《函数》第11讲 函数与方程
中考数学复习讲义课件 第3单元 第11讲 一次函数
第11讲 一次函数
1 知识梳理素养形成 2 考法聚焦素养提升
知识梳理素养 形成
考法聚焦素养 提升
一次函数的图象与性质(10 年 6 考) 例 1 已知关于 x 的一次函数 y＝(2m＋1)x＋m－1. (1)若该函数的值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为
(3)每月制作 A 类微课多少个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是多少元？
解：由(2)知，w＝50a＋16500. ∵50＞0，∴w 随 a 的增大而增大． ∴当 a＝9 时，w 有最大值，w 最大＝50×9＋16500＝16950(元)．
答：每月制作 A 类微课 9 个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是 16950 元．
7．(2021·衡阳)如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣 构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度， 可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽 略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为 xcm，单层部分的长度为 ycm. 经测量，得到表中数据. 双层部分长度 x/cm 2 8 14 20 单层部分长度 y/cm 148 136 124 112
品种 A B 原来的运费 45 25 现在的运费 30 20
(1)求每次运输的农产品中 A，B 产品各有多少件； [解答] 解：设每次运输的农产品中 A 产品有 x 件，B 产品有 y 件．根据题 意，得 4350xx＋＋2250yy＝＝11220000，－300.解得yx＝＝3100.， 答：每次运输的农产品中 A 产品有 10 件，B 产品有 30 件．
10．(2021·乐山)如图，已知直线 l1：y＝－2x＋4 与坐标轴分别交于 A，B 两 点，那么过原点 O 且将△AOB 的面积平分的直线 l2 的解析式为( D )
《高等数学》第11章 微分方程习题详解
即 ．
再对 求导，得
，
即 ，
所以 是所给微分方程 的解．
3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件．
（1） ， ；（2） ， ．
解（1）将 ， 代入微分方程，得
所以，所求函数为 ．
（2） ，将 ， 分别代入
和 ，
得
， ，
所以，所求函数为 ．
4．能否适当地选取常数 ，使函数 成为方程 的解．
（*）
这是齐次方程．
设 ，则 ， ，于是（*）式可化为
，
即
，
变量分离，得
，
两端积分，得
，
即
，
将 代入上式，得原方程的通解为
．
（2）原方程可写成
，
该方程属于 类型，一般可令 ．
令 ，有 ，则原方程可化为
，
即
，
积分得
，
将 代入上式，得原方程的通解为
．
习 题 11-3
1．求下列微分方程的通解：
（1） ；（2） ；（3） ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
解（1）将 代入所给微分方程的左边，得左边 ，而右边＝2 左边，所以 是 的解．
（2）将 ， 代入所给微分方程的左边，得左边 右边，所以 是所给微分方程 的解．
（3）将 ， ， 代入所给微分方程的左边，得
左边 （右边），
所以 不是所给微分方程 的解．
（4）对 的两边关于 求导，得
（2）原方程分离变量，得
，
两端积分，得
，
即
，
故原方程的通解为．Biblioteka （3）原方程可化成，
分离变量，得
，
两端积分，得 ，
[整理]11第十一讲二元函数的微分与极值
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泰山学院信息科学技术学院教案)0,0(0,02122)0,0(),(22)0,0(),(f yx xy liny x liny x y x ==+=+→→所以函数在点(0,0)处连续；由偏导数的定义知f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0；但函数在(0, 0)不可微分,这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρρ])0 ,0()0 ,0([lim0y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆→21limlim220220=+=+=→→x x xxy x xyx ρ.不趋向0.4、偏导数的求法（1）复合函数求导法),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===x v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，yvv f y u u f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例5：（1）x v x u v u z cos ,sin ,ln ===,求dxdz （2）),,(22z xy y x x f u =,求zx uy u z u y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,, , 【解】(1)x x x x x v ux v dx dv v z dx du u z dx dz sin tan cos ln cos sin cos .ln -=-=∂∂+∂∂=(2) /32/2/12zf y xyf f x u++=∂∂/3/222xyzf f x y u+=∂∂ ]2[22]2[//33//322/3//23//222222xyzf f x xyz xzf xyzf f x x yu ++++=∂∂=//33222//323/3//233//2244222f z y x yzf x xzf yzf x f x ++++2//332/322//23//13222xy zf y f y xy xyf f xy zx u ⋅++⋅+=∂∂∂ //334/32//2332//1322zf xy f y f y x f xy +++=（2）隐函数求导法若函数),(y x z z =由方程0),,(=z y x F 确定，方程两边关于x 求导，0=∂∂+x Z F F z x ，所以，zx F F x Z -=∂∂，同理，z y F F y Z-=∂∂ 例6：再由2)1,1(=f ，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f（下略）三、应用1.曲面的切平面与法线方程曲面0),,(=z y x f 在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是F x (x 0y 0z 0)(x -x 0)+F y (x 0y 0z 0)(y -y 0)+F z (x 0y 0z 0)(z -z 0)=0.法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.例16： 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式.【解】 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14,F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6.法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3).所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0.法线方程为332211-=-=-z y x 2.场论初步（1）数量场：（方向导数）函数u =f (x , y ，z )在点P 0(x 0, y 0,z 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),,(000z y z l f∂∂γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(000000000z y x f z y x f z y x f z y x ++=,其中cos α, cos β,γcos 是方向l 的方向余弦.。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
人教版八年级下册数学《一次函数与方程、不等式》一次函数研讨复习说课教学课件
探究一：一次函数与一次方程的关系
例2.已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像经过（ 2,3），则方程kx+b=-3的解为_______
【答案】 x=2 【解析】
方程kx+b=-3可看为一次函数y=kx+b，当y=-3时，对应的 x的值，此时x=2，所以该方程的解为x=2.
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
【答案】 x=3 【解析】
方程kx+3=-x+b表示函数y=kx+3和y=-x+b的图象交点，交 点为（2,4），则可得方程的解为x=2.
课后作业
1.(中)根据图象，你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗?
【答案】 x=-3 【解析】
根据图象可以看出，函数y=x+3与x轴的交点为（-3,0）， 说明当x=-3时，x+3=0，即为方程的解。
当y 0时，0 2x 1，解得x - 1 ； 2
当y -1时，-1 2x 1，解得x -1
探究一：一次函数与一次方程的关系
变式:1(易)已知一次函数y=2x+1，当y=3时，2x+1等于几？当 y=0，y=-1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的 形式吗？怎样从函数的角度对解这三个方程进行解释呢？
小结
注意: ①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 ②选择使用公式的方法:主要从项数上看，若多项式是二项式 可考虑平方差公式;若多项式是三项式可考虑完全平方公式。
因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否 则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内 因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式 的结果，必须是几个整式的积的形式。
一次函数与二元一次方程组教案
一次函数与二元一次方程（组）人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十一章第三节42~45P湖北省荆州市沙市第五中学 曾令阳一、教材分析1、教材的地位和作用函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。
用函数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。
本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。
2、教学重难点重点：一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。
难点：综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。
3、教学目标知识技能：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。
数学思考：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。
解决问题：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。
情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
二、教法说明对于认知主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。
以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。
三、教学过程（一）感知身边数学多媒体播放一段发生在电信公司里的情景：一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。
顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。
《函数的零点与方程的解》教学设计
《函数的零点与方程的解》教学设计一、教学内容解析1．内容本节课是《普通高中教科书数学A版必修第一册》第四章第五节函数的应用（二）第一课时的内容．2.内容解析函数与方程是描述客观世界变化规律的基本数学模型，也是中学数学的重要数学思想之一，在高中数学教学中占有非常重要的地位．本节内容是学生在学习了函数的概念及性质、基本初等函数等知识的基础上，结合函数图象及性质，探究函数零点与方程的根之间的关系以及函数在某个区间上存在零点的条件是函数作为解决数学问题的工具在数学知识内部的应用，同时本节课的学习也是为下节“用二分法求方程的近似解”奠定基础，具有承前启后的作用．本节课要求学生通过二次函数的零点的定义抽象出一般函数的零点的概念，并通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的判断，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x轴交点横坐标、函数零点的等价关系，通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，结合其他函数零点所在区间的函数值特征，总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理，最后利用函数零点存在定理研究具体方程根的问题，并利用信息技术作出函数图像帮助学生直观形象地理解本节内容，体现函数的应用价值．函数作为解决数学问题的基本工具，把函数在解方程中加以应用，渗透了许多重要的数学思想，比如函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想．对培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模等学科核心素养，以及树立学数学、用数学的观念与信心具有至关重要的作用．故本节课的教学重点是：函数零点的概念、函数零点与方程的解的关系，以及函数零点存在定理．二、学生学情分析本节课的教学对象是刚进入高中的高一学生，在初中，学生已经对一元二次方程的根的三种情况有了深刻的认识，对二次函数的图象也比较熟悉，通过前面章节的学习，学生已经了解了一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法及函数的一些性质（如奇偶性、单调性、最值等）．本节内容是将函数的零点与方程的解的关系进行进一步讨论，通过几个学生熟悉的具体函数，抽象出零点的概念，归纳函数在某区间有零点的条件，从而得出函数零点存在定理．进一步从代数与几何两个角度判断零点的个数．从代数到几何,从几何到代数全方位理解函数的零点与方程的解之间的关系，几何与代数之间的转化对学生认知水平的要求属“最近发展区”，但学生对知识之间的有机联系把握不到位，应用意识不强，其观察、归纳能力还有待进一步提高．故函数零点的存在定理的生成过程对学生来说是一个难点．这种从学生已有的知识出发理解探究新知识的过程既符合学生的认知规律，也是解决数学问题的一般方法．故本节课的难点是：函数零点存在定理的导出，以及理解函数零点存在定理中的两个条件是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，借助函数图像判断函数零点的个数．三、教学目标设置1.根据二次函数零点的定义抽象出一般函数)(x f y =零点的定义．在此过程中培养学生的数学抽象核心素养；2.通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x 轴的交点的横坐标之间的关系的认识，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x 轴交点横坐标、函数零点的等价关系．在此过程中培养学生的逻辑推理能力以及对数形结合思想的应用；3.通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，再结合更多函数图像，通过观察、对比、分析、总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理。
《一次函数与方程，不等式》优秀教案
以博致雅：“八有效”文化课堂讲学案导学有效问题与点拨１．解方程22021２．当自变量为何值时，函数=22021为0？这两个问题之间有什么联系吗？规律：任何一个一元一次方程都可转化为：b=0（、b为常数，≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是=b（、b为常数，≠0）．当函数值为0时，•即b=0就与一元一次方程完全相同．解关于的方程b=0可以转化为：已知函数=b的函数值为0，•求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线=b，确定它与•轴的交点的横坐标．[例]一个物体现在的速度是5m/，其速度每秒增加2m/，再过几秒它的速度为17m/？[解]方法一：设再过秒物体速度为17m/．由题意可知：25=17解之得：=6．方法二：速度（m/）是时间（）的函数，关系式为：=25．当函数值为17时，对应的自变量值可通过解方程25=17得到=6．方法三：由25=17可变形得到：2-12=0．从图象上看，直线=2-12与轴的交点为（6，0）．得=6．导学有效1问题看下面两个问题有什么关系:（1）解不等式5＋6>3＋10．（2）当自变量为何值时函数＝2－4的值大于02思考:由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式a＋b>0”与“求自变量在什么范围内，一次函数=a＋b的值大于0”有什么关系练习．当自变量的取值满足什么条件时，函数＝3＋8的值满足下列条件（1）=0；（2）＝－7；（3）>0；（4）<2．板书设计一次函数与方程，不等式1 一次函数与方程2 一次函数与不等式---------------------- ------------------------------------------ ---------------------展评有效课堂分组学习——口头展示——教师点评——学生纠错。
《方程的根与函数的零点》 知识清单
《方程的根与函数的零点》知识清单一、方程的根方程是指含有未知数的等式。
对于一个方程，如果存在一个数使得方程左右两边相等，那么这个数就被称为方程的根。
例如，对于方程 x² 2x 3 ＝ 0，通过求解可以得到 x ＝ 3 或 x ＝－1，所以 3 和－1 就是这个方程的根。
方程的根可能是实数，也可能是复数。
在高中阶段，我们主要研究实数范围内方程的根。
求解方程根的方法多种多样，常见的有：1、因式分解法：将方程化为几个因式乘积的形式，令每个因式等于 0，从而求解。
2、配方法：通过配方将方程变形为完全平方式，再进行求解。
3、公式法：对于一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0），其根为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a) 。
二、函数的概念在数学中，设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
函数通常用 y ＝ f(x) 来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
函数的定义域是指自变量 x 的取值范围，值域是指因变量 y 的取值范围。
例如，函数 y ＝ x²，定义域为 R（全体实数），值域为 0, ＋∞）。
三、函数的零点函数 y ＝ f(x) 的零点就是方程 f(x) ＝ 0 的实数解，也就是函数图像与 x 轴交点的横坐标。
换句话说，如果函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ a 处的函数值 f(a) ＝ 0 ，那么x ＝ a 就是函数的一个零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x² 2x 3 ，令 f(x) ＝ 0 ，即 x² 2x 3 ＝ 0 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 ，所以函数 f(x) 的零点为 3 和－1 。
四、函数零点存在性定理如果函数 y ＝ f(x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b) ＜ 0 ，那么函数 y ＝ f(x) 在区间（a, b) 内至少有一个零点。
2022最新中考数学一轮复习《第11讲：反比例函数》精练(含答案)
第11讲反比例函数A组基础题组一、选择题1.已知点A(-1,1)是反比例函数y=m+1x的图象上一点,则m的值为()A.-1B.-2C.0D.12.(2022最新四川自贡)一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=k2x(k1·k2≠0)的图象如图所示,若y1>y2,则x的取值范围是()A.-2<x<0或x>1B.-2<x<1C.x<-2或x>1D.x<-2或0<x<13.(2022最新日照)反比例函数y=kbx的图象如图所示,则一次函数y=kx+b的大致图象是()4.一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x 的图象如图所示,则方程kx+b=2x的解为()A.x1=1,x2=2B.x1=-2,x2=-1C.x1=1,x2=-2D.x1=2,x2=-15.若反比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点P1(2,y1)和P2(3,y2),那么()A.y1<y2<0B.y1>y2>0C.y2<y1<0D.y2>y1>06.若式子√-k 有意义,则函数y=kx+1和y=k2-1x的图象可能是()7.(2022最新云南)如图,A,B两点在反比例函数y=k1x的图象上,C,D两点在反比例函数y=k2x的图象上,AC⊥y轴于点E,BD⊥y轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3,则k1-k2的值是()A.6B.4C.3D.28.(2022最新广东)如图所示,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1x(k1≠0)与双曲线y=k2x(k2≠0)相交于点A,B两点,已知点A的坐标为(1,2),则点B的坐标是()A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-1,-1)D.(-2,-2)二、填空题9.(2022最新东营)如图,B(3,-3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比例函数的解析式为.(k是常数,k≠0)的图象经过10.(2022最新上海)如果反比例函数y=kx点(2,3),那么这个函数图象在的每个象限内,y的值随x的值的增大而.(填“增大”或“减小”)11.(2022最新湖南长沙)如图,点M是函数y=√3x与y=k的图象在第一x象限内的交点,OM=4,则k的值为.12.(2022最新福建)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1的x 图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为.三、解答题13.(2022最新菏泽)如图,已知点D在反比例函数y=a(a≠0)的图象上,x过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b(k≠0)经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC OA=2 5.和一次函数y=kx+b的表达式;(1)求反比例函数y=ax(2)直接写出关于x的不等式a>kx+b的解集.x的图象14.(2022最新湖北武汉)如图,直线y=2x+4与反比例函数y=kx交于A(-3,a)和B两点.(1)求k的值;的图象交于(2)直线y=m(m>0)与直线AB交于点M,与反比例函数y=kx点N,若MN=4,求m的值;>x的解集.(3)直接写出不等式6x-5B组提升题组一、选择题1.函数y=kx与y=-kx2+k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()2.(2022最新临沂)如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=k2x的图象相交于A、B两点,其中点A的横坐标为1.当y1<y2时,x的取值范围是()A.x<-1或x>1B.-1<x<0或x>1C.-1<x<0或0<x<1D.x<-1或0<x<13.(2022最新东平模拟)如图,双曲线y=kx 与直线y=-12x交于A、B两点,且A(-2,m),则点B的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(12,-1) D.(-1,12)二、填空题4.(2022最新江苏南京)函数y1=x与y2=4x的图象如图所示,下列关于函数y=y1+y2的结论:①函数的图象关于原点中心对称;②当x<2时,y随x的增大而减小;③当x>0时,函数图象的最低点的坐标是(2,4).其中正确结论的序号是.三、解答题5.(2022最新聊城)如图,已知反比例函数y=k1x(x>0)的图象与反比例函数y=k2x (x<0)的图象关于y轴对称,A(1,4),B(4,m)是函数y=k1x(x>0)图象上的两点,连接AB,点C(-2,n)是函数y=k2x(x<0)图象上的一点,连接AC,BC.(1)求m,n的值;(2)求AB所在直线的表达式;(3)求△ABC的面积.反比例函数与一次函数综合问题培优训练一、选择题1.如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A(-3,2),B(2,n)两点,则不等式ax+b<kx的解集为()A.-3<x<2B.-3<x<0或x>2C.x>-3D.x<22.在同一直角坐标平面内,如果直线y=k1x与双曲线y=k2x没有交点,那么k1和k2的关系一定是()A.k1+k2=0B.k1·k2<0C.k1·k2>0D.k1=k23.如图,在直角坐标系中,直线y1=2x-2与坐标轴交于A、B两点,与双曲线y2=kx(x>0)交于点C,过点C作CD⊥x轴,垂足为D,且OA=AD,连接BD,则以下结论:①S△ADB =S△ADC;②当0<x<3时,y1<y2;;③当x=3时,EF=83④当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4与直线y=kx+b交于点M、N,并且点M的坐标为4.如图,双曲线y=mx=kx+b的解为(1,3),点N的纵坐标为-1.根据图象可得关于x的方程mx()A.-3,1B.-3,3C.-1,1D.-1,35.如图,正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点E(-1,2),若y1>y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的是()的图象上,直角边BC在x轴6.如图,Rt△ABC的顶点A在双曲线y=kx上,∠ABC=90°,∠ACB=30°,OC=4,连接OA,∠AOB=60°,则k的值是()A.4√3B.-4√3C.2√3D.-2√37.如图,若点M是x轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥y轴,分别交函数y=k1x (x>0)和y=k2x(x>0)的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是()A.∠POQ不可能等于90°B.PMQM =k1 k2C.这两个函数的图象一定关于x轴对称D.△POQ的面积是12(|k1|+|k2|)8.如图所示,已知A(12,y1),B(2,y2)为反比例函数y=1x图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是()A.(12,0) B.(1,0)C.(32,0) D.(52,0)9.如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线y=kx(x>0)经过D点,交BC的延长线于E点,且OB·AC=160,有下列四个结论:①双曲线的解析式为y=20(x>0);②Ex;④AC+OB=12√5.其中正确的结论有点的坐标是(4,8);③sin∠COA=45()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题的图象有两个交点,其中一个交点的横坐标10.已知函数y=ax和y=4-ax为1,则两个函数图象的交点坐标是.(x>0)的图象交于点A, 11.如图,一次函数y=kx+2与反比例函数y=4x与y轴交于点M,与x轴交于点N,且AM MN=1 2,则k=.三、解答题12.如图,直线l1的方程为y=-x+1,直线l2的方程为y=x+5,且两直线与直线l1的另一交点为Q(3,a).相交于点P,过点P的双曲线y=kx(1)求双曲线的解析式;(2)根据图象直接写出不等式k>-x+1的解集;x(3)若l2与x轴的交点为M,求△PQM的面积.(x>0)的图象交于13.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx点P(n,2),与x轴交于点A,与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC,S△PBC=4.(1)求一次函数、反比例函数的解析式;(2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.14.如图,反比例函数y=kx的图象与过两点A(0,-2),B(-1,0)的一次函数的图象在第二象限内相交于点M(m,4).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)在双曲线(x<0)上是否存在点N,使MN⊥MB,若存在,请求出N点坐标,若不存在,说明理由.15.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,将点P向左平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到点Q,点Q 也在该函数y=kx+b的图象上.(1)求k的值;(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=-4x的图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CE⊥x轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为△OAB的面积,若S1S2=7 9 ,求b的值.16.如图1,▱OABC的边OC在y轴的正半轴上,OC=3,A(2,1),反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B.(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式;(2)如图2,将线段OA延长交y=kx(x>0)的图象于点D,过B,D的直线分别交x轴、y轴于E,F两点.①求直线BD的解析式;②求线段ED的长度.第11讲反比例函数A组基础题组一、选择题1.B2.D3.D4.C5.A6.B 因为式子√-k有意义,所以k<0,所以一次函数y=kx+1的图象过第一、二、四象限,故选B.7.D 设点A(m,k1m )、点B(n,k1n),则点C(k2mk1,k1m)、点D(k2nk1,k1n),∵AC=2,BD=1,EF=3,∴{ m -k 2mk 1=2,k 2nk 1-n =1,k 1m -k 1n=3, 解得k 1-k 2=2.8.A 由题可知,A 、B 两点关于原点对称,∵A 的坐标是(1,2),∴B 的坐标是(-1,-2). 二、填空题 9.答案 y=6x解析 B(3,-3),C(5,0),O(0,0),四边形OABC 为平行四边形,则点B 可以看成点C 经过平移得到的,点A 可以看成点O 经过平移得到的,∴点A(-2,-3),代入求解得y=6x .10.答案 减小解析 ∵反比例函数y=kx (k≠0)的图象过点(2,3),∴k=2×3=6>0,∴这个函数图象在的每个象限内,y 的值随x 的值的增大而减小. 11.答案 4√3解析 过点M 作MN⊥x 轴于点N,由已知设M 的坐标为(x,√3x)(x>0),则ON=x,MN=√3x,在Rt△OMN 中,ON 2+MN 2=OM 2,即x 2+(√3x)2=42,解得x=2(舍负),故M(2,2√3),将M 的坐标代入y=kx 中,可得k=4√3.12.答案152解析 ∵点A 在反比例函数y=1x的图象上,且点A 的横坐标是2,∴y=12,即点A 的坐标为(2,12).如图,∵双曲线y=1x 和矩形ABCD 都是轴对称图形和中心对称图形,∴点A 、B 关于直线y=x 对称,∴B (12,2),同理,C (-2,-12),D (-12,-2). ∴AB=√(2-12)2+(12-2)2=3√22. AD=√(2+12)2+(12+2)2=5√22.∴S 矩形ABCD =AB·AD=152.三、解答题13.解析 (1)∵BD=OC,OC OA=2 5,点A(5,0),点B(0,3), ∴OA=5,OC=BD=2,OB=3,又∵点C 在y 轴的负半轴,点D 在第二象限, ∴点C 的坐标为(0,-2),点D 的坐标为(-2,3). ∵点D(-2,3)在反比例函数y=ax 的图象上,∴a=-2×3=-6,∴反比例函数的表达式为y=-6x .将A(5,0)、C(0,-2)代入y=kx+b, 则{5k +b =0,b =-2,解得{k =25,b =-2,∴一次函数的表达式为y=25x-2.(2)x<0.将y=25x-2代入y=-6x,整理得25x 2-2x+6=0,∵Δ=(-2)2-4×25×6=-285<0,∴一次函数图象与反比例函数图象无交点.观察图形,可知:当x<0时,反比例函数图象在一次函数图象上方, ∴不等式ax >kx+b 的解集为x<0.14.解析 (1)∵点A(-3,a)在直线y=2x+4上, ∴a=2×(-3)+4=-2.∵点A(-3,-2)在y=kx 的图象上,∴k=6.(2)∵点M 是直线y=m 与直线AB 的交点, ∴M (m -42,m).∵点N 是直线y=m 与反比例函数y=6x的图象的交点, ∴N (6m ,m).∴MN=x N -x M =6m -m -42=4或MN=x M -x N =m -42-6m=4,解得m=2或m=-6或m=6±4√3, ∵m>0,∴m=2或m=6+4√3. (3)x<-1或5<x<6.B 组 提升题组一、选择题1.B 易知抛物线y=-kx 2+k 的对称轴为x=0.若k>0,则反比例函数的图象过第一、三象限,二次函数的图象的开口向下,与y 轴相交于正半轴;若k<0,则反比例函数的图象过第二、四象限,二次函数的图象的开口向上,与y 轴相交于负半轴,故选B.2.D∵正比例函数y 1=k 1x 与反比例函数y 2=k2x 的图象相交于A 、B 两点,其中点A 的横坐标为1. ∴B 点的横坐标为-1,故当y 1<y 2时,x 的取值范围是x<-1或0<x<1.故选D. 3.A 解法一:当x=-2时, y=-12×(-2)=1,即A(-2,1).将A 点坐标(-2,1)代入y=kx,得k=-2×1=-2,所以反比例函数的解析式为y=-2x ,联立得{y =-2x,y =-12x ,解得{x 1=-2,y 1=1,{x 2=2,y 2=-1, 所以B(2,-1). 故选A.解法二:因为反比例函数的图象和正比例函数的图象都是中心对称图形,所以它们的交点坐标关于原点对称,故选A.二、填空题4.答案①③解析①∵y=y1+y2,∴y=x+4x.若点(a,b)在函数y=x+4x的图象上,则b=a+4a.∵当x=-a时,y=-a-4a =-(a+4a)=-b.∴点(-a,-b)在函数y=x+4x的图象上.∴函数y=x+4x的图象关于原点中心对称,故①正确.②当0<x<2时,随着x的增大,y1增大,y2减小,∴y的变化不能确定;当x<0时,随着x的增大,y1增大,y2减小,∴y的变化不能确定;当x=0时,y无意义.故②错误.③当x>0时,y=x+4x=(√x-√4x )2+2·√x·√4x=(√x-√4x )2+4,当√x=√4x,即x=2时,y取得最小值,y min=4. ∴函数图象的最低点的坐标是(2,4).故③正确. 三、解答题5.解析 (1)∵A(1,4),B(4,m)是函数y=k 1x (x>0)图象上的两点,∴4=k 11,k 1=4.∴y=4x (x>0),∴m=44=1.∵y=k2x(x<0)的图象与y=k1x(x>0)的图象关于y 轴对称,∴点A(1,4)关于y 轴的对称点A 1(-1,4)在y=k2x(x<0)的图象上,∴4=k 2-1,k 2=-4.∴y=-4x(x<0).又∵点C(-2,n)是函数y=-4x(x<0)图象上的一点,∴n=-4(-2)=2.(2)设AB 所在直线的表达式为y=kx+b(k≠0), 将A(1,4),B(4,1)分别代入y=kx+b 得{4=k +b ,1=4k +b ,解这个二元一次方程组,得{k =-1,b =5.∴AB 所在直线的表达式为y=-x+5.(3)自A,B,C 三点分别向x 轴作垂线,垂足分别为A',B',C'.CC'=2,AA'=4,BB'=1,C'A'=3,A'B'=3,C'B'=6. ∴S △ABC =S 梯形CC'A'A +S 梯形AA'B'B -S 梯形CC'B'B=12×(2+4)×3+12×(1+4)×3-12×(2+1)×6=152.反比例函数与一次函数综合问题培优训练一、选择题1.B2.B∵直线y=k1x与双曲线y=k2x没有交点,∴k1x=k2x无解,∴x2=k2k1无解,∴k2k1<0,即k1·k2<0.故选B.3.C 对于直线y1=2x-2,令x=0,得到y=-2;令y=0,得到x=1,∴A(1,0),B(0,-2),即OA=1,OB=2.在△OBA和△DCA中,{∠AOB=∠ADC=90°, OA=DA,∠OAB=∠DAC,∴△OBA≌△DCA(ASA),∴OB=CD=2,OA=AD=1,∴S△ADB =S△ADC(同底等高的三角形面积相等),故①正确;由①知CD=2,OD=OA+AD=2,∴C(2,2),把C点坐标代入反比例函数解析式得k=4,即y2=4x, 由函数图象得,当0<x<2时,y1<y2,故②错误;当x=3时,y 1=4,y 2=43,即EF=4-43=83,故③正确;当x>0时,y 1随x 的增大而增大,y 2随x 的增大而减小,故④正确.故选C.4.A∵M(1,3)在反比例函数图象上, ∴m=1×3=3,∴反比例函数解析式为y=3x ,∵点N 也在反比例函数图象上,点N 的纵坐标为-1. ∴x N =-3, ∴N(-3,-1),∴关于x 的方程mx =kx+b 的解为x=-3或x=1.故选A.5.A∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点E(-1,2), ∴根据图象可知当y 1>y 2>0时x 的取值范围是x<-1, ∴在数轴上表示为,故选A.6.B∵∠ACB=30°,∠AOB=60°, ∴∠OAC=∠AOB -∠ACB=30°, ∴∠OAC=∠ACO, ∴OA=OC=4.在△AOB 中,∠ABC=90°,∴∠OAB=30°, ∴OB=12OA=2,∴AB=√3OB=2√3, ∴A(-2,2√3),把A(-2,2√3)代入y=kx 得k=-2×2√3=-4√3.故选B.7.DA.∵P 点坐标未知,∴当PM=MQ=OM 时,∠POQ 等于90°,故此选项错误;B.由题图知k 1>0,k 2<0,而PM,QM 为线段长度,一定为正值,故PM QM=|k1k 2|,故此选项错误;C.根据k 1,k 2的值不确定,得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称,故此选项错误;D.∵|k 1|=PM·MO,|k 2|=MQ·MO,△POQ 的面积=12MO·PQ=12MO(PM+MQ)=12MO·PM+12MO·MQ,∴△POQ 的面积是12(|k 1|+|k 2|),故此选项正确.故选D.8.D 把A (12,y 1),B(2,y 2)代入反比例函数y=1x得y 1=2,y 2=12,∴A (12,2),B (2,12),∵在△ABP 中,|AP-BP|<AB,∴延长AB 交x 轴于点P',当点P 在P'点位置时,PA-PB=AB, 此时线段AP 与线段BP 之差达到最大. 设直线AB 的解析式是y=kx+b(k≠0),把A 、B 的坐标代入得{2=12k +b ,12=2k +b ,解得k=-1,b=52,∴直线AB 的解析式是y=-x+52,当y=0时,x=52,即P'(52,0),故选D.9.C 过点C 作CF⊥x 轴于点F, ∵OB·AC=160,A 点的坐标为(10,0), ∴菱形OABC 的边长为10, ∴OA·CF=12OB·AC=12×160=80,∴CF=80OA =8010=8,在Rt△OCF 中, ∵OC=10,CF=8,∴OF=√OC 2-CF 2=√102-82=6, ∴C(6,8),易知点D 是线段AC 的中点, ∴D 点坐标为(10+62,82),即(8,4), ∵双曲线y=k x (x>0)经过D 点, ∴4=k8,即k=32,∴双曲线的解析式为y=32x(x>0),故①错误;易知直线CB 的解析式为y=8, ∴{y =32x ,y =8,解得{x =4,y =8,∴E 点坐标为(4,8),故②正确; sin∠COA=CFOC =810=45,故③正确;易知AC=√(10-6)2+(0-8)2=4√5,又∵OB·AC=160, ∴OB=160AC =4√5=8√5,∴AC+OB=4√5+8√5=12√5,故④正确. 故选C.二、填空题10.答案 (1,2)和(-1,-2) 解析 依题意有y=a,y=4-a, 解得a=2.代入原函数有{y =2x ,y =2x,解此方程组得{x 1=1,y 1=2和{x 2=-1,y 2=-2.所以两函数图象的交点坐标为(1,2)和(-1,-2). 11.答案 34解析 过点A 作AD⊥x 轴,由题意可得MO∥AD, 则△NOM∽△NDA, ∵AM MN=1 2, ∴NM AN =MO AD =23,∵一次函数y=kx+2与y 轴的交点为(0,2), ∴MO=2, ∴AD=3, ∴当y=3时,3=4x ,解得x=43,∴A (43,3),将A 点代入y=kx+2得3=43k+2,解得k=34.三、解答题12.解析 (1)解方程组{y =-x +1,y =x +5,得{x =-2,y =3,则P(-2,3),把P(-2,3)代入y=kx 得k=-2×3=-6,∴双曲线的解析式为y=-6x.(2)当x=3时,y=-3+1=-2, 则Q(3,-2),所以不等式kx >-x+1的解集为-2<x<0或x>3.(3)当y=0时,x+5=0,解得x=-5,则M(-5,0),设l 1与x 轴的交点为N,则N(1,0). ∴S △PQM =S △PMN +S △QMN =12×(5+1)×(3+2)=15.13.解析 (1)∵AC=BC,CO⊥AB, ∴O 为AB 的中点,即OA=OB, ∵S △PBC =4,即12OB×PB=4,P(n,2),即PB=2, ∴OA=OB=4,∴P(4,2),B(4,0),A(-4,0). 将A(-4,0)与P(4,2)代入y=kx+b 得{-4k +b =0,4k +b =2,解得{k =14,b =1.∴一次函数的解析式为y=14x+1.将P(4,2)代入反比例函数解析式得2=m 4,解得m=8, ∴反比例函数的解析式为y=8x .(2)假设存在这样的D 点,使四边形BCPD 为菱形.过点C 作x 轴的平行线与双曲线交于点D,连接PD 、BD 、CD,如图所示.令一次函数y=14x+1中x=0,则有y=1,∴点C 的坐标为(0,1), ∵CD∥x 轴,∴设点D 的坐标为(x,1).将点D(x,1)代入反比例函数解析式y=8x中,得1=8x,解得x=8,∴点D 的坐标为(8,1),即CD=8. ∵P 点横坐标为4, ∴BP 与CD 互相垂直平分, ∴四边形BCPD 为菱形.故反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD 为菱形,此时点D 的坐标为(8,1).14.解析 (1)设直线AB 的表达式为y=ax+b(a≠0), 将点A(0,-2),B(-1,0)代入y=ax+b,得 {b =-2,-a +b =0,解得{a =-2,b =-2, ∴一次函数的表达式为y=-2x-2. 当y=-2x-2=4时,x=-3, ∴点M 的坐标为(-3,4),将点M(-3,4)代入y=kx,得4=k-3,解得k=-12,∴反比例函数的表达式为y=-12x.(2)假设存在这样的点N.过点M 作MC⊥x 轴于C,过点N 作ND⊥MC 于D,如图所示. ∵∠MND+∠NMD=90°, ∠BMC+∠NMD=90°, ∴∠MND=∠BMC, 又∵∠MDN=∠BCM=90°, ∴△MDN∽△BCM,∴MD BC =ND MC.设N (n ,-12n ),则有4+12n2=-3-n 4,解得n=-8或n=-3(不合题意,舍去), 经检验,n=-8是原分式方程的解且符合题意, ∴点N 的坐标为(-8,32),∴在双曲线(x<0)上存在点N (-8,32),使MN⊥MB.15.解析 (1)设点P 的坐标为(m,n), 则点Q 的坐标为(m-1,n+2), 依题意得{n =km +b ,n +2=k (m -1)+b ,解得k=-2. (2)根据题意得S △OABS △AEC =916=OB 2CE 2,∴OB CE =34.设点C 的坐标为(a,-2a+b), 则OB=b,CE=-2a+b,∴{b-2a+b =34,-2a +b =-4a,解得b=3√2或b=-3√2(舍去).16.解析 (1)如图1,过点A 作AP⊥x 轴于点P,则AP=1,OP=2.又∵四边形OABC 是平行四边形, ∴AB=OC=3, ∴B(2,4).∵反比例函数y=kx (x>0)的图象经过点B,∴4=k2.∴k=8.∴反比例函数的关系式为y=8x .(2)①设直线BD 的解析式为y=kx+b(k≠0),直线OA 的解析式为y=k 1x(k 1≠0), ∵A(2,1),∴直线OA 的解析式为y=12x.∵点D 是反比例函数y=8x的图象与直线OA 的交点,解方程组{y =12x ,y =8x,得{x =4,y =2或{x =-4,y =-2. ∵点D 在第一象限内, ∴D(4,2).将B 、D 两点代入y=kx+b, ∴直线BD 的解析式为y=-x+6.②把y=0代入y=-x+6,解得x=6.∴E(6,0),过点D作DH⊥x轴于H,如图2,图2∴DH=2,OH=4,∴HE=6-4=2,由勾股定理可得ED=√DH2+HE2=2√2.。
第11讲 一次函数的图象与性质(讲练)(解析版)
2021年中考数学一轮复习讲练测专题11一次函数的图像与性质1、知道一次函数与正比例函数的意义．2、结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定一次函数表达式.3、会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时,图象的变化情况).1．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B【分析】hcm注水时间为t分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．设水面高度为,【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·广西中考真题）直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），则k 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】A【分析】由直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值．【详解】解：∵直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k +2，∴k ＝﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．3．（2020·安徽中考真题）已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4 【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．4．（2020·江苏泰州市·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．1-【答案】C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【详解】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）一次函数21y x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数的图象与系数的关系选出正确选项．【详解】解：根据函数解析式21y x =--，∵k 0<，∴直线斜向下，∵0b <，∴直线经过y 轴负半轴，图象经过二、三、四象限．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是能够根据解析式系数的正负判断图象的形状． 6．（2020·山东济南市·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx b =+中的,k b 对函数图像的影响是解题的关键 ．7．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m +1）x +m -3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（ ）A ．m>-12B ．m<3C ．-12<m<3D ．-12<m≤3 【答案】D【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，21030m m ⎧⎨-⎩＋＞＜，解得：－12＜m ＜3. 当函数图象经过第一，三象限时，21030m m ＋＞＝⎧⎨-⎩，解得m ＝3. ∴－12＜m≤3. 故选D.【点睛】一次函数的图象所在的象限由k ，b 的符号确定：①当k ＞0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，三象限；②当k ＞0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二，三，四象限.注意当b ＝0的特殊情况.8．（2020·西藏中考真题）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm ，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y （单位：cm ）关于所挂物体质量x（单位：kg ）的函数图象如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据题目中的函数解析式，可以求得y 与x 的函数关系式，然后令y ＝7.5，求出x 的值，即此时x 的值就是a 的值，本题得以解决．【详解】解：设y 与x 的函数关系式为y ＝kx+b ，6910.5b k b =⎧⎨+=⎩， 解得，k 0.5b 6=⎧⎨=⎩， 即y 与x 的函数关系式是y ＝0.5x+6，当y ＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x ＝3，即a 的值为3，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．9．（2019·浙江杭州市·中考真题）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式_____.【答案】1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．【详解】符合题意的函数解析式可以是1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等，(本题答案不唯一) 故答案为如1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 10．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y ＝2x +3【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【详解】解：把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，得到y ＝2（x +1）﹣1＝2x +1，再向上平移2个单位长度，得到y ＝2x +3．故答案为：y ＝2x +3．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．11．（2020·天津中考真题）将直线2y x =-向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】21y x =-+【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”，∴将直线2y x =-向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：21y x =-+； 故答案为：21y x =-+．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键． 12．（2020·山东临沂市·中考真题）点1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．【答案】m ＜n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．【详解】解：∵直线2y x b =+中，k=2＞0，∴此函数y 随着x 的增大而增大， ∵12-＜2， ∴m ＜n ．故答案为：m ＜n ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 13．（2020·四川成都市·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为_________． 【答案】12m >【分析】根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：因为一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，所以2m-1＞0． 解得12m >. 故答案为：12m >． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降.14．（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限．【答案】三【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】解：在一次函数2y x b =-+中，∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．15．（2020·江苏宿迁市·中考真题）已知一次函数y ＝2x ﹣1的图象经过A （x 1，1），B （x 2，3）两点，则x 1_____x 2（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】由k ＝2＞0，可得出y 随x 的增大而增大，结合1＜3，即可得出x 1＜x 2．【详解】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大．又∵1＜3，∴x 1＜x 2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”．16．（2020·江苏南京市·中考真题）将一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，所得到的图像对应的函数表达式是__________．【答案】122y x =+ 【分析】 根据原一次函数与x,y 轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.【详解】∵一次函数的解析式为24y x =-+，∴设与x 轴、y 轴的交点坐标为()2,0A 、()0,4B ，∵一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为()10,2A 、()1-4,0B ， 令y ax b =+，代入点得12a =，2b =， ∴旋转后一次函数解析式为122y x =+． 故答案为122y x =+． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．17．（2020·湖南中考真题）已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0， ∴m ＝-18．把m ＝-18代入求得该方程的解为：x ＝-3， 把x ＝-3代入y ＝2x +12得：y ＝6， 即所求的交点坐标为（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．18．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）1y x =+；（2）2m ≥ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到， ∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =， ∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠的函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2）， ∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+， 又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =， ∴m 的取值范围为2m ≥． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．考点一一次函数图像与系数的关系例1．（2020·明光市明湖学校八年级月考）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b 的取值范围确定一次函数y=bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【详解】解：∵一次函数y=kx+b过一、二、四象限，∴则函数值y随x的增大而减小，图象与y轴的正半轴相交∴k＜0，b＞0，∴一次函数y＝bx+k的图象y随x的增大而增大，与y轴负半轴相交，∴一次函数y＝bx+k的图象经过一三四象限.故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．【变式训练】=+的图象如图所示，则下列结论正确的1．（2020·湖南益阳市·中考真题）一次函数y kx b是（）A ．0k <B ．1b =-C ．y 随x 的增大而减小D ．当2x >时，0kx b +<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k ﹥0，且y 随x 的增大而增大，故A 、C 选项错误； 图象与y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B 选项正确； 当x ﹥2时，图象位于x 轴的上方，则有y ﹥0即+kx b ﹥0，D 选项错误， 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．2．（2020·江苏镇江市·中考真题）一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ） A ．第一 B ．第二C ．第三D ．第四【答案】D 【分析】根据一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k ＞0，与y 轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k ＞0，该函数过点（0，3），∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．考点二 一次函数的性质例2． （2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数2y x =+，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点()1,3 B ．图象与x 轴交于点()2,0- C ．图象不经过第四象限 D ．当2x >时，4y <【答案】D 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】A.图象经过点()1,3，正确；B.图象与x 轴交于点()2,0-，正确C.图象经过第一、二、三象限，故错误；D.当2x >时，y ＞4，故错误； 故选D ． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点． 【变式训练】1.（2020·广东广州市·中考真题）一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y 随x 增减而减小． 故选B ． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．2.（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数2y x b =-+中， ∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．考点三 求一次函数的解析式例3（2020·湖南郴州市·中考真题）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式训练】1．（2020·江西中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB 向右上方平移，得到Rt O A B '''△，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A B ''的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+C ．12y x =+D ．2y x =+【答案】B 【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，2230x x --=，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A （0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线12bx a=-=， 经过平移，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上， ∴三角形Rt OAB 向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形Rt OAB 向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线A B ''的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5），可得254k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得：11k b =⎧⎨=⎩，故直线A B ''的表达式为1y x =+， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．2．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，点P 到x 轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．【答案】y ＝－2x 【分析】首先将点P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解． 【详解】∵点P 到x 轴的距离为2， ∴点P 的纵坐标为2，∵点P 在一次函数y ＝－x ＋1上， ∴2＝－x ＋1，解得x ＝－1， ∴点P 的坐标为（－1，2）． 设正比例函数解析式为y ＝kx ，把P （－1，2）代入得2＝－k ，解得k ＝－2， ∴正比例函数解析式为y ＝－2x ， 故答案为：y ＝－2x ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．考点四 一次函数式图像的平移变换例4． （2020·山东日照市·中考真题）将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ） A ．y ＝2x +3 B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝2（x +3）D ．y ＝2（x ﹣3）【答案】A 【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案． 【详解】解：∵将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位， ∴所得图象的函数表达式为：y ＝2x +3． 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【变式训练】1．（2020·四川内江市·中考真题）将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A ．25y x =-- B ．23y x =--C ．21y x =-+D ．23y x =-+【答案】C【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．【详解】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．2.（2020·四川广安市·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b 的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．【答案】y=2x＋7【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论．【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得2=b∴原一次函数解析式为y=2x＋2将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7 故答案为：y=2x＋7．【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键．。
函数概念教案
函数概念教案函数概念教案1教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3 求下列函数的值域：①＝；②＝．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①＝2－x2；②＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5，8，9．函数概念教案2各位领导老师：大家好！今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。
高三数学一轮复习 函数与方程、函数模型及应用课件 新人教B版
• 四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的 符号与系数之间的关系 • 1．方程有两个不相等的正实数根⇔
• 2．方程有两个不相等的负实根⇔
• 五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问 题 • 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三 个方面考虑： • 1．一元二次方程根的判别式； • 2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)若f(x0)· f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间 (x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第 二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在 区间(an，bn)中． 第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间 (an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根． 注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
解析：(1)设投资x万元时，A产品的利润为f(x)万 元，B产品的利润为g(x)万元． 由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， 1 1 由图知f(1)＝4，∴k1＝4. 5 5 又g(4)＝2，∴k2＝4. 1 5 从而f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ x(x≥0)． 4 4
• 解析：(1)当0<x≤100时，f(x)＝60； • 当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01＝61－ 0.01x.
60 ∴f(x)＝ 61－0.01x
0<x≤100 . 100<x≤600
• • • • •
(2)设利润为y元，则0<x≤100时， y＝60x－50x＝10x， ∴x＝100时，ymax＝1000元． 当100<x≤600时， y＝(61－0.01x)·x－50x＝11x－0.01x2
2020年高三一轮复习数学教案第11讲《导数的分类讨论思想与恒成立问题》(学生版)
个性化教学辅导教案1．(2016·青岛模拟)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.2．(2016·衡水中学模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<12，则不等式f(x2)<x22＋12的解集为________________．3、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于() A．11或18 B．11C．18 D．17或181、已知函数f （x ）=x -alnx ，当x ＞1时，f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（-∞，1） C ．（e ，+∞） D ．（-∞，e ）2、已知函数f （x ）=（2-a ）lnx+x1+2ax（Ⅰ）当a=2时，求函数f （x ）的极值； （Ⅱ）当a ＜0时，讨论f （x ）的单调性3、定义在R 上的奇函数y=f （x ）满足f （3）=0，且当x ＞0时，不等式f （x ）＞﹣xf′（x ）恒成立，则函数g （x ）=xf （x ）+lg|x+1|的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、已知函数f （x ）=x 3+3x 对任意的m∈[-2，2]，f （mx -2）+f （x ）＜0恒成立，则x∈ 。
学科分析：从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题,同时与解不等式关系最为密切,还可能与三角函数、数列等知识综合考查,一般出现在选择题和填空题的后两题中以及解答题的第21题,难度较大,复习备考的过程中应引起重视. 学生分析：1、学习风格（动觉型、视觉型、听觉型）2、知识点分析：（1）导数的分类讨论思想 （2）导数的恒成立问题【精准突破一】学习目标：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 目标分解：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 【目标：分类讨论思想在求函数单调区间中的运用 】利用导数求函数单调区间基本方法是先求导数'()0f x >，再解'()0f x >或'()0f x <得到单调递增或递减区间．纵观近几年的高考题，不难发现求函数单调区间问题是屡屡出现，它以导数为研究工具不断的出现在每年的高考题中，常考常新，试题类型也由最初的直接求单调区间问题逐步发展为要利用分类讨论思想才能完成的问题，也即利用分类讨论思想解决求单调区间问题已成为近几年高考的热点问题，这类试题出现频率高、函数类型变化大，对学生的综合能力要求高，但纵观其解题规律则不难看出其分类讨论的依据主要可分为三类：一、根据最高次项系数来分类：在解'()0f x >或'()0f x <得到单调递增或递减区间时，如果最高次项系数带有参数，且参数的取值不确定，则需要对参数的取值进行分类讨论，以此来确定导数在各区间上的符号，从而确定单调区间。
函数与方程
函数与方程
李涛
【期刊名称】《青海教育》
【年(卷),期】2005(000)008
【摘要】在中学数学教学中,运用函数理论解答方程问题的主要理论依据是:①函数y=f(x)与y=g(x)图像交点的横坐标是方程f(x)=g(x)的实根;②一元二次方程实根的分布规律,其载体是一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式.……
【总页数】1页(P74-)
【作者】李涛
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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《函数的零点与方程的解》教案
《函数的零点与方程的解》教案【教案】一、教学目标1.知识与技能（1）了解函数的零点与方程的解的概念；（2）掌握求解函数的零点与方程的解的方法；（3）能够应用所学的方法解决实际问题。
2.过程与方法（2）通过练习题目，巩固学生的计算能力和解题技巧；（3）通过实际问题的解决，培养学生的综合运用能力和实际问题解决能力。
3.情感态度和价值观培养学生良好的数学思维，注重通过观察和实际问题解决培养学生的实际动手操作能力和创新思维。
二、教学重点1.函数的零点与方程的解的概念；2.求解函数的零点与方程的解的方法。
三、教学难点2.应用所学的方法解决实际问题。
四、教学过程1.导入新课（通过一个实例引入函数的零点与方程的解的概念）老师：同学们，我给大家出一个问题，我们知道函数与方程有什么关系吗？学生：函数可以表示成方程的形式。
老师：很好，那么我们来看一个实际问题，如果一个物体从高处自由落体下落，它的速度与时间t的关系可以表示成函数v(t)=9.8t，那么你们觉得什么时候物体的速度为0？学生：根据函数v(t)=9.8t，当t=0时，v(t)=0。
老师：对，我们可以说t=0是函数v(t)=9.8t的一个零点，也就是方程9.8t=0的一个解。
那么变形一下，如果我们想求函数v(t)=9.8t=50的解，该怎么办呢？（在黑板上解方程9.8t=50，找出t的解）老师：同学们，我们知道9.8t=50，那么t=50/9.8，它就是方程9.8t=50的解。
所以，我们可以说50/9.8是函数v(t)=9.8t=50的一个零点，也是方程9.8t=50的一个解。
2.学习新知识（1）函数的零点与方程的解的概念老师：在上面的例子中，我们发现函数的零点与方程的解是有关系的。
那么，我们先来了解一下函数的零点与方程的解的概念。
请同学们看一下书上的定义。
（板书）函数的零点与方程的解的概念函数的零点是使函数取得零值的自变量的值。
方程的解是使方程变成等式的自变量的值。
《函数的零点与方程的解》教案
《函数的零点与方程的解》教案教案：函数的零点与方程的解一、教学目标1.知识目标：了解函数的零点与方程的解的概念和关系。
2.能力目标：能够通过函数图象找出函数的零点和方程的解。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索函数与方程关系的求知欲。
二、教学重点、难点1.教学重点：理解函数的零点与方程的解之间的关系。
2.教学难点：通过函数的图象找出函数的零点和方程的解。
三、教学过程Step 1 引入新知识（10分钟）1.引导学生回顾函数的基本概念，即自变量和因变量的关系。
2.提问：当函数的因变量等于0时，自变量应该是多少？3.引导学生思考，得出结论：函数的零点是使得函数的值为0的自变量的取值。
Step 2 理解函数的零点与方程的解的概念（15分钟）1.给出一道具体的函数和方程的例子，例如：函数f(x)=x^2-2x-3和方程x^2-2x-3=0，让学生对这两者有初步的了解。
2.提问：你能推断出函数的零点和方程的解之间的关系吗？3.学生回答后，教师给予指导，引导学生明确函数的零点就是方程的解。
Step 3 通过函数图象找出函数的零点和方程的解（30分钟）1.引导学生回顾如何绘制函数图象的方法。
2.将函数f(x)=x^2-2x-3的函数图象展示给学生。
3.提问：你能通过函数的图象找出函数的零点吗？4.学生试图找出函数的零点，并解释自己的方法。
5.教师给予肯定和指导，引导学生发现找函数的零点即是找函数图象与x轴交点的横坐标值。
6.引导学生推断出函数的零点与方程的解的关系。
7.让学生通过观察函数图象，找出函数f(x)=x^2-2x-3的零点，并解释自己的方法。
8.学生回答后，教师给予点评和指导。
Step 4 练习与巩固（25分钟）1.给学生一些函数图象，并要求他们找出函数的零点，并写出函数对应的方程。
2.学生进行练习，并互相交流、讨论。
3.教师巡回指导，并及时给予指导和反馈。
Step 5 拓展延伸（15分钟）1.引导学生思考：是否所有函数的零点都可以通过函数图象找出？为什么？2.学生进行思考，并回答问题。
函数与方程发展史
四、函数与方程同学们，学完了函数与方程，你知道含有未知数的等式为什么叫做“方程”吗？你知道函数的概念是怎么演变过来的？你知道大数学家的丢番图和不定方程之间的关系吗？你知道我们的祖先对不定方程的研究吗？你知道科学家们为了数学的发展做出的贡献吗？你知道为什么二分法能求出函数的近似零点吗？请阅读下面的文章．►数学史话方程的由来同学们，我们已经知道了方程的意义．但是，“含有未知数的等式”丝毫没有“方”的意思，为什么叫做“方程”呢？要说明“方程”的由来，先得从我国古代的“筹算”说起．我们现在都用拉丁字母表示数，用阿拉伯数字写数．可是我国古代的人们既不知道拉丁字母，也不认识阿拉伯数字．他们是用“算筹”记数的．你看这个“算”字多有意思！上面是“竹”字，下面是“具”字，所以，“算” 就是“竹制的计算工具”．从汉朝开始，人们用竹子制成许多长六寸（合现在的4．15 市寸）的小竹棒，这些小竹棒就叫“算”，或者叫“筹”，我们现在把它叫做“算筹”，用算筹来计算的方法叫做“筹算”．算筹在“方程”这个词里，“方”就是“列筹成方” 的意思，用算筹列出的方程就是把算筹摆成了一个长方形，“程” 就是“课程”，所以“方程”就是“列筹成方的课程”．十六世纪，随著各种数学符号的相继出现，特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后，“含有未知数的等式”这一专门概念出现了，当时拉丁语称它为“aequatio”，英文为“equation”．十七世纪前后，欧洲代数首次传进中国，当时译“equation”为“相等式”．由于那时我国古代文化的势力还较强，西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较的影响，因此“代数学”连同“相等式”等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究．十九世纪中叶，近代西方数学再次传入我国．1859年，李善兰和英国传教士伟烈亚力，将英国数学家德·摩尔根的《代数初步》译出．李、伟两人很注重数学名词的正确翻译，他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词，许多至今一直沿用．其中，“equation”的译名就是借用了我国古代的“方程”一词．这样，“方程”一词首次意为“含有未知数的等式”．李善兰1873年，我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳，与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的《代数学》，他们则把“equation”译为“方程式”，他们的意思是，“方程”与“方程式”应该区别开来，方程仍指《九章算术》中的意思，而方程式是指“今有未知数的等式”．华蘅芳的主张在很长时间里被广泛采纳．直到1934年，中国数学学会对名词进行一审查，确定“方程”与“方程式”两者意义相通．在广义上，它们是指一元n次方程以及由几个方程联立起来的方程组．狭义则专指一元n次方程．既然“方程”与“方程式”同义，那么“方程”就显得更为简洁明了了．华蘅芳(本文摘自九章出版社之“数学诞生的故事”)函数小史数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用．我们刚学过的函数就是这样的重要概念．在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的．最早提出函数（function ）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如23,,x x x 都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标．1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量x 和常量构成的式子都叫做x 的函数．贝努利所强调的是函数要用公式来表示．莱布尼茨后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上．只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准．1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”欧拉当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数．”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词．柯西1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值．罗巴契夫斯基1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x 的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被比较长期的使用着．狄里克雷自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在中学课本里用的了．中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的．中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思．李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．李善兰在可预见的未来，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展．►思维导航科学家和方程的故事有一次德国著名物理学家爱因斯坦病了，他的一位朋友给他出了一道题消遣：爱因斯坦“如果时钟上的针指向12点钟，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6点钟，时针和分针就不能对调．否则会出现时针指12点，而分针指6点，这种情况是不可能的．问针在什么位置时，时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上可能的时刻？”爱因斯坦说：“这对于病人确实提了一个很有意思的问题，有趣味而不太容易．只是消磨不了多少时间，我已经快解出来了．”说着他在纸上就解起来了．爱因斯坦画了个草图．钟盘上共有60个刻度．分针运转的速度是时针的12倍．爱因斯坦设所求的时针的位置是x点y分，此时分针在离12点有y个刻度的位置，时针在离12点有z个刻度的地方．时针走一点时，分针要转一圈，也就是要转60个刻度．如果时针指向x点钟，分针要转x圈，要转过60x个刻度．现在时针指向x点y分，分针从12点起已转过了60x+y个刻度．由于时针运转的速度是分针的十二分之一，所以时针转过的刻度是z =1260y x +个 把时针、分针对调以后，设所指时刻为x 1点z 分，这时时针离12点有y 个刻度 y =12601z x +个 这样就得到了一组不定方程组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=126012601z x y y x z 其中x 1和x 是不大于11的正整数或0．让x 1和x 取0到11的各种数值时，可以搭配出144组解．但是当x =0,x 1=0时是时针、分针同时指向12点；而x =11,x 1=11时算出y =60,z =60是11点60分，即12点．这样x =0，x 1=0与x =11,x 1=1是同一组解．因此，这组不定方程只有143组解．比如，当x =1,x 1=1时，解出y =5115，z =5115说明1点5115分时，两针重合，可以对调； 当x =2,x 1=3时，解出y =15143135,z =1114347就是2点15143135分与3点1114347分两针可以对调．爱因斯坦的朋友十分钦佩爱因斯坦的解题能力．“逼近思想”与“二分法”用二分法求函数的零点或方程的近似解是《普通高中数学课程标准》新增的内容之一．作为算法体系中求方程近似解的一种重要的方法，二分法是解非线性方程()0f x =的一种直观而又简单的算法，它的依据是如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间[],a b 内至少有一个零点，即至少存在一点c 使得c 就是方程()0f x =的根．具体计算步骤是，不断缩小区间的长度，使区间中点逐步逼近根的精确值，周而复始，不断二分以缩小区间的长度，理论上这一过程可以无限进行下去，如同古代《墨经》所说的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．但实际上，只要满足某种精度要求的近似解，进行有限步便可终止．从算法当中，我们可以体会到二分法用到了逼近的思想，是通过不断缩小区间，使区间的中点逐渐逼近根的精确值．无限逼近的思想是高中数学的重要思想方法．1、数学中逼近思想的应用早在我国的三国时代，数学家刘徽就用“割圆术”求出了比较精确的圆周率．他发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越逼近圆面积．于是，刘徽利用正多边形面积和圆面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边形……，一直到正三百七二边形，算出圆周率等于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点后第四位．这种“割圆术”所用的数学思想，就是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想．刘徽在定积分概念的教学当中，求曲边梯形的面积，我们正是从正多边形逼近圆的方法中得到”以直代曲”的思想，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．可以想象，随着拆分越来越细近似程度就会越来越好，也即：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．具体的实施步骤为（1）分割，（2）近似代替，（3）求和，（4）取极限．例如，求下图函数1cos y x =-，[]02,x π∈与x 轴围成图形的面积．我们可以先将x 轴上的区间[]02,π分成n 等份，从各分点作y 轴的平行线与函数图象相交，依次连结图象上相邻的交点，构成了n 个梯形（其中首尾两个为三角形），用这个梯形的面积之和来近似代替所求图形的面积．但为了计算方便，也可以通过向曲线外或曲线内作矩形来近似逼近如下图：这样，用逼近思想可求得阴影部分的面积．2、二分法是怎样体现逼近的？ 理论上二分法的过程可以无限进行下去，如同古代《墨经》所说的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．但实际上，只要满足某种精度要求的近似解，进行有限步便可终止．也就是说二分法的本质是通过“取中夹逼”的办法把所求函数的零点或方程的根“逼”到一个符合精度要求的区间内，从而得到近似答案．近些年来，由于计算机技术的发展，才使得这种方法有了很大的使用价值．在具体求解的过程当中有“精确度”与“精确到”两种：精确度与方程的精确解和近似解的差的绝对值有关，如果这个绝对值小于某个数值，那么这个数值就是精确度．由于方程的根x 和n x 均位于区间,n n a b ⎡⎤⎣⎦，由绝对值的意义，容易知道n n n x x b a -≤-．此时教科书定义了精确度的概念：若区间,n n a b ⎡⎤⎣⎦的长度n n b a ε-<．则为ε方程的近似解n x 的精确度．精确到是一个有效数字，我们说精确到0．01，则π的近似数3．14．用二分法求方程3310x x +-=的近似解0x x =时，我们经第一次计算知()0005,.x ∈，区间两个端点值0与05.精确到01.的近似值分别为0和05.，不为同一个值，不符合题义；第二次计算后()002505.,.x ∈其区间两端点值0．25 与05.精确到01.的近似值分别为03.和05.，不为同一值，不符合题意；第三次计算后知()00250375.,.x ∈，其区间两个端点值0．25 与0．375 精确到01.的近似值分别为03.和04.，不为同一个值，也不符合题意；第五次()003125034375.,.x ∈，其区间的两个端点值为同一个近似值，符合题意，所以需经过5次计算．但最后发现近似值03.不在区间内似乎体现不出“夹逼”，反而给人虚化的感觉．其实这个题目最好的解法:（1）是“精确度”为ε，那就使区间不断缩小直到第一次出现间距小于ε，这样就能更形象、直观、贴切地刻画“二分法”的“逐步逼近”的思想．（2）是“精确到” 01.，那么此题经过3 次计算后，方程的解落在区间（0．25，0．375）， 此区间的两个端点值，在给定的精确度01.的限制下，左端点值0．25 向右“逼近” 03.，右端点0．375 向左“逼近” 03.，因左右“夹逼”后为同一个数值03.，所以只需计算3 次，方程的近似解就为03.，从而大大减少“压缩”的次数．这样更能有效地体现“二分法”的“逐步逼近”思想．3、“二分法”的逐步逼近思想是怎样实现的？当前信息技术功能强大，尤其是图形计算机和数字计算机的大量使用只要输入方程的表达式，按下“求解”键，就能得到方程的精确解或近似解；同样，在“函数作图与分析功能”中，通过画出相应函数的图象，分析函数与横坐标轴的交点，也能得到方程的精确解或近似解．作为算法体系中求方程近似解的一种重要的方法，二分法是解非线性方程的一种直观而又简单的算法，它的本质就是区间迭代的数值算法．在信息技术环境下，学习二分法，一是给我们提供了快速计算的工具，提高运算的效率；二是给我们提供了验证的工具，检验结论的正确性．总之，“二分法”朴素而又寓意深刻的体现了数学逼近的过程．“二分法”包含了许多以后可以在算法以及其他方面运用和推广的朴素的思想，可以真实地让我们在学习中感受“整体→局部”，“定性→定量”，“精确→近似”，“计算→技术”，“技法→算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育价值．►数学应用故事中的数学一、有趣的故事（问题的提出）你看过“聪明的邻居”这个看似简单，其实蕴涵深刻道理的故事吗？这个故事是在阿拉伯民间开始流传的．后来，它传到了世界各国，一次又一次地被编到各种读物中．看过这个故事的人们，无不赞叹邻居的机智聪颖和解决问题的巧妙程度，他带给人们一种“魔幻”的震撼力．故事是这样的：从前有个农民，他有17只羊．临终前，他嘱咐把羊分给3个儿子．他说，大儿子分一半，二儿子分13，小儿子分19，但是不许把羊杀死或卖掉．3个儿子没有办法分，就去请教邻居．聪明的邻居带了1只羊来给他们，羊就有18只了．于是，大儿子分12，得9只；二儿子分13，得6只；小儿子分19，得2只．3个人共分去17只．剩下的1只，由邻居带了回去．听完了这个故事，你有什么想法？是不是觉得很凑巧？那么，到底有没有不这么凑巧的情况呢？我们接着研究……二、模仿原故事（分析与假设）现在，让我们来改动一下这个故事里的数字，看看结果是怎样的呢？假设农民还有17只羊，还是分给3个儿子，还是大儿子分12，二儿子分13．但是，小儿子不是分19，而是分16．要是这时邻居牵了一只羊送去，结果：大儿子得9只，二儿子得6只，小儿子得3只．18只羊都分光了，邻居则损失了1只羊．再假设农民对17只羊的分配方案是：大儿子13，二儿子16，小儿子19．要是这时邻居送1只羊去，大儿子分得6只，二儿子分得3只，小儿子分得2只．这时，18只羊还剩下7只，邻居不可能把它们都拿走吧？！想要充当故事里聪明的角色并不是那么容易的，需要弄清里面的道理，才能避免失败．要是你忘记了农民有多少只羊，也记不清分配方案，又想向别人讲这个故事，应该怎样把忘记的数字找回来呢？我们接着研究……三、列方程求解（建立模型）1、农民有n 只羊．其中，n 是一个未知的正整数．2、农民要求大儿子分1x ，二儿子分1y，小儿子分1z ．其中，x 、y 、z 也是3个未知的正整数．在这3个未知数中，1＞1x ＞1y ＞1z，所以，1x y z <<<． 3、牵来一只羊后，羊就能够分配了．这就是说，,,x y z 都能整除()1n +． 4、3个儿子分过之后，还剩下1只羊． 根据以上这些条件，我们来建立方程——大儿子分到的羊数：1n x+； 二儿子分到的羊数：1n y+； 小儿子分到的羊数：1n z+；方程：1n x + +1n y+ +1n z + n = 两边除以()1n +，得：1x +1y+1z =1n n + =111n -+移项，得：1x +1y+1z 11n ++ =1 设1n ω+=，得：1x +1y+1z 1ω+ =1方程得到了，那么这个不定方程需满足哪些条件呢？ 1、,,,x y z ω必须是正整数 2、,,x y z 能整除ω3、1x y zω<<<<这样的方程能解吗？我们接着研究……四、想办法解方程（模型的解）解法：∵x y zω<<<又∵1x+1y+1z1ω+=1∴1x+1x+1x+1x＞1x+1y+1z1ω+=1∴4x＞1 即4x<因为x不能等于1，而且x是正整数，所以x等于2或3．在故事中，大儿子必须分到1 2或13．设x=2，代入1x+1y+1z+1ω=1得1y+1z1ω+=112-，1y+1z+1ω=12∵y zω<<又∵1y+1z+1ω=12∴1y＜12，3y＞12∴26y<<即345,,y=在故事中，当大儿子分12时，二儿子只能分13、14、15．设x=3，得1y+1z+1ω=23同理得，32＜y＜92即y=2、3、4，若y=2、3，就小于或等于x了，所以y=4．在故事中，当大儿子分13时，二儿子只能分14．按照这种方法，我们可以把各种可能的分配方案都找出来．五、故事的七种讲法（结论）►数学欣赏丢番图和不定方程埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名．在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心．亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者．他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导．英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华．”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授．在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书．丢番图这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了．在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书．这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程．他是第一个引进符号入希腊数学的人．如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数．” 第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数．”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数．”写成现代的式子，令,,a b c 是直角三角形的三边，则有： 2222312,,a b c ab c M a b c N ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎩，这里就要考虑到三次方程了．这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程．以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程（Diophantine Equations ）．这里举几个例子，像《算术》第二卷第8题：“将一个已知的平方数分为两个平方数．”例如将16分成两个平方数，设一个平方数是x 2，另外一个是16-x 2．由于要求是平方数16-x 2＝y 2，因此，我们一个方程有两个未知数x ，y ．第四卷第3题：“求两个平方，使其和是一个立方数．”写成代数式子是求x 2＋y 2=z 3 的解．丢番图不限定解是整数的问题，而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解，这是和他不同的地方．一次丢番图方程：我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程．这类方程一般是形如ax by c +=，,,a b c 都是整数．一般人认为这是印度数学家婆罗笈多（Brohmagupta ）所给出的解决，他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法，我们举几个例子来说明．例1 求1027x ＋712y ＝1的整数解．我们这里10277121,,a b c ===1＝1×13-3×4 =-3×69+16×13 ＝16×82-19×69 =-19×315＋73×82 ＝73×712-165×315 =-165×1027+238×712于是00165238,x y =-=是方程的一个特殊解． 例 2 求 33x ＋17y=13的整数解． 先求 33x ＋17y=1的整数解所以 1=17×1-16×1＝33×1-16×2 故 13=33×13-16×（2×13）即x 0=13，y 0=26是 33x ＋17y=13的特殊解． 我们有下面的定理：[定理] 丢番图方程 ax ＋by=c 有解，当且仅当 a 、 b 的最大公约数d=（a ，b ）能整除c ．而它的一般解是：x=x 0+Bt ；y=y 0-At ．这里（x 0，y 0）是方程的一个特殊解，A ，B 由a=Ad ，b=Bd 给出，t 是任意的整数． 因此方程33x ＋17y=13的一般解是： x=13+17t ；y ＝26-33t ． 三次的丢番图方程：在丢番图的《算术》第四卷第3题：“求两个平方数，使其和是一个立方数．”写成代数式子是223x y z +=．丢番图给出一个解答是这样：假设2y x =，则2222245x y x x x +=+=．如果z 是x的第一倍数，比方说它就是x ，于是235x x =，5x =，所以210y x ==．故两个平方数是25和 100，而25＋100=125=53．丢番图没有给出一般解，你能找到它的一般解吗？在《算术》书里还有第六卷第17题：“求直角三角形三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数．”写成式子是： 2222312,,a b c ab c M a b c N ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎩这里有一个故事：印度有一个靠自学成功的数学家，他的名叫拉玛奴江，他在27岁之前靠自修发现了一些美妙的数学定理，后来有机会到英国剑桥大学去和著名的数学家哈地一起工作．拉玛奴江哈地发现拉玛奴江在某方面的数学知识是很无知就像白痴一样，可是在对数学以及级数的认识以及直觉能力惊人就像天才．哈地认为他不需要去上课，而是直接和他讨论共同研究一些有趣的难题．拉玛奴江在留英期间不长，只是短短的五年，可是发表了21篇论文和17篇注记．后来由于他在青少年时因贫病，身体衰弱，肺部被结核菌侵蚀，住进医院一个时期．他后来要求回印度，过了不久就去世，死时才33岁．哈地有一次去医院探望拉玛奴江，他叫了一辆出租汽车，到了医院就对在病床上显得百无聊赖的拉玛奴江说：“我刚才乘的汽车，车牌号码是1729，看来这个数字没有什么特别的意义．”谁知拉玛奴江稍微思索就回答：“这是最小的整数能用二种方法来表示为二个整数的立方的和．”即33331729112910=+=+。
函数与方程教学反思
函数与方程教学反思篇一：函数方程不等式教学反思《函数·方程·不等式》教学反思广州市第一一三中学廖娟年一、教材内容的地位与作用：函数与方程、不等式在初中数学教学中有重要地位，函数是初中数学教学的重点和难点之一。
方程、不等式与函数综合题，历年来是中考热点之一，主要采用以函数为主线，将函数图象、性质和方程及不等式的相关知识进行综合运用，渗透数形结合的思想方法。
二、教学设计的整体构思㈠教学目标1.复习和巩固一次函数和二次函数的图象与性质等基础知识。
2.加强一次函数，一次方程和一元一次不等式三者的联系3.加强二次函数，一元二次方程和一元二次不等式三者的联系 4．会结合自变量的取值范围求实际问题的最值㈡教学重点1、函数、方程和不等式三者的区别与联系。
2、运用函数、方程与不等式的关系及转化的思想方法解决函数与方程、不等式的综合问题。
㈢教学难点对实际问题中二次函数的最值要结合自变量的取值范围及图像来解决，从而深化数形结合的思想方法。
㈣学情分析教学班为中等层次的班，学生的学习基础比较均衡，学习积极性高，但是拔尖的学生不多。
本节课在学生第一轮复习了函数、方程、不等式有关知识的基础上，进一步研究解决函数、方程、不等式之间的联系与区别及三者相结合的综合题。
㈤教学策略以学生练习为主，讲练结合，通过环节二、环节三的练习及课件突出本节课的重点：加强了函数、方程和不等式三者的区别与联系，从而渗透数形结合和转化的思想。
利用环节四让学生学会用函数和方程的思想来构建函数模型来解决实际问题，通过小组讨论，用集体的智慧突破本节课的难点：求实际问题的最值时，需对所得的函数结合自变量的取值范围及结合图像才能求得最值，从而让学生更深刻体会数形结合的数学思想。
三、教学反思：㈠结构严谨，环环相扣，层现清晰本节课用五个环节组织教学。
环节一是知识的回顾，这部分复习了函数、方程、不等式的基础知识，引入部分简单过渡，激发兴趣，为后面作铺垫。
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专题：定义先行 答案：0
作业选讲
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，
∵f（0）=1>0,则应有f(2)≤0, 又∵f（2）=22+（m-1）×2+1, ∴m≤-3/2
作业选讲
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围. ②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则
0 2 ( m 1 ) 40 m 1 0 2 , . 3 m 1 2 4 (m 1) 2 1 0 f (2) 0 m 3或m 1 3 3 m 1 , m 1, 2 3 m 2
结论
y=f(x)在(a,b)
内至少有一
个零点
3.零点分布问题 例题3.m为何值时，对于f (x)＝x2＋2mx+3m+4， ①有且仅有一个零点？ ②有两个零点且均比-1大？ 解析(1) f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点 ⇔方程f(x)＝0有两个相等实根 ⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0， 即m2－3m－4＝0， ∴m＝4或m＝－1.
A. c ≤ 3 C. 6＜c ≤9 B. 3＜c ≤6 D. 9＜c
[训练]. 已知函数 f(x)＝|x2＋3x|, x∈R.
若方程 f(x)－a|x－1|＝0 恰有 4个 互异的实数根, 则a的取值范围为____．
2 f ( x ) | 4 x x | a 有4个零 若函数 点，求实数a的取值范围。
3.零点分布问题
(2)方法一：设f(x)的两个零点分别为 x1，x2， 则x1＋x2＝－2m，x1· x2＝3m＋4. Δ＝4m －43m＋4＞0 m －3m－4＞0 由题意，知x1＋1＋x2＋1＞0 ⇔－2m＋2＞0 x1＋1x2＋1＞0 3m＋4－2m＋1＞0 m＞4或m＜－1， ⇔m＜1， m＞－5， ∴－5＜m＜－1，故m的取值范围为(－5，－1)． Δ＞0， m －3m－4＞0， 方法二：由题意，知－m＞－1， 即m＜1， f－1＞0； 1－2m＋3m＋4＞0. ∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
解法三：构造函数法
f ( x) 1 m x x 1 g( x)
2
f(x)有零点
例题 2.函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在区间为 1 A．(－ ，0) 4 1 1 C．( ， ) 4 2 1 B．(0， ) 4 1 3 D．( ， ) 2 4
2.零点存在定理
条件
函数 y=f（x） 在 a, b 上 (1)图像是连续 曲线
(2)f(a)· f(b)<0
由①②可知m≤-1.
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解法二：参数分离法
x 1 1 1 m ( x 0) x g( x ) x x
2
10.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
2 2 2
[变式].已知 f(x)=(x-m)(x-n)-2 ,且α, β是方
程 f(x) =0 的两根 ,则下列不等式可能 成立的是
A
. B．m＜α＜n＜β D．n＜α＜β＜m
A．β＜m＜n＜α C．α＜m＜β＜n
[变式2]. 已知函数 f(x)＝ x3＋ax2＋bx＋c, 且
C ． 0< f(-1)＝ f(-2)＝ f(-3) ≤ 3 , 则有 ____
函数与方程
[例题1] (1)函数f(x)=x3-x的零点是________; (2)函数f(x)=lgx1 的零点个数是_______. x
.零点概念
零点不是点
1.函数的零点 横轴的交点的横坐标 (1)定义：函数y=f(x)的图像与____________________ 称为这个函数的零点. (2)几个等价关系： f(x)=0有实数根 f(x)的图象与 x轴有交点
小结
探究 3 对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分
布问题来解决，结合二次函数的图像从判别式，韦达定理、对 称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有 条件，这里涉及到三个“ 二次问题”的全面考虑和“数形结合 思想”的灵活运用．
作业选讲
7. f ( x ) ( x 2)ln x x3