光学谐振腔理论(方洪烈著)思维导图
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光学谐振腔的图解分析与设计方法
图 1-2 传播圆：σ 圆与 π 圆
（2） π 圆
它们是通过侧焦点 Fl，同时与光轴相切的一些圆（见图 1-2）。切于光轴上 P 点处的 π 圆的直径 b 可用来确定该处的高斯光束的光斑尺寸 w，它可按下式计 算：
w = bλ π
（1-17）
通过作光轴上各点处的 π 圆，则可以确定光轴上各点处高斯光束的光斑尺寸。
⎧ exp⎨− i
⎩
2π λ
⎜⎜⎝⎛
z
+
x2 + y2 2R
⎟⎟⎠⎞⎭⎬⎫
（1-13）
在形式上是相同的（见图 1-1（a））。由此，我们可以将高斯光束等效于坐标原点 取在束腰处的旁轴复球面波（见图 1-1（b））。正是从这个意义上讲，高斯光束的 复参数 q 等效于复球面波的复半径。
以复半径表达的复球面波实际上是在有限空间内传播的电磁波场的一种基 本形式。由式（1-3）和式（1-8）不难证明，当 w 0 → 0 时，q→R，这时，式（1-12） 就过渡到式（1-13）。由此可知，以实半径表达的实球面波，仅仅是以复半径表 达的复球面波的一种特殊情况。它相当于 w0 = 0 的一种基本光学模。然而，w0 = 0 的基本光学模，从能量观点来看是没有实际意义的，因而实际上也是不存在的。 因此，以复半径表达的复球面波，即高斯光束，较之以实半径表达的实球面波更 具有普遍意义。
（1-10）
为束腰处的复参数。由式（1-8）、式（1-9）和式（1-10），我们不难导出式（1- 2） 和式（1-3）的关系。
将高斯光束的传播规律与通常发自点光源的球面波的传播规律进行比较，可 以看出其含义。我们知道，后者的传播规律可由如下式子描写：
R = R0 + z
（1-11）
第二章 光学谐振腔基本理论
第二章光学谐振腔基本概念 (1)2.1光学谐振腔 (1)2.2非稳定谐振腔及特点 (1)2.3光学谐振腔的损耗 (2)2.4减小无源稳定腔损耗的途径 (2)反射镜面的种类对损耗的影响 (2)腔的结构不同，损耗不同 (2)第二章光学谐振腔基本概念2.1光学谐振腔光学谐振腔是激光器的基本组成部分之一，是用来加强输出激光的亮度，调节和选定激光的波长和方向的装置。
光线在两镜间来回不断反射的腔叫光学谐振腔。
由平面镜、凹面镜、凸面镜的任何两块镜的组合，构成各类型光学谐振腔。
光学谐振腔的分类方式很多。
按照工作物质的状态可分为有源腔和无源腔。
虽有工作物质，但未被激发从而无放大作用的谐振腔称之为无源谐振腔；而有源腔则是指经过激发有放大作用的谐振腔。
2.2非稳定谐振腔及特点非稳定谐振腔的反射镜可以由两个球面镜构成也可由一个球面镜和一个平面镜组合而成。
若R1和R2为两反射镜曲率半径，L为两镜间距离，对于非稳腔则g1，g2：满足g1*g2<O或g1*g2>l 非稳腔中光在谐振腔内经有限次往返后就会逸出腔外，也就是存在着固有的光能量可以横向逸出而损耗掉，所以腔的损耗很大。
在高功率激光器中，为了获得尽可能大的模体积和好的横模鉴别能力，以实现高功率单模运转，稳定腔不能满足这些要求，而非稳腔是最合适的。
与稳定腔相比，非稳腔有如下几个突出优点：1．大的可控模体积在非稳腔中，基模在反射镜上的振幅分布式均匀的，它不仅充满反射镜，而且不可避免地要向外扩展。
非稳腔的损耗与镜的大小无关，这一点是重要的，因此，只要把反射镜扩大到所需的尺寸，总能使模大致充满激光工作物质。
这样即使在腔长很短时也可得到足够大的模体积，故特别适用于高功率激光器的腔型。
2．可控的衍射耦合输出一般稳定球面腔是用部分透射镜作为输出耦合镜使用的，但对非稳腔来说，以反射镜面边缘射出去的部分可作为有用损耗，即从腔中提取有用衍射输出。
3．容易鉴别和控制横模对于非稳腔系统，在几何光学近似下，腔内只存在一组球面波型或球面一平面波型，故可在腔的一端获得单一球面波型或单一平面波型(即基模)，从而可提高输出光束的定向性和亮度。
第3章光学谐振腔理论
•
•
凹面向着腔内， R>0，相当于凸薄透镜 f>0；
凸面向着腔内时，R<0，相当于凹薄透镜 f<0。
2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐 标（r0,0）无关；
3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2 相同。
23
例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线 对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其焦距
k0 2 L'
2
0
2 L' q 2
q为整数
(2.1.1)
0—真空中的波长；L’—腔的光学长度
0 q 2 L' q
L' q
0q
q
L' L
q q
c
c
2
0q
2L
c q 2 L
( 2.1.4)
为腔内介
质折射率
Lq
q
2
定义无源腔内，初始光强I0往返一次后光腔衰减为I1，则
I1 I 0e
2
I0
I1
9
1 I0 ln 2 I1
对于由多种因素引起的损耗，总的损耗因子可由各损耗因子相 加得到
i 1 2 3
损耗因子也可以用 来定义， 当损耗很小时，两种定义方式是一致的
20
A B 1 T 1 C D f 1
L A 1 f2
0 1 L 1 1 1 0 1 f2
L B L 2 f2 L D f1
0 1 L 1 0 1
3
二、腔的模式
腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态 谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一 系列分立的本征态 腔内电磁场的本征态 因此： 腔的具体结构 腔内可能存在的模式（电磁场本征态） 麦克斯韦方程组
第2章 光学谐振腔理论
/
I (z) I I1 I
0
0
e
z
e
2 l
吸 l
2.2.2、光子在腔内的平均寿命 • 光在腔内通过单位距离后光强衰减的百分数
dI Idz I1 I 0 I0 2L
/
L
/
• 在谐振腔内
dI Idt
dz c dt
/
c
L
/
c
L
/
⑵衍射损耗
a
2
L
取决于腔的菲涅耳数、腔的几何参数和横模阶次
⑶输出腔镜的透射损耗
取决于输出镜的透过率
⑷非激活吸收、散射等其他损耗
描述 单程损耗因子 • 定义:光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数
2 I 0 I1 I0
I 0 I1 2I0
指数定义形式
I1 I 0e
0
I 1 I 0 r1 r2
/
1 2
ln
I
0
I1
r
1 2
ln r1 r2
当 r 1=1,T <<1(r2= r ≈1)
r
1 2 ln r 1 2 (1 r ) T 2
四、吸收损耗
介质对光的吸收作用
通过单位长度介质后光强衰减的百分数
dI
I I dI Idz
2
D D
2L 1 2m
L
2D
二、衍射损耗
平腔内的往返传播,等效孔阑传输线中的单向传播 当光波穿过第一个圆孔向第2个圆孔传播时,由于衍 射的作用一部分光将偏离原来的传播方向,射到第2 个圆孔之外,造成光能的损失 假设中央亮斑内的光强是均匀的 孔外面积与中央亮斑总面积的比
第5章光学谐振腔的基本理论
B sin n
sin
D sin n sin (n 1)
sin
arccos
1 2
(A
D)
1、值是实数（-1<cos<1）时, Tn各元素有界谐
振腔为稳定腔。 2、值有虚部时（-1>cos或者cos>1），旁轴 光线往返有限次后便会逸出谐振腔，谐振腔为非
稳腔。
3、值等于0或者π(cos=±1)，Tn各项元素的值
38
§3 谐振腔的衍射理论基础
激光器中所使用的谐振腔是一种开腔， 在这种没有侧面边界的区域内是否存在电磁 场的本征态，即不随时间而变化的稳态场分 布?如何求出这种场分布?这些问题需要用谐 振腔的衍射理论来解决。本节首先给出理想 开腔的模型——孔阑传输线，在此基础上引 入稳态场分布——自再现模的概念。
T
2 R1
10
1 0
L 1
1 2
R2
10
1 0
L 1
1 L 1 L
2 R1
1
2L R1
2 R2
1
2L R2
2L
1 R2
2 R1
2 R2
4L R1R2
2L2
2L R1
2L R2
(1 2L )(1 R1
2L R2
)
=
A C
B
D
15
A
1
2L R2
2(1
L R2
)
1
2g2
1
2L2
L
B 2L R2 2L(1 R2 ) 2Lg2
4L 2 2 2 L L 2L2
C
( )
R1R2 R1 R2
L R1 R2 R1R2
第9讲 光学谐振腔的基本概念
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9.3 光学谐振腔的光波模式
驻波概念简要回顾
驻波，也称为稳态波，是由同频率、同振幅、传播方向 相反的两列波叠加而成的一种波形。 通常，一列波是另一列的反射波。
例如，
y1 y0 sin(kx t),
y2
y0
sin(kx
t),
9.3 光学谐振腔的光波模式
迭加后形成的驻波场为：
9.1 光学谐振腔的类型
平行平面腔 平凸腔
平凹腔 凹凸腔
双凹腔 双凸腔
9.1 光学谐振腔的类型
激光器的基本结构示意图
全反射镜
光学谐振腔 输出反射镜
工作物质
激光输出
泵浦
9.2 光学谐振腔的作用
光学谐振腔的作用
提供轴向正反馈； 通过谐振腔镜面的反射，光波可在腔内往返传播，多次 通过激活介质而使受激辐射不断放大，形成自激振荡。
9.3 光学谐振腔的光波模式
这种经过一次往返传播后能“自再现”的稳定场分布通常 称为自再现模，也称为横模。
自再现条件的公式表示
第9讲 光学谐振腔的基本概念
教学内容
9.1 光学谐振腔的类型 9.2 光学谐振腔的作用 9.3 光学谐振腔的光波模式
9.1 光学谐振腔的类型
光学谐振腔的基本结构
通常的谐振腔是由两块相对的球面或平面反射镜组成， 这两块反射镜光轴重合，这样的谐振腔称为共轴球面腔， 它是光学谐振腔的基本结构。
共轴球面腔的常见构型
控制振荡光束模式特性。 通过采用不同的结构参数，可实现对光波模式的控制。
9.3 光学谐振腔的光波模式
什么是腔模
根据麦克斯韦电磁理论，在具有一定边界条件的空腔内， 电磁场只能存在于一系列分立的本征状态中，场的每种本 征状态将具有一定的振荡频率和空间分布。通常将谐振腔 内可能存在的电磁场本征态称为腔的模式，简称腔模。 腔模可分为纵模(与振荡频率有关)和横模(与空间分布有关)。
9.3 光学谐振腔的光波模式
驻波概念简要回顾
驻波，也称为稳态波，是由同频率、同振幅、传播方向 相反的两列波叠加而成的一种波形。 通常，一列波是另一列的反射波。
例如，
y1 y0 sin(kx t),
y2
y0
sin(kx
t),
9.3 光学谐振腔的光波模式
迭加后形成的驻波场为：
9.1 光学谐振腔的类型
平行平面腔 平凸腔
平凹腔 凹凸腔
双凹腔 双凸腔
9.1 光学谐振腔的类型
激光器的基本结构示意图
全反射镜
光学谐振腔 输出反射镜
工作物质
激光输出
泵浦
9.2 光学谐振腔的作用
光学谐振腔的作用
提供轴向正反馈； 通过谐振腔镜面的反射，光波可在腔内往返传播，多次 通过激活介质而使受激辐射不断放大，形成自激振荡。
9.3 光学谐振腔的光波模式
这种经过一次往返传播后能“自再现”的稳定场分布通常 称为自再现模，也称为横模。
自再现条件的公式表示
第9讲 光学谐振腔的基本概念
教学内容
9.1 光学谐振腔的类型 9.2 光学谐振腔的作用 9.3 光学谐振腔的光波模式
9.1 光学谐振腔的类型
光学谐振腔的基本结构
通常的谐振腔是由两块相对的球面或平面反射镜组成， 这两块反射镜光轴重合，这样的谐振腔称为共轴球面腔， 它是光学谐振腔的基本结构。
共轴球面腔的常见构型
控制振荡光束模式特性。 通过采用不同的结构参数，可实现对光波模式的控制。
9.3 光学谐振腔的光波模式
什么是腔模
根据麦克斯韦电磁理论，在具有一定边界条件的空腔内， 电磁场只能存在于一系列分立的本征状态中，场的每种本 征状态将具有一定的振荡频率和空间分布。通常将谐振腔 内可能存在的电磁场本征态称为腔的模式，简称腔模。 腔模可分为纵模(与振荡频率有关)和横模(与空间分布有关)。
第二章 第一节 开放光学谐振腔构成分解
ห้องสมุดไป่ตู้y sin
p l
z eim,n, pt
Ez
(x,
y,
z,
t)
E0
sin
m a
x cos n b
y sin
p l
z eim,n, pt
k kxex kyey kzez
kx m / a, ky n / b, kz p / l
m,n,p ck c m / a2 n / b2 p / l2
m,n,p ck c m / a2 n / b2 p / l2
波氏空间的模式表示
kx m / a, ky n / b, kz p / l
kz km,n,p
km-1,n-1,p-1 ky
kx
图2－2 波矢空间中的相邻两个模
（m，n，p） （一个模式） （波矢空间一个点）
模式密度
kx m / a, ky n / b, kz p / l
相邻两个模式波矢之间的间距：
第一节 光学谐振腔：小结
模式密度
8
c3
2
模式密度
4
c2
Fabry–Pérot 谐振腔
模式密度
4 c
问题讨论：激光谐振腔能够到多小？
Z
边界条件：平行于腔壁的电
l
场在壁上为0
a
b
X
图2－1 矩形三维理想金属腔
Ex
(
x,
y,
z,
t)
E0
sin
m a
xsin n b
y cos
p l
z eim,n, pt
kx
a
, ky
b
, kz
l
一个模式在波矢空间中占有体积：
光学谐振腔理论
光学谐振腔理论
目录
• 光学谐振腔的基本概念 • 光学谐振腔的原理 • 光学谐振腔的设计与优化 • 光学谐振腔的实验研究 • 光学谐振腔的发展趋势与展望
01 光学谐振腔的基本概念
定义与特性
定义
光学谐振腔是由两个反射镜或一个反 射镜和一个半透镜构成的封闭空间， 用于限制光波的传播方向和模式。
特性
具有高反射率和低损耗的特性，能够 使光波在腔内多次反射并形成共振， 从而增强光波的强度和相干性。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到 障碍物时，光波发生弯曲绕过障碍物 的现象。
光学谐振腔的共振条件
光学谐振腔是一种具有特定边界条件的封闭空间，光波在其中传播时会形成共振 现象。
光学谐振腔的共振条件是光波在腔内传播的相位差为2π的整数倍，即光波在腔内来 回反射的相位相同。
光学谐振腔的品质因数
品质因数（Q值）是衡量光学谐振腔性能的重要参数，表示 光波在腔内振荡的次数与能量损耗的比值。
振动稳定性分析
分析谐振腔在振动情况下的稳定性，确保其性能不受 振动影响。
老化稳定性分析
评估光学谐振腔在使用过程中的性能变化，确保其长 期稳定性。
04 光学谐振腔的实验研究
实验设备与环境
高精度光学元件
如反射镜、透镜、分束器等，用于构建光学谐振腔。
激光器
作为光源，提供单色光束。
光谱仪和探测器
用于测量光束的波长和强度。
实验得到的共振光谱与理论预测相符， 验证了理论模型的正确性。
品质因子
通过实验测量了光学谐振腔的品质因 子，与理论计算值进行比较。
腔损耗
实验分析了光学谐振腔的腔损耗，包 括反射镜的反射率、透镜的透射率等 因素。
稳定性分析
实验研究了光学谐振腔在不同环境条 件下的稳定性，如温度、振动等。
目录
• 光学谐振腔的基本概念 • 光学谐振腔的原理 • 光学谐振腔的设计与优化 • 光学谐振腔的实验研究 • 光学谐振腔的发展趋势与展望
01 光学谐振腔的基本概念
定义与特性
定义
光学谐振腔是由两个反射镜或一个反 射镜和一个半透镜构成的封闭空间， 用于限制光波的传播方向和模式。
特性
具有高反射率和低损耗的特性，能够 使光波在腔内多次反射并形成共振， 从而增强光波的强度和相干性。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到 障碍物时，光波发生弯曲绕过障碍物 的现象。
光学谐振腔的共振条件
光学谐振腔是一种具有特定边界条件的封闭空间，光波在其中传播时会形成共振 现象。
光学谐振腔的共振条件是光波在腔内传播的相位差为2π的整数倍，即光波在腔内来 回反射的相位相同。
光学谐振腔的品质因数
品质因数（Q值）是衡量光学谐振腔性能的重要参数，表示 光波在腔内振荡的次数与能量损耗的比值。
振动稳定性分析
分析谐振腔在振动情况下的稳定性，确保其性能不受 振动影响。
老化稳定性分析
评估光学谐振腔在使用过程中的性能变化，确保其长 期稳定性。
04 光学谐振腔的实验研究
实验设备与环境
高精度光学元件
如反射镜、透镜、分束器等，用于构建光学谐振腔。
激光器
作为光源，提供单色光束。
光谱仪和探测器
用于测量光束的波长和强度。
实验得到的共振光谱与理论预测相符， 验证了理论模型的正确性。
品质因子
通过实验测量了光学谐振腔的品质因 子，与理论计算值进行比较。
腔损耗
实验分析了光学谐振腔的腔损耗，包 括反射镜的反射率、透镜的透射率等 因素。
稳定性分析
实验研究了光学谐振腔在不同环境条 件下的稳定性，如温度、振动等。
光学谐振腔
一次往返后 I1 I0e2
多种因素引起
1 ln I0 2 I1
i1 23
i
2. 光子平均寿命（定义）
往返t 时间后 I(t)I0et/R
腔内光强衰减为初始值的1/e所需时间。
24
光学谐振腔的描述参量
两者关系：
1.一平次均往单返程后损I耗1 因子I0de：2t=0，Im 光强为I0I0e，2mm次I往0e返后L'/tc
（2）选择损耗，随不同模式而异； （1）, （3）,（4）非选择损耗，对所有模式相同
22
光学谐振腔的描述参量
• 模式 纵模 横模 • 损耗 损耗机制 单程损耗 光子寿命 品质因子 纵模线宽
23
光学谐振腔的描述参量
二、损耗 Beer Law dI
1. 平均单程损耗因子(定义)d： Idz
I I0ez
q=2,
λ2 = 800nm, υ2= 3.75×1014 Hz ;
q=3,
λ3 = 533nm, υ3= 5.625×1014 Hz ;
注意：△υ=c/2ηL; υ32= υ21= 1.875×1014
14
光学谐振腔的描述参量
1、L=10 cm 的气体激光器
qq1q2 cL1.5190Hz
2、L=100 cm 的气体激光器（h＝1）
光学谐振腔的描述参量
TEMmnq
m，n表示x方向、y方向(方镜) 或径、角向(圆)节线
基横模 空间相 干性最
好
各模斑上各点的偏振、相位相同
20
光学谐振腔的描述参量
• 模式 纵模 横模 • 损耗 损耗机制 单程损耗 光子寿命 品质因子 纵模线宽
21
光学谐振腔的描述参量
1 第二章光学谐振腔2.1—2.2
（2）衍射损耗：
腔镜边缘、插入光学元件的边缘、孔径及光阑的衍射 效应产生的损耗。
孔外照亮面积 ( L a) 2 a 2 d 总面积照亮面积 ( L a) 2
(第二章1）
物理与机电工程学院
《激光原理与技术》
（3）腔镜透射损耗
T r 2
（4）材料中非激活吸收、散射等其他损耗（腔内插入物引 起的损耗）
这是激光技术历史上最早提 出的平行平面腔（F-P腔）。 从理论上分析这些腔时，通 常认为侧面没有光学边界， 因此将这类谐振腔称为开放 式光学谐振腔，简称开腔
开腔
固体激光器的工作物质通 常具有比较高的折射率， 因此在侧壁上将发生大量 的全反射。如果腔的反射 镜紧贴激光棒的两端，则 在理论上分析这类腔时， 应作为介质腔来处理。半 导体激光器是一种真正的 介质波导腔。这类光学谐 振腔称为闭腔
(第二章1）
物理与机电工程学院
《激光原理与技术》
激光模用符号
TEMmnq
表示
TEM表示横向电磁场 transverse electric and magnetic field
q为纵模的序数(纵向驻波波节数)，m,n 为横模 的序数（m，n分别表示沿腔镜面垂直坐标系的水 平和垂直坐标的光场节线数）。
《激光原理与技术》
2.1光学谐振腔的基本知识 （构成和分类、作用、腔模）
(第二章1）
2.1.1光学谐振腔的构成和分类
物理与机电工程学院
《激光原理与技术》
1 光学谐振腔的构成
光学谐振腔的构成
最简单的光学谐振腔： 在激活介质两端恰当地放置两个镀有高反射率的反射镜构成。
(第二章1）
物理与机电工程学院
2.光学谐振腔的种类
光学谐振腔结构与稳定性
A B n T C D Bs inn 1 A sin n sin(n 1) C sin n Dsinn sin(n 1) sin An Bn C D n n 1 式中 arccos ( A D ) 2
中原工学院 理学院
2.1光学谐振腔结构与稳定性
（3）球面反射镜的光线变换矩阵
0 1 T 2 1 R
1 1
r2 r1
入射角 反射角
1 2 b
r ,
r ,
2 2
b 1 2 b
R
r1 2 2b 1 2sin b 1 2 1 R
26
七、稳定图的应用
2.1光学谐振腔结构与稳定性
例 1、判断谐振腔的稳定性(单位:mm) (1)R1=80,R2=40,L=100 L 100 1 L 100 3 g2 1 1 解 g1 1 R 1 80 4 R2 40 2 1
1 3 3 g1 g 2 4 2 8
要傍轴光线不 逸出腔外
n
要求Tn的各元素取 有限实数
要求为实数 中原工学院 理学院
2.1光学谐振腔结构与稳定性
即
1 1 ( A D) 1 2
1 2L 2L 2L2 ( A D) 1 2 R1 R2 R1R2
又由
可得出共轴球面腔的稳定性条件：
L L 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2
例
2、制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取 值范围如何确定？
解 由“对称”
由“稳定腔” 解得
L g1 g 2 1 R
L 2 1 (1 ) 1 R
中原工学院 理学院
2.1光学谐振腔结构与稳定性
（3）球面反射镜的光线变换矩阵
0 1 T 2 1 R
1 1
r2 r1
入射角 反射角
1 2 b
r ,
r ,
2 2
b 1 2 b
R
r1 2 2b 1 2sin b 1 2 1 R
26
七、稳定图的应用
2.1光学谐振腔结构与稳定性
例 1、判断谐振腔的稳定性(单位:mm) (1)R1=80,R2=40,L=100 L 100 1 L 100 3 g2 1 1 解 g1 1 R 1 80 4 R2 40 2 1
1 3 3 g1 g 2 4 2 8
要傍轴光线不 逸出腔外
n
要求Tn的各元素取 有限实数
要求为实数 中原工学院 理学院
2.1光学谐振腔结构与稳定性
即
1 1 ( A D) 1 2
1 2L 2L 2L2 ( A D) 1 2 R1 R2 R1R2
又由
可得出共轴球面腔的稳定性条件：
L L 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2
例
2、制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取 值范围如何确定？
解 由“对称”
由“稳定腔” 解得
L g1 g 2 1 R
L 2 1 (1 ) 1 R
光学谐振腔的图解分析与设计方法
（见图 1-5），利用式（1-9）与式（1-18），则有
1 = 1 −1 q′ − d′ q + d f
或
q′
=
⎜⎜⎝⎛1 −
d f
′
⎟⎟⎠⎞q
+
⎜⎜⎝⎛ d
+
d′
−
dd ′ f
（1-16）
由上面两式可以看出，高斯光束传播特性，除与激光波长有关外，唯一地决定于 束参数 b0 值。基于这个特点，我们引入高斯光束的两个侧焦点 Fl，Fl'，它们位于
-3-
高斯光束的束腰截面内，对称地分置于光轴的两侧，两者的距离为 2b（0 见图 1-2）。 确定了侧焦点 Fl，Fl'后，就可以通过作两种传播圆的方法来描写高斯光束的传播 特性。这两种传播圆具体规定如下：
（1-10）
为束腰处的复参数。由式（1-8）、式（1-9）和式（1-10），我们不难导出式（1- 2） 和式（1-3）的关系。
将高斯光束的传播规律与通常发自点光源的球面波的传播规律进行比较，可 以看出其含义。我们知道，后者的传播规律可由如下式子描写：
R = R0 + z
（1-11）
此处 R0，R 分别为 r0 与 r0＋z 处的球面波的波面曲率半径（见图 1-1）。对比式（1-9） 和式（1-11）可以看出，高斯光束的复参数 q 类似有复数波面曲率半径的特点。 从图 1-1 的图示中我们可以更好地看出两者的传播规律的异同。事实上，利用式 （ 1 - 8 ）、 式 （ 1 - 1 0 ）、 式 （ 1 - 2 ）、 式 （ 1 - 3 ） 和 式 （ 1 - 4 ） 的 关 系 ， 可
（1） σ 圆
它们是通过侧焦点 Fl，Fl'和光轴上任意点 P 处的一些圆。任意点 P 处的波面 曲率半径 R 等于通过该处的一个σ 圆的直径（见图 1-2）。因此，可以通过作一 系列的 σ 圆来决定高斯光束在光轴上各点的波面曲率半径及其在传播过程中的 变化（见图 1-3）。
第5章谐振腔
r2=r1+L1 2= 1
(2)球面反射镜
1 T 2 R
0 1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-) 证
2 2 o ii 1 r,r2 1
=i+2 1=+i 2=-2
2-=-1 2=2-1
r1 R
R
r2 r1 2 2 R r1 1
注
R
或
F
1 0 T 0 1
r2 r1 2 1
即平面镜的反射定律
1
2 1
2、非稳定腔
(1)g1g2>1(2)g1g2<0(3)g1=0或g2=0(4)g1g2=1 如g1=g2=1, 即R1=R2=∞，平行平面腔，则
A 2 g2 1 1
B 2Lg2 2L
D 4 g1 g 2 2 g2 1 1
2 C ( g1 g 2 2 g1 g 2 ) 0 L
1 2L T 0 1
2
1 2L 1 2L 1 4L T 0 1 0 1 0 1
∵R1+R2>L
∴g1g2>0
L L L2 1 L R 2 R 1 R 1R 2
(1
L L L2 1 1 R 2 R1 R1R 2
L L )(1 ) 1 R1 R2
∴g1g2<1
(２)凹凸
R1
R1<０,R2>L
R<0
g>1
2g2 1 2 Lg 2 T 2 ( g1 g 2 2 g1 g 2 ) 4 g1 g 2 2 g 2 1 L
激光原理 第二章光学谐振腔理论
光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面 也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量 的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值和激光的 输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表 征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。
一、损耗及其描述 (1)几何偏折损耗: 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面 偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损 耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺 寸。
概述
3.波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立 一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。 利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式,从而得到场的 振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。 虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在 腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解 才是可能的。 对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔求出了 解析解。 多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方 程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与 其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。
第一节 光学谐振腔的基本知识
本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用,以及 腔模的概念
光学谐振腔的构成和分类
根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同 的分类方式。
按能否忽略侧面边界,可将其分为
开腔、 闭腔 气体波导腔
第一节 光学谐振腔的基本知识
开腔而言： 1. 根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为 稳定腔、非稳腔及临界腔; 2. 按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔和非球面腔; 3. 就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考 虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔和复合腔; 4. 根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔和行波腔; 5. 从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔和分布反馈 腔; 6. 根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔和多 镜腔等。
Chap3-4~9 光学谐振腔理论
3.5 光学谐振腔的衍射理论基础
三、几点理解
1、只有不受衍射影响的场分布才能形成稳定的场分布，成为自再现模。 2、衍射起“筛子”作用，将腔中允许存在的自再现模从各种自发辐射模中筛 选出来。 3、自再现模是多次衍射的结果，与初始波形无关，但不同的初始波形最终形 成的场分布不同，而自发辐射可提供不同的初始波形,因此决定了自再现模的 多样性。 4、每经过一次衍射，光束横截面上各点的相位关联度变增加一次，则由于 经过足够多次衍射的作用后，光束横截面上各点的相位关联越来越紧密， 从而使光的空间相干性变强。
3.5 光学谐振腔的衍射理论基础
3.5.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分
1、惠更斯—菲涅耳原理（分析衍射的理论基础） 2、菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式（定量处理开腔模式问题的数学理论）
功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分 布，就可以求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相位分布。
δd =
u j − u j +1 uj
2
2
2
= 1−
u j +1 uj
2
2
= 1−
1
2
γ
= 1− e
−2α
3.5 光学谐振腔的衍射理论基础
对应γmn的单程损耗为： 单程损耗
δ mn = 1 −
1
2
γ mn
注：δmn损耗是百分数表示，是理想开腔中完成一次渡越时的总损耗， 即为前讲的几何损耗与衍射损耗之和。 (2) 对称开腔中模经单程渡越的总相移 δ Φ
3.5 光学谐振腔的衍射理论基础
则不受衍射影响的稳态场分布函数υ( x, y )为：
υ ( x , y ) = γ ∫ ∫ K ( x , y , x ' , y ')υ ( x ' , y ') ds '
第二部分光学谐振腔与高斯光束
几何偏折损耗
• 光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏 折逸出的损耗。 • 取决于腔的类型和几何尺寸 • 几何损耗的高低依模式的不同而异，高 阶横模损耗大于低阶横模损耗 • 是非稳腔的主要损耗
衍射损耗
• 腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面 上发生衍射时形成的损耗 • 与腔的菲涅尔数（ N a ）有关，N愈 L 大，损耗愈小 • 与腔的几何参数有关 • 与横模阶次有关(the higher the transverse mode indices m,n, the greater the loss)
??????cc????22clqcr???2??2??????2clr????lr????1qcl???31损耗举例?由镜反射不完全所引起的损耗?腔镜倾斜时的几何损耗平行平面腔的调整精度要求极高?衍射损耗1??nnd2al??n愈大损耗愈小322222共轴球面腔的稳定性共轴球面腔的稳定性?光线传输矩阵opticalraymatricesorabcdmatrices?腔内光线往返传播的矩阵表示?共轴球面腔的稳定性条件?常见的几种稳定腔非稳腔临界腔?稳区图33一一光线传输矩阵光线传输矩阵?腔内任一傍轴光线在某一给定的横截面内都可以由两个坐标参数来表征
• 固有损耗：材料中的非激活吸收、散射、腔
内插入物所引起的损耗。(Transitions from some of the atomic levels, which are populated in the process of pumping, to higher lying levels constitute a loss mechanism in optical resonators when they are used as laser oscillators. Scattering from inhomogeneities and imperfections is especially serious in solid-state laser media.)
第二章 光学谐振腔理论
2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性
用一个二阶方阵描述入射光线和出射光线的坐标变换。该 矩阵称为光学系统对光线的变换矩阵T。
r2 A B r1 r1 T 2 C D 1 1 A B 变换矩阵T C D
1）光波模式
光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态称为腔的模式 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。同一模式内 的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。 腔内电磁场的本征态（模式）由麦克斯韦方程组及腔的 边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来——腔与模的一般联系。
3
z方向开放两维矩形谐振腔
n 4 / c2
y方向或x方向限制去掉，一维谐振 腔，F-P结构，模式密度将变为一个 常数——光学谐振腔
2.1 光学谐振腔概论
开腔中的振荡模式以TEMmnq表征。TEM表示纵向电场为 零的横电磁波，m、n、q为正整数，其中q为纵模指数， m、 n为横模指数。模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向 电磁场分布与横模指数有关。 m与n为零的模称作基模，m>=1或n>=1的模称作高阶模。
第二章 光学谐振腔理论
本章大纲
§2.1 激光振荡条件 了解光波模式的基本概念，掌握激光振荡的增益条件和光学正反馈条件。 §2.2 开放光学球面谐振腔的稳定性 掌握稳定性判别原理和方法。 §2.3 光学谐振腔的损耗 掌握光学谐振腔几种损耗术语与概念。 §2.4 开放谐振腔模式衍射理论 了解衍射积分理论，掌握基模参数的计算公式，熟悉高阶模的特点。 §2.5 一般球面稳定腔模式
光学谐振腔的结构：
在增益介质的两端各加 一块反射镜M1、M2。 其中一块为全反射镜；另 一块为部分反射镜（反射 率接近于1）。
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