机械基础-案例11实现预定轨迹的平面四连杆机构的优化设计

实现预定轨迹的平面四连杆机构的

数学建模及其优化设计

一．问题描述

设计一平面四连杆机构，如图1所示。要求曲柄在运动过程中实现运动轨迹

x y 2=，52<

图1

二．建立优化数学模型 1．确定设计变量

根据设计要求，由机械原理知识可知，设计变量有L1、L2、L3、L4、ϕ。将曲柄的长度取为一个单位长度1，其余三杆长可表示为L1的倍数。由图1所示的几何关系可知

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⋅--+=432

4

232212)(arccos L L L L L L ϕ

ϕ为杆长的函数。另外，根据机构在机器中的许可空间，可以适当预选机架L4

的长度，取L4=5，经以上分析，只剩下L2、L3两个独立变量，所以，该优化问题的设计变量为

[][]T

T

L L X X X 3221,,==

因此。本优化设计为一个二维优化问题。 2.建立目标函数

按轨迹的优化设计，可以将连杆上M 点()mi mi y x ,与预期轨迹点坐标偏差最小

为寻优目标，其偏差为i Mi i x x x -=∆和i Mi i y y y -=∆()n x i ,,2,1⋅⋅⋅=，如图2。为此，把摇杆运动区间2到5分成S 等分，M 点坐标有相应分点与之对应。将各分点标号记作i ，根据均方根差可建立其目标函数，即

()()()

[

]

min 2

/122

→-+-=∑i Mi i Mi y y x x X f

ϕsin 3L y Mi =

ϕcos 33⋅+=L x Mi

i i x

y ⋅=2

)1(3

1-+=i s

x i ，S 为运动区间的分段数

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⋅--+=432

4

232212)(arccos L L L L L L ϕ

于是由以上表达式便构成了一个目标函数的数学表达式，对应于每一个机构设计方案（即给定21,X X ），即可计算出均方根差()X f 。

图 2

3.确定约束条件

根据设计条件，该机构的约束条件有两个方面：一是传递运动过程中的最小传动角γ应大于50度；二是保证四杆机构满足曲柄存在的条件。以此为基础建立优化线束条件。 ①保证传动角 50>γ

图 3

按传动条件，根据图3可能发生传动角最小值的位置图，由余弦定理 6428.050cos =

6428.0arccos 2)(arccos 3

22

3

22241≥⋅⋅--+=L L L L L L γ

所以

322

3222412496.1)(L L L L L L ⋅⋅≥--+ （a ）

6428.0arccos 2)(arccos 3

22

1

42322≥⋅⋅--+=L L L L L L γ

所以

322

1423222496.1)(L L L L L L ⋅⋅≥--+ （b ）

式（a ）、（b ）为两个约束条件，将11=L ，54=L ，12x L =，23x L =代入式（a ）、（b ），得

()0362496.12122211≤+⋅---=x x x x x g ()0162496.12122212≤-⋅-+=x x x x x g

②曲柄存在的条件

按曲柄存在条件，由机械原理知识可知

12L L ≥，13L L ≥，3241L L L L +≤+

4321L L L L +≤+，4231L L L L +≤+

把它们写成不等式约束条件（将11=L ，54=L ，12x L =，23x L =代入上式），得

()0113≤-=x x g

()0124≤-=x x g ()06215≤--=x x x g ()04216≤--=x x x g ()04127≤--=x x x g

经过分析，上述七个约束条件式中，()X g 1和()X g 2为紧约束条件，()()X g X g 73~为松约束条件，即满足()01≤X g 和()02≤X g 的X ，必满足不等式

()()0~073≤≤X g X g ，所以本优化问题实际起作用的只有()X g 1和()X g 2两个不

等式约束条件。 4.写出优化数学模型

综上所述，可得本优化问题的数学模型为

()()()

[

]

∑=-+-=s

i i Mi i Mi y y x x X f 02

/122

min

[][]T

T L L X X X 3221,,==

t s . ()0362496.1212

2

211≤+⋅---=x x x x x g ()0162496.1212

2

212≤-⋅-+=x x x x x g 即本优化问题具有两个不等式约束的二维约束优化问题。 三．选择优化方法及优化结果

选取Matlab 2011a 版优化工具箱进行本优化问题优化。取初始点

()[]T

X 2,30=，优化结果为

[][]T

T

x x X 69.2,10.5,2

1==*

**，

即L2=5.10（长度单位），L3=2.69（长度单位）；

()

2.41==**X f f