2014届高考数学一轮复习教学案双曲线(含解析)

双_曲_线

[知识能否忆起]

1．双曲线的定义

平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程

x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2

b 2

＝1(a >0，b >0) 图形

性质

范围 x ≥a 或x ≤－a

y ≤－a 或y ≥a

对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点

对称轴：坐标轴对称中心：原

点

顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)

A 1(0，－a )，A 2(0，a )

渐近线

y ＝±b a

x

y ＝±a b

x

离心率

e ＝c

a

，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线

的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长

通径

过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b 2

a

a 、

b 、

c 的关系

c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝

⎛⎭

⎫

－

22，0 B.⎝

⎛⎭

⎫

－

52，0

C.⎝

⎛⎭

⎫－

62，0

D.()－3，0

解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2

－y 2

12＝1，

∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝6

2.

∴左焦点坐标为⎝

⎛⎭

⎫

－

62，0. 2．(教材习题改编)若双曲线x 2a 2－y 2

＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )

A.255

B.32

C.233

D ．2

解析：选C 依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3， 故e ＝

2a 2＝23

＝233.

3．设F 1，F 2是双曲线

x 2－

y 2

24

＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．4 2

B ．8 3

C ．24

D ．48

解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝1

2×6×8

＝24.

4．双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．

解析：由题意知a 2＋1

a

＝ 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＝2，解得a ＝33

，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x .

答案：y ＝±3x

5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________.

解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支，

∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝4

3.

∴|k |·e ＝43×54＝5

3.

答案：53

1.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b

2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)．

2．渐近线与离心率：

x 2a 2

－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a

＝ b 2

a 2

＝ c 2－a 2

a

2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．

[注意] 当a >b >0时，双曲线的离心率满足10时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)； 当b >a >0时，e > 2.

3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．

双曲线的定义及标准方程

典题导入

[例1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐

近线上，则C 的方程为( )

A.x 220－y 2

5＝1 B.x 25－y 2

20＝1 C.x 280－y 2

20

＝1

D.x 220－y 2

80

＝1 (2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．

[自主解答] (1)∵x 2a 2－y 2

b 2＝1的焦距为10，

∴c ＝5＝

a 2＋

b 2.①