市函数的图像1例题

典型例题
1、设函数54)(2--=x x x f 。

（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像。

（2）设集合A=}5)({≥x f x ,B=),6[]4,0[]2,+∞⋃⋃-∞-,试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明。

（3）当k>2时，求证：在集合]5,1[-上，k kx y 3+=的图像位于函数)(x f 图像的上方。

解：（1）
（2）方程5)(=x f 的解分别是142-，0，142+，由于)(x f 在]1,(--∞和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[+∞上单调递增，因此，),142[]4,0[]142,(+∞+⋃⋃--∞=A ，由于6142<+，2142->-，所以A B 真包含于。

（3）证法一：当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f ，
)
53()4()54()3()(22-+-+=++--+=k x k x x x x k x g .4
3620)24(22+----=k k k x
12
4,2<-∴>k k ，又51≤≤-x ， ①当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取2
4k x -=， ]64)10[(4
143620)(22min ---=+--=k k k x g 。

64)10(162<-≤k ，
0)(,064)10(min 2><--∴x g k 则。

②当12
4-<-k ，即6>k 时，取1-=x ，02)(min >=k x g 。

由①②可知： 当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x ，因此，在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图像位于函数)(x f 图像的上方。

证法二：当]5,1[-∈x 时，54)(2
++-=x x x f ，由⎩⎨⎧++-=+=54)3(2x x y x k y ， 得0)53()4(2=-+-+k x k x 。

令0)53(4)4(2=---=∆k k ，
解得2=k 或18=k 。

在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只有一个交点)8,1(；
当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点。

由图可知：由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到，因此，在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图像位于函数)(x f 图像的上方。

理由：（1）解决较为简单的函数图像作法。

（2）数形结合解方程和不等式，
（3）图像之间的位置关系。

2、已知函数|4||8|)(---=x x x f 。

（1） 作出函数)(x f y =的图像；
（2） 解不等式2|4||8|>---x x 。

解：（Ⅰ）44()2124848.x f x x x x ⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩
， ≤，， ≤， 图像如下：
（Ⅱ）不等式842x x --->，即()2f x >，
由2122x -+=得5x =．
由函数()f x 图像可知，原不等式的解集为(5)-∞，．
理由：本题目比较简单，为08年宁夏海南第24题，（1）利用给出的坐标系可以规范学生的作图。

（2）数形结合，解决方程及不等式问题。