2009矩阵分析试题(A卷)

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矩阵分析2008-09(A)

北京交通大学2002008-20098-2009学年第一学期硕士研究生学年第一学期硕士研究生矩阵分析矩阵分析矩阵分析考试试卷考试试卷考试试卷(A)(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一、（8分）设线性映射A ：]4R x ⎡→⎣]3R x ⎡⎣且T (())()d f x f x dx=，对任意∈)(x f ]4R x ⎡⎣.求线性映射T 在基2323,,,x x x 及基22,3,x x 下的矩阵表示.其中，]210121{|}n n i nR x a a x a x a x a R −−⎡=++++∈⎣⋯.二（共14分，问题（1）4分，问题（2）10分）（1）叙述矩阵范数的定义（2）设3201i A i −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12−=i ）；三求解题（共18分）（1）（6分）求矩阵的满秩分解。

(2)(4分)设三阶矩阵的特征多项式与最小多项式分别是：证明：13214261073931114128510A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 322()5()5f m λλλλλλ=−=−与4125A A=（3）（8分）求矩阵1010111A i i −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.四证明题（共16分，每小题各8分）：1设n 阶矩阵002,()k A A k ≠=≥.证明：A 不能与对角矩阵相似.2设,A B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似.五（14分）设01010i A i i i −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，验证A 是Hermite 矩阵并求酉阵U 使得1U AU −是对角矩阵.六（共30分，每小题6分）设308316205A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，（1）求A E −λ的Smith 标准形(写出主要步骤)；其中E 为3阶单位阵。

（2）写出A 的初等因子和A 的最小多项式；（3）求相似变换矩阵P 和A 的Jordan 标准形J ,使得J AP P =−1；（4）求2008J 和矩阵函数)(A f ；（5）求2ln()A E +计算行列式2sin()A π.。

2009全国大学生数学建模A题0314

i =1
通过TOPSIS 法，我们对原始数据进行了同趋势和归一化处理，消除了不同指标量纲的影响。排序的结果充分利用原始数据信息，能定量反映不同评价单元的优劣程度，较为直观、可靠。所得到的加权平均值，相对接近度值在0 与1 之间,该值愈接近1，反映所评价单元接近最优水平程度愈高,反之,该值愈接近0，评价单元接近最优水平的程度愈低或者说愈接近最劣水平。通过以上分析计算,该院的工作效率偏低，相对接近度只有0.5026。究其原因不难发现，虽然医院病床利用率非常高（流入流出达到稳定后几乎定格为 100%），但是除外伤病人外，其他病人等待入院时间过长（约为12天），严重影响病情治疗。对于病人来说，尽早入院手术是他们的迫切需求，等待时间过长势必会使医院失去部分病人，从而影响医院经济效率。针对该院病床使用存在效率低下的问题，引入模型2，根据医院第二天的出院人数，建立合理的病床安排模型。 3.3 问题二解决方案
白内障（双眼） 0.2791 视网膜疾病 0.2785 青光眼外伤 0.3158 0.1149
（8）计算 Ci 的加权平均值 C 根据题中所给病人信息，统计出各类病人所占百分比，写成向量形式： w = (0.2063 0.2350
5
0.2894
0.1117
0.1576)
加权平均值 C = ∑ wi Ci = 0.5026
3.模型建立与模型求解
3.1 医院病床安排现状分析由所给附录中 2008 年 7 月 13 日至 2008 年 9 月 11 日时间段内各类病人情况得出，各类病人占总人数的比例，分布饼图如下：
图 3-1-1 五类病人人数比例上图表示，白内障单双眼病人所占比例分别为 21%、23%，视网膜病人比例为 29%，青光眼为 11%，外伤为 16%，由此可知，各类病人分布较均匀，所有病种所需特点在建模过程中都要考虑到。其中外伤所占比例接近总人数 1/5，并且

2009年考研数学试题详解及评分参考

=
lim
n®0
an2
|
bn
|=
0
,
2009 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2009 年数学试题详解及评分参考
¥
å 于是根据正项级数比较判别法的极限形式，知 an2bn2 收敛，因此应选 (C) .
n=1
注：取 an = bn = (-1)n
1 n
，可排除(A)和(D)；取 an
F ¢(x) = 0 ，即 F (x) 恒为常数. 再结合 F (x) 的连续性，即知选项(D)是正确的.
(4)
设有两个数列 {an } , {bn } ，
若
lim
n®¥
an
= 0 ，则
¥
¥
å å (A) 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n=1
n=1
¥
¥
å å (B) 当 bn 发散时， anbn 发散.
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
，
g(x) = x2 ln(1- bx) = x2[(-bx) + o(x)] = -bx3 + o(x3) ，
因此有 lim x®0
(1 -
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
-bx3 + o(x3 )
=
1 ，于是1-
a
=
0
，且
1 6
a3
=
-b
，即
a
=
1 ，b
=
-
1 6
= 6A-1
=
6
A* A
= 3A*, X4
=

2009年考试真题及参考答案

2009年联考MBA 联考真题综合试卷一、问题求解（本大题共15题，每小题3分，共45分。

在下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡．．．上将所选的字母涂黑。

） 1．一家商店为回收资金把甲乙两件商品均以480元一件卖出。

已知甲商品赚了20%，乙商品亏了20%，则商店盈亏结果为（A ）不亏不赚（B ）亏了50元（C ）赚了50元（D ）赚了40元（E ）亏了40元2．某国参加北京奥运会的勇女运动员比例原为19:12，由于先增加若干名女运动员．使男女运动员比例变为20:13．后又增加了若干名男运动员，于是男女运动员比例．最终变为30:19．如果后增加的男运动员比先增加的女运动员多3人，则最后运员的总人数为（）。

（A ）686 （B ）637 （C ）700 （D ）661 （E ）6003．某工厂定期购买一种原料，已知该厂每天需用该原料6吨，每吨价格1800元．原料的保管等费用平均每吨3元，每次购买原料支付运费900元，若该厂要使平均每天支付的总费用最省，则应该每（）天购买一次原料。

（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 （E ）74．在某实验中，三个试管各盛水若千克。

现将浓度为12%的盐水10克倒入A 管中，混合后，取10克倒入口管中，混合后再取10克倒入C 管中，结果 A ，B ，C 三个试管中盐水的浓度分别为6%、2%、0.5%，那么三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是（A ）A 试管，10克（B ）B 试管，20克（C ）C 试管，30克（D ）B 试管，40克（E ）C 试管，50克5．一艘轮船往返航行于甲、乙两码头之间，着船在静水中的速度不变，则当这条河的水流速度增加50%时，往返一次所需的时间比原来将( )．（A ）增加（B ）减少半个小时（C ）不变（D ）减少1个小时（E ）无法判断6．方程214x x -+=的根是（）。

2009.1算法设计与分析课程期末试卷-A卷(自测 )

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2008学年第一学期考试科目:算法分析与设计考试类型：（闭卷）考试时间:120分钟学号姓名年级专业一、选择题（20分，每题2分)1.下述表达不正确的是。

A．n2/2 + 2n的渐进表达式上界函数是O（2n）B．n2/2 + 2n的渐进表达式下界函数是Ω（2n）C．logn3的渐进表达式上界函数是O(logn）D．logn3的渐进表达式下界函数是Ω（n3)2.当输入规模为n时，算法增长率最大的是。

A．5n B．20log2n C．2n2D．3nlog3n3.T(n）表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是。

A．T（n)= T(n – 1)+1，T（1）=1 B．T（n)= 2n2C．T（n）= T(n/2）+1，T（1）=1D．T（n)= 3nlog2n4.在棋盘覆盖问题中，对于2k×2k的特殊棋盘(有一个特殊方块),所需的L型骨牌的个数是.A．（4k– 1）/3 B．2k /3 C．4k D．2k5.在寻找n个元素中第k小元素问题中，若使用快速排序算法思想，运用分治算法对n个元素进行划分,应如何选择划分基准？下面答案解释最合理。

A．随机选择一个元素作为划分基准B．取子序列的第一个元素作为划分基准C．用中位数的中位数方法寻找划分基准D．以上皆可行。

但不同方法,算法复杂度上界可能不同6.现在要盖一所邮局为这9个村庄服务，请问邮局应该盖在才能使到邮局到这9个村庄的总距离和最短. A ．（4.5,0）B ．（4。

5,4。

5）C ．（5，5）D ．（5，0)7. n 个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小，水桶必须打满水,水流恒定.如下说法不正确？A ．让水桶大的人先打水,可以使得每个人排队时间之和最小B ．让水桶小的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小C ．让水桶小的人先打水，在某个确定的时间t 内，可以让尽可能多的人打上水D ．若要在尽可能短的时间内，n 个人都打完水，按照什么顺序其实都一样8. 分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分别解决子问题,最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。

矩阵分析所有习题及标准答案

习题3 习题3-13
#3-13: =A,则存在则存在U #3-13:若A∈Hn×n,A2=A,则存在U∈Un×n使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A). 存在U 证:存在U∈Un×n使得 A=Udiag(λ A=Udiag(λ1,…,λn)U*, , (*) 其中λ 的特征值的任意排列任意排列. 其中λ1,…,λn是A的特征值的任意排列. , ∵ A2=A 和 =Udiag(λ Udiag(λ A2=Udiag(λ1,…,λn)U*Udiag(λ1,…,λn)U* , , =Udiag(λ =Udiag(λ12,…,λn2)U* , {0,1},i=1,…,n,. ∴ λi2=λi,即λi∈{0,1},i=1, ,n,. 取λ1,…,λn的排列使特征值0全排在后面,则(*) , 的排列使特征值0全排在后面, 式即给出所需答案. 式即给出所需答案.
习题3 已知A 是正定Hermite矩阵, Hermite矩阵习题3-1已知A∈Cn×n是正定Hermite矩阵, β∈C α,β∈Cn.定义内积 (α,β)=αAβ*.①试证它是内积; 写出相应的C 是内积;②写出相应的C-S不等式
①: ( β , α ) = β Aα * = (α Aβ * )T = (α Aβ * )* = α Aβ * = (α , β ) ; (kα , β ) = kα Aβ * = k (α , β );
−1 0 3 5 −1 3 6 1 1 0 = 0 − 1 − 10 W A1 W1* 1 0 0 −1 0
习题3 习题83-3(1) 0 3
6 −1 3 6 −1 3 8 3 0 3 8 = 0 , A1 = − 2 − 5 A1 0 − 2 − 5 0

矩阵分析期末试题及答案

矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。

期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。

本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。

1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。

答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。

行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。

矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。

(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。

答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。

对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。

(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。

逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。

(4) 请简述特征值和特征向量的定义。

答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。

特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。

(5) 请解释矩阵的秩和行列式。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。

(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。

答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。

幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。

(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。

答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。

奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

(8) 请解释矩阵的迹和范数。

答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。

范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。

(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。

答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。

块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。

(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。

矩阵分析试卷2009(答案)

五邑大学试卷课程：矩阵分析在3R 中，定义),,2(),,(132321321x x x x x x x x x +--=ℜ，则ℜ是否是3R 上的线性变换？如果是求出ℜ在某一基下的矩阵，并求ℜ的核与值域。

（16分）解：1）3123123(,,),(,,),x x x y y y R k R αβ∀==∈∈，则有()()(),()()k k αβαβααℜ+=ℜ+ℜℜ=ℜ，所以ℜ是3R 上的线性变换。

2）取3R 的一组基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ααα===，则123()(2,0,1),()(1,1,0),()(1,1,0)αααℜ=ℜ=-ℜ=-，所以123123211(,,)(,,)011100αααααα--⎛⎫⎪ℜ= ⎪ ⎪⎝⎭，故ℜ在该基下的矩阵为A ，211011100A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

3）ℜ的值域为向量12()(2,0,1),()(1,1,0)ααℜ=ℜ=-生成的子空间。

4）ℜ的核=3{|()0}R αα∈ℜ==3{|0}TR A αα∈=，线性方程组0T A α=的基础解系为11,η⎛⎫⎪= ⎪⎪故ℜ的核是{|}T k k R η∀∈。

二、（12分）设η是欧氏空间V 中一单位向量，定义ηαηαα),(2)(-=ℜ，证明ℜ是正交变换。

解：,,V k R αβ∀∈∈，有()()2(,)2(,)2(,)αβαβηαβηαηαηβηβηℜ+=+-+=-+-； ()2(,)2(,)(2(,))()k k k k k k k ααηαηαηαηαηαηαℜ=-=-=-=ℜ； ((),())(2(,),2(,))(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)αβαηαηβηβηαβηαηβηβαηηαηβηηαβηαηβηβαηηαηβαβℜℜ=--=--+=--+=三、证明对任意的n n ⨯矩阵n n ij a A ⨯=)(，若定义∑∑===ni nj ijaA 11||||||，则|| ∙||是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。

考研数学2009真题及分析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。

再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。

矩阵分析所有习题及标准答案

于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕
注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3*1试证：向量长度的齐次性
#3*1:试证 k k , k C, Cn
证:令=(a1,…,an)T ,则 k=(源自1,…,an)T.1
1 1
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 2222
2
2 2
(1 , 1 , 1 , 1)T ; 22 2 2
3
3 3
( 1 , 1 , 1 , 1)T 22 22
1,2,3就是所要求的标正基.
习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+…+(2n-1)2=n2
证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立
U=(A+E)(A-E)-1Unn.
习n.题试3证-2:6A设*AA的为特正征规值矩为阵|特1征|2值,…为,|1,n…|2,.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,…,|n|2)U*.
因对角矩阵diag(|1|2,…,|n|2)酉相似于A*A, 故A*A的特征值为 |1|2,…,|n|2
习题3-27
#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同
(它们的谱可能不一样)
证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA*.
xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0.

北京理工大学2009级数值分析试题及答案

课程编号：12000044 北京理工大学2010-2011学年第一学期2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A 卷班级学号姓名成绩注意：① 答题方式为闭卷。

② 可以使用计算器。

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

一、填空题（2 0×2′）1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有位有效数字。

2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ，‖A ‖∞＝___ ____，‖X ‖∞＝__ _____，‖AX ‖∞≤____ ___ (注意：不计算‖AX ‖∞的值) 。

3. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =ϕ(x )在有解区间满足，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

4. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( ；所以当系数a i (x )满足，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是。

北京交通大学研究生课程矩阵分析期末考试2009A[1]

北京交通大学2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名一．（12分）3][x R 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。

在3][x R 中取两个基：2123: 1,1,1I x x x ααα==+=++；222123: 1,,1II x x x x x βββ=+=+=++。

（1）求基I 到基II 的过度矩阵；（2）求2123x x α=++在基I 下的坐标。

二．（16分）设3[]R x 是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间，3[]R x 中的线性映射T 满足：对任意 20123()[]f x a a x a x R x=++∈， 21202012()()()(2)Tf x a a a a x a a a x =++++++，（1）求T 的核()N T 基和维数；（2）求值域()R T 的基和维数；（3）求3[]R x 的一个基使得T 在该基下的矩阵表示为对角矩阵。

三．（12分）设11121121A i i i i -⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-⎝⎭，111x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，i = 。

计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。

四．（8分）求矩阵112221120112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的满秩分解。

五．（12分）求矩阵122330006A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三角正交分解A RU =，其中U 是酉矩阵，R 是正线下三角矩阵。

六．（20分）证明题：1．设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是酉矩阵的充要条件是A 的特征值的绝对值等于1。

2．设A 半正定Hermite 矩阵且A O ≠，证明：||1E A +>。

3．设A 是n 阶正规矩阵，证明2max j jA λ=，其中j λ是A 的第j 个特征值。

七．（20分）设126103112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形；（3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e ，||tA e 。

矩阵分析参考答案

矩阵分析参考答案矩阵分析参考答案矩阵分析是线性代数中的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算。

在实际应用中，矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

本文将从矩阵分析的基本概念、性质和运算等方面，为读者提供一份参考答案。

首先，我们来介绍一些矩阵分析的基本概念。

矩阵是由数个数构成的矩形阵列，通常用大写字母表示。

矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12等表示矩阵中的元素。

矩阵的元素可以是实数、复数或其他数值类型。

矩阵的性质包括可逆性、对称性、正定性等。

一个矩阵如果存在逆矩阵，即乘以其逆矩阵后得到单位矩阵，那么该矩阵就是可逆的。

对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身，即A = A^T。

正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零。

接下来，我们来介绍一些矩阵的运算。

矩阵的加法和减法是按照对应元素相加和相减的规则进行的。

例如，对于两个相同阶数的矩阵A和B，它们的加法可以表示为C = A + B，其中C的元素为A和B对应元素的和。

矩阵的乘法是按照矩阵乘法的规则进行的。

例如，对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘法可以表示为C = AB，其中C为一个m行p列的矩阵，C的元素为A的行向量与B的列向量的内积。

除了基本的矩阵运算外，矩阵还有一些特殊的运算。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，即A的转置为A^T。

矩阵的迹是指矩阵主对角线上的元素之和，用Tr(A)表示。

矩阵的行列式是一个标量，用det(A)表示，它可以用来判断一个矩阵是否可逆。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念。

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量可以用来描述矩阵的性质和变换。

最后，我们来讨论一些矩阵分析的应用。

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，；显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

上海交通大学《矩阵分析》试卷及答案

上海交通大学《矩阵分析》试卷(A)一、单项选择题(每题3分，共15分)AAABC1. 设F 是数域，(,)m nHom F F σ∈，则A.dim(Im )dim(ker )m σσ+=B.dim(Im )dim(ker )n σσ+=C.dim(Im )dim(ker )m σσ⊥⊥+=D.dim(Im )dim(ker )n σσ⊥+=2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散3. 设2222221212134400033t t t tt t Attt tte e e te e e ee e e e ⎛⎫-+-+ ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭，则A =A.214020031⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 114010061⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭C. 224020031⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.204020061⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 设1()(1)kkk A f A k ∞==-∑收敛，则A 可以取为 A. 0091⎛⎫⎪--⎝⎭ B.0091⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C. 1011⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 1021⎛⎫⎪⎝⎭5. 设3阶矩阵A 满足242(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件2(1)(2)(3)1,m m m a a =+为某实数，则A 可以相似于A. 200130002M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B. 20012092M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C. 2001202M ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭D. 200030013M -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题(每题3分，共15分)6. 设5阶复数矩阵A 的最小多项式为22()(1)(2)f λλλλ=-+,则*dim ()N A ＝[ 1 ];dim ()R A ⊥= [ 1 ].(其中*A 表示共轭转置)7. 设220A A -=，则cos2A ＝ [ E ＋2(cos1-1)A ]。

2009.1算法设计与分析课程期末试卷-A卷(含答案)

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2008学年第一学期考试科目：算法分析与设计考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业一、选择题（20分，每题2分）1.下述表达不正确的是。

DA．n2/2 + 2n的渐进表达式上界函数是O(2n)B．n2/2 + 2n的渐进表达式下界函数是Ω(2n)C．logn3的渐进表达式上界函数是O(logn)D．logn3的渐进表达式下界函数是Ω(n3)2.当输入规模为n时，算法增长率最大的是。

AA．5n B．20log2n C．2n2D．3nlog3n3.T（n）表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是。

C A．T（n）= T（n – 1）+1，T（1）=1 B．T（n）= 2n2C．T（n）= T（n/2）+1，T（1）=1 D．T（n）= 3nlog2n4.在棋盘覆盖问题中，对于2k×2k的特殊棋盘（有一个特殊方块），所需的L型骨牌的个数是。

AA．（4k– 1）/3 B．2k /3 C．4k D．2k5.在寻找n个元素中第k小元素问题中，若使用快速排序算法思想，运用分治算法对n个元素进行划分，应如何选择划分基准？下面答案解释最合理。

DA．随机选择一个元素作为划分基准B．取子序列的第一个元素作为划分基准C．用中位数的中位数方法寻找划分基准D．以上皆可行。

但不同方法，算法复杂度上界可能不同6.个村庄服务，请问邮局应该盖在才能使到邮局到这9个村庄的总距离和最短。

CA．（4.5，0）B．（4.5，4.5）C．（5，5）D．（5，0）7.n个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小，水桶必须打满水，水流恒定。

如下说法不正确？AA．让水桶大的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小B．让水桶小的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小C．让水桶小的人先打水，在某个确定的时间t内，可以让尽可能多的人打上水D．若要在尽可能短的时间内，n个人都打完水，按照什么顺序其实都一样8.分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分别解决子问题，最后将子问题的解组合起来形成原问题的解。

海大2009硕研《矩阵分析》试题B卷

海大2009硕士研究生《矩阵分析》试题(B 卷)姓名__________ 学号 _________________ 分数___________一、计算题 (每题10分,共40分)1. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=t t2t -2t 2t 03t 02e e t arctan e t )t 1ln(t A(t) 试求 )t A(dtd . 2. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-2010012A试求 cosA .3. 将下面矩阵作QR 分解及谱分解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-11-032-01-1.4. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 00b a 00b a .二、证明题（每题10分，共30分）1. 设321,,ααα是三维V 线性空间V 的一组基, 试求由向量2133212321113423232-ααβαααβαααβ+=++=+=.生成的子空间),,(U 321βββ=的一个基.2. 设T 是复内积空间V 的线性变换，写出该空间上的极化恒等式,并在已知( T(α),T(α) ) = (α, α)的前提下, 证明: ( T(α),T(β) ) = (α, β)3. 等价的 - 阵有相同的各阶行列式因子三、简单论述题( 共30分)1.试述: 实现实系数和复系数多项式因式分解会遇到那些逻辑上的基本问题? 这些问题又是怎么样被解决的(给出主要的步骤)?（10分）。

2. 矩阵的广义逆都讲述了一些什么内容? 各自有什么特点? 矩阵的广义逆和过去我们熟知的矩阵的逆之间有什么联系和差别? 试分析造成这些差别的原因. 给出一个与本专业相关的矩阵的广义逆的应用实例(20分).。

矩阵分析试题A参考答案及评分标准样本

重庆邮电大学级研究生(矩阵分析)考卷( A 卷)参考答案及评分细则一、已知 1(1,2,1,0)T α=, 2(1,1,1,1)T α=-, 1(2,1,0,1)T β=-, 2(1,1,3,7)T β=-求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。

( 10分) 解: 因为12{,}span αα+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ (2分)由于秩1212{,,,}ααββ=3, 且121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大相信无关组, 因此和空间的维数是3, 基为121,,ααβ。

(2分) 设{}1212{,},span span ξααββ∈于是由交空间定义可知11221122k k l l ξααββ=+=+ 此即121211212111011030117k k l l -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解之得1122122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数） (2分) 于是11222[5,2,3,4]T k k l ξαα=+=-, 1122l l ξββ=+（很显然）因此交空间的维数为1, 基为T [-5,2，3，4] (2分)二、证明: Jordan 块 10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于矩阵 0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 这里0ε≠为任意实数。

( 10分) 证明: 由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-, 从而这两个λ-矩阵相似,于是矩阵10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似.三、求矩阵101120403A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的(1)Jordan 标准型; ( 2) 变换矩阵P ; ( 3) 计算100A 。

09年江苏各市数学调研试卷矩阵试题

09 年江苏各市数学调研试卷矩阵试题9 09 年江苏各市调研试卷中矩阵精选 1. （选修 4—2：矩阵与变换）已知矩阵 1 0 10, 2100 12M N，试求曲线 cos y x 在矩阵1M N 变换下的函数解析式. 2.（选修 4—2：矩阵与变换）二阶矩阵 M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵1M ；(Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m：2x－y=4，求 l 的方程． 3.（选修 4—2：矩阵与变换）已知矩阵 A＝ 3 3 c d，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α 1 ＝11，属于特征值1 的一个特征向量为α 2 ＝3－2．求矩阵 A. 4.选修 4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵 M 满足1 1 1 2,0 0 1 2M M，求211M 5.选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵0110M ，0110N 。

在平面直角坐标系中，设直线 0 1 2 y x 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线 F ，求曲线 F 的方程。

6.选修 4－2：矩阵与变换.已知 1 0 4 31 2 4 1B , 求矩阵 B. 7（矩阵与变换）（本小题满分 10 分）设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍，纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换．求逆矩阵 1M 以及椭圆 2 214 9x y 在 1M 的作用下的新曲线的方程． 8. (选修 4—2：矩阵与变换) 已知二阶矩阵 A 的属于特征值－1 的一个特征向量为，属于特征值 3 的一个特征向量为，求矩阵 A． 9（矩阵与变换）已知矩阵11A 24 ，向量74 . （1）求矩阵 A 的特征值1 、2和特征向量1 、2 ；（2）求5A 的值. 10．已知二阶矩阵 M 有特征值 8 及对应的一个特征向量111e ，并且矩阵 M 对应的变换将点 ( 1,2) 变换成 ( 2,4) . （Ⅰ）求矩阵 M ；（Ⅱ）求矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量2e 的坐标之间的关系；（Ⅲ）求直线 : 1 0 l x y 在矩阵 M 的作用下的直线l 的方程. 11. ．选修 4 4 —2 2 ：矩阵与变换曲线2 24 2 1 x xy y 在二阶矩阵11aMb的作用下变换为曲线2 22 1 x y ，（1）求实数 ,a b 的值；（2）求 M 的逆矩阵1M . 12. （10 分）已知矩阵11 1aA ，其中 R a ，若点 P（1,1）在矩阵 A 的变换下得到点P’(0,-3)，（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 A 的特征值及特征向量 13. 已知矩阵 M22 1a ，其中 Ra ，若点 (1, 2) P 在矩阵 M 的变换下得到点( 4,0) P，（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. 参考答案 1.B B ．解 :11 00 2M , 所以 1M N =1 11 0 0 02 20 20 1 0 2……………………………(5 分) 即在矩阵1M N 的变换下有如下过程,122x x xy yy, 则1cos22y x , 即曲线 cos y x 在矩阵1M N 的变换下的解析式为 2cos2 y x ……(10分) 2.B B．（矩阵与变换选做题）解: (Ⅰ)设b dac ,则有b dac11 =11 ,b dac21 =02 , 所以 1 2 0,,1 2 2a b a bc d c d且 ,解得 1234abcd……………………(4 分) 所以 M=1 2 3 4,从而1M =2 1 3 1-2 2……………………………(7 分) (Ⅱ)因为 1 2 2 3 4 3 4x x x yy y x y且 m：2 4 x y ，所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即 x+4 =0,这就是直线 l 的方程……………………………(10 分) 3.B．（矩阵与变换选做题）解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α 1 ＝11,得 3 3 c d 11＝611，即 c＋d=6………………………………………………………………4分由矩阵A 属于特征值 1 的一个特征向量为α 2 ＝3－2,得3 3 c d 3－2＝3－2，即 3c － 2d ＝－2………………………………………………………………………………………8 分解得c＝2，d＝4．即 A＝ 3 32 4 ……………………………………………………………………10分5B.选修 4-2：矩阵与变换解:由题设得100101100110MN ,设 ) , ( y x 是直线 0 1 2 y x 上任意一点, 点 ) , ( y x 在矩阵 MN 对应的变换作用下变为 ) , ( y x , 则有yxyx1001, 即yxyx,所以y yx x 因为点 ) , ( y x 在直线 0 1 2 y x 上,从而 0 1 ) ( 2 y x ,即：0 1 2 y x 6.B. 选修 4－2：矩阵与变换已知 1 0 4 31 2 4 1B , 求矩阵 B. 【解】设 , a bc d B 则 1 0 1 22 2a ba c b dB ，…………………………5 分故 4, 4,3, 3, 4 3.2 4, 4, 4 22 1, 2.a ab ba c cb d d解得故 B 7.1102103M ，5′椭圆 2 214 9x y 在1M 的作用下的新曲线的方程为2 21 x y 10′ 8．解：设 A=a bc d ，由题知a bc d=，a bc d =3 即 3 13 333a bc da bcd ， 5 分∴ ∴A=2 130 10 分 9、解：(1)矩阵 A 的特征多项式为1( )1f 24 25 6 ，令 ( ) 0 f ，得1 22, 3 , 当12 时，得121,当23 时，得211. …………………5分 (2)由1 2m n 得 2 74m nm n ，得 3, 1 m n . ∴5A 5 5 51 2 1 2(3 ) 3( ) A A A 5 5 5 51 1 2 22 1 4353( ) 3 2 31 1 339 (10)分 10 （Ⅰ）设a bMc d ，则1 1 881 1 8abc d ，故 88a bc d1 22 4a bc d，故2 22 4a bc d 联立以上方程组解得 6, 2, 4, 4 a b c d ，故6 24 4M（Ⅱ）由（Ⅰ）知，矩阵 M 的特征多项式为2( ) ( 6)( 4) 8 10 16 f ，故其另一个特征值为 2 . 设矩阵 M 的另一个特征向量是2xey ，则 26 224 4x y xMex y y，解得 2 0 x y . （Ⅲ）设点 ( , ) x y 是直线 l 上的任一点，其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 ( , ) x y ，则6444x xy y，即 1 1 1 3,4 8 4 8x x y y x y ，代入直线 l 的方程后并化简得2 0 x y ，即 2 0 x y 。