2018届宝山区高考数学一模

2018届高三数学一模卷（宝山）一、填空题(本大题共有12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分．) 1. 设集合{}{}234120123A B ==，，，，，，，，则A ∩B =______． 2.5757n nn nn lim →∞-=+_______． 3. 函数22(3)1y cos x π=-的最小正周期为________．4. 不等式211x x +>+的解集为_______． 5. 若23iz i-+=（其中i 为虚数单位），则Imz =_________．6. 若从五个数10123-，，，，中任选一个数，则使得函数2()(1)1f x m x =-+在R 上单调递增的概率为________．（结果用最简分数表示） 7.在23(n x+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于______． 8. 半径为4的圆内接三角形ABC 的面积是116，角A B C 、、所对应的边依次为a b c 、、，则abc 的值为________．9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F ．若斜率为1-，且过F 的直线与C 交于A B ，两点，则AB =________．10. 直角坐标系xOy 内有点(21)(02)P Q ---，、，，将POQ ∆绕x 轴旋转一周，则所得几何体的体积为_______．11. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里b m x R ∈，，，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩恰有两个零点，则实数t 的取值范围为_______．12. 若n （3n ≥，n N *∈）个不同的点111222()()()n n n Q a b Q a b Q a b ，、，、、，满足：12n a a a <<<，则称点12n Q Q Q 、、、按横序排列．设四个实数123k x x x ，，，使得2231322()2k x x x x -，，成等差数列，且两函数213y x y x==+、图象的所有．．交点111()P x y ，、222()P x y ，、333()P x y ，按横序排列，则实数的值为_______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）． 13. 关于x y ，的二元一次方程组341310x y x y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵为（）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭（B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭（D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭14. 设1234P P P P ，，，为空间中的四个不同点，则“1234P P P P ，，，中有三点在同一条直线 上”是“1234P P P P ，，，在同一个平面上”的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15. 若函数(2)y f x =-的图象与函数2y log x =的图象关于直线y x =对称，则()f x =（ ）（A ）223x -（B ）213x - （C ）23x （D ）213x +16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积．设：数列甲：125x x x ，，，为递增数列，且i x N *∈（125i =，，，）； 数列乙：12345y y y y y ，，，，满足{}11i y ∈-，（125i =，，，）． 则在甲、乙的所有内积中（ ）（A ）当且仅当1234513579x x x x x =====，，，，时，存在16个不同的整数，它们同为奇数； （B ）当且仅当12345246810x x x x x =====，，，，时，存在16个不同的整数，它们同为偶数； （C ）不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数； （D ）存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数．三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17.（本题满分14分，6+8）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB BC ==，18DD =，M 为棱11C D 的中点． （1）求四棱锥M ABCD -的体积；（2）求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值．18. （本题满分14分，6+8） 已知函数2()122x f x sin =-． （1）求()f x 在322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递减区间； （2）设ABC ∆的内角A B C ，，所对应的边依次为a b c ，，且1()2f C =，求ABC ∆面积的最大值，并指出此时ABC ∆19. （本题满分14分，6+8）设数列{}{}n n a b ，及函数()f x （x R ∈），()n n b f a =（n N *∈）． （1）若等比数列{}n a 满足1213a a ==，，()2f x x =，求数列{}1n n b b +的前n （n N *∈）项和； （2）已知等差数列{}n a 满足1224()(1)x a a f x q λ===+，，（q λ、均为常数，0q >，且1q ≠），123()n n c n b b b =+++++（n N *∈）．试求实数对()q λ，，使得{}n c 成等比数列．20. （本题满分16分，4+6+6）设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(20)-，，且直线510x y -+=过C 的左焦点．（1）求C 的方程；（2）设(3)x ，为C 上的任一点，记动点()x y ，的轨迹为Γ，Γ与x 轴的负半轴，y 轴的正半轴分别交于点G H ，，C 的短轴端点关于直线y x =的对称点分别为12F F ，．当点 P 在直线GH 上运动时，求12PF PF ⋅的最小值；（3）如图，直线l 经过C 的右焦点F ，并交C 于A B ，两点，且A ，B 在直线4x =上的射影依次为D ，E ．当l 绕F 转动时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．21. （本题满分18分，4+6+8）设z C ∈，且()()0()0z Rez f z z Rez ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，． （1）已知2()()429f z f z z i +-=-+（z C ∈），求z 的值； （2）设z （z C ∈）与Rez 均不为零，且21nz≠-（n N *∈）．若存在0k N *∈，使得()()1()2()k k f z f z +≤，求证：1()2()f z f z +≤； （3）若1z u =（u C ∈），1n z f +=2(n z n z +1)+（n N *∈）．是否存在u ，使得数列12z z ，，满足n m n z z +=（m 为常数，且m N *∈）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ；若不存在，请说明理由．宝山区2017学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．解：（1）因为长方体ABCD A B C D 1111-，所以点M 到平面ABCD 的距离就是DD 18=，故四棱锥M ABCD -的体积为M ABCD V -=ABCD S DD =1112833⋅⋅． （2）（如图）联结BC 1，BM ，因为长方体ABCD A B C D 1111-，且M C D 11∈， 所以MC 1⊥平面BCC B 11，故直线BM 与平面BCC B 11所成角就是MBC 1∠， 在Rt ΔMBC 1中，由已知可得MC C D 111122==，BC BB B C 22111145=+=， 因此，MC tan MBC BC 11151045∠===，即 直线BM 与平面BCC B 115 题号 1 2 3 4 56答案 {}23，1- 13(1)-+∞，225题号 78 9 1011 12答案4051 1044π[20)[4)-+∞，， 1题号13 14 15 16答案 C A C D18．解：（1）由题意可得f x cosx ()=，故f x ()在322ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递减区间为2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． （2）由已知可得a b 4+=，f C 1()2=，∴cosC 12=，又C (0)π∈，，∴C 3π=．故ΔABC S absinC 12==a b 2()2+≤=，当a b 2==时取等号，即ΔABC，此时ΔABC 是边长为2的正三角形．19．解：（1）由已知可得n n a 13-=（n N *∈），故n n b 123-=⋅（n N *∈），所以n n b b 1+n 2143-=⋅（n N *∈），从而{}n n b b 1+是以12为首项，9为公比的等比数列，故数列{}n n b b 1+的前n 项和为n3(91)2-（n N *∈）． （2）依题意得n a n 2=（n N *∈），所以n b n q 2(1)λ=+（n N *∈），故nc n q q n q qq222223(1)11λλλ=+++---（n N *∈），令q q 2230110λλ⎧+=⎪-⎨⎪+=⎩，解得q 12λ=-⎧⎪⎨=⎪⎩q 0=<舍去），因此，存在q ()(1λ=-，，使得数列{}n c 成等比数列，且n n c 33()4=⋅（n N *∈）．20． 解：（1）依题意可得a 2=，半焦距c 1=，从而b a c 2223=-=， 因此，椭圆C 的方程为x y 22143+=． （2）因为点x ()在C 上，所以x 22)143+=，故轨迹Γ：x y 2214+=．不妨设F 1(0)，F 20)，P x y ()，，则PF x y 1()=-，，PF x y 2(3)=-，．易得直线GH ：x y 220-+=，故PF PF x y 22123⋅=+-y 24115()55=--，所以当y 45=，即点P 的坐标为24()55-，时， PF PF 12⋅取得最小值115-．（或这样：因为点P 在直线GH 上运动，所以当OP GH ⊥取得最小值，故x y 22+也取得最小值，此时()minx y 22245+==，易得对应点为垂足P 24()55-，，从而，PF PF 12⋅的最小值为()minPF PF 12411355⋅=-=-．） （3）易得F (10)，，设l ：x my 1=+（m R ∈），A x y 11()，，B x y 22()，，则D y 1(4)，，E y 2(4)，， 由x y x my 221431⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得m y my 22(34)690++-=，显然Δm 2144(1)0=+>，且m y y m 122634+=-+，y y m 122934=-+．将x my 111=+代入直线AE 的方程：x y y y y x 1212(4)()()(4)--=--，并化简可得my y y y y y y x y my y 121211211()2()5(3)0+++-+-+-=⎡⎤⎣⎦，将my y m 122634+=-+，y y m 122934=-+代入可得m mm y x y my y m m m 111222966()(2)5(3)0343434⋅--++-+-=+++，即 直线AE 的方程为m y m x +m my y 221152(34)3()(34)(3)02⎡⎤++-+-=⎣⎦，因为m y 1，任意，所以直线AE 过定点5(0)2，．同理可得直线BD 也过定点5(0)2，． 综上，当l 绕F 转动时，直线AE 与BD 相交于定点5(0)2，．21．解：（1）设z a bi =+（a b R ∈，），则Rez a =．若a 0≥，则f z ()z =，由已知条件可得a bi i 329--=-+，a b R ∈，，a b 239-=-⎧∴⎨-=⎩，解得a b 23=⎧⎨=-⎩，z i 23∴=-． 若a 0<，则f z ()=z -，由已知条件可得a bi i 7529--=-+，a b R ∈，，∴a b 7259-=-⎧⎨-=⎩，解得a b 2795⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，但a 0<，故a b 2795⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩舍去．综上，得z i 23=-． （2）证明如下：令()()nn nt f z f z 1()()=+，则nn n t z z1=+（n N *∈）． 假设f z f z 1()2()+>，即t 12>，因n z 21≠-（n N *∈），故n t 0>（n N *∈），于是n t 12+n t t 11+<⋅n n z z z z 1111++=+⋅+n n n n z z z z 2211++⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n n z z z z 2211++≤+++n n t t 2+=+，即n n n t t t 122++<+（n N *∈），亦即n n n n t t t t 121+++-<-，故数列{}n n t t 1+-单调递增．又t 12>，故t z z 2221=+z z 212⎛⎫=+- ⎪⎝⎭z z 212≥+-t t 2112=->，即t t 21>，于是，n n n n t t t t t t 11210+-->->>->．所以，对任意的n N *∈，均有n t t 12≥>，与题设条件矛盾．因此，假设不成立，即f z f z 1()2()+≤成立．（3）设存在u C ∈满足题设要求，令n n n n a Rez b Imz ==，（n N *∈）．易得对一切n N *∈，均有n a 0≥，且n n n n n n na a ab b a b 22111(21)++⎧=++-⎪⎨=+⎪⎩ （※）． （ｉ）若{}u i i ∈-，，则{}n z 显然为常数数列，故u i =±满足题设要求．（ⅱ）若{}u i i ∉-，，则用数学归纳法可证：对任意n N *∈，n n a b ()∉，{}(01)(01)-，，，．证明：当n 1=时，由{}u i i ∉-，，可知{}a b 11()(01)(01)∉-，，，，． 假设当n k =时，{}k k a b ()(01)(01)∉-，，，，．那么，当n k 1=+时，若k k a b 11()++∈，{}(01)(01)-，，，，则k a 10+=，k b 11+=．故k k k a a b 2210++-=，k k a b (21)1+=．（※※）如果k a 0=，那么由k k a b ()∉，{}(01)(01)-，，，可知k b 1≠，这与（※※）矛盾．如果k a 0>，那么由（※※）得kk k b a a 2211=++>，即k b 1>，故k k a b 211+⋅>，与（※※）矛盾．因此，k k a b 11()++∉，{}(01)(01)-，，，．综上可得，对任意n N *∈，n n a b ()∉，{}(01)(01)-，，，．记n n n x a b 222=+（n N *∈），注意到n n x x 1+-n n n n a b a b 222211(2)(2)++=+-+n n n n n a a a a b 222222()2(1)0⎡⎤=++++-≥⎣⎦，即n n x x 10+-≥，当且仅当n n a b 201=⎧⎪⎨=⎪⎩，亦即{}n n a b ()(01)(01)∈-，，，，时等号成立．于是，有n n x x 1+<（n N *∈），进而对任意m ，n N *∈，均有n m n x x +>，所以n m n z z +≠．从而，此时的u {}i i ∉-，不满足要求．综上，存在u i =±，使得数列z z 12，，满足n m n z z +=（m 为常数，且m N *∈）对一切n N *∈成立．。