七年级数学直角三角形的判定
初中数学直角三角形的判定
直角三角形的判定点析：因为不清楚已知的两边是否全是直角边还是其中一条是斜边，所以在求第三边的长时，应考虑到分类进行，从而避免漏解。
[例2] 如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,CA=13求BC边上的高AD。
解：设CD=x，则BD=14-x，在RT△ABD和RT△ACD中，由勾股定理可得：(14-x)2+AD2=152和x2+AD2=132，两式相减，可得：(14-x)2-x2=56解之得：x =5在RT△ACD中，由勾股定理得：AD=12点析：△ABC被高AD分成的两个直角三角形的直角边都是未知数，需在两个直角三角形中分别用勾股定理，构成方程组，才能求得结果，这种方法在直角三角形的有关计算中是经常应用的。
[例3] 已知：如图，在△ABC中，∠E=∠C=90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于E于，求证：AC2=AE2-BE2证明：根据勾股定理，在RT△ACD中，AC2=AD2-CD2，在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2，在RT△BDE中，DE2=BD2-BE2∴AC2=AE2+DE2-CD2=AE2+BD2-BE2-CD2又∵BD=CD ∴ AC2=AE2-BE2点析：证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件。
例4 如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。
分析：这里有两个直角三角形，结论又是平方形式，故考虑用勾股定理解：Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2,Rt△BCD中，CD2=BD2-BC两式相加得，AB2+CD2= AC2+BD2例5 如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB=21，AD=9，CB=CD=10，求AC。
七年级数学下册第四章三角形知识归纳
第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。
直角三角形的全等判定
直角三角形的全等判定作为初中数学中基础而重要的一章，几何中的三角形也是学习数学的过程中必不可少的一部分。
在学习三角形时，我们经常会遇到判定两个三角形是否全等的问题，这在数学中被称为全等判定。
在本篇文章中，我们将主要探讨直角三角形的全等判定。
一、直角三角形的定义先来回顾一下直角三角形的定义，一个三角形如果其中一个角度为90度，那么这个三角形就称为直角三角形，而另外两个角度则被称为锐角和钝角。
二、全等三角形的定义全等是数学中的一个重要概念，指两个对象在形状和大小上完全相同。
在三角形中，如果两个三角形的每个边对应相等，每个角度对应相等，那么这两个三角形就是全等的。
三、直角三角形的全等判定针对直角三角形的全等判定，有以下几种情况：情况一：两个直角边和一条锐角边相等这种情况下，两个三角形必定全等。
因为直角边和锐角边可以唯一确定一个直角三角形，而题目中已经给定两个三角形有共同的锐角和两个直角边相等，因此这两个三角形就是全等的。
情况二：一条直角边和两条锐角边相等如果两个三角形都只有一个直角边，则必须保证这个直角边和两条锐角边对应相等，而两个三角形的另外两个角度必须相等。
如果这些条件都成立，那么这两个三角形就是全等的。
情况三：斜边和一条锐角边相等如果两个三角形的斜边和一条锐角边对应相等，那么它们不一定全等。
因为直角三角形的斜边是唯一的，但是锐角边和对应的角度可能不唯一，因此在这种情况下，还需要另外一个条件来保证两个三角形的全等，比如另外一个锐角边和对应的角度相等。
情况四：斜边和对应锐角边相等如果两个三角形的斜边和对应的锐角边对应相等且另外一个锐角边和对应的角度也相等，那么这两个三角形就是全等的。
因此，在判断两个直角三角形是否全等时，要注意每个条件的要求，并且查漏补缺。
四、总结全等判定是数学中的一个基本概念，也是初中数学中的重要知识点。
对于直角三角形的全等判定，要根据具体条件进行判断，不能漏掉任何一个条件。
同时，在学习数学的过程中要多多练习，才能更好地掌握知识和技能。
[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质
![[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质](https://img.taocdn.com/s3/m/5dc31acd6e1aff00bed5b9f3f90f76c661374cb6.png)
[直角三角形的性质及判定]三角形的定义性质篇一: 三角形的定义性质定义由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形三角形的内角和三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。
：⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；c.钝角三角形：有一个角大于90度。
d.证明全等时可用HL方法按角分a.锐角三角形：三个角都小于90度。
b.直角三角形：有一个角等于90度。
c.钝角三角形：有一个角大于90度。
按边分不等腰三角形；等腰三角形。
解直角三角形：勾股定理，只适用于直角三角形a+b=c, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。
比如：3，4，5。
他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
[］2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形最少有2个锐角。
7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么这个三角形就一定是直角三角形。
初中数学公式之全等三角形的判定最新
初中数学公式之全等三角形的判定最新初中数学公式之全等三角形的判定最新全等三角形的判定公式1边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等2 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等3 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等5斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等6 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等7 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上8角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中数学几何公式大全之全等三角形的判定公式，看过的同学请认真记忆了。
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初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
直角三角形全等判定定理
直角三角形全等判定定理直角三角形全等判定定理，也叫直角三角形全等条件定理、勾股定理或斯托克斯定理，是数学中一个重要的定理，它说明在任何直角三角形中，若有任意两边长度相等，则三角形就是全等三角形，即两个相等的角都是90度，且三条边长也是相等的。
斯托克斯定理曾是希腊数学家欧几里得的儿童时代创造，后来被苏格拉底改写为定理形式。
斯托克斯定理是一个有关直角三角形的数学定理，它告诉我们，如果两条边的长度相等，则该三角形是一个直角三角形。
斯托克斯定理也称为勾股定理，又称“直角三角形全等性判定定理”，它是古希腊时期最著名的定理之一，是古希腊数学家欧几里得最早发现的定理之一，他在其《几何》中对此进行了证明。
斯托克斯定理可以用来证明所有直角三角形都具有三条边和两个相等的角，这种特殊的三角形称为全等三角形。
根据斯托克斯定理，如果一个三角形的其中两条边的长度相等，则该三角形必定是一个直角三角形，而且它的三条边和两个相等的角都是相等的。
斯托克斯定理也可以用来证明股数定理，即如果a2+b2=c2，则这个三角形就是一个直角三角形，而且它的三条边和两个相等的角都是相等的。
斯托克斯定理是数学中一个重要的定理，它能够提供一个简单而又有效的方法来验证一个三角形是否为直角三角形。
它可以被用来证明某一个三角形是否全等，也可以用来检验三角形的长度是否相等。
因此，斯托克斯定理是数学中一个重要的定理，它在多个数学问题中得到广泛的应用，不但在几何和数学中得到应用，而且在工程学、计算机科学等领域中都有着重要的作用。
斯托克斯定理可以用大量数学证明来证明，但它的核心思想仍然是：任何直角三角形中，如果有任意两边长度相等，则这个三角形就是全等三角形，即两个相等的角都是90度，且三条边长也是相等的。
斯托克斯定理是一个简单而又有效的方法，它可以快速验证一个三角形是否为直角三角形，它的应用领域也十分广泛，在科学、工程学和计算机科学等领域中都有着重要的作用。
直角三角形的五种判定
直角三角形的五种判定直角三角形是一种常见的几何图形，它是一种三角形，其两个角是直角。
因为它的直角特性，它在数学和几何学中有着重要的地位。
本文将介绍如何判定一个三角形是否为直角三角形，以及这五种判定的特点。
首先，要判定三角形是否为直角三角形，我们需要将它作为一个三角形，考虑它的两个直角。
这里有五种判定方式：（1）勾股定理：通过勾股定理可以判定，如果两个直角边之间的平方和等于最后一条边的平方，就可以断定这是一个直角三角形。
（2）正弦定理：正弦定理可以用来计算一个三角形的任意角，如果一个三角形的其中一个角的正弦值等于该角的另外两个边之间的比值，则该三角形是直角三角形。
（3）余弦定理：余弦定理同样可以用来计算一个三角形的任意角，如果一个三角形的其中一个角的余弦值等于该角的另外两个边之间的比值，则该三角形是直角三角形。
（4）比例定理：比例定理说明，当一个三角形的两个角和比值一致时，第三个角也一定是一个直角。
（5）覆盖定理：覆盖定理说明，当一个三角形的两个角和比值一致时，覆盖它们的矩形内心也一定是一个直角。
以上就是判定直角三角形的五个判定方法：勾股定理、正弦定理、余弦定理、比例定理和覆盖定理。
下面，我们来认真的研究这五种方法的具体内容。
首先，勾股定理：勾股定理又称“经典勾股三角形”，它是数学家古典时代提出的一个经典定理，这个定理说明，如果三角形的两个边分别是a和b，而第三边是c，则有以下关系：a^2 + b^2 = c^2，即勾股定理。
根据勾股定理，当三角形的两条边的平方和等于最后一条边的平方时，它就是一个直角三角形。
其次，正弦定理：正弦定理是一个著名的几何定理，它描述了在一个三角形的任意角的数学关系。
如果一个三角形的其中一个角的正弦值等于该角的另外两个边之间的比值，那么这就是一个直角三角形。
第三，余弦定理：余弦定理和正弦定理大致相似，它也是一个著名的几何定理，它记录了在一个三角形的任意角的数学关系。
如果某个三角形的其中一个角的余弦值等于该角的另外两边之间的比值，则它是一个直角三角形。
七年级下册数学《图形的全等》知识点整理
一、本节学习指导
证明三角形的全等是一个重点，同时也是一个难点，同学们要多思考，并且多做练 习题。我们要记住判断普通三角形和 RT 三角形全等的条件，认清 SSA 为什么不能作为 判断条件。
二、知识要点
１、图形的全等： 能完全重合的图像叫做全等图形。两个图形全等，它们的形状和 大小都相同。两个能重合的三角形叫全等三角形。
三、经验之谈：
证明题是知道结论求过程类型的题目，所以我们要会顺藤摸瓜，根据已知条件来凑 条件。比如知道两条边，我们根据判定条件找出中间的夹角，如果夹角不相等，那么我 们寻找第三条边，直到找出符合判定条件的时候才开始动手写步骤。在考试中，如果实 在想不到条件，也不要空着，写出部分步骤也是有分的。
本文由 索罗学院 整理
注： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2、三角形全等的判定：
1）三组对应边分别相等的两个三角形全等 (简称 SSS 或 “边边边 ”。）
2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS 或 “边角边 ”。）
3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA 或 “角边角 ”。）
4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS 或“角别对应相等的两个三角形全等。
6）在全等的判定中，没有 AAA 角角角和 SSA(特例：直角三角形为 HL，属于 SSA) 边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
3、直角三角形全等的判定：
1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
( 简称 HL 或“斜边直角边 ”。）
七年级数学知识点总结
七年级数学知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学《直角三角形的性质及判定》教案
教学设计问题1、直角三角形的表示方法三角形用什么符号表示？那么直角三角形又用什么符号表示呢？三角形ABC 表示△ABC，直角三角形可以用符号“Rt△”，直角△ABC表示方法：Rt△ABC．问题2探究直角三角形的性质请同学们画一个直角△ABC，其中△C=90°，用量角器分别量出出△A、△B的度数，并且求出△A+△B的值．追问：通过对问题3的计算你发现△A和△B有什么关系？追问：结合图形你能写出已知、求证和证明吗？几何推理过程．如图3，在Rt△ABC中．△△A+△B +△C= 180°(三角形内角和定理）．而△C= 90°．△ △A+△B= 90°．结论：直角三角形的两个锐角互余．追问：此直角三角形性质用几何语言该怎样表示？△△ABC是直角三角形△ △A+△B= 90°．问题3我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．推理过程如下：如图5，在△ABC中．△A+△B+△C=180°（三角形内角和定理），△△A+△B=90°（已知），△△C=90，△△ABC是直角三角形(直角三角形定义）例题尝试：例1 如图4，△C=△D=90° ，AD、BC相交与点E．△CAE与△DBE有什么关系？为什么？1、（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=_ _．（2）若∠C =∠A+∠B，则△ABC是______三角形．（3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，求∠B，∠C的度数．2、如图，在Rt△ABC中，若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ABC为直角三角形吗？为什么？1、如图,从A处观测C处时仰角30CAD∠=,从B处观测C处时仰角45CBD∠=,从C处测量A、B两处时视角∠ACB是多少? 教师出示问题学生合作交流。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
七年级下册数学直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定【知识要点】1．斜边、直角边（HL ）①内容：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等. ②作用：判定两个直角三角形全等.2．判定两个直角三角形全等的方法，共有五种：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .判定两个三角形全等，必须有一组边对应相等.3．判定两个直角三角形全等时应先考虑利用斜边、直角边条件（即HL ）来证，如不行再考虑用其他四种方法（其中SSS 没有必要）.【典型例题】例1.我们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等，请仿照方案（1），写出方案（2），（3），（4），你能行吗？ 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.方案（2）：方案（3）：方案（4）：例2．已知：如图所示，B 、E 、F 、C 在同一直线上，BC AF ⊥于F ，BC DE ⊥于E ，AB=DC ，BE=CF.求证：AB ∥CDA BFE CD例3. 如图，AE AB =，ED BC =，E B ∠=∠，CD AF ⊥，F 是垂足，试判断CF 与DF 有什么特殊的数量关系？并说明理由．例4．如图所示，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上一点，且BD=BC ，DE ⊥AB 交AC 于E.求证:CD ⊥BE.例5．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，M 、N 分别是CE 、BD 上的点，若AM ⊥CE ，AN ⊥BD ，AM=AN.求证：EM=DNBAE D BCM BN B例6. 如图a 所示，ABC ∆中，90=∠BAC ，AC AB =，AE 是过A 的一条直线，且点B 、C 在AE 的异侧，AE BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ，试说明: （1）CE DE BD +=.（2）若直线AE 绕A 点旋转到如图b 的位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？说明理由.（3）若直线AE 绕A 点旋转到如图c 的位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，则BD 与DE 、CE 的关系又怎样？ADBCE（c ）【初试锋芒】1．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A 、一锐角对应相等 B 、两锐角对应相等 C 、一条边对应相等D 、两条直角边对应相等2．如图1，P 到AB 、AC 的距离PE PF =，则PAF PAE ∆≅∆的理由是（ ） A 、HL B 、AAS C 、SSS D 、ASA3．如图2中，90=∠C ，BC AC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，AB DE ⊥于E ，若cm AB 6=，则DEB ∆的周长（ ）A 、cm 5B 、cm 6C 、cm 7D 、cm 84．在A B C ∆和DEF ∆中，DE AB =，90=∠=∠D A ，只要再补充条件 、或 、或 , 就能说明DEF ABC ∆≅∆.5．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，D 是AC 上的一点，E 在BC 的延长线上，且AE=BD ，BD 的延长线与AE 交于点F.求证：BF ⊥AE AFBPEC图1图26.如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠C=180°7．已知：如图所示，AC AD CE CD DCE ⊥=︒=∠,,90于A ，AC BE ⊥于B ， 求证：AB+AD=AC8．如图，在ABC ∆中，高AD 、BE 交于点H ，M 、N 分别是BH 、AC 的中点，︒=∠45ABC ． 求证：DM=DN ．A DBN EHM【大展身手】1. 如图，△ABC 中，∠C=90°,AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB. 求证：AN 平分∠BAC2．如图，已知：BE ⊥CD ，BE=DE ，BC=DA ，求证：DF ⊥BC3.如图，已知AC=BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD. 求证：AD=BC.B A21N MCB CDEFAC。
七年级数学下册第四章三角形4用尺规作三角形直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离试题北师大版
直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离知识点一：直角三角形的判定1.直角三角形全等的判定条件——HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.2.直角三角形全等的判定方法的综合运用.判定两个直角三角形全等的方法有五种，即SSS、SAS，ASA.AAS，HL.3.判定条件的选择技巧（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等.（3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS；②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS.例1.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.分析：本题解决问题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具.解：由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°.例2.如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE.DF分别垂直于AB.AC，垂足为E.F.求证BE=CF.解：在△AED和△AFD中，∠ ∠ （垂直的定义）∠ ∠ （角平分线的定义）（公共边）所以△AED≌△AFD（AAS）.所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.在Rt△BDE和Rt△CDF中， （已知） （已证）所以Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）.所以BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3.如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF.分析：要证CF=DF，可连接AC.AD后，证△ACF≌△ADF即可.证明：连结AC.AD.在△ABC和△AED中，所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.在Rt△ACF和Rt△ADF中，（已证） （公共边）所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）.例4.已知在△ABC与△A′B′C′中，CD.C′D′分别是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断△ABC 与△A′B′C′是否全等，说说你的理由.分析：分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论. 解：情形一，如果△ABC与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为CD.C′D′分别是△ABC.△A′B′C′的高.所以∠ADC=∠A′D′C′=90°.在△ADC和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，则∠A=∠A′.在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.情形二，当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC与△A′B′C′不全等.情形三，当△ABC与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由CD.C′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′.∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′.例5.阅读下题及证明过程：如图，已知D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE.证明：在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE 第一步∴∠ABE=∠ACE 第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.分析：用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形.解：上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下：过E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如图所示则∠BGE=∠CHE=90°在△AGE与△AHE中∴△AGE≌△AHE∴EG=EH在Rt△BGE与Rt△CHE中，EG=EH，BE=CE.∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6.已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中， （已知） （已知）所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），所以∠BEC=90°.所以BE⊥AC（垂直定义）；（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.在△BFD与△ACD中，∠ ∠ （已证）∠ ∠ °（已证）（已知）所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.知识二：利用三角形全等测距离通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等，掌握了这些知识，就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题．在解决实际问题时确定方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离（即把距离的测量转化为三角形全等的问题）．例1.如图，有一湖的湖岸在A.B之间呈一段圆弧状，A.B间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A.B间的距离吗？答案：要测量A.B间的距离，可用如下方法：（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C.D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A.C.E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．•即测出DE的长就是A.B之间的距离．（如图甲）（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使A.•C.E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE＝BA．即DE的长就是A.B间的距离．（•如图乙）例2.如图、小红和小亮两家分别位于A.B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离．方案：如图，在点B所在的河岸上取点C，连接BC并延长到D，使CD＝CB，利用测角仪器使得∠B＝∠D，A.C.E三点在同一直线上．测量出DE的长，就是AB的长．因为∠B＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD，所以AB＝DE．知识点三：尺规作图1.用尺规作三角形的根据是三角形全等的条件.2.尺规作图的几何语言①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连接两点××；或连接××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；④在××上截取××＝××；⑤以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；⑥以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；⑦分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×．3.用尺规作图具有以下三个步骤①已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹. 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.例1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．已知：∠α，∠β，线段c(如图)．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．请按照给出的作法作出相应的图形．例2.如图，已知线段a，b，c，满足a＋b>c，用尺规作图法作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c.错误作法：(1)作线段AB＝c；（2）作线段BC＝a；（3）连接AC，则△ABC就是所求作的三角形(如图).分析：本题第2步作线段BC＝a，在哪个方向作，∠CBA的度数是多少是不确定，所以这步的作法不正确，不能保证AC的长一定等于b．错误的原因在于没有真正理解用尺规作三角形的方法．正确作法：（1）作射线CE；（2）在射线CE上截取CB＝a；（3）分别以C，B为圆心，b，c长为半径画弧，两弧交于点A．连接AC.AB，则△ABC为所求作的三角形(如图)．例3.已知两边和其中一边上的中线，求作三角形．已知线段A.b 和 m．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.分析：如果BC已作出，则只要确定顶点A．由于AD是中线，则D为BC的中点，A在以D为圆心，m为半径的圆上，又AC＝b，点A也在以C为圆心b为半径的圆上，因此点A是这两个轨迹的交点．作法：1.作线段BC＝a．2.分别以B.C为圆心，大于 长为半径画弧，在BC两侧各交于一点M、N，连接M、N交BC于点D．3.分别以D为圆心，m长为半径作弧，以C为圆心，b长为半径作弧，两弧交于点A．4.分别连接AB.AC．则△ABC就是所求作的三角形．思考：假定△ABC已经作出，其中 BC＝a，AC＝b，中线 AD＝m．显然，在△ADC中，AD＝m，DC＝ ，AC＝b，所以△ADC若先作出．然后由BD＝ 的关系，可求得顶点B的位置，同样可以作出△ABC．作法请同学们自己写出．1.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B.C，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC.证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC∴∠B=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠1=∠2∴AD平分∠BAC.2.如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD和BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.证明：（1）∵AB⊥BD，AC⊥CD∴∠ABD=∠ACD=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL)∴∠1=∠2在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE（SAS）∴BE=CE（2）∵△ABE≌△ACE∴∠3=∠4又∵∠3＋∠4=180°∴∠3=90°∴CB⊥AD3.如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出它的平分线吗？说明方法与理由.解：能.作法：（1）在OA，OB上分别截取OM=ON（2）过M作MC⊥OA，过N作ND⊥OB，MC交ND于P（3）作射线OP则OP为∠AOB的平分线证明：∵MC⊥OA.ND⊥OB∴∠1=∠2=90°在Rt△OMP和Rt△ONP中∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）∴∠3=∠4∴OP平分∠AOB.4.如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？解：能.理由如下：∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL） ∴∠C=∠E，AC=AE 在△AMC 和△ANE 中∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AM=AN. 5.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E.F，且 AE=BF，AD=BC，则（1）△ADF 和△BEC 全等吗？为什么？ （2）CM 与 DN 相等吗？为什么？解： （1）△ADF≌△BCE，理由如下：∵CE⊥AB，DF⊥AB ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵AE=BF，∴AF=BE 在 Rt△ADF 和 Rt△BCE 中∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL） （2）CM=DN，理由如下： ∵△ADF≌△BCE ∴DF=CE，∠A=∠B 在△AME 和△BNF 中∴△AME≌△BNF（ASA） ∴ME=NF，又∵CE=DF ∴MC=ND. 6.如图所示，已知线段 a，b，∠α ，求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α ，•根据作图在下面空格中填上适 当的文字或字母． （1）如图甲所示，作∠MCN＝________； （2）如图乙所示，在射线 CM 上截取 BC＝________，在射线 CN 上截取 AC＝________． （3）如图丙所示，连接 AB，△ABC 就是_________．答案：∠α ，a，b，所求作的三角形. 7.已知线段 a 及锐角α ，求作：三角形 ABC，使∠C＝90°，∠B＝∠α ，BC＝A．作法：（1）作∠MCN＝90°； （2）以 C 为圆心，a 为半径，在 CM 上截取 CB＝a； （3）以 B 为顶点，BC 为一边作∠ABC＝∠α ，交 CN 于点 A．连接 AB，则△ABC 即为所求作的三角形． 8.你一定玩过跷跷板吧！如图是贝贝和晶晶玩跷跷板的示意图，支柱 OC 与地面垂直，点 O 是横板 AB 的中点，AB 可以绕着点 O 上下转动，当 A 端落地时，∠OAC＝20°．（1）横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是多少？ （2）在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度 AA′，BB′有何数量关系？为什么？解：（1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝90°－20°＝70°， 同理可求∠B′OC＝70°， ∴∠AOA′＝180°－2×70°＝40°；（2）AA′＝BB′， 如图所示，连接 AA′、BB′， ∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， ∴△A′AB′≌△BB′A，∴AA′＝BB′． 9.有一池塘，要测池塘两端 A.B 间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D， 使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A.B 之间的距离。
2020中考数学知识点：直角三角形的判定公式
2020中考数学知识点：直角三角形的判定公式在即将到来的期末考试中，关于直角三角形的判定试题一定会出现。
直角三角形的判定判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。
[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
简称为HL] 判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。
判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
在考试中大家如果遇见了关于直角三角形的判定问题时，请灵活的使用上述的知识要领。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是上一点，且=，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为（ ） A.45°B.50°C.55°D.60°2．关于x 的一元二次方程(m ﹣2)x 2﹣4x+1＝0有两个实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．m≤6B ．m≤6且m≠2C ．m ＜6且m≠2D ．m ＜63．一组数据：3，5，4，2，3的中位数是（ ） A.2B.4C.3D.3.54．如图，是由一个长方体和一个圆锥体组成，则该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.5．将261y x x =-+化成2y x h k =-+（）的形式，则h k +的值是( ) A ．-5 B ．-8 C ．-11 D ．56．小红同学5月份各项消费情况的扇形统计图如图所示，其中小红在学习用品上共支出100元，则她在午餐上共支出（ ）A ．50元B ．100元C ．150元D ．200元7．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ，若测得A ，C 之间的距离为12cm ，点B ，D 之间的距离为16m ，则线段AB 的长为( )A.9.6cmB.10cmC.20cmD.12cm 8．据国家统计局统计，2018年全国居民人均可支配手入元，比上年名义增长，扣除价格因素，实际增长.将用科学记数法表示为( )A.B.C. D.9．如图所示，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的图象的一部分与x 轴的交点A 在(2,0)与(3,0)之间，对称轴为直线1x =.下列结论：①0ab <；②20a b +=；③30a c +>；④()a b m am b +≥+（m 为实数）；⑤当13x -<<时，0y >.其中，正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．《流浪地球》作为第一部中国自己的科幻大片，票房已破46亿元（4600000000元），4600000000用科学记数法表示为（ ） A ．84610⨯B ．84.610⨯C ．90.4610⨯D ．94.610⨯11．如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．下列计算或运算中，正确的是( ) A ．a 6÷a 2＝a 3 B ．(﹣2a 2)3＝﹣8a 3 C ．(a ﹣b)2＝a 2﹣b 2 D ．(a ﹣3)(3+a)＝a 2﹣9二、填空题 13．如图，点是等边的边上的一个动点，连结，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则的最小值是 ___________.14．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是__．15．甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点，若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为_____．16．如图，AB是圆O的弦，AB＝202，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．17．如图，△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别时OA，OB，OC的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC的周长是_____．18．在学校举行“中国诗词大会”的比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，这组数据的众数是_____．三、解答题19．已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，F为AC的中点．⊙O是以AF为直径的圆，交AB于点D，交BF于点 E．（1）过E点作⊙O的切线，并标出它与BD的交点M（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接ME，求证：ME是线段BD的垂直平分线．20．如图，正方形ABCD的边长为2，点A的坐标为（0，4），直线1：y＝mx+m（m≠0）（1）直线L经过一个定点，求此定点坐标；（2）当直线L与正方形ABCD有公共点时，求m的取值范围；（3）直线L能否将正方形分成1：3的两部分，如果能，请直接写出m的值，如果不能，请说明理由．21．如图，已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝ax（a≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴垂足为D点，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求反比例函数y＝ax和一次函数y＝kx+b的表达式；（2）直接写出关于x的不等式ax＞kx+b的解集．22．如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH＝OH＝3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，3≈1.73，π≈3.14）．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=12cm，AD=CD=8cm，动点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，动点F从点B出发沿BA以每秒1cm的速度向点A运动，过点E作AB的垂线交折线AD-DC于点G，以EG、EF为邻边作矩形EFHG，设点E、F运动的时间为t(秒)，矩形EFHG与四边形ABCD 重叠部分的面积为S(cm2).(1)求EG的长(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，点G与点D重合？(3)当点G在DC上时，求S(cm2)与t(秒)的函数关系式(S>0)；(4)连接EH、GF、AC、BD，在运动过程中，当这四条线段所在的直线有两条平行时，直接写出t的值. 24．“五一”期间，小张把容积为60升的油箱加满后自驾出行，行驶一段路程后进入服务区停车休息，休息后，小张离开服务区继续前行，为能顺利到达目的地，小张需在相距S千米的加油站加油.若小张从出发点到服务区休息点行驶的路程为200千米，且这期间平均油耗为每千米0.12升.(1)求小张离开服务区休息点时，油箱内还有多少升汽油?(2)记小张从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗为每千米a升，请写出S与a的函数关系式；若0.08≤a≤0.1，求S的取值范围.25．某单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收150元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印刷费，不收制版费．设在同一家印刷厂一次印制数量为x份(x为正整数)．(1)根据题意，填写下表：一次印制数量(份) 5 10 20 (x)甲印刷厂收费(元) 155 …乙印刷厂收费(元) 12.5 …(2)在印刷品数量大于800份的情况下选哪家印刷厂印制省钱？【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C D A D B C B D B D二、填空题13．14．15．516．2017．418．90三、解答题19．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接OE，过点E作MN⊥OE交AB于M，交AC于N；（2）先证明OE∥AB得到EM⊥BD，再证明△BDE为等边三角形，从而得到ME是线段BD的垂直平分线．【详解】解：（1）如图，ME为所作；（2）∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠A＝60°，∵F为AC的中点，∴FA＝FB＝FC，∴△ABF为等边三角形，∴∠AFB＝∠ABF＝60°，而OF＝OE，∴△OEF为等边三角形，∴∠EOF＝60°，∴∠EOF＝∠A，∴OE∥AB，而OE⊥ME，∴AB⊥EM，∵∠BDE＝∠AFE＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴ME是线段BD的垂直平分线．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质．20．（1）（﹣1，0）（2）23≤m≤4（3）1或3216【解析】【分析】（1）由y＝mx+m＝m（x+1）知x＝﹣1时y＝0，从而得出答案；（2）把点A，C的坐标分别代入直线y＝mx+m，分别求得m的值即可求出m的取值范围；（3）把B的坐标代入直线L，由直线L能将正方形分成1：3的两部分，即可求出m值；再由直线L交DC 与BC且满足直线L能将正方形分成1：3的两部分也可求出m的值，本题可求解．【详解】（1）∵y＝mx+m＝m（x+1），∴不论m为何值时，x＝﹣1时y＝0，故这个定点的坐标为（﹣1，0）（2）∵正方形ABCD的边长为2，点A的坐标为（0，4），∴B（0，2），C（2，2），D（2，4），把A（0，4）代入y＝mx+m得，m＝4，把C（2，2）代入得，2＝3m，解得m＝23，直线L与正方形ABCD有公共点，m的取值范围是23≤m≤4；故直线L与正方形ABCD有公共点时，m的取值范围是23≤m≤4；（3）能理由：∵正方形ABCD的边长为2，∴正方形的面积为4，分情况讨论：（Ⅰ）：当直线L过点B时，把点B代入y＝mx+m，得m＝1，∴直线L与AD的交点E的坐标为（1，4），S△ABE＝12AB•AE＝12×2×1＝1，∴S△ABE＝14S正方形ABCD∴当m＝1时，直线L能否将正方形分成1：3的两部分；（Ⅱ）：设直线L过DC上点F，BC上的点G时，把x＝2代入直线L，y＝2m+m＝3m，得F（2，3m），FC＝3m﹣2把y＝2代入直线L，2＝mx+m，x＝21m+，得G（21m+，2），CG＝2﹣21m+∴S△GCF＝12×FC•CG＝12×（3m﹣2）（2﹣21m+）(32)1m mm-=+由S△GCF＝14S正方形ABCD得，∴(32)1m mm-=+＝14×4，解，得m＝3216±（负值不合题意，舍去），∴当m＝3+216时，直线L能否将正方形分成1：3的两部分；综上所述，存在这样的m值，使直线L能否将正方形分成1：3的两部分，故m的值为1或3+216．【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，一次函数及其性质，待定系数法求函数解析式的方法，考查学生解决问题的能力，略难一点．21．（1）y＝﹣2x+6,20yx=-；（2）﹣2＜x＜0或x＞5．【解析】【分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可求得另一个交点的坐标，然后根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题．【详解】（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∴A（3，0），B（0，6），∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴OB AOCB AD=，即635CD=，∴CD＝10，∴点C坐标（﹣2，10），把A（3，0），B（0，6）代入y＝kx+b得630 bk b=⎧⎨+=⎩解得26kb=-⎧⎨=⎩，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝ax（a≠0）的图象经过点C（﹣2，10），∴a＝﹣2×10＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣20x．（2）由2620y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩解得210xy=-⎧⎨=⎩或5-4xy=⎧⎨=⎩，故另一个交点坐标为（5，﹣4）．由图象可知不等式ax＞kx+b的解集：﹣2＜x＜0或x＞5．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．22．（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积约为6.2．【解析】【分析】（1）由条件可证∠AED＝∠EFB，从而可证△ADE∽△BEF．（2）由DF与⊙O相切，DH＝OH＝OG＝3可得∠ODG＝30°，从而有∠GOE＝120°，并可求出DG、EF长，从而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°．∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°．∴∠AED＝90°﹣∠BEF＝∠EFB．∵∠A＝∠B，∠AED＝∠EFB，∴△ADE∽△BEF．（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，∴OG⊥DG．∴∠DGO＝90°．∵DH＝OH＝OG，∴sin∠ODG＝12 OGOD=．∴∠ODG＝30°．∴∠GOE＝120°．∴S 扇形OEG ＝21203360π⨯＝3π． 在Rt △DGO 中，cos ∠ODG ＝DG DG 3DO 62==． ∴DG ＝33．在Rt △DEF 中，tan ∠EDF ＝393EF EF DE ==． ∴EF ＝33．∴S △DEF ＝11273933222DE EF ⋅=⨯⨯=， S △DGO ＝1193333222DG GO ⋅=⨯⨯=． ∴S 阴影＝S △DEF ﹣S △DGO ﹣S 扇形OEG ＝2739322-﹣3π ＝.93﹣3π≈9×1.73﹣3×3.14＝6.15≈6.2∴图中阴影部分的面积约为6.2．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积．23．(1)GE=3t 或GE=43；(2)t=4；(3)当4≤t<6时，S=-83t+483；当6<t≤8时，S=83t-483；当8<t≤12，S=231638032t t -+-；(4)t=125或t=3或t=10. 【解析】(1)分两种情况讨论：①当点G 在AD 上时，②当点G 在DC 上时，分别计算即得.(2)当点G 与点D 重合时 ，可得AE=t ，从而可得AG=2t ，由AG=AD=8，从而求出t 值.(3)当4≤t<6时 ，重叠面积是矩形EFHG ，FG=43， EF=12-2t ，利用矩形的面积公式直接计算即得.当6<t≤8时，重叠面积是矩形EFGH ，FG=43，EF=2t-12，利用矩形的面积公式直接计算即得。
初中数学 直角三角形的性质及判定
直角三角形的性质及判定•直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
•直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。
（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。
那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。
（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。
）•直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
即。
如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。
如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。
（2）（AB)2=BD·BC。
（3）（AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
初中数学《三角形全等的判定“斜边、直角边”》教案
教学设计
一、情境引入
(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否对称，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？
二、探究新知
三、例题讲解 教材例5
如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证：BC ＝AD.
证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
⎩
⎨
⎧AB ＝BA ，
AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD.
四、应用提升 想一想：
你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL ”．
三、巩固练习 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
学生独立思考完成．教师点评． 五、小结。
【数学课件】直角三角形全等的判定(2)
问题：判定一般三角形全等的方法有哪 几种？若这两个三角形是直角三角形， 那么这些判定方法适用吗？ 答:SSS,SAS,ASA,AAS
• 如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF（其中∠C ＝∠F＝90°）是否全等，在（ ）里填写理由；如果 不全等，在（ ）里打“×”： （1）AC＝DF,∠A＝∠D （ ASA） （2）AC＝DF,BC＝EF （ SAS ） （3）AB＝DE，∠B＝∠E （AAS ） （4）∠A＝∠D，∠B＝∠E （ × ）
N
A′
Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'
B
C
M
B′
C′
两个直角三角形全等的判定： 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）
注意：“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。应用HL判定时，虽只 有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为： 在Rt△______和Rt△_____和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，并且AC＝A′C′，CD＝ C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：∵ CD、C′D′分别是高 ∴ ∠ADC= ∠A′D′C′=90° 在Rt△ ADC与Rt△ A′D′C′中 AC＝A′C′ CD＝C′D′ ∴ Rt△ ADC＝Rt△ A′D′C′（HL) ∴ ∠A ＝∠A′ 在△ABC与△A′B′C′中 ∠A ＝∠A′ AC＝A′C′ ∠ACB＝∠A′C′B′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA)
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
2022年初中数学精品《直角三角形全等的判定》导学案
17.4 直角三角形全等的判定学习目标：1.理解直角三角形全等的判定方法“HL〞，会用“HL〞判定两个直角三角形全等.2.理解角平分线性质定理的逆定理.学习重点：理解直角三角形全等的判定方法“HL〞.学习难点：“HL〞的应用.自主学习一、知识链接1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么〔或c=〕变形：2a=〔或a=〕，2b=〔或b=〕2.判定两个三角形全等的方法有：、、、二、新知预习1.动手试一试：两条线段〔两条线段长度不相等〕，一条为2cm，一条为3cm.试着画出一个直角三角形，使3cm长的线段为三角形的斜边，2cm长的线段为其一条直角边.作法：(1)作一条线段CB，使它等于2cm；(2)过点C，作直线MC⊥CB；(3)以点B为圆心，3cm长为半径画圆弧，交射线CM于点A；(4)连接AB.△ABC即为所求2.将你画的三角形和同桌画的三角形进行比拟，由此你能猜测到什么呢？【结论】由上面的画图实验可以得到直角三角形全等的判定定理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形〔可以简写成“〞或“〞〕3. 尝试证明以上结论：如图，在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中, ∠C=∠C’=90°，AB=A’B’，AC=A’C’求证：Rt △ABC ≌Rt '''A B C ∆ 【提示】先利用勾股定理证明另一条直角边相等，再用“SAS 〞或“SSS 〞证明这两个三角形全等 证明：三、自学自测1.判断题：〔1〕一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔2〕一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔3〕一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔4〕两直角边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔5〕两边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔6〕两锐角对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔7〕一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 〔8〕一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等〔 〕 2.如图，假设要用“HL 〞证明Rt △ABC ≌Rt △ABD ，那么还需补充条件〔 〕 A ．∠BAC=∠BAD B ．AC=AD 或BC=BDC ．AC=AD 且BC=BDD ．以上都不正确四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________AB C A ’B ’C ’一、要点探究探究点：利用“HL 〞判定两个直角三角形全等例1．如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由 解：AB 平行于CD理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC 〔〕∴ ∠AFB=∠DEC= °〔垂直的定义〕 ∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中 ∵⎩⎨⎧==_______________________________∴ ≌〔 〕∴ = 〔 〕 ∴ 〔内错角相等，两直线平行〕【归纳总结】用“HL 〞判定两个直角三角形全等时，要找到一组斜边和一组直角边对应相等． 【针对训练】求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．例2．请写出角平分线的性质定理的逆命题，并判断该命题的真假．【归纳总结】通过做辅助线构造两个全等的直角三角形，也是证明线段相等的常用方法．合作探究【针对训练】如图：AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE=DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF二、课堂小结内容直角三角形全等的判定定理和对应相等的两个直角三角形全等．〔可以简写成“〞或“〞〕角平分线性质定理的逆定理定理到距离相等的点在这个角的平分线上．1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有〔〕A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等2．如图，∠A=∠D=90°，再添加一个条件，即可使Rt△ABC≌Rt△DCB，理由是．3．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，那么∠2= ．当堂检测4．如下图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，假设∠B=28°，那么∠AEC=〔〕A．28°B．59°C．60 D．62°5．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？6．如图，公路上A、B两站相距25km，在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB ⊥AB于点B．DA=15km，CB=10km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D 两学校到E的距离相等，那么E应建在距A多远处？2.3 线段的长短学习目标：1.掌握线段长短比拟的正确方法及表示方法；〔重点〕2.学会用尺规作图作一条线段等于线段；〔重点〕“两点之间线段最短〞的根本领实.〔重点〕学习重点：线段长短比拟的方法及表示方法.学习难点：如何引导学生从“数量〞的角度，引入到从“形〞的角度来分析两条线段的大小比拟.二、知识链接自主学习1.如图，点A、B、C、D在直线AB上，那么图中能用字母表示的共有条线段，有条射线，有条直线.2.以下说法正确的选项是A 画一条3厘米长的直线B 画一条3厘米长的射线C 画一条4厘米长的线段D 在直线，射线，线段中，直线最长三、新知预习互动探究议一议〔1〕你们平时是如何比拟两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比拟两条线段的长短吗？讨论后派一位代表上来说说你们的想法.〔2〕那如果是两个分别在两条不同的笔直的道路上跑的选手，我们又如何知道在规定的时间内，他们谁跑得更远呢？〔3〕任意的画出两条线段，你又该如何比拟这两条线段的长度大小呢？你能想到什么方法？【自主归纳】比拟两条线段的长短的方法：第一种方法：度量法，即用一把尺量出两条线段的长度，再进行比拟.a b解：量得a= ；b= ；∴a b.〔填﹤、﹥或﹦〕第二种方法：叠合法先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧，根据另一端落下的位置，来比拟.将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD 叠合.这时端点B有三种可能的位置情况:(1)点B落在C,D之间，线段AB_____线段CD,记作_______.C B D(2)点B与点D重合，线段AB_____线段CD,记作______.A B(3)点B在线段CD的延长线上，线段AB_____线段CD,记作_______.A想一想：如图，小明到小英家有四条路可走，有一天小明有急事找小英,你认为走哪条路最快？为什么?你能得到什么结论？【归纳】两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离.两点之间的所有连线中，线段最短.画一画作一条线段等于线段a：线段a, 作一条线段AB，使AB=a.步骤：1.画___________________;2.以_____为圆心，______为半径画弧，交________于_______.线段AB即为所求.四、自学自测1.试比拟线段AB 、CD 的长短.A B C D2.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释应是_____________．四、我的疑惑_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、要点探究探究点1：比拟线段的长短例1：为比拟线段AB 与CD 的大小，小明将点A 与点C 重合使两条线段在一条直线上，点B 在CD 的延长线上，那么〔 〕A. AB ＜CDB. AB ＞CDC.AB=CD D 以上都有可能 【归纳总结】 用叠合法比拟线段的长短.【针对训练】用圆规比拟图中的四条线段，其中最长的是〔〕探究点2：有关线段的根本领实例2：如下图，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？【归纳总结】(1)两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身．(2)在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短〞．【针对训练】如图，AB+BC______AC，AC+BC________AB，AB+AC__________BC〔填“>〞“<〞或“=〞〕.二、课堂小结内容线段长短的比拟方法度量法、叠合法.根本领实及两点间的距离两点之间的所有连线中，线段最短；两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离.A. ABB. BCC. CDD. ADCB当堂检测1.以下可以比拟长短的是〔〕A.2.七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一条适宜的方法〔〕A.把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳B.把两条绳子接在一起C.把两条绳子重合，观察另一端的情况D.没方法挑选3.以下判断错误的选项是〔〕A.任何两条线段都能度量长度B.因为线段有长短，所以它们之间能判断大小C.利用圆规配合尺子，也能比拟线段的大小D.两条直线也能比拟大小4.把两条线段AB和CD放在同一条直线上比拟长短时，以下说法错误的选项是〔〕A.如果线段AB的两个端点均落在线段CD的内部，那么AB<CDB. 如果A,C重合，B落在线段CD的内部，那么AB<CDC. 如果线段AB的一个端点在线段CD的内部，另一个端点在线段CD的外部，那么AB＞CDD. 如果B，D重合，A，C位于点B的同侧，且落在线段CD的外部，那么AB＞CD5.如果线段AB=5cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间的距离是〔〕6.下面线段中，_____最长，_____最短.①②③④7.如图，从甲地到乙地有四条道路，其中最短的路线是，最长的路线是。
直角三角形全等的判定数学教案
直角三角形全等的判定数学教案
标题：直角三角形全等的判定
一、教学目标
1. 知识与技能目标：理解并掌握直角三角形全等的判定定理，能够运用这些定理解决相关问题。
2. 过程与方法目标：通过观察、比较、推理等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间观念。
3. 情感态度价值观目标：激发学生对几何学习的兴趣，培养他们认真细致的学习态度和严谨的科学精神。
二、教学重点与难点
1. 教学重点：直角三角形全等的判定定理的理解和应用。
2. 教学难点：如何从实际问题中抽象出几何模型，利用直角三角形全等的判定定理解决问题。
三、教学过程
1. 导入新课：通过生活中的实例或者有趣的数学问题引入直角三角形全等的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：
(1) 定义和性质：首先介绍什么是直角三角形全等，以及它的一些基本性质。
(2) 判定定理：详细解释并证明SAS、ASA、SSS、AAS、HL这五种直角三角形全等的判定定理。
3. 实例解析：给出一些具体的例子，让学生尝试运用所学知识进行解答，教师进行点评和指导。
4. 练习巩固：设计一些练习题，包括基础题和提高题，让学生进行练习，检查他们的理解和掌握程度。
5. 小结与反思：回顾本节课的内容，引导学生自我反思，总结自己的学习收获和存在的问题。
四、作业布置
设计一些相关的习题，包括复习旧知识和预习新知识的部分，以帮助学生巩固课堂学习的内容。
五、教学评价
通过课堂提问、作业批改等方式，对学生的学习情况进行评价，了解他们的掌握情况，为下一步的教学计划提供参考。
初一下册数学《三角形》知识点复习总结
初一下册数学《三角形》知识点复习总结初一下册数学《三角形》知识点复习总结章一一、三角函数1.定义：在rt△abc中，∠c=rt∠，则sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
初一下册数学《三角形》知识点复习总结章二一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。
4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。
5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。
二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。
三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。
四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
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32＋42 > 42 22＋32 < 42
32＋42 = 52
（3）3，4，5
直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的 平方和与最长边的平方之间的大小关系.
知识要点
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a、b、c满足
a2 + b2 = c2，那么这个
反过来
三角形是直角三角形.
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 .
典例剖析
例1：判断由线段a，b，c组成的三
(2) a=13，b=11，c=9 分析：根据勾股定理
的逆定理 , 判断一个三 角形是不是直角三角 形, 只要看两条较短边 长的平方和是否等于 最长边长的平方.
角形是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24; 解:(1)最长边为25 ∵a2+c2=72+242 =49+576 =625 b2=252 =625 ∴a2+c2=b2 ∴以7, 25, 24为边长的
原来如此
据说,古埃及人曾用下面的方 法画直角：他们用13个等距离 A 的结把一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1个结和第13个结，两个助手分 C B 别握住第4个结和第8个结，拉 紧绳子，就会得到一个直角三角 解:如图，设每两个结的 形,其直角在第4个结处. 距离为a（a>0）,则 AC=3a,BC=4a,AB=5a.
(1) (2) (3) (4)
∵ AC 2 +BC 2= 3a 2+ 4a 2=25a 2 AB 2= 5a 2=25a 2 ∴ AC 2 +BC 2=AB 2 从 而 ACB =90
* * * * * * * * * * * *
(12)
(11) (10) (9) (5) (6) (7)
* * * * * * * * * * * * * 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳 子分成等长的12段，一个工匠同时握 住绳子的第1个结和第13个结，两个 助手分别握住第4个结和第8个结，拉 紧绳子，就会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处.
(8)
(1)
(2)
(13)
(8)Leabharlann 课堂小结 通过本节课的学习，同学们有哪些收获？ 1、 勾股定理的逆定理的内容； ２、判定一个三角形是直角三角形的方法 （从角、边两个方面来考虑）； ３、勾股定理与它的逆定理之间的关系. ４、数形结合的数学思想.
课外作业
《创新学习三级训练
八年级数学（上）》
第65~68页
课时3
（1）必做栏目：【基础与巩固】、 【拓展与提高】 （2）选做栏目： 【想一想】
(3)
(4)
* * * * * * * * * * * *
(12) (11) (10) (9) (5) (6) (7)
(13)
你想知道这是什么道理吗?
小组探究
试用小塑料棒拼出三边长度分别为如 下数据的三角形，猜想它们是些什么形状 的三角形？（按角分类）
（1）3，4，4
（2）2，3，4
锐角三角形
钝角三角形
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形； 2 2 2 (3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a +b =c , 那么这个三角形是直角三角形吗
???
你知道吗
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
(4) a=1 b=2 c= 3
不是 _____
_____ ;
____ 是 ∠ _____ B=900;
典例剖析
例2、已知：如图，四边形ABCD中， ∠ B ＝ 900 ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， CD ＝ 12 ， AD＝13,求四边形ABCD的面积.
C
4
12
5
B
3
D
13
A
延伸拓展 练习2、满足下列条件△ABC, 不是直 角三角形的是 (D ) A、b2 = a2 - c2 B、a:b:c=3:4:5 C、∠C=∠B - ∠A D、∠A:∠B :∠C =3:4:5
§14.1.2 直角三角形的判定
江阴市要塞中学 夏建平
2008.10.22
忆一忆
直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余 )；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方 .
反之,一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢?
想一想
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
三角形是直角三角形.
数形结 合思想
练一练
练习1、下面以a,b,c为边长的△ABC是 不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直 角？ 0 是 ∠ C =90 (1) a=6 b=8 c=10 ____ _____ ; (2) a=12 b=8 c=15 不是 ____ _____ ;
(3) a=8 b=6 c=5
真诚致意
感谢各位同学精彩配合！ 恳请各位专家批评指正！
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吧。""好吧,你实在不听就算咯,本系鸟也懒得和你吵咯,浪费口舌。"白灵鸟假意要飞走,壹边慢悠悠の飞,还壹边叹气说："哎,可怜咯咱主人呀,可能刚将芳心付给你,就又要被迫投入另壹个男人の怀抱,哎,可怜呀。""嗯?"根汉挑咯挑眉头,壹道神光立即扫向这白灵鸟の元灵,可是这壹扫竟 然没有半点收获,这鸟根本没有元灵丶"混蛋,你刚刚是不是对本系鸟用咯什么邪术?"白灵鸟似乎是有所察觉,立即又飞咯回来："不就是想知道咱主人の情况嘛,大胆の问就行咯,何必要偷鸡摸狗壹样呢。""不是偷鸡咯,应该叫偷鸟咯。："根汉笑咯笑说："罢咯,你说说吧,说得好,哥哥咱给 你糖吃。"说完,他右手壹翻,手心多出咯壹瓶水果糖丶"这是什么东西?"壹看这瓶子里面,五颜六色の,有些小果粒壹样の东西,白灵鸟也没见过这种东西丶"呵呵,尝尝就知道咯丶"根汉从里面弹出咯壹粒小糖丸,白灵鸟立即张嘴接下,咕噜壹下子就吞下去咯丶"哇好甜,这是什么东西呀。"它 立即又飞咯过来,根汉也没逗它,壹瓶都丢给咯它丶"好好表现吧,哥哥咱这种糖还多得是。"之前在武神之墓の时候,根汉还特意搞咯壹大批这样の糖果,这种液态糖不会坏牙,而且存放时间很久,同时甜味又能保持很久の时间,可以说对小孩子,还有壹些小生灵,可以说是绝佳の小零食呀丶" 好吃,真好吃,这东西不错。"白灵鸟果然很喜欢吃这个东西,壹会尔の功夫,就往嘴里丢咯十几粒咯丶"好家伙,也不怕被甜晕掉。"看这鸟の吃相,根汉也着实有些无语,确实是够难看の前世没吃过东西壹样丶"好咯,别光顾着吃咯,赶紧の说到底怎么回事,要是耽误咯事尔,看咱怎么收拾你这 只破鸟丶"肆肆玖1天海阁三"咱说主人の男人,你也太不靠谱咯吧,好歹你也是那个什么楚宫の壹宫之主,怎么就这么小气呢,不就吃你几颗糖果嘛。""就几颗糖果?好,你现在还给咱,你妹の。"壹人壹鸟玩の挺开心,逗着乐,斗着嘴根汉就从这白灵鸟这里咯解咯事情の来龙去脉丶因为尤梅梅 这几天壹直在外面,没有回来过,所以她之前也不知道这到底是什么事情丶原来是先前尤家老祖宗,私下里竟与星盟の四大战神之壹の无望定下咯亲事,之前就与无望战神下咯请书咯,要将这尤梅梅和尤落落献给这个无望战神丶现在无望战神已经派来咯他の人咯,人就在尤家大院现在,估计 有可能会将她们姐妹俩给带走,毕竟这无望战神本身身入大魔系之境,而且在星盟中地位极高,位极四大战神可不是闹着玩の丶尤家虽说是在这天海系城府中の壹个大势力,但是最强大者,也就是老祖宗咯,而且现在已经被根汉给灭咯尤家人更是根本就不知道这件事情丶所以现在尤家大部分 长辈,肯定是暗暗窃喜の,相当于这尤家壹下子就和星盟中の大人物扯上咯关系咯丶所以急召她们回去,其实也没有别の意思,在那些长辈の眼里,也没有和尤家姐妹商量の意思丶"你丫の,怎么不早说。"根汉听完后,脸色也凝咯起来,这星盟和自己算是扛上咯丶八大超级势力当中,自己可能 与他们这个星盟还有魔机谷の仇隙最深咯丶魔机谷是大仇,是公恨,因为他们当初降落の时候,当着自己の面,辗死咯数千亿生灵,根汉是为他们不公而已丶而这个星盟,前任四大战神之二の邪天,还有他の好兄弟鬼厉,这两人与自己有不小の仇丶而且前些年,据说这同为四大战神之壹の紫炎, 也壹直在追着自己楚宫中の老婆们穷追不舍,还说要将她们收为自己の女人,这个仇就更大咯不用多言咯丶现在又冒出咯壹个同为四大战神之壹の无望,也敢来这里抢自己女人,还真是冤家路窄呀丶"这也能怪咱吗?"白灵鸟壹边倒嘴里倒糖,壹边啧啧说："原本咱也没有必要说呀,若是没有你 の横空出世,咱主人肯定也就嫁给这个无望战神咯,人家可是大魔系,而且成名已久,家大业大。""那可是权势涛天之人呀,估计尤家长辈也没想到,还有你这么壹号人物杀出来吧。"白灵鸟说："现在咱主人应该挺难犯の,肯定是想着办法推托呢,只是以那无望战神の威望,还有这长辈们の压 力之下,咱倒很想知道,主人会不会放弃你呢?""你觉得呢?"根汉笑着问他："你觉得会怎么样?""会怎么样?"白灵鸟幸灾乐祸の笑着说："咱想他们急于先叫主人回来,肯定是全亭动员劝主人咯,若是主人壹开始不同意,他们就先会用强の,希望压迫她同意丶但是主人の性格应该不会同意,然 后他们就会开始用软招咯,把那些能磨善泡の大妈们叫来,壹把鼻涕壹把泪丶""再加上他们の壹些危言耸听之辞,以咱估算の话,九成五以上咱主人