dQ ′x, t x - x ′, 代入达朗贝尔公式得
∫
μ ji ( x ′ , t - r/ c) 0 τ′ A ( x, t) = d πv 4 r
.
∫
若 ( 4 ) 式用 f2 代替 f1 , 则可求得另一组特解 φ( x′ , t) =
1 ρ( x, t + r/ c) τ′ d π ξ 4 r 0 v
∫
μ ji ( x ′ , t + r/ c) 0 τ′ A i ( x, t) = d πv 4 r
i k
S =பைடு நூலகம்
imγ 1 ( 1 + 2 ), k imγ ikx imγ . 由于取入射波 e 的波幅为 1, 所以 , 2 ( ) k 1 + 2 k =
2
而 R =S - 1 =透射系数 = | S |
2
imγ mγ 1 ( 1 ( 1 + 2 2) = 1 + 2 ) k 2 E mγ 2 2 2 , 显然 | R | +| S | = 1. = 2 2 E ( 1 + mγ ) 2 ηE 2
ZHANG M eng - li
( S hangqiu Technician College, Shangqiu 476000, Ch ina) A b s t ra c t: The Function has the extensive app lication on exp ressing concentration amount and dealing with the unsuccessive function. W e emphasize
( x ) + k Ψ ( x ) = 0, k = x ≠ 0 时 ( 5 ) 式化为 Ψ ″
2
( 6) zm E , 它的两个线性独立解的形式为 e
± ikx
,故
Ψ ( x) =
e
ikx ikx
+ Re
- ikx
,x <0
S e , x > 0
,
2mγS 但边界条件有所不同 . 根据 x = 0 点 Ψ 连续以及 ( 6 ) 式有 1 + R = S, 1 - R = S , 消去 R, 得 2
(r
2
φ′ 1 92φ′ 9 ) - 2 = 0, 2 9r c 9t
2
u 9u 1 9u , 满足 2 - 2 = 0, 这是一维波动方程 , 其解为 2 r 9r c 9r c c
2
r r ) + f2 ( t + ) , u = f1 ( t r ) /r 若选 u = f1 , 则 φ′= f1 ( t c ( 4)
2
2
1 9φ′ φ′ ( x, t)δ( x - x ′ ) - 2 ・ 2 = - dQ ′ c 9t
2 2
2
( 3)
在 x ≠ x′ 区域化为 令 φ′=
1 9
2 r 9r
1 9φ′ φ′ - 2 ・ 2 = 0, 由于 φ′ 是 x′ 点的点电荷激发的 ,φ′ 对 x′ 点呈球对称分布 , 故 c 9t
.
∫
213 在量子力学中的应用
δ 势的穿透 δ( x ) , (γ > 0 ) 定态方程表示为 设有质量为面 m 的粒子 (能量 > 0 ) 从左射入 , 碰到 δ 势垒 V ( x ) = γ ・60・
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