《函数》第11讲 函数与方程

函数与方程
[例题1] (1)函数f(x)=x3-x的零点是________; (2)函数f(x)=lgx1 的零点个数是_______. x
1.零点概念
零点不是点
1.函数的零点 横轴的交点的横坐标 (1)定义：函数y=f(x)的图像与____________________ 称为这个函数的零点. (2)几个等价关系： f(x)=0有实数根 f(x)的图象与 x轴有交点
A. c ≤ 3 C. 6＜c ≤9 B. 3＜c ≤6 D. 9＜c
[训练]. 已知函数 f(x)＝|x2＋3x|, x∈R.
若方程 f(x)－a|x－1|＝0 恰有 4个 互异的实数根, 则a的取值范围为____．
2 f ( x ) | 4 x x | a 有4个零 若函数 点，求实数a的取值范围。
由①②ห้องสมุดไป่ตู้知m≤-1.
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解法二：参数分离法
x 1 1 1 m ( x 0) x g( x ) x x
2
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
专题：定义先行 答案：0
作业选讲
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，
∵f（0）=1>0,则应有f(2)≤0, 又∵f（2）=22+（m-1）×2+1, ∴m≤-3/2
结论
y=f(x)在(a,b)
内至少有一
个零点
3.零点分布问题 例题3.m为何值时，对于f (x)＝x2＋2mx+3m+4， ①有且仅有一个零点？ ②有两个零点且均比-1大？ 解析(1) f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点 ⇔方程f(x)＝0有两个相等实根 ⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0， 即m2－3m－4＝0， ∴m＝4或m＝－1.
f(x)有零点
例题 2.函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在区间为 1 A．(－ ，0) 4 1 1 C．( ， ) 4 2 1 B．(0， ) 4 1 3 D．( ， ) 2 4
2.零点存在定理
条件
函数 y=f（x） 在 a, b 上 (1)图像是连续 曲线
(2)f(a)· f(b)<0
2 2 2
[变式].已知 f(x)=(x-m)(x-n)-2 ,且α, β是方
程 f(x) =0 的两根 ,则下列不等式可能 成立的是
A
. B．m＜α＜n＜β D．n＜α＜β＜m
A．β＜m＜n＜α C．α＜m＜β＜n
[变式2]. 已知函数 f(x)＝ x3＋ax2＋bx＋c, 且
C ． 0< f(-1)＝ f(-2)＝ f(-3) ≤ 3 , 则有 ____
3.零点分布问题
(2)方法一：设f(x)的两个零点分别为 x1，x2， 则x1＋x2＝－2m，x1· x2＝3m＋4. Δ＝4m －43m＋4＞0 m －3m－4＞0 由题意，知x1＋1＋x2＋1＞0 ⇔－2m＋2＞0 x1＋1x2＋1＞0 3m＋4－2m＋1＞0 m＞4或m＜－1， ⇔m＜1， m＞－5， ∴－5＜m＜－1，故m的取值范围为(－5，－1)． Δ＞0， m －3m－4＞0， 方法二：由题意，知－m＞－1， 即m＜1， f－1＞0； 1－2m＋3m＋4＞0. ∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
解法三：构造函数法
f ( x) 1 m x x 1 g( x)
2
小结
探究 3 对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分
布问题来解决，结合二次函数的图像从判别式，韦达定理、对 称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有 条件，这里涉及到三个“ 二次问题”的全面考虑和“数形结合 思想”的灵活运用．
作业选讲
7. f ( x ) ( x 2)ln x x3
作业选讲
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围. ②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则
0 2 ( m 1 ) 40 m 1 0 2 , . 3 m 1 2 4 (m 1) 2 1 0 f (2) 0 m 3或m 1 3 3 m 1 , m 1, 2 3 m 2