运筹学案例

资源分配问题

某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高效率的设备5台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得这种设备之后，可以为国家提供的利益如下表：

问这五台设备如何让分配给各工厂，才能使国家得到的利益最大

解

将问题按照工厂分为三个阶段，甲乙丙三个工厂编号分别为1、2、3 设Sk表示分配给第k各工厂至第n个工厂设备的台数。

Xk表示为分配给第k个工厂的设备台数。

则Sk+1=Sk—Xk为分配给第k+1个工厂至第n个工厂的设备台数。Pk（Xk）表示为Xk台设备分配到第k个工厂所得的利益值。

Fk（Sk）表示为Sk台设备分配给第k各工厂至第n个工厂时所得的

最大营业值。

所以可得逆推关系式

Fk（Sk）=max[Pk（Xk）+ Fk+1(Sk—Xk)],k=3,2,1

0<= Xk<= Sk

F4(S4)=0

下面从最后一个阶段开始向前逆推计算。

第三阶段：

设将S3台设备（S3=0，1,2,3,4,5）全部分配给工厂丙时，则最大盈利值为F3（S3）= max[ P3（X3）]

数值计算表如图所示

其中X3*表示使F3（S3）取最大值时的最优决策。

第二阶段：

设将S2台设备（S2=0，1,2,3,4,5）分配给工厂丙和工厂乙时，有一

种最优分配方案，使最大盈利值为

F2（S2）=max[P2（X2）+ F3 (S2—X2)]

X2

其中X2=0,1,2,3,4,5

其中给乙工厂X2台，剩下的就给丙工厂，先要选择X2的值，使

P2（X2）+ F3 (S2—X2)的值最大，计算结果如下图

第一阶段：

设把S1台（S1=5）设备分配给甲乙丙三个工厂时，则最大利益值为F1（5 ）=max[P1（X1）+ F2 (5 —X1)]

X1

其中X1=0,1,2,3,4,5，

其中给甲工厂X1台，盈利为P1（X1）剩下的(5 —X1)台分配给乙和丙工厂，利益最大值为F2 (5 —X1)

其最大利益计算值如下图

然后按计算表格的顺序反计算，可知最优方案有两个：

（1）由于X1*=0，根据S2=5 —X1=5-0=5，查表2可知X2*=2，由S3=S2—X2*=5-2=3，于是X3*= S3=3，即甲乙丙分别分配0，2,3台。（2）由于X1*=2，根据S2=5 —X1=5-2=3，查表2可知X2*=2，由S3=S2—X2*=3-2=1，于是X3*= S3=1，即甲乙丙分别分配2，2,1台。以上两种分配方案中所得到的总盈利均为21万元。