2.2. 随机变量分布函数的定义
高等数学2.2 随机变量的分布函数
x
lim [a1 F1 ( x) + a2 F2 ( x)] = a1 F1 () + a2 F2 ( )
= a1 + a2 = 1
于是 a1F1(x) + a2F2(x) 满足分布函数的所有性质, 从而 a1F1(x) + a2F2(x) 也是分布函数 .
作 业
习 题 二
F(x) =
图形如右图: 分布函数是一个阶梯函数, 在x=i (i=1,2,3,4)处发生间断, 其跳跃度恰好是 pk =P{X =k} (k =1,2,3,4)
F(x)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0
1
2
3
4
x
二、分布函数的性质：
1、定理2.3: 设 F(x)是任一随机变量 X 的分布函数, 则有
第二章 随机变量及其概率分布
2. 2 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念：
1、定义2.7: 设 X 是一个随机变量, 对于任一实数 x, 定义 F(x) =P{X≤x}, 的分布函数 . 注 若 F(x) 是 X 的分布函数, 则 P{a<X≤b} = F(b)－F(a) 对(－∞, ∞) 内的任意实数 a , b (a ≤ b ) 均成立 .
－∞< x <∞, 称F(x) 为随机变量 X
例2.6某人投篮, 命中率为0.7 , 规则是: 投中或投了 4次后就停止投篮, 设X表示“此人投篮次数” , 求X 的分布函数 . 解 由题意可知X的可能值为 1, 2 , 3 , 4 , 概率分别为
P X = 1 = 0.7 ,
P X = 3 = 0.3 0.3 0.7 = 0.063 ,
注 F () = lim F ( x) , F () = lim F ( x) ;
第二章 随机变量及其分布(第2讲)
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效
第二章-1分布函数
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a − 0) P(a < X < b) = F(b − 0) − F(a) P(a ≤ X < b) = F(b − 0) − F(a − 0)
概率论
二、分布函数的性质 (1) F( x) 在(− ∞,+∞) 上是一个不减函数 ,
即对 ∀ x1 , x2 ∈(− ∞,+∞) 且 x1 < x2 , 都有 F( x1 ) ≤ F( x2 ) ;
概率论
F(x)的分布函数图
y
1பைடு நூலகம்
22 35 34 35
0
1
2
x
例4 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 ， 上任意投掷一个质点， X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比， 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数 的分布函数. 的分布函数， 解 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x < 0 时，F(x) = P(X
x→x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数 也就是说，性质 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 是鉴别一个函 的分布函数的充分必要条件. 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件
概率论
例1 设有函数 F(x)
0 = lim F( x) = lim ( A+ Barctgx) = A− B x→−∞ x→−∞ 2
π
π
概率论
解方程组
π A− 2 B = 0 π A+ B = 1 2
2.2离散型随机变量及其分布
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !
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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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随机过程2.2 随机过程的分布
2) 对任意固定的自然数m<n,均有
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
φ(t1, t2 , , tm ;θ1,θ2 , ,θm )
φ(t1, t2 , , tm , , tn;θ1,θ2 , ,θm ,0, ,0)
定理2.2.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理)
如果有限分布函数族
F {F(t1, t2, , tn; x1, x2,, xn ), t1, t2, , tn T , n 1}
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn}
称为过程的n 维分布函数.
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
记 F ˆ {F (t1 , t2 , , tn; x1 , x2 ,, xn ) :
ti T , xi Ri , i 1,2, , n, n 1}
x1 π
1 da, a2 x2
x 1;
0
其它 .
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
1
ln(
1
1 x2 ),
π
x
0，
其 它.
x 1;
思考题：
为什么可以用有限维分布函数族描述 随机过程的统计特性?
电子科技大学
X(t) － 2cost 2cost
p
1/3
2/3
特别
X(0) － 2 2
p 1/3 2/3
p X( 4 ) 2 2
p1/3 2/3来自电子科技大学2) 分析
随机过程的分布
04.9.4
2
2
x(t,ω1)=2cost
随机变量的分布函数的定义
随机变量的分布函数的定义随机变量的分布函数是概率论中一项重要的概念，它描述了随机变量取值的概率分布情况。
本文将会从以下几个方面详细介绍随机变量的分布函数的定义。
1. 随机变量的定义在介绍随机变量的分布函数之前，需要先介绍什么是随机变量。
随机变量是指随机试验得出的结果，它可以是一个离散的数值，也可以是一个连续的数值。
例如，掷一枚骰子得到的数字就是一个随机变量。
随机变量的取值是由概率决定的。
2. 分布函数的定义分布函数是描述随机变量取值概率分布的函数，一般用大写字母F表示。
设X是一个随机变量，则X的分布函数FX(x)定义为：FX(x) = P(X ≤ x)其中，≤ 表示小于或等于。
3. 分布函数的解释分布函数的解释是将随机变量的概率分布情况用一条连续的曲线来表示，可以很直观地看出随机变量取某个值的概率大小。
例如，在掷一枚骰子时，如果要求得点数小于等于3的概率，那么分布函数FX(x)就可以表示为：FX(x) = P(X ≤ 3) = 3/6 = 1/2这个值意味着当掷出的点数小于等于3时，随机事件发生的概率为1/2。
4. 分布函数的性质分布函数有以下几个基本性质：（1）0 ≤ FX(x) ≤ 1（2）FX(x)单调不降（3）当x → -∞时，FX(x) → 0（4）当x → +∞时，FX(x) → 1这些性质是由于随机变量的取值是由概率决定的，所以分布函数必须满足这些条件。
综上所述，随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率分布的函数。
在实际问题中，掌握随机变量的分布函数可以更准确地建立数学模型，预测事件的概率，更好地解决实际问题。
离散型随机变量及其分布函数
一、离散型随机变量的分布函数 二、几种常见的离散型随机变量 三、小结
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk 且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
lim P{X k} k e
n
k!
证明
由
pn
,得
n
P{ X
k}
n! k!(n
( k)!
pn )k
(1
pn )nk
n(n 1) (n k 1（) ）（k 1 )nk
k!
n
n
k [1 (1 1 )(1 2) (1 k 1)](1 )n (1 )k
(k 1,2,)
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
5.超几何分布
设X的分布律为
P{X
m}
CMm
C nm NM
(m 0,1,2,, min{M , n})
概率论(随机变量的分布函数)
注： 1. 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,
P{X a} 0.
证明 x 0,则{X a} {a x X a}
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x) 0(x 0 )
试求c为待定常数又因为0x2为必然事件故1216补充定义x2处函数值为0后得到简称概率密度密度函数的概率称为其中为连续型随机变量使对任意实数非负可积函数存在的分布函数如果对于随机变量一定义probabilitydensity
第三节 随机变量的分布函数
一、概念的引入
需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.
(1) 曲线关于直线 x= 对称 . 1 f(x)
2
这表明P{ h X } P{ X h}
(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x) 1
为X 的分布函数(distribution function) 记作 X ～ F(x) 或 FX(x)
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
(, x] 的概率.
—X——x |——> x
三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
例如 求随机变量 X 落在区间( x1, x2 ]内的概率.
P{ x1 X x2} P{ X x2}P { X x1}
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
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正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
2.3随机变量的分布函数
2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
0, x 1, 1 3 例 求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 解:(2) , 0 x 1, 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
(3) P{ X b} F(b) P{X b} (4) P{a X b} F(b) F(a) P{ X b}
(5) P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
例
设随机变量X分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞), 确定A,B的值，并计算P{-1<X≤1}
xi x
即
F ( x ) pk ,
xk x
这里和式是对所有满足 xk x 的k 求和的. 分布函 数F ( x )在x xk (k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
pk P{ X xk }.
例 设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)
随机变量的分布函数
1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
Xμ 引理 若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ
2
若 X ~ N ( ,
2)
x ,则 F ( x)
P (a X b) F (b) F (a ) b a P( X a) 1 F (a) a 1
F (b 0 ) F ( a )
P (a X b) F (b 0) F (a 0)
sin x, 0 x 例1.设F ( x) , F ( x)是否为r.v的分布函数. 其他 0,
例2.r.v. X 的分布函数 A Be F ( x) 0, 求A, B.
F ( x ) 1; F () lim F ( x) 0, F ( ) lim x
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
(3) lim F ( x) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0
用分布函数表示概率
7 7 41 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) . 2 2 48
课堂练习: 设r.v. X 的概率密度为f ( x) Ae , x 求 : (1) A; (2) P{0 X 1}; (3) X 的分布函数.
x
二、常见连续型随机变量的分布
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e
1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
连续型随机变量分布函数
连续型随机变量分布函数1. 随机变量的分布函数背景：对于非离散型的随机变量X XX，其取值不能一一列举出来，因此就不能像离散型随机变量那样使用分布律描述它。
非离散型随机变量有很多种，其中连续型随机变量极其常见，因此我们重点研究连续型随机变量。
对于连续性随机变量，在某个点的概率为0 00，另外，实际中，对于元件的寿命，测量的误差等，研究其落在某个区间的概率更有意义，因此我们引出了随机变量的分布函数定义：设X XX是一个随机变量，x xx 是任意实数，函数F ( x ) = P { X ≤x } , −∞< x < ∞F(x)=P\{X \leq x\},-\infty<x<\inftyF(x)=P{X≤x},−∞<x<∞则为X XX的分布函数。
虽然对于离散型随机变量，我们可以使用分布律来全面地描述它，但为了从数学上能够统一地对随机变量进行研究，因此，我们针对离散型随机变量和非离散型随机变量统一地定义了分布函数。
性质1 o F ( x ) 1^o \quad F(x)1oF(x)是一个不减函数对于任意实数 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x_1,x_2(x1<x_2)x1,x2(x1<x2),有F ( x 2 ) −F ( x 1 ) = P { x 1 < X ≤x 2 } ≥0F(x_2)-F(x_1) = P\{x_1<X \leq x_2\} \geq 0F(x2)−F(x1)=P{x1<X ≤x2}≥0 成立2 o 2^o\quad2o 0 ≤F ( x ) ≤1 ，F ( −∞) = 0 ，F ( ∞) = 1 0\leq F(x)\leq 1，\quad F(-\infty) = 0，\quad F(\infty) = 10≤F(x)≤1，F(−∞)=0，F(∞)=13 o 3^o\quad3o F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x+0)=F(x)F(x+0)=F(x), 即F ( x ) F(x)F(x) 是右连续的用分布函数表示事件概率P { X ≤b } = F ( b ) P\{X\leq b\}=F(b)P{X≤b}=F(b)P { X > a } = 1 −P { X ≤a } = 1 −F ( a ) P\{X>a\}=1-P\{X\leq a\} = 1-F(a)P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a) P { a < X ≤b } = P { X ≤b } −P { X < = a } = F ( b ) −F ( a ) P\{ a<X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X<=a\} = F(b)-F(a)P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X<=a}=F(b)−F(a)P { X < b } = F ( b −0 ) P\{X< b\}=F(b-0)P{X<b}=F(b−0)P { X ≥b } = 1 −P { X < b } = 1 −F ( b −0 ) P\{X\geq b\}=1-P\{X< b\} = 1- F(b-0)P{X≥b}=1−P{X<b}=1−F(b−0) P { X = b } = P { X ≤b } −P { X < b } = F ( b ) −F ( b −0 ) P\{X = b\}=P\{X \leq b\}-P\{X < b\} = F(b)-F(b-0)P{X=b}=P{X≤b}−P{X<b}=F(b)−F(b−0)注意这里的F ( b −0 ) F(b-0)F(b−0)表示分布函数F ( x )F(x)F(x) 在x = b x=bx=b处理左极限。
随机变量的分布函数
1
O
1
2
x
3
P{0 X 2} k 2 2 1 k 1/ 4 2 x 当 时 存在 , 令 F ( x ) x X 2P F (0 x) P { X x} X 0} P{0 X x} x0 20, ,x P { {x 0} 4 t ,0 {X x } 故 tS , 2, 若 x 2, F由题意有 ( x) 处处连续 , 故 f (t ) 2 F (t ) (t 0, t 2) F ( x) P {P (S )x 01 X } 0 其它 0, 即 X 的分布函数为 F ( x) 则 0 , x x 0, 怎样理解这一结论？ 2 x) x F ( x) F ( ,0 f (t x)dt 2, / 4 , x2 1 END
例 一个半径为 2 米的圆盘靶子 , 设 R2m 击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该 X 圆盘的面积成正比 , 且射击都能中靶 , 记 X表示弹着点与圆心的距离.求X的分布函数. 显然当 x 0时 ,{ X x} , 故称这样的随机变量 F ( x) P{ X x} 0 为连续型随机变量 若 0 x 2, 由题意有 P{0 X x} kx 2 , k 为常数
3、F ( x)在R上右连续：
F ( x 0) F ( x)；
4、F () 0，F () 1.
三、离散型随机变量的分布函数与分布律之 间的关系 (1)已知分布律 pk 求 F ( x);
F ( x ) P{ X x}
xi x
P{ X x } p
第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数 F(x)=P{X ≤ x} ( -∞< x <+∞ ) 为பைடு நூலகம்机变量X的分布函数。
概率论-2-4分布函数
1 2
1
arcsin
x a
,
a xa
1,
xa
（3）随机变量X的密度函数为
f
(x)
F ( x)
1
0,
a2 x2 , a x a 其它.
答案：D
答案：B
答案：A
答案：A
本节练习
习题二：12
F (4) F (2) 1 0 1 5 1 1.
3
63 2
答案：B
四、连续型随机变量的分布函数
已知连续型RV.X的概率密度为f(x)，则其分布
函数为 F(x) P{X x} P{ X x}
f (x)
即有
F
(
x)
x
f
(
x)dx
ox
x
F(x)在点x的函数值，等于曲线f(x)之下，Ox轴的区间
x)
1
x
x
,
x0
0,
x0
（1）求X的概率密度函数 f ( x).
（2）用分布函数求概率
PX 3, P 2 X 5, PX 1.
解 在 x 0 处 F (x) 具有连续导数，故按题设得
f
(
x)
F
(
x)
(1
1 x)2
,
0,
x0 x 0
而在 x 0
时，由
F
(
x)
1
x
x
,
0, F (x) 不可导， 因为
F(x)的图形为 F( x)
1
a
bx
例5 （1）设r.v X服从指数分布，其概率密度为
f ( x) 1 ex ,
0,
求X的分布函数F(x).
第3章 随机变量及其分布
郑州轻工业学院数学与信息科学系第二章：随机变量及其分布概率统计教研组我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题．为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量．本章首先引入随机变量的概念，介绍一些常用的随机变量，最后讨论随机变量函数的分布．主要内容§ 2.1随机变量§ 2.2离散型随机变量§ 2.3连续型随机变量§ 2.4随机变量函数的分布第二章：总结●【工作效率问题】某工厂有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一人处理．为了提高设备维修的效率，节省人力资源，考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种配备维修工人方法的工作效率，即比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小．●2.1.1随机变量的概念随机试验的结果有些本身就是数量，例如，一只灯泡的寿命，每天的最高气温等；随机试验的结果有些不是数量例如，检查一个产品，结果可能是“合格”与“不合格”，但是我们可以将其数量化，比如用“1”表示“合格”，用“0”表示“不合格”．这样，随机试验的结果就是随机变化的变量．把随机试验的结果数量化，便于应用数学知识研究随机现象，使对随机现象的研究更深入和简单．●2.1.1随机变量的概念【例2-1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车，或者乘飞机，记ω1={乘船}，ω2={乘火车}，ω3={乘飞机}，这就是以Ω={ω1，ω2，ω3}为样本空间的随机试验，现考虑该客人的旅费，假定乘船，火车与乘飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数X =X (ω)是随试验结果而变化的变量,称之为随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=====321 ,ωωωωωωω若若若,300,200100)(X X●2.1.1随机变量的概念【定义2.1】设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实值单值函数，称X=X(ω)为随机变量．常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示．这个定义表明：随机变量X是样本点的一个实值函数，一个样本点只能对应一个实数，不同样本点可以对应不同的实数，也可以对应同一个实数．随机变量的取值随试验的结果而定，在试验之前不能预知它取到的值，且它的取值有一定的概率，这些性质显示了随机变量与普通函数和普通变量有着本质的区别．●2.1.1随机变量的概念【定义2.1】设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实值单值函数，称X=X(ω)为随机变量．常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值常用小写字母x，y，z等表示．引入随机变量后，我们很容易用随机变量表示随机事件及其概率．如用随机变量X表示掷一枚骰子朝上一面的点数，则{X=1}和{X≤3}分别表示事件“朝上一面的点数为1”和“朝上一面的点数小于等于3”两事件，P{X=1}= 1/6，P{X≤3}=1/2则分别表示两事件发生的概率．●2.1.2随机变量的分布函数为了计算与随机变量X 有关事件的概率，下面引入随机变量分布函数的概念．【定义2.2】设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称事件{X ≤x }发生的概率(2.1)为随机变量X 的分布函数,且称X 服从F (x ),记为X ～F (x ) 由分布函数的定义易知，对任意实数a ，b （a ≤b ），有},{)(x X P x F ≤=∞<<∞-x =≤<}{b X a P }{}{a X P b X F ≤-≤}{a X P >,．)()(a F b F -=}{1a X P ≤-=)(1a F -=●2.1.2随机变量的分布函数 容易证明分布函数F (x )具有以下三条基本性质：(1)单调性：F (x )是定义在整个实数轴(–∞，+∞)上的单调非减函数，即对任意的x 1<x 2，有F (x 1)≤F (x 2)；(2)有界性：对任意的，有0≤F (x )≤1，且(3)右连续性：F (x )是x 的右连续函数，即对任意的x 0，有这三个基本性质成为判别分布函数的充要条件．0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x )()(lim 00x F x F x x =+→}{)(x X P x F ≤=●2.1.2随机变量的分布函数【例2-2】向半径为r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X 的分布函数，并求解：事件{X ≤x }表示所抛一点落在半径为x 的圆内．若x <0，{X ≤x }为不可能事件，则F (x )=P {X ≤x }=0； 若x ≥r ，{X ≤x }为必然事件，F (x )=P {X ≤x }=1； 若0≤x <r ，由几何概型知}{)(x X P x F ≤=22r x ππ=2⎪⎭⎫ ⎝⎛=r x .32⎭⎬⎫⎩⎨⎧>r X P●2.1.2随机变量的分布函数【例2-2】向半径为r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X 的分布函数，并求 从而X 的分布函数为 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<=r x rx r x x x F ,10,0,0)(2}32{r X P >)32(1r F -=}32{1r X P ≤-=2321⎪⎭⎫ ⎝⎛-=95=.32⎭⎬⎫⎩⎨⎧>r X P●2.1.2随机变量的分布函数【例2-3】证明是一个分布函数．证：显然F (x )在整个数轴上是连续、单调严增函数，且，因此它满足分布函数的三条基本性质，故F (x )是一个分布函数．该函数称为柯西分布函数．+∞<<-∞+=x x x F ],2[arctan 1)(ππ●2.2.1离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量．如掷骰子朝上一面的点数，一昼夜110接到的呼叫次数等均为离散型随机变量．●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X是一个离散型随机变量，若X的全部可能取值为x1，x2，…，xn，…，则称X取xi的概率P{X=xi}=p i，i=1，2，…为X的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．X的分布律也可用如下方式表示：X x1x2…xn…p i p1p2…pn…●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X 是一个离散型随机变量，若X 的全部可能取值为x 1，x 2，…，x n ，…，则称X 取x i 的概率P {X =x i }=p i ，i =1，2，…为X 的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．显然分布律应具有如下性质：(1)非负性：p i ≥0，i =1，2，…(2)归一性： 这两条性质是判别离散型随机变量分布律的充要条件．11=∑∞=i i p●2.2.1离散型随机变量及其分布律【定义2.3】设X 是一个离散型随机变量，若X 的全部可能取值为x 1，x 2，…，x n ，…，则称X 取x i 的概率P {X =x i }=p i ，i =1，2，…为X 的概率分布或简称分布律，也可以称为概率函数．由分布函数的定义，知离散型随机变量X 的分布函数为：)(x F }{x X P ≤=,∑≤=x x ii p +∞<<∞-x●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-4】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以概率p 禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的分布律．解：因为每一组信号灯禁止汽车通过的概率为p ，允许汽车通过的概率为1–p ，则X 的分布律为01234p (1-p )p (1-p )2p (1-p )3p (1 –p )4Xp i●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-4】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以概率p 禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下来时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的分布律．解： 如果p =0.5,则X 的分布律为X01234p (1-p )p (1-p )2p (1-p )3p (1 –p )4p i X012340.50.250.1250.06250.0625p i●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-5】设离散型随机变量X 的分布律为试求P {X ≤0.5},P {1.5<X ≤2.5},并写出X 的分布函数．解：．X 的分布函数为X -123p i 1/41/21/4}5.0{≤X P }5.25.1{≤<X P 41}1{=-==X P 21}2{===X P●2.2.1离散型随机变量及其分布律【例2-5】设离散型随机变量X 的分布律为试求P {X ≤0.5},P {1.5<X ≤2.5},并写出X 的分布函数．解：F (x )的图形呈阶梯形右连续，在X 的可能取值处有跳跃X -123p i 1/41/21/4F (x )=0,1/4,1/4 +1/2, 1,x < -1-1≤x <22≤x <3x ≥3●2.2.2常用离散分布1.0-1分布如果随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X服从0-1分布或两点分布．分布律也可写成对于一个随机试验，如果它的样本空间Ω只包含两个样本点ω1、ω2，我们总能在Ω上定义一个服从0-1分布的随机变量)10(1,0,)1(}{1<<=-==-pkppkXP kkX01pi1 –p p●2.2.2常用离散分布1.0-1分布如果随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X 服从0-1分布或两点分布．分布律也可写成来描述这个随机试验的结果．)10(1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k X01p i 1 –p p⎩⎨⎧====21,1,0)(ωωωωωX X●2.2.2常用离散分布2.二项分布在上一章介绍的n 重伯努利试验中我们已经知道，若事件A 在每次试验中发生的概率为P (A )=p (0<p <1)，则n次试验中事件A 发生k 次的概率为 如果随机变量X 的分布律是k =0，1，…，n则称X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．显然，B (1，p )就是0-1分布，实际上二项分布是n 重伯努利试验的概率模型．,,,1,0,)1(n k p p C k n k k n =--==}{k X P ,)1(k n k k n p p C --●2.2.2常用离散分布2.二项分布二项分布是一种常用的离散分布，例如，检查10个产品，10个产品中不合格品的个数X服从二项分布B(10，p)，其中p为不合格品率；又如，调查50个人，50个人中患色盲的人数Y服从二项分布B(50，p)，其中p为色盲率．●2.2.2常用离散分布2.二项分布【例2-6】设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X≥1}=5/9，试求P{Y≥1}．解：由P{X≥1}=5/9，知P{X=0}=4/9，所以(1–p)2=4/9，由此得p=1/3．再由Y～B(3，p)，可得P{Y≥1}=1–P{Y=0}=1–(1–1/3)3=19/27．●2.2.2常用离散分布3.泊松分布泊松分布是概率论中又一种重要的离散分布，它在理论和实践中都有广泛的应用．如果随机变量X 的分布律为为参数，k =0,1,2,...， 则称X 服从泊松分布，记为X ～P (λ)．,!}{>==-λλλe k k X P k●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【例2-7】某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为的泊松分布，试求该铸件至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率．解：以X 表示铸件的砂眼数，由题意知X ～P (0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为至少有2个砂眼的概率为}1{≤X P 5.00!05.0-=e 5.01!15.0-+e 91.0=}2{≥X P }1{1≤-=X P 09.0=●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在二项分布B (n ，p )的概率计算中，往往计算量很大，利用下面的泊松定理近似计算，可以大大减少计算量．下面不加证明地给出泊松定理．【定理2.1】（泊松定理）设λ>0是一个常数，n 是任意正整数，设np =λ（p 与n 有关），则对于任一固定的非负整数k ，有定理条件np =λ（常数）意味着当n 很大时p 必定很小.!)1(lim λλ--∞→=-e k p p C k k n k k n n●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【定理2.1】（泊松定理）设λ>0是一个常数，n 是任意正整数，设np =λ（p 与n 有关），则对于任一固定的非负整数k ，有 因此，当n 很大p 很小，有下面近似计算公式该公式说明，在对二项分布B (n ，p )计算概率时，如果n 很大p 很小，可由参数为λ=np 的泊松分布的概率值近似.!)1(lim λλ--∞→=-e k p p C k k n k k n n ,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kk n k kn●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【例2-8】已知某疾病发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率解：设该单位患有这种疾病的人数为X ，则有X ～B (5000，0.001)，则所求概率为取λ=np =5，用泊松分布近似计算并查附表1得}5{≤X P kk k k C-=∑=5000505000999.0001.0}5{≤X P ∑=-≈505!5k ke k 616.0=●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.1】X ～B (5000，0.001)，求P {X ≤5}；np =5,X ~P (5)，求P {X ≤5}实验准备：AB 1n =50002p =0.0013P {X ≤5}0.61594P {X ≤5} ≈0.6159近似=BINOMDIST(5, 5000,0.001,TRUE)=POISSON(5,5,TRUE)●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.1】X ～B (5000，0.001)，求P {X ≤5}；np =5,X ~P (5)，求P {X ≤5}实验结果：近似n =5000p=0.001P (X <=5)=0.615961P (X <=5)≈0.61596●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.2】二项分布与泊松分布分布关系 实验准备,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kkn kk nA B CD E F 1n =100λ=6p =0.12k B (n , p )P (λ)310.0403110.073263…………=BINOMDIST(A3, $B$1, $F$1, FALSE)= POISSON(A3, $D$1, FALSE)●2.2.2常用离散分布3.泊松分布【实验2.2】二项分布与泊松分布分布关系 实验结果：,2,1,0,!)()1(=≈---k e k np p p C np kkn k k nn =50λ = 6p = 0.1k B (n, p )P (λ)10.01140.014920.03820.044630.08330.089240.13340.133950.16740.160660.17120.160670.14670.137780.10750.103390.06840.0688100.03830.0413110.01900.0225120.00840.0113130.00340.0052140.00120.0022150.00040.0009160.00010.0003170.00000.0001180.00000.0000二项分布与泊松分布0.020.040.060.080.10.120.140.160.18系列1系列2●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在应用中，诸如服务系统中对服务的呼叫数，产品的缺陷（如布匹上的疵点、玻璃内的气泡等）数，一定时期内出现的稀有事件（如以外事故、自然灾害等）个数，放射性物质发射出的离子数等等，都以泊松分布为其概率模型．这是因为上述例子本来就是n大p小的二项分布．以服务系统中的呼叫数为例，服务设施的用户n很大，每个用户在指定时间内使用这个设施的概率p很小，而且各用户使用情况又独立．●2.2.2常用离散分布3.泊松分布在应用中，诸如服务系统中对服务的呼叫数，产品的缺陷（如布匹上的疵点、玻璃内的气泡等）数，一定时期内出现的稀有事件（如以外事故、自然灾害等）个数，放射性物质发射出的离子数等等，都以泊松分布为其概率模型．因此，服务系统中的呼叫数应是n大p小的二项分布，由泊松定理，可以近似认为服从 =np泊松分布．上述应用表明泊松分布广泛用于社会生活的许多方面，它在运筹学、管理科学中占有突出的地位．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度【定义2.4】如果对于随机变量X 的分布函数F (x )，存在非负函数f (x )，使得对于任意实数x 有(2.2)则称X 为连续型随机变量．其中函数f (x )称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数．从(2.2)式可以看出，连续型随机变量的分布函数一定是连续函数，且在F (x )的导数存在的点上有(2.3)⎰∞-=x dtt f x F )()()()(x f x F ='●2.3.1连续型随机变量及其概率密度【定义2.4】如果对于随机变量X 的分布函数F (x )，存在非负函数f (x )，使得对于任意实数x 有(2.2)则称X 为连续型随机变量．其中函数f (x )称为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数． 概率密度的基本性质：(1)非负性：(2)归一性：以上两条基本性质是判别概率密度的充要条件．)(≥x f ⎰+∞∞-=1)(dx x f ⎰∞-=x dtt f x F )()(●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．注1：对于连续型随机变量X来说，它取任一指定实数值a的概率为0，即P{X=a}=0．事实上，设X的分布函数为F(x)，∆x>0，则由{X=a}⊂{a–∆x<X≤a}得0≤P{X=a}≤P{a–∆x<X≤a}=F(a)–F(a–∆x)在上述不等式中令∆x→0，并注意到X为连续型随机变量，其分布函数F(x)是连续的，即得P{X=a}=0．这表明：概率为0的事件不一定是不可能事件；类似地，概率为1的事件不一定是必然事件．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．注2：由于连续型随机变量X仅取一点的概率恒为0，故在事件“a≤X≤b”中减去“X=a”或“X=b”，不影响其概率，即P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=F(b)–F(a)⎰=b a dt t f)(这给计算带来很大的方便．●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(1)由概率密度的归一性知所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎰∞+∞-=dx x f )(1dx x A ⎰--=112110arcsin 2x A =AA ππ=⋅=22.1π=A2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2121X P ⎰--=2/12/12111dx x π31arcsin 22/10==x π⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,11)(2x x x x f π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)因为 当x <-1时， 当-1≤x <1时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f =)(x F ⎰∞-xdtt f )(=)(x F ;00=⎰∞-x dt ；=)(x F dt t x ⎰--12111πx t 1arcsin 1-=π;21arcsin 1+=x π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)因为 当x ≥1时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f =)(x F ⎰∞-xdt t f )()(x F dt t ⎰--=112111π1=2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-9】设随机变量X 的概率密度为试求：(1)系数A ；(2)X 落在(–1/2，1/2)内的概率；(3)X 的分布函数F (x )．解:(3)X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1||,01||,1)(2x x x A x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=11,21arcsin 110)(x x x x x F , 11 , π●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-10】设随机变量X 的概率密度为现对X 进行n 次独立重复观测，以Y 表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Y 的分布律．解：事件“观测值不大于0.1”，即事件{X ≤0.1}的概率由题意Y 服从B (n ，0.01)，于是Y 的分布律为⎩⎨⎧<<=其它 ,010,2)(x x x f }1.0{≤X P ⎰∞-=1.0)(dx x f ⎰=1.002xdx 01.0=nk C k Y P k n k kn ,,2,1,0,)99.0()01.0(}{ ===-●2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-11】设随机变量X 的分布为求：(1)系数A 和B ；(2)X 落在(–1，1)内的概率；(3)X 的概率密度．解：(1)由可知于是,,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F ,1)(,0)(=+∞=-∞F F ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=-⨯+ 1)2(0)2(ππB A B A π,B A 121==⇒ +∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π2.3.1连续型随机变量及其概率密度．【例2-11】设随机变量X 的分布为求：(1)系数A 和B ；(2)X 落在(–1，1)内的概率；(3)X 的概率密度．解：(2)(3),,arctan )(+∞<<-∞+=x x B A x F {}11<<-X P )1()1(--=F F ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1arctan 121π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-)1arctan(121π21=+∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π+∞<<-∞+==x x x F x f ,)1(1)(')(2π●2.3.2常用连续分布1.均匀分布如果连续型随机变量X 具有概率密度(2.4)则称X 在区间(a ，b )上服从均匀分布，记为X ～U (a ，b )．均匀分布的分布函数为：(2.5)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它 ,0,1)(b x a a b x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x bx a ab a x a x x F , ,1,0)(。
高等数学-概率2.2随机变量的分布
1 4 且 P ＝ ，求常数a，b。 2 5
复习与总结
(1) F(x)=P{X≤x} 求概率: P{a<X≤b}=F(b)-F(a)； (2) 离散型r.v.X，常用分布列描述
X
x1 p1
x2 p2
…… ……
xn pn
…… ……
pk
F(x)与分布列的关系（略） 求概率: P{a<X≤b} Pk
第二章 随机变量
第二节 随机变量的分布
一、离散型随机变量的分布
设X是一个离散型随机变量，它可能取的 值是 x1, x2 , …, xn,… 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要 知道随机变量X取哪些值，而且还应知道 X取每个值的概率.
例1
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
P X x
k
k :xk x
pk
x x1 0, p , x1 x x2 1 p1 p2 , x2 x x3 F x p1 p2 pk , xk x xk 1
（1）连续型随机变量X的所有可能取值 充满一个区间, 不可列； （2）X取某一个具体的值的概率为零， 意义不大。
例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽 车通过，一位乘客对该汽车的通车时间 一无所知，则该乘客的候车时间是一个 连续型随机变量X。
（1）X的取值充满区间[0,5]. （2）P{X=2.859}=0，无太大意义. （3）考虑P{a<X≤b} = P{X≤b}－ P{X≤a}
（5）连续型r.v.X取单点值的概率为0，即
对 a ，P{X=a}=0。 （6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b} b =P{a<X≤b} a f x dx
2.分布函数
一、分布函数的性质:
1. 0 ≤ F ( x ) ≤ 1
即 P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
例 1 设随机变量 X 的密度函数为
⎧ke f ( x) = ⎨ ⎩0
解 由 ∫−∞ 即 ∫0
+∞ +∞
−3 x
x≥0 x<0
> 0.1)
（2）求 P ( X （1）求常数 k ；
例3
设电阻 R 是随机变量，均匀分布在 900 Ω ~1100 Ω ，
求 R 的密度函数及 R 落在 960 Ω ~1060 Ω 的概率。
R的密度函数为：
1 1 ⎧ = 900 ≤ x ≤ 1100 ⎪ f ( x ) = ⎨ 1100 − 900 200 ⎪0 其他 ⎩
从而有：
P (960 ≤ R ≤ 1060) 1060 1 = ∫960 dx = 0.5 200
2. F ( x )是单调不减的；
3. F ( −∞ ) = lim F ( x ) = 0
F ( +∞) = lim F ( x ) = 1
x → +∞
x → −∞
即对 ∀ x1 < x2 , 有 F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
4. F ( x ) 是右连续的，即 F ( x + 0) = F ( x )
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X P(X=xk)
x1 p1
x2 p2
xk pk
x1
x2
xk
x
F(x)=P(X≤x)
若-<x<x1 F(x)=P() =0
X P(X=xk)
x1 p1
x2 p2
xk pk
x1
x2
xk
x
F(x)=P(X≤x)
若x1x<x2 F(x)=P(X=x1)=p1
x的取值 -<x<x1 x1≤x<x2 x2≤x<x3
x 1, 1 x 1, 1 x 2, x 2.
P ( X x i ) F ( x i ) F ( x i 0)
X
1
1 6
1
1 1 1 2 6 3
2
1 1 1 2 2
p
间断点为 1, 1, 3 P ( X x i ) F ( x i ) F ( x i 0)
P(X=-1)= P(X=1)= P(X=3)= X －1
F (1) F (1 0) F (1) F (1 0) F ( 3) F (3 0)
1 3
0.4 0 0.8 0.4 1 0.8
p
0.4
0.4
0.2
例3.
设离散型随机变量X 的分布函数为
x 1; 1 x 1; 1 x 2; x2
0, a , F ( x) 2 3 a, a b,
1 且P{X 2} 2
试 确 定 常 数 , b; a 并 求X的 分 布 列
x的取值 -<x ＜ 0 0x＜1 1x＜
F(x)=P(X≤x)
=P()=0 =P(X=0)=p =P(X=0)+ P(X=1) = p+(1-p)=1
x0 0 x1 1 x
F (x)
0 F ( x) p 1
1·
q
○
○
0
1
x
离散型随机变量的分布律
0 p1 p1 p2
x x1 x1 x x 2 x2 x x3 x n 1 x x1
离散随机变量分布函数的图形
1 F (x)
...
○
p1+ p2
p1
阶梯型 跳跃线段
○
○ ·
x1
· x2
解
a b 1.
1
解得 1 5 a ,b . 6 6
1 已知 P{ X 2} 2 P{X 2} F (2) F (2 0),
1 2 (a b) ( a ) 2 3
2
X 的分布函数为
X 的分布律为
0, 1 , 6 F ( x) 1 , 2 1,
F (a ) F (a 0)
例1 已知分布列求分布函数
设随机变量X的分布律为 X p 0 0.3 1 0.5 2 0.2
求X的分布函数F(x)及概率P{0 X 1.5}。
F(x)= P{Xx}=
当 x<0 时
当 0 x<1 时
0
P{X=0}=0.3 P{X=0}+ P{X=1}=0.3+0.5=0.8 P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1
¹ 1
¹ 2
x
=0.8－0.3+0.3.
2.2.2 分布函数的主要性质
1 单调不减性
当 x1 ＜ x2 ，则 F (x1 ) ≤ F (x2 )
2
非负有界
0 ≤ F (x) ≤ 1 F ( – ∞) = 0 F ( + ∞) = 1
3
右连续性
x , 有 F ( x 0 0) F ( x 0 )
当1 x<2 时
当x 2
X的分布函数F(x)为
F ( x) 0 0.3 0.8 1 x0 0 x1 1 x 2 2 x
p
1﹣ 0.5﹣
·
0
(2) P{0 X 1.5} = P{0<X 1.5}+P{X=0} =F(1.5)-F(0)+P{x=0}
x
P {X < x}=
P( X x 0 )
F (x 0 )
例题
解.
计算并画出参数 p 的两点分布的分布函数
两点分布的分布律是： X 0 1
F(x)=P(X≤x)
X
p
p
1-p
0
1
x
当 -<x ＜ 0 时， F(x)=P() =0 X x 0 1 当 0 x ＜ 1时， F(x)=P(X=0) =p
例1.
1 是不是某一随机变量的分布函数？ F ( x) 2 1 x
不是 例2.
因为F(+∞)=0 ≠1
设随机变量 的分布函数为： X x 1 0 0.4 1 x 1 F ( x) 0.8 1 x 3 1 x3 试求X的概率分布列。
x 1 0 0 .4 1 x 1 F ( x) 0.8 1 x 3 1 x3
· x3
x
用分布函数表示事件的概率
F(x)=P(X≤x)
1. 2. P(X ≤ b)
F (b)
1 F (b)
P(X > b) =1－P(X ≤ b) 3. P(a<X ≤ b) = P(X ≤ b) －P(X ≤ a) 4. P(X =a) = P(X ≤ a) － P(X ≤ a－0)
F (b) F (a )
F(x)=P(X≤x)
P ( X ) 0
P( X x1 ) p1
P( X x1 ) P( X x 2 ) p1 p2
P ( X x k ) pk
k 1 k 1 n 1 n 1
xn-1≤x<xn xn≤x<+
1
F ( x)
Distribution Function
2.2.1 分布函数的定义
定义2.2.1 设X为一随机变量,则对任意实数x， {X ≤ x}是一个随机事件，称
F(x) = P {X ≤ x}
为随机变量X 的分布函数
定义域 值域
x∈（－∞，＋∞）
F(x) ∈［０，１］
F(x) = P {X ≤ x}
X