2014届高考数学一轮复习教学案双曲线(含解析)
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线教案(含解析)-高三全册数学教案
第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2ba叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为________．解析：由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.答案：2 52．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)． 所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.[小题纠偏]1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．解析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________． 解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 不妨可设该双曲线的方程为2x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(－3，2),所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2， 即其标准方程为x 2－y 22＝1.答案：x 2－y 22＝1考点一 双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )A.x 23－y 2＝1 B.y 23－x 2＝1C.x 29－y 216＝1 D.y 216－x 29＝1解析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且a 2＋b 2＝4， ①又知渐近线方程为3x ±y ＝0，∴a b＝3，② 由①②得a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线方程为y 23－x 2＝1.2．(2018·海口二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1解析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，∴ba＝tan 60°＝3，即b ＝3a ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，∴2a 2－3b 2＝1，即2a2－33a 2＝1，解得a 2＝1，∴b 2＝3，故双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1. 3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，且离心率等于32，则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．解析：因为c ＝3，所以e ＝c a ＝32，解得a ＝2，所以b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1，其渐近线方程为y ＝±52x . 答案：x 24－y 25＝1 y ＝±52x4．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 考点二 双曲线的定义重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B.35C.34D.45解析：选C 双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，∴a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.2．(2018·余姚期初)已知△ABC 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点C 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin C的值为____________．解析：由正弦定理知，BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ，由双曲线的定义可知，|sin A －sin B |sin C＝||BC |－|AC |||AB |＝810＝45.答案：45考点三 双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热点． 常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率(或范围)1．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2．(2018·乐清调研)以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．解析：由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，故所求渐近线方程为y ＝±33x . 答案：y ＝±33x 角度三：求双曲线方程3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1解析：选A 由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可得c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[演练冲关]1．(2018·萧山六校联考)已知l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为( )A ．2 B.52C.53D.62解析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，∵l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .又(c,0)到l 的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a 2＝bc c ＝b ，∴b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝a 2，将|AB |＝2a 代入上式，得a 2＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝ca ＝62. 2．(2018·台州调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析：因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案：y ＝±22x 3．(2018·杭州二中适应)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，32c 在双曲线上，所以c 24a 2－3c 24b 2＝1，结合b 2＝c 2－a 2及e ＝c a ，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e ＞1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.答案：3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是________．解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .而双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．答案：(0,2)考点四 直线与双曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD ―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163， y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R)三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1. (2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，①Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2－1， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝222＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0解析：选A 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.3．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1＝4BF 1，则双曲线C 的离心率为( )A.32＋1B.3＋12 C.133＋1 D.13＋13解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(－c,0)，A (0，3c )，设B (x ，y )，∵AF 1＝4BF 1，∴(－c ，－3c )＝4(－c －x ，－y )，∴x ＝－3c 4，y ＝3c4，代入双曲线方程可得9c 216a 2－3c216c 2－a 2＝1，∴9e 4－28e 2＋16＝0，∴e ＝13＋13. 4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×12＝16.答案：π2165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A. 2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.3．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1 B.12C.13D.23解析：选B 如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a . 因为|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 又∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ， 所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.因为∠BAF 2＝π3，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AF 2|2＝34×(4a )2＝43a 2， 故S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12. 4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q|，P Q ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2B. 3C.102D.173解析：选D 设|F 2Q|＝m ，则|F 1Q|＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m .因为 P Q ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2＋(3m )2＝(2a ＋2m )2，解得6m 2＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q|＝83a .所以在△F 1F 2Q中，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＝(2c )2，解得17a 2＝9c 2，所以e 2＝c 2a 2＝179，即e ＝173.5．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1]解析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴b 2＝c 2·sin2β＝c 2－a 2，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]，又∵e ＞1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D.6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，ab＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝2b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.所以a ＝2，离心率e ＝ca＝52. 答案：y 24－x 2＝1 527．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2＋|PB |2＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：2138．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析：法一：由2MF ＝FN 知，|MF ||FN |＝12.由渐近线的对称性知∠NOF ＝∠MOF ，即OF 为∠NOM 的角平分线，则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π6.因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233.法二：如图所示，双曲线C 的一条渐近线的方程为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此|FM |＝bca 2＋b 2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又因为2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin∠FNP ＝12，所以∠FNP ＝π6，故在△OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a 2＝233. 答案：2339．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 3 C.132D.13解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－b ax ，则|FH |＝|bc |a 2＋b2＝b .因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .因为cos ∠PFF 2＝bc，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：(3b －2a )2＝4c 2＋9b 2－2×2c ×3b ×b c，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，则b ＝3，c ＝13.所以离心率为e ＝c a ＝132.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.∴k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将点P 的坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33＜k ＜1，∴－2＜1－3k 2＜0. ∴m ＜－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线填空题错误！未指定书签。
．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线243y x =的焦点重合,则该双曲线的方程为____.【答案】 1222=-y x错误！未指定书签。
．（2012年江苏理）在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5,则m 的值为____.【答案】由22214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，.∴24===5c m m e a m++,即244=0m m -+,解得=2m . 错误！未指定书签。
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知点P 是椭圆222212222211,,11x y x y F F a a a a +=-=+-与双曲线的交点是椭圆焦点,则12cos F PF ∠=________________.【答案】0错误！未指定书签。
．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:22143x y -=.设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点,若2AM MB = ,则直线的斜率为_____.【答案】12±错误！未指定书签。
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2-10x =0的圆心重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的标准方程为________.【答案】答案:221520y x -=. 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分引申 错误！未指定书签。
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程为___________________.【答案】1222=+y x错误！未指定书签。
高三数学一轮复习精品教案3：双曲线教学设计
第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．『梳理自测』一、双曲线的概念(教材改编)已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．『答案』x 29－y 27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．42C ．3 3D ．432．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414B .324 C .32 D .434．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________． 『答案』1.D 2.A 3.C 4.－14◆此题主要考查了以下内容： 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形性质范围 x≥a 或x≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴；坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞) 其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0) 『指点迷津』1．一条规律根据方程中x 2与y 2的系数的正负来确定实轴与虚轴的位置，即焦点在实轴上． 2．两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．3．三个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质从以下三点关注： (1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．考向一 双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．『审题视点』 (1)利用双曲线定义|PF 2|－|QF 2|＝2a 及三角形周长的计算求解． (2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程． 『典例精讲』 (1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7. 又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1. 『答案』 (1)B (2)x 24－y 23＝1『类题通法』 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．『解析』(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y 24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15『审题视点』 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 『典例精讲』 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a×4a×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .『答案』 (1)C (2)B『类题通法』 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．『解析』如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM ⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a 2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a＝1＋b 2a2＝ 2.『答案』2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．『审题视点』 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 『典例精讲』 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a 2a 2－1，①x 1x 2＝2a 2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③由①③，解得⎩⎨⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②，得517×1217×⎝⎛⎭⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝⎛⎭⎫a ＝－1713舍去. 『答案』1713『类题通法』 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________．『解析』由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．『答案』(－∞，－1)∪(1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24x C ．y ＝±x D ．y ＝±22x 或y ＝±24x 『正解』 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 『答案』 D『易错点』 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．『警示』 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255D .455『解析』选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1B .x 24－y 25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y 25＝1 『解析』选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m ＞12 B ．m≥1C ．m ＞1D ．m ＞2『解析』选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y 2m＝1的离心率e ＝1＋m ， 又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等『解析』选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ .故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
高考数学一轮复习学案 第50讲 双曲线（解析版）
第50讲 双曲线（解析版）考点内容解读要求 常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。
Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1． 范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
2014届高考数学一轮复习讲义：8.5双曲线
(4)双曲线的渐近线 经过 A1、A2 任作平行 y 轴的平行线 x＝±a，经过 B1、B2 作 x 轴 的平行线 y＝±b，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线的方程 y ＝±bax，双曲线xa22－by22＝1 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接 近．
我们把 y＝±bax 叫作双曲线的渐近线．
注意：①双曲线有渐近线这是双曲线与椭圆和抛物线的最大不
同．
②画双曲线的图像一般要先画双曲线的渐近线，这样精确．
③在双曲线方程xa22－yb22＝1 中，若 a＝b，那么双曲线的方程为 x2－y2＝a2，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，实轴与虚轴等长，
这样的双曲线称为等轴双曲线．
④渐近线的记法只需把“xa22－ yb22＝ 1”中的“1”换成 “0”即
(6)与双曲线xa22－ yb22＝1(a＞ 0， b＞0)共焦点的圆锥曲线方程为
x2 a2－
λ－b2y＋2
＝ λ
1(λ＜
a2，且
λ≠－b2)．
3．双曲线的几何性质(以标准方程xa22－by22＝1(a，b＞0)为例) (1)双曲线的范围(如图所示)
由双曲线方程xa22－by22＝1 可知xa22≥1，从而 x≤－a 或 x≥a，双曲 线在两直线 x＝a，x＝－a 的外侧，是无限延伸的．需要指出的是， 双曲线在直线 x＝－a 和 x＝a 之间没有图像，当|x|无限增大时，|y| 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线．
∴ac11＝＝51，3，
∴焦距为 2c1＝10， 又∵8＜10，∴曲线 C2 是双曲线，设其方程为xa222－yb222＝1(a2＞0，
b2＞0)，
则 a2＝4，c2＝5，∴b22＝52－42＝32， ∴曲线 C2 的方程为4x22－3y22＝1.
2014届高考数学一轮复习精品课件：9.7 双曲线
[难点正本
疑点清源]
1.双曲线中 a，b，c 的关系 双曲线中有一个重要的 Rt△OAB(如右图)， 它的三边长分别是 a、b、c.易见 c2＝a2＋ c 1 2 b ，若记∠AOB＝θ，则 e＝a＝ . cos θ 2．双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2| ＝2a，其中 2a<F1F2，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值．
变式训练 2
(1)若双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，它的一个焦点是( 10， 0)，求双曲线的方程； 4 (2)已知双曲线的渐近线方程为 y＝± x，并且焦点都在圆 x2 3 ＋y2＝100 上，求双曲线的方程．
y2 解 (1)设双曲线的方程为 x2－ ＝k (k>0)， 9 x2 y2 即 k － ＝1，则 k＋9k＝( 10)2，∴k＝1. 9k
y2 故所求双曲线的方程为 x － ＝1. 9
2
(2)当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为 x2 y2 － ＝1 (a>0，b>0)． a2 b2
4 ∵渐近线的方程为 y＝± x， 并且焦点都在圆 x2＋y2＝100 上， 3 b 4 a＝6， ＝ ， a 3 ∴ 解得 b＝8. a2＋b2＝100， x2 y2 ∴焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 － ＝1. 36 64 y2 x2 当焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为 2－ 2＝1 (a>0， b>0)， a b 4 ∵渐近线的方程为 y＝± x， 并且焦点都在圆 x2＋y2＝100 上， 3 a 4 a＝8， ＝ ， b 3 ∴ 解得 b＝6. a2＋b2＝100， y2 x2 ∴焦点在 y 轴上的双曲线的方程为 － ＝1. 64 36 x2 y2 y2 x2 综上，双曲线的方程为 － ＝1 或 － ＝1. 36 64 64 36
双曲线辅导教案(高考数学一轮复习)
(1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线
平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
20＝1 B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 225－3y 2
100＝1
D.3x 2100－3y 2
25＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 2
32＝1 B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 2
42＝1
D.x 2132－y 2
122＝1
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
(2)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等 思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或。
江苏省响水中学2014届高三数学一轮复习 第41-42课时 双曲线教学案 文
江苏省响水中学2014届高三数学文科一轮复习教学案第41-42课时双曲线一、复习目标：掌握双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，能利用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的问题二、知识梳理：1、双曲线的第一定义：平面内动点P 与两个定点)02(,2121>=c F F F F 的 为常数)(2c a a <，则点P 的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的_____________，两焦点间的距离叫双曲线的____________。
①对于动点P 定点,,21F F 如果2121F F PF PF =-,那么动点P 的轨迹_________________. ②如果2121F F PF PF <-,那么动点P 无轨迹.2、双曲线的第二定义：3、标准方程：),0,0(,1,122222222222b a c b a bx a y b y a x +=>>=-=- 4、双曲线的几何性质三、基础训练：1、已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点， 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .2、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 3、已知方程22132x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为____________ 4、设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为___________5、已知双曲线4x 2 – y 2+ 64 = 0上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，点M 到另一个焦点的距离 。
6、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是双曲线上的点， I 圆是12PF F ∆的内切圆，I 圆与12F F 切于点A ，则切点A 的坐标为_________。
2014高考数学(理)一轮复习总教案：9.2 双曲线
9.2双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4）2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切,求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知｜AE｜＝r＋2，｜BE|＝r－错误!，所以｜AE｜－｜BE｜＝2错误!，又A（－4,0),B(4,0）,所以｜AB｜＝8,2错误!＜｜AB｜。
根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支。
因为a＝错误!，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，故点E的轨迹方程是错误!－错误!＝1（x≥错误!）。
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线错误!－错误!＝1的右支上一点，M，N分别是圆（x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－｜PN|的最大值为( ）A.6 B。
7 C。
8 D.9【解析】选D。
题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a，0）,若C上存在一点P，使PQAP•＝0，求此双曲线离心率的取值范围。
【解析】设P（x,y）,则由PQAP•＝0,得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上,即(x－错误!）2＋y2＝（错误!）2,①又P在双曲线上，得x2a2－错误!＝1,②由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，即[(a2＋b2）x－(2a3－ab2）］(x－a)＝0，当x＝a时，P与A重合,不符合题意，舍去；当x＝错误!时，满足题意的点P存在，需x＝错误!＞a，化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，错误!＜错误!,所以离心率的取值范围是(1，错误!）。
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A。
高三数学一轮复习精品教案2：双曲线教学设计
第6课时双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合的思想.1．双曲线定义平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c) ，则点P的轨迹叫做双曲线．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y ＝±b axy ＝±a b x离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 a 、b 、c 间的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝2．1．(人教A 版教材习题改编)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0) 『解析』 双曲线的方程可化为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，∴右焦点为(62，0)． 『答案』 C2．(2013·长沙调研)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1『解析』 渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32)2，解得a ＝±2.由题意知a ＞0，∴a ＝2. 『答案』 C3．(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43『解析』 由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4.∴e ＝c a ＝32.『答案』 C4．(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．『解析』 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3. 『答案』 235．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．『解析』 依题意c －a ＝1，①又e ＝ca ＝2，即c ＝2a ②由①②联立，得a ＝1，c ＝2. ∴b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线C 为x 2－y 23＝1. 『答案』x 2－y 23＝1双曲线的定义及应用 (1)(2012·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)已知定点A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)；以点C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一个焦点F 的轨迹方程．『思路点拨』 (1)由双曲线定义，求△PF 1F 2的边长，根据余弦定理可解．(2)探求|F A |与|FB |间的关系，借助双曲线定义求轨迹方程．『尝试解答』 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34，选C.『答案』 C(2)设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，依题意，得|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |＝2a (a 表示椭圆的长半轴长)． ∴|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋（－5）2＝2， ∴|F A |－|FB |＝2＜14.由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)．,1．(1)抓住“焦点三角形PF 1F 2”中的数量关系是求解第(1)题的关键．(2)第(2)小题中，点F 的轨迹是双曲线的下支，一定分清是差的绝对值为常数，还是差为常数．2．利用双曲线定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值，(2)2a ＜|F 1F 2|，(3)焦点所在坐标轴的位置．(1)(2013·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．『解析』 (1)由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以PF 1→·PF 2→＝10×6×56＝50.『答案』 C(2)设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， ∴|MC 1|－|MC 2|＝22， 又C 1(－4，0)，C 2(4，0)， ∴|C 1C 2|＝8，∴22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4，0)、C 2(4，0) 为焦点的双曲线的右支． 又a ＝2，c ＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝14，∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2).双曲线的标准方程已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．『思路点拨』 由已知椭圆的焦点和离心率得a ，b 满足的方程．『尝试解答』 由x 216＋y 29＝1，知c ＝16－9＝7，∴焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，且离心率e ′＝74.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点．∴a 2＋b 2＝(7)2＝7，∵双曲线的离心率e ＝c a ＝7a ，∴7a ＝274，则a ＝2. 从而b 2＝c 2－a 2＝7－22＝3. 故所求的双曲线的方程为x 24－y 23＝1.『答案』 x 24－y 23＝1,1．确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．2．利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． (1)若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．(2)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．(2012·天津高考改编)已知双曲线C 的右焦点为(5，0)，且双曲线C 与双曲线C ′：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，求双曲线C 的标准方程．『解』 ∵双曲线C 与双曲线x 24－y 216＝1有相同的渐近线，∴设双曲线C 的方程为x 24－y 216＝λ(λ≠0)．则双曲线C ：x 24λ－y 216λ＝1，又双曲线C 的右焦点为(5，0)，∴c ＝5，则4λ＋16λ＝5，∴λ＝14.故所求双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.双曲线的简单几何性质(2013·宁波模拟)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2『思路点拨』 取一条C 2的渐近线，将其与C 1联立求得弦长|AB |，令|AB |＝23a ，方可得出结论．『尝试解答』 由题意知b 2＝a 2－5，则椭圆方程可化为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，取双曲线的一条渐近线y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x （a 2－5）x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0， 得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0， ∴x ＝±a 4－5a 25a 2－5， ∴渐近线被椭圆截得的弦长为25·a 4－5a 25a 2－5， 又椭圆C 1把AB 三等分， ∴25·a 4－5a 25a 2－5＝2a 3，解得a2＝112， ∴b 2＝a 2－5＝12.『答案』 C1．本题涉及到三种曲线，较复杂，可采用数形结合，寻找解题的突破口，关键是发现曲线C 1截直线AB 所得弦长为13|AB |.2．双曲线中c 2＝a 2＋b 2，双曲线渐近线的斜率与离心率的关系b a ＝e 2－1(e ＝ca )．抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a ，b ，c ，e 间相互关系及转化，简化解题过程．图8－6－1(2012·湖北高考改编)如图8－6－1，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则双曲线的离心率e ＝________．『解析』 由题设|OB 2|＝b ，|OF 1|＝c ，∵点B 是以A 1A 2为直径的圆与菱形F 1B 1F 2B 2的切点，∴OB ⊥B 2F 1，在Rt △F 1OB 2中，易知|F 1B 2|＝b 2＋c 2，∴由等面积法，|OB |＝bcb 2＋c2，因此bcb 2＋c 2＝a ，∴b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)(*)又b 2＝c 2－a 2，将(*)化为c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，又e ＞1，∴e 2＝3＋52，则e ＝1＋52.『答案』 1＋52一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．两种方法求双曲线的标准方程：(1)定义法，由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，写出方程．(2)待定系数法，即“先定型，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．三个防范1.区分双曲线中a ，b ，c 的大小关系与椭圆a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b2.2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±ab x .从近两年的高考看，双曲线的标准方程及几何性质是高考的热点，特别是双曲线的几何性质，几乎每年均有涉及，且主要以选择题和填空题为主，属中低档题目，在解答过程中，为了挖掘题目的隐含条件，应充分利用数形结合的思想．易错辨析之十四 双曲线几何性质的求解误区(2011·山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 『错解』 由x 2＋y 2－6x ＋5＝0，知圆心C (3，0)，半径r ＝2， 又x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为ax ±by ＝0，且与圆C 相切， ∴|3a |a 2＋b2＝2，即5a 2＝4b 2① ∵双曲线的右焦点为圆C 的圆心 ∴c ＝3，从而9＝a 2＋b 2，② 由①②联立，得a 2＝4，b 2＝5， 所以该曲线的方程为x 24－y 25＝1，选B.『答案』 B错因分析：(1)错求双曲线的渐近线方程，导致方程①错误；致使误得a 2＝4，b 2＝5, (2)概念不清误以为焦点为(2c ，0)或混淆a ，b ，c 间的关系，错认为a 2＝b 2＋c 2，导致无果而终．防范措施：(1)双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程右端的常数“1”变为“0”即可． (2)区别好椭圆与双曲线中“a ，b ，c 之间关系”，双曲线中a ，b ，c 三者之间，c 最大，应为c 2＝a 2＋b 2.『正解』 将错解中双曲线的渐近线改为bx ±ay ＝0. 由直线与圆相切，得|3b |a 2＋b2＝2，即5b 2＝4a 2①由①②联立，得a 2＝5，b 2＝4， 故所求双曲线方程为x 25－y 24＝1，选A.『答案』 A)图8－6－21．(2012·浙江高考)如图8－6－2，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C.3 D.2 『解析』 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c 1，则椭圆的离心率为e 1＝c 1a.设双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，半焦距为c 2，则双曲线的离心率为e 2＝c 2m .由双曲线与椭圆共焦点知c 1＝c 2.由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a .∴e 2e 1＝c 2m c 1a ＝am＝2. 『答案』 B2．(2012·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5 『解析』 抛物线y 2＝12x的焦点坐标为(3，0)，故双曲线x 24－y 2b2＝1的半焦距c ＝3.由9＝4＋b 2得b ＝5，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±52x .由点到直线的距离公式，得双曲线焦点到其渐近线的距离d ＝|352|54＋1＝ 5.『答案』 A。
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双_曲_线[知识能否忆起]1．双曲线的定义平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－ay ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b 2aa 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－22，0 B.⎝⎛⎭⎫－52，0C.⎝⎛⎭⎫－62，0D.()－3，0解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.∴左焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－62，0. 2．(教材习题改编)若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.255B.32C.233D ．2解析：选C 依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3， 故e ＝2a 2＝23＝233.3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.4．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析：由题意知a 2＋1a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x .答案：y ＝±3x5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支，∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝43.∴|k |·e ＝43×54＝53.答案：531.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．渐近线与离心率：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[注意] 当a >b >0时，双曲线的离心率满足1<e <2； 当a ＝b >0时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)； 当b >a >0时，e > 2.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．双曲线的定义及标准方程典题导入[例1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 (2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[自主解答] (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝ 5.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2， 所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4， 则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3由题悟法1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． (2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．以题试法1．(2012·大连模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：选B 由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2＞1，∴|PF 2|＝17.双曲线的几何性质典题导入[例2] (2012·浙江高考)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 3[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． ∵B (0，b )，∴F 1B 所在的直线为－x c ＋yb ＝1.①双曲线渐近线为y ＝±bax ，由⎩⎨⎧ y ＝ba x ，－x c ＋yb ＝1，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a .由⎩⎨⎧y ＝－ba x ，－x c ＋yb ＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，∴PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c c 2－a 2，bc 2c 2－a 2.由a 2＋b 2＝c 2得，PQ的中点坐标可化为⎝⎛⎭⎫a 2c b 2，c 2b .直线F 1B 的斜率为k ＝bc，∴PQ 的垂直平分线为y －c 2b ＝－c b⎝⎛⎭⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝a 2cb 2＋c ，∴M ⎝⎛⎭⎫a 2c b 2＋c ，0，∴|F 2M |＝a 2c b2. 由|MF 2|＝|F 1F 2|得 a 2c b 2＝a 2c c 2－a 2＝2c ， 即3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.[答案] B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解：根据题意知1＜ba ＜3，即1＜e 2－1＜ 3.所以2＜e ＜2.即离心率的取值范围为( 2，2)．由题悟法1．已知渐近线方程y ＝mx ，求离心率时，若焦点位置不确定时，m ＝b a (m ＞0)或m ＝ab ，故离心率有两种可能．2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．以题试法2．(1)(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43解析：选C 由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.(2)(2012·大同模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x解析：选B 设点P (m ，n )，依题意得，点F (2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且|PF |＝5得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＝5，n 2＝8m ，由此解得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a2－24b2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .直线与双曲线的位置关系典题导入[例3] (2012·南昌模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP ·OQ ＝0.求1|OP |2＋1|OQ |2的值．[自主解答] (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2， 双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 212＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k 23－k2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2.则OQ 的方程为y ＝－1kx ，同理有|OQ |2＝12⎝⎛⎭⎫1＋1k 23－1k2＝12(k 2＋1)3k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16.由题悟法1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．[注意] 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．以题试法3．(2012·长春模拟)F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|1MF ,|＝3|2MF ,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．解析：由双曲线的性质可得|2MF ,|＝b ，则|1MF ,|＝3b .在△MF 1O 中，|OM ,|＝a ，|1OF ,|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－ac ，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－a c ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22，故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x1．(2013·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 22－y 24＝1C.x 224－y 28＝1D.x 28－y 224＝1 解析：选A 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝3，c ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，a 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．若双曲线过点(m ，n )(m ＞n ＞0)，且渐近线方程为y ＝±x ，则双曲线的焦点( ) A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上解析：选A ∵m ＞n ＞0，∴点(m ，n )在第一象限且在直线y ＝x 的下方，故焦点在x 轴上．3．(2012·华南师大附中模拟)已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.32或 52B.32 C. 5D.32或 5 解析：选D∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m ＝4时，e ＝ca ＝a 2－b 2a＝32.当m ＝－4时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝ 5. 4.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：选B 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.5．(2013·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ,·2PF ,＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由1PF ,·2PF ,＝0得1PF ,⊥2PF ,，设|1PF ,|＝m ，|2PF ,|＝n ，不妨设m＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.6．(2012·浙江模拟)平面内有一固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|OP |的最小值为( )A ．3B ．2 C.32D ．1解析：选C 依题意得，动点P 位于以点A ，B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP |的最小值等于32. 7．(2012·西城模拟)若双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k ＝________. 解析：∵双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)， ∴1＋1k ＝32＝9，可得k ＝18.答案：188．(2012·天津高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 29．(2012·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102.答案：10210．(2012·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程； (2)求证：1MF ·2MF ＝0.解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴1MF ·2MF ＝0.11．(2012·广东名校质检)已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1， 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，则∠F 1PF 2＝90°.12．如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，且|PF 1|＝2|PF 2|.(1)求双曲线的离心率e ；(2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1，P 2两点，若OP 1·OP 2＝－274，2PP 1＋PP 2＝0.求双曲线C 的方程． 解：(1)由PF 1·PF 2＝0，得PF 1⊥PF 2，即△F 1PF 2为直角三角形．设|PF 2|＝r ，|PF 1|＝2r ，所以(2r )2＋r 2＝4c 2，2r －r ＝2a ，即5×(2a )2＝4c 2.所以e ＝ 5.(2)b a＝e 2－1＝2，可设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P (x ，y )，则OP 1·OP 2＝x 1x 2－4x 1x 2＝－274， 所以x 1x 2＝94.①由2PP 1＋PP 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝－2(x 1－x )，－2x 2－y ＝－2(2x 1－y )，即x ＝2x 1＋x 23，y ＝2(2x 1－x 2)3.又因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以(2x 1＋x 2)29a 2－4(2x 1－x 2)29b 2＝1.又b 2＝4a 2，代入上式整理得x 1x 2＝98a 2.②由①②得a 2＝2，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 22－y 28＝1.1．(2012·长春模拟)设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|，则e 1e 2e 21＋e 22的值为( )A.22B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，不妨设m ＞n .则由|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|得|1PF ,＋2PF ,|＝|2PF ,－1PF ,|＝|1PF ,－2PF ,|，即|1PF ,＋2PF ,|2＝|1PF ,－2PF ,|2，所以1PF ,·2PF ,＝0，所以m 2＋n 2＝4c 2.又e 1＝2c m ＋n ，e 2＝2c m －n，所以1e 21＋1e 22＝2(m 2＋n 2)4c 2＝2，所以e 1e 2e 21＋e 22＝11e 22＋1e 21＝22. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线的离心率e 的取值范围为________．解析：由题意知直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，同理得，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2，s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2ab c .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.所以5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5.由于e ＞1，所以e 的取值范围为⎣⎡⎦⎤ 52， 5 . 答案：⎣⎡⎦⎤52， 53．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ,＋ON ,＝t OD ,，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，故一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，则|bc |b 2＋12＝3，得b 2＝3，故双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， 则⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，故t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1．(2012·岳阳模拟)直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记1OE ,＝e 1，2OE ,＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP ,＝a e 1＋b e 2，则实数a 和b 满足的一个等式是________．解析：可求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0，a －b ＝y 0，则(a ＋b )2－(a－b )2＝1，得ab ＝14.答案：ab ＝142．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________________．解析：根据已知得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，则|PF 1|＝2b 2a，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x3．(2012·大同模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→,·OB ―→,＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知得a ＝3，c ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)＞0，故k 2≠13且k 2＜1，①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2， x A ·x B ＝－91－3k 2，由OA ,·OB ,＞2得x A x B ＋y A y B ＞2， 又x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1， 于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解不等式得13＜k 2＜3，②由①②得13＜k 2＜1，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.。