平移、旋转和轴对称的秘密

平移、旋转与轴对称的秘密

平移、旋转和轴对称都是平面图形的基本变换.他们之间存在着许多有意思的秘密,这秘密究竟是什么呢?

在一次关于图形变换的考试中,记得有这样一题：

如右图,请说出甲树是怎样由乙树变换得到的____________________.

许多同学都写出了错误的答案：乙向右平移AB 的距离，带绕点A 顺时针旋转30°等到甲。为什么会造成这种错误呢？首先，同学们没有仔细观察这个两棵树的特征或不明白平移、旋转和轴对称的意义。

一、平移变换转化为轴对称变换

如下图，已知△ABC ，直线l ∥k 且距离为a ，画△ABC 关于直线m 对称的△A ′B ′C ′，再画△A ′B ′C ′关于直线n 对称的△A ″B ″C ″。

60°

90°

那么△A″B″C″能否看成△ABC平移得到的呢？

事实证明这是可以的，即△ABC沿对称轴l（k）垂直方向平移2a个单位即可得到

△A″B″C″。

由此我们就可以得出一般结论：当对称轴平行时，两次轴对称相当于一次平移，且平移的方向垂直于对称轴，平移的距离是两条对称轴之间的距离的2倍。

二、旋转转化为轴对称变换

如下图，已知△ABC，直线l，k相交于点O，且夹角为a（0°＜a≤90°），画△ABC 关于直线l对称的△A′B′C′。再画△A′B′C′，关于直线k对称的△A″B″C″。

观察图形，我们就可以发现△A″B″C″就是由△ABC绕点O顺时针旋转2a°得到的。

由此可猜想归纳一般结论：当两条对称轴相交于一点时，两次轴对称相当于一次旋转，且旋转中心为对称轴的交点，旋转角为对称轴夹角2a°，旋转方向与第一条对称轴旋转a的角度得到第二条对称轴的位置的方向一致。

数学中像这样的秘密还有很多，只是你还没有打开你智慧的窗口去感受它们，多去留意它们，你就会探索的路上收获丰硕的果实。