若干图的Mycielski图的点可区别均匀边色数
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f（vn-1vn）=f（vn-2vn-1′）=1 f（vn-1vn′）=f（vnvn-1′）=2 f（v1v2）=f（vn-1vn-2′）=n f（vi′w）=i（i=1，2，…，n） f（vivi+1）=i（i=2，3，…，n-2） f（vivi+1′）=f（vi+1vi′）=i+2（i=1，2，…，n-3） 此时
情形 1.1 当 n=3 时，令 C={1，2，3，4，5}构造 f 如下
f（v1v2）=f（v1′w）=1 f（v2v3）=f（v2′w）=2 f（v1v3）=f（v3′w）=3
f（v1v2′）=f（v2v3′）=f（v3v1′）=4 f（v2v1′）=f（v3v2′）=f（v1v3′）=5
此时
C（v1）={1，3，4，5} C（v2）={1，2，4，5} C（v3）={2，3，4，5} C（v1′）={1，4，5}
安常胜， 冯旭霞， 罗 亮， 崔俊峰
（兰州交通大学 数理与软件工程学院，甘肃 兰州 730070）
摘 要 ： 简 单 图 G 的 正 常 边 染 色 f， 若 对 于 坌u，v∈V （G）， 有 C （u）≠C （v）， 称 f 是 图 G 的 点 可 区 别 边 染 色 ， 其 中
C（u）={f（uv） uv∈E（G）}。 若满足 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，k），其中坌e∈Ei， f（e）=i（i=1，2，…，k），称 f 是图 G 的点可 区别均匀边染色。 讨论了若干图的 Mycielski 图的点可区别均匀边染色。
f（v1v2）=f（v1′w）=1 f（v1v2′）=f（v3′w）=f（v2v3）=2 f（v2v1′）=f（v3v2′）=3 f（v2v3′）=f（v2′w）=4
此时
C（v1）={1，2} C（v2）={1，2，3，4} C（v3）={2，3} C（v1′）={1，3}
23 i=2
C（v2′）={2，3，4} C（v3′）={2，4} C（w）={1，2，4}且|Ei|= 2 其他
第1期
安常胜等：若干图的 Mycielski 图的点可区别均匀边色数
23
≥5 n=3，4
定理 2 设 Cn 是 n 阶圈，则有 χvde′（M（Cn））= n n≥5 。
证明 情形 1 当 n=3，4 时，易得 μ（M（C3））=μ（M（C4））=5。
显然，有 χvde′（M（C3））≥μ（M（C3））=5， χvde′（M（C4））≥μ（M（C4））=5，只需证明 M（C3），M（C4）有一个 5-VDEEC。
此时
C（v1）={3，5} C（v2）={1，2，3，5} C（v3）={1，2，4，5} C（v4）={4，5}
C（v1′）={1，3} C（v2′）={2，3，5} C（v3′）={1，3，5} C（v4′）={1，4}
22 i=2，4
C（w）={1，2，3，4，v∈V（M（P4）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，3，4，5）。
23 i=1，n-1，n
C（w）={1，2，…，n} C（vi′）={i，i+1，i+2}（i=2，3，…，n-2}且|Ei|= 4 其他 显然，对坌u，v∈V（M（Pn）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，n）。 所以，f 是 M（Pn）的一个 n-VDEEC。
所以，f 是 M（P4）的一个 5-VDEEC。
情形 3 当 n≥5 时，可求得
λ λ λ λ λ λ λ λ μ（M（Pn））=max{min{λ|
λ n
≥1}，min{λ|
λ 4
≥n-2}，min{λ|
λ 3
≥n-2}，min{λ|
λ 2
≥4}}=n
显然，有 χvde′（M（Pn））≥μ（M（Pn））=n，只需证明 M（Pn）有一个 n-VDEEC。 令 C={1，2，…，n}构造 f 如下
关键词： 圈；星；Mycielski 图；点可区别均匀边染色；点可区别均匀边色数
中图分类号： O157.5
MR（2000） Subject Classification： 05C15
文献标识码： A
文章编号： 1672－0687（2010）01－0021－05
图论在自然科学与应用科学中都起着重要作用，图的染色问题是图论研究的主要内容之一，具有很强的
显然，有 χvde′（M（P4））≥μ（M（P4））=5，只需证明 M（P4）有一个 5-VDEEC。
令 C={1，2，3，4，5}构造 f 如下
f（v1′w）=f（v3v4′）= f（v2v3′）=1 f（v2v3）=f（v2′w）=2 f（v1v2′）=f（v2v1′）=f（v3′w）=3
f（v3v4）=f（v4′w）=4 f（v3v2′）= f（v4v3′）=f（v1v2）=5
k），则称 f 是图 G 的点可区别均匀边染色，简记为 k-VDEEC of G，且称 χvde′（G）=min{k k-VDEEC of G}为 G
的点可区别均匀边色数。
定 义 2[1~7] 对 简 单 图 G，ni 表 示 具 有 度 为 i 的 点 数 ，δ、△ 分 别 表 示 图 G 的 最 小 度 与 最 大 度 ，称 μ（G）=
E（G）}，则称 f 是图 G 的点可区别边染色，简记为 k-VDEC of G，且称 χvd′（G）=min{k k-VDEC of G}为 G 的点
可区别边色数。
若 f 是图 G 的点可区别边染色，且满足 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，k），其中任意 e∈Ei， f（e）=i（i=1，2，…，
V（Fn）={vi i=0，1，…，n}， E（Fn）={v0vi i=1，2，…，n}∪{vivi+1 i=1，2，…，n-1} 记 n+1 阶轮 Wn 为
V（Wn）={vi i=0，1，…，n}， E（Wn）={v0vi i=1，2，…，n}∪{vivi+1 i=1，2，…，n-1}∪{v1vn}
— —— —— —— —— —— —— —— —— —— [收稿日期] 2008－04－23 [基金项目] 国家自然科学基金资助项目（10771091） [作者简介] 安常胜（1983-），男，甘肃榆中人，硕士研究生，研究方向：组合与网络优化的研究。
22
苏州科技学院学报（自然科学版）
2010 年
文 中 未 加 说 明 的 符 号 或 标 记 可 见 参 考 文 献 ［2，8，9］。
≥3 i=4，5
C（v2′）={2，4，5} C（v3′）={3，4，5} C（w）={1，2，3}且|Ei|= 2 其他
显然，坌u，v∈V（M（C3）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，3，4，5）。
所以，f 是 M（C3）的一个 5-VDEEC。
情形 1.2 当 n=4 时， 令 C={1，2，3，4，5}构造 f 如下
f（v1v2）=f（v4v1′）=f（v4′w）=1 f（v2v3）=f（v1v2′）=f（v1′w）=2 f（v3v4）=f（v2v3′）=f（v2′w）=3
f（v1v4）=f（v3v4′）=f（v3′w）=4 f（v1v4′）=f（v4v3′）=f（v3v2′）=f（v2v1′）=5
λ λ max{min{λ|
λ i
≥ni}δ≤i≤△}为图 G 的组合度。
猜想 1[2，3] 对|V（G）|≥3 的简单连通图 G，则有 μ（G）≤χvde′（G）≤μ（G）+1。 猜想 2[2，3] 对|V（G）|≥3 的简单连通图 G，则有 χvde′（G）=χvd′（G）。 定义 3 对图 G（V，E），M（G）称为 G 的 Mycielski 图，如果 V（M（G））=V（G）∪V′∪{w}；
显然，坌u，v∈V（M（C4）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，3，4，5）。
所以，f 是 M（C4）的一个 5-VDEEC。
情形 2 当 n≥5 时，可求得
λ λ λ λ λ λ μ（M（Cn））=max{min{λ|
λ n
≥1}，min{λ|
定理 1
4n
n
n=3
n
设
P（n）为
n
阶路（n≥2），则有
χvde′（M（Pn））=
5nn
n n
n=2，4 。
n
nnn
n
其他
证明 情形 1 当 n=3 时，易得 μ（M（P3））=4。
显然，有 χvde′（M（P3））≥μ（M（P3））=4，只需证明 M（P3）有一个 4-VDEEC。
令 C={1，2，3，4}构造 f 如下
C（v1）={3，n} C（v1′）={1，3} C（v2）={2，3，4，n} C（vn）={1，2} C（vn′）={2，n} C（vn-1′）={1，2，n-1} C（vn-2）={1，n-1，n-2，n-3} C（vn-1）={1，2，n-2，n} C（vi）={i-1，i，i+1，i+2}（i=3，4，…，n-3}
理论和现实意义。 目前，国内外众多学者对该问题作了大量工作，其中包括确定具有某种属性的特殊图的色
数的研究。 笔者得到了圈、星的 Mycielski 图的点可区别均匀边色数。
定 义 1[1~7] 对 简 单 图 G 的 正 常 边 染 色 f， 任 意 u,v∈V （G）， 若 C （u）≠C （v）， 其 中 C （u）={f （uv） uv∈
C（vi′）={i，i+1，i+2}（i=1，2，…，n-2）且|Ei|=4（i=1，2，…，n）
显然，对坌u，v∈V（M（Cn）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，n）。
所以，f 是 M（Cn）的一个 n-VDEEC。
λ 4
≥n}，min{λ|
λ 3
≥n}}=n
显然，有 χvde′（M（Cn））≥μ（M（Cn））=n，只需证明 M（Cn）有一个 n-VDEEC。
令 C={1，2，…，n}构造 f 如下
f（vn-1vn′）=f（vnvn-1′）=1 f（v1vn′）=f（vnv1′）=2 f（vivi+1）=i（i=1，2，…，n-1）
f（vi′w）=i（i=1，2，…，n） f（vivi+1′）=f（vi+1vi′）=i+2（i=1，2，…，n-2） f（v1vn）=n
此时
C（v1）={1，2，3，n} C（vn-1）={1，n-2，n-1，n} C（vn-1′）={1，n-1，n} C（vn）={1，2，n-1，n}
C（vn′）={1，2，n} C（vi）={i-1，i，i+1，i+2}（i=2，3，…，n-2） C（w）={1，2，…，n}
E（M（G））=E（G）∪{uv′ u∈V（G），v′∈V′，uv∈E（G）}∪{wv′ v′∈V′} 其中 V′={v′ v ∈V（G）}，{w}∩（V（G）∪V′）=Φ。 在以下讨论中，记 n+1 阶星 Sn 为
V（Sn）={vi i=0，1，…，n}， E（Sn）={v0vi i=1，2，…，n} 记 n+1 阶扇 Fn 为
第 27 卷第 1 期 2010 年 3 月
苏 州 科 技 学 院 学 报 （自 然 科 学 版）
Journal of Suzhou University of Science and Technology （Natural Science）
Vol．27 No．1 Mar． 2010
若干图的 Mycielski 图的点可区别 均匀边色数
显然，坌u，v∈V（M（P3）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，3，4）。
所以，f 是 M（P3）的一个 4-VDEEC。
情形 2 当 n=2，4 时：
情形 2.1 当 n=2 时，易得 χvde′（M（P2））=5。
情形 2.2 当 n=4 时，μ（M（P4））=5。
此时
C（v1）={1，2，4，5} C（v2）={1，2，3，5} C（v3）={2，3，4，5} C（v4）={1，3，4，5} C（v1′）={1，2，5}
≥4 i=5
C（v2′）={2，3，5} C（v3′）={3，4，5} C（v4′）={1，4，5} C（w）={1，2，3，4}且|Ei|= 3 其他
情形 1.1 当 n=3 时，令 C={1，2，3，4，5}构造 f 如下
f（v1v2）=f（v1′w）=1 f（v2v3）=f（v2′w）=2 f（v1v3）=f（v3′w）=3
f（v1v2′）=f（v2v3′）=f（v3v1′）=4 f（v2v1′）=f（v3v2′）=f（v1v3′）=5
此时
C（v1）={1，3，4，5} C（v2）={1，2，4，5} C（v3）={2，3，4，5} C（v1′）={1，4，5}
安常胜， 冯旭霞， 罗 亮， 崔俊峰
（兰州交通大学 数理与软件工程学院，甘肃 兰州 730070）
摘 要 ： 简 单 图 G 的 正 常 边 染 色 f， 若 对 于 坌u，v∈V （G）， 有 C （u）≠C （v）， 称 f 是 图 G 的 点 可 区 别 边 染 色 ， 其 中
C（u）={f（uv） uv∈E（G）}。 若满足 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，k），其中坌e∈Ei， f（e）=i（i=1，2，…，k），称 f 是图 G 的点可 区别均匀边染色。 讨论了若干图的 Mycielski 图的点可区别均匀边染色。
f（v1v2）=f（v1′w）=1 f（v1v2′）=f（v3′w）=f（v2v3）=2 f（v2v1′）=f（v3v2′）=3 f（v2v3′）=f（v2′w）=4
此时
C（v1）={1，2} C（v2）={1，2，3，4} C（v3）={2，3} C（v1′）={1，3}
23 i=2
C（v2′）={2，3，4} C（v3′）={2，4} C（w）={1，2，4}且|Ei|= 2 其他
第1期
安常胜等：若干图的 Mycielski 图的点可区别均匀边色数
23
≥5 n=3，4
定理 2 设 Cn 是 n 阶圈，则有 χvde′（M（Cn））= n n≥5 。
证明 情形 1 当 n=3，4 时，易得 μ（M（C3））=μ（M（C4））=5。
显然，有 χvde′（M（C3））≥μ（M（C3））=5， χvde′（M（C4））≥μ（M（C4））=5，只需证明 M（C3），M（C4）有一个 5-VDEEC。
此时
C（v1）={3，5} C（v2）={1，2，3，5} C（v3）={1，2，4，5} C（v4）={4，5}
C（v1′）={1，3} C（v2′）={2，3，5} C（v3′）={1，3，5} C（v4′）={1，4}
22 i=2，4
C（w）={1，2，3，4，v∈V（M（P4）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，3，4，5）。
23 i=1，n-1，n
C（w）={1，2，…，n} C（vi′）={i，i+1，i+2}（i=2，3，…，n-2}且|Ei|= 4 其他 显然，对坌u，v∈V（M（Pn）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，n）。 所以，f 是 M（Pn）的一个 n-VDEEC。
所以，f 是 M（P4）的一个 5-VDEEC。
情形 3 当 n≥5 时，可求得
λ λ λ λ λ λ λ λ μ（M（Pn））=max{min{λ|
λ n
≥1}，min{λ|
λ 4
≥n-2}，min{λ|
λ 3
≥n-2}，min{λ|
λ 2
≥4}}=n
显然，有 χvde′（M（Pn））≥μ（M（Pn））=n，只需证明 M（Pn）有一个 n-VDEEC。 令 C={1，2，…，n}构造 f 如下
关键词： 圈；星；Mycielski 图；点可区别均匀边染色；点可区别均匀边色数
中图分类号： O157.5
MR（2000） Subject Classification： 05C15
文献标识码： A
文章编号： 1672－0687（2010）01－0021－05
图论在自然科学与应用科学中都起着重要作用，图的染色问题是图论研究的主要内容之一，具有很强的
显然，有 χvde′（M（P4））≥μ（M（P4））=5，只需证明 M（P4）有一个 5-VDEEC。
令 C={1，2，3，4，5}构造 f 如下
f（v1′w）=f（v3v4′）= f（v2v3′）=1 f（v2v3）=f（v2′w）=2 f（v1v2′）=f（v2v1′）=f（v3′w）=3
f（v3v4）=f（v4′w）=4 f（v3v2′）= f（v4v3′）=f（v1v2）=5
k），则称 f 是图 G 的点可区别均匀边染色，简记为 k-VDEEC of G，且称 χvde′（G）=min{k k-VDEEC of G}为 G
的点可区别均匀边色数。
定 义 2[1~7] 对 简 单 图 G，ni 表 示 具 有 度 为 i 的 点 数 ，δ、△ 分 别 表 示 图 G 的 最 小 度 与 最 大 度 ，称 μ（G）=
E（G）}，则称 f 是图 G 的点可区别边染色，简记为 k-VDEC of G，且称 χvd′（G）=min{k k-VDEC of G}为 G 的点
可区别边色数。
若 f 是图 G 的点可区别边染色，且满足 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，k），其中任意 e∈Ei， f（e）=i（i=1，2，…，
V（Fn）={vi i=0，1，…，n}， E（Fn）={v0vi i=1，2，…，n}∪{vivi+1 i=1，2，…，n-1} 记 n+1 阶轮 Wn 为
V（Wn）={vi i=0，1，…，n}， E（Wn）={v0vi i=1，2，…，n}∪{vivi+1 i=1，2，…，n-1}∪{v1vn}
— —— —— —— —— —— —— —— —— —— [收稿日期] 2008－04－23 [基金项目] 国家自然科学基金资助项目（10771091） [作者简介] 安常胜（1983-），男，甘肃榆中人，硕士研究生，研究方向：组合与网络优化的研究。
22
苏州科技学院学报（自然科学版）
2010 年
文 中 未 加 说 明 的 符 号 或 标 记 可 见 参 考 文 献 ［2，8，9］。
≥3 i=4，5
C（v2′）={2，4，5} C（v3′）={3，4，5} C（w）={1，2，3}且|Ei|= 2 其他
显然，坌u，v∈V（M（C3）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，3，4，5）。
所以，f 是 M（C3）的一个 5-VDEEC。
情形 1.2 当 n=4 时， 令 C={1，2，3，4，5}构造 f 如下
f（v1v2）=f（v4v1′）=f（v4′w）=1 f（v2v3）=f（v1v2′）=f（v1′w）=2 f（v3v4）=f（v2v3′）=f（v2′w）=3
f（v1v4）=f（v3v4′）=f（v3′w）=4 f（v1v4′）=f（v4v3′）=f（v3v2′）=f（v2v1′）=5
λ λ max{min{λ|
λ i
≥ni}δ≤i≤△}为图 G 的组合度。
猜想 1[2，3] 对|V（G）|≥3 的简单连通图 G，则有 μ（G）≤χvde′（G）≤μ（G）+1。 猜想 2[2，3] 对|V（G）|≥3 的简单连通图 G，则有 χvde′（G）=χvd′（G）。 定义 3 对图 G（V，E），M（G）称为 G 的 Mycielski 图，如果 V（M（G））=V（G）∪V′∪{w}；
显然，坌u，v∈V（M（C4）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，3，4，5）。
所以，f 是 M（C4）的一个 5-VDEEC。
情形 2 当 n≥5 时，可求得
λ λ λ λ λ λ μ（M（Cn））=max{min{λ|
λ n
≥1}，min{λ|
定理 1
4n
n
n=3
n
设
P（n）为
n
阶路（n≥2），则有
χvde′（M（Pn））=
5nn
n n
n=2，4 。
n
nnn
n
其他
证明 情形 1 当 n=3 时，易得 μ（M（P3））=4。
显然，有 χvde′（M（P3））≥μ（M（P3））=4，只需证明 M（P3）有一个 4-VDEEC。
令 C={1，2，3，4}构造 f 如下
C（v1）={3，n} C（v1′）={1，3} C（v2）={2，3，4，n} C（vn）={1，2} C（vn′）={2，n} C（vn-1′）={1，2，n-1} C（vn-2）={1，n-1，n-2，n-3} C（vn-1）={1，2，n-2，n} C（vi）={i-1，i，i+1，i+2}（i=3，4，…，n-3}
理论和现实意义。 目前，国内外众多学者对该问题作了大量工作，其中包括确定具有某种属性的特殊图的色
数的研究。 笔者得到了圈、星的 Mycielski 图的点可区别均匀边色数。
定 义 1[1~7] 对 简 单 图 G 的 正 常 边 染 色 f， 任 意 u,v∈V （G）， 若 C （u）≠C （v）， 其 中 C （u）={f （uv） uv∈
C（vi′）={i，i+1，i+2}（i=1，2，…，n-2）且|Ei|=4（i=1，2，…，n）
显然，对坌u，v∈V（M（Cn）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，…，n）。
所以，f 是 M（Cn）的一个 n-VDEEC。
λ 4
≥n}，min{λ|
λ 3
≥n}}=n
显然，有 χvde′（M（Cn））≥μ（M（Cn））=n，只需证明 M（Cn）有一个 n-VDEEC。
令 C={1，2，…，n}构造 f 如下
f（vn-1vn′）=f（vnvn-1′）=1 f（v1vn′）=f（vnv1′）=2 f（vivi+1）=i（i=1，2，…，n-1）
f（vi′w）=i（i=1，2，…，n） f（vivi+1′）=f（vi+1vi′）=i+2（i=1，2，…，n-2） f（v1vn）=n
此时
C（v1）={1，2，3，n} C（vn-1）={1，n-2，n-1，n} C（vn-1′）={1，n-1，n} C（vn）={1，2，n-1，n}
C（vn′）={1，2，n} C（vi）={i-1，i，i+1，i+2}（i=2，3，…，n-2） C（w）={1，2，…，n}
E（M（G））=E（G）∪{uv′ u∈V（G），v′∈V′，uv∈E（G）}∪{wv′ v′∈V′} 其中 V′={v′ v ∈V（G）}，{w}∩（V（G）∪V′）=Φ。 在以下讨论中，记 n+1 阶星 Sn 为
V（Sn）={vi i=0，1，…，n}， E（Sn）={v0vi i=1，2，…，n} 记 n+1 阶扇 Fn 为
第 27 卷第 1 期 2010 年 3 月
苏 州 科 技 学 院 学 报 （自 然 科 学 版）
Journal of Suzhou University of Science and Technology （Natural Science）
Vol．27 No．1 Mar． 2010
若干图的 Mycielski 图的点可区别 均匀边色数
显然，坌u，v∈V（M（P3）），若 u≠v，均有 C（u）≠C（v），且 |Ei|-|Ej| ≤1（i，j=1，2，3，4）。
所以，f 是 M（P3）的一个 4-VDEEC。
情形 2 当 n=2，4 时：
情形 2.1 当 n=2 时，易得 χvde′（M（P2））=5。
情形 2.2 当 n=4 时，μ（M（P4））=5。
此时
C（v1）={1，2，4，5} C（v2）={1，2，3，5} C（v3）={2，3，4，5} C（v4）={1，3，4，5} C（v1′）={1，2，5}
≥4 i=5
C（v2′）={2，3，5} C（v3′）={3，4，5} C（v4′）={1，4，5} C（w）={1，2，3，4}且|Ei|= 3 其他