机械控制工程基础5习题 解答
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Y (s) X (s) G (s) 1 G (s) K s 3s 2 s K
3 2
特征方程式为
s 3s 2 s K 0
3 2
劳斯阵列为
s s s s
3 2 1
1 3 6K 3 K
2 K
0
由稳定条件得
K 0 6 K 0 3
因此 K 的稳定范围为
u 6 u 3 u (18 K 10 ) 0
3 2
劳斯阵列为
s s s s
3 2 1
1 6 14 9 K 3 18 K - 10
3 18 K - 10
0
所以
5/9<K<14/9 闭环特征方程式的根的实部均小于-1。
习题四 题型：填空题 题目：劳斯判据为： 系统稳定的充要条件是特征方程系数所组成的 则系统稳定。 致。 答案：劳斯阵列第一列元素符号一致 习题五 题型：填空题 题目：劳斯阵列第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的 答案：右根 习题一 数目。 分析与提示：第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。 ，
0 K 6
习题三 题型：综合题 题目：设单位反馈系统的开环传递函数为
G (s)
K s s s 1 1 3 6
若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问 K 值应取在什么范围。 分析与提示： 令 u=s+1， 则原闭环特征方程式的根的实部均小于-1 对应为关于 u 的特征 方程的根的实部均小于 0（即系统稳定） ；同习题二。 答案：其单位反馈系统的闭环传递函数为
G s K s 0 . 1 s 1 0 . 25 s 1
利用胡尔维兹判据求使系统稳定的 K 值范围。 分析与提示：利用胡尔维兹判据，其各阶系数均大于零，计算子行列式，反求出 K 的范 围。 答案：系统的闭环特征方程为
s 0 . 1 s 1 0 . 25 s 1 K 0
1
3
5
2
4
0
5
0
5 由于劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统不稳定。 习题二 题型：综合题 题目：设单位反馈控制系统的开环传递函数为
G (s) K s ( s 1)( s 2 )
试确定 K 值的闭环稳定范围。 分析与提示：首先得到系统闭环传递函数，从而得到闭环特征方程，根据劳斯（Routh） 判据，计算劳斯阵列。 答案：其单位反馈系统的闭环传递函数为
G ( jw ) 50 ( j 0 . 6 w 1) ( jw ) ( 4 jw 1)
50 w
2 2 2
2
50 j 30 w j4w w
3 2
50 120 w w 16 w
2
2 4
j
170 w w 16 w
2 4
其中 G ( jw )
30 w 4(w )
a 4 2 , a 3 1, a 2 3 , a 1 5 , a 0 10
均为正值。 （2）
1 a3 1 0
2
a3 a4
a1 a2
a 3 a 2 a 4 a1 7 0
不满足胡尔维兹行列式全部为正的条件，所以系统不稳定 习题四 题型：计算题 题目：单位反馈系统的开环传递函数为
K s s s 1 1 Y (s) G (s) 3 6 K X (s) 1 G (s) 1 s s s 1 1 3 6
特征方程式为
s 9s
3 2
18 s 18 K 0
令 u=s+1 得如下 u 特征方程
习题一 题型：选择题 题目：关于系统稳定的说法错误的是【 A．线性系统稳定性与输入无关 B．线性系统稳定性与系统初始状态无关 C．非线性系统稳定性与系统初始状态无关 D．非线性系统稳定性与系统初始状态有关 分析与提示：线性系统稳定性与输入无关；非线性系统稳定性与系统初始状态有关。 答案： C 习题二 题型：填空题 题目：判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为 或为具有负实 部的复数，即系统的特征根必须全部在 是系统稳定的充要条件。 分析与提示： 判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为负实数或为具有负实 部的复数，即系统的特征根必须全部在复平面的左半平面是系统稳定的充要条件。 答案：负实数、复平面的左半平面 习题三 题型：选择题 题目：一个线性系统稳定与否取决于【 A．系统的结构和参数 B．系统的输入 C．系统的干扰 D．系统的初始状态 分析与提示：线性系统稳定与否取决于系统本身的结构和参数。 答案： A 习题四 题型：填空题 题目：若系统在 的影响下，响应随着时间的推移，逐渐衰减并回到平衡位置， 】 】
习题一 题型：填空题 题目：胡尔维兹（Hurwitz）判据、劳斯（Routh）判据又称为 判据。 分析与提示：胡尔维兹（Hurwitz）判据、劳斯（Routh）判据，又称为代数稳定性判据。 答案：代数稳定性 习题二 题型：填空题 题目：利用胡尔维兹判据，则系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为 ；
o 当 w 时， G ( jw ) 0 , G ( jw ) -180 ,
u (w) 0 , v(w) 0
Nyquist 图为：
Im
w
Re
系统含积分环节 2 个，作辅助线如图，开环右极点 P=0，包围（-1，j0）点 N=-1， 故 N≠P/2，系统不稳定。 习题一 题型：多项选择题 题目：极坐标图与波德图之间对应关系 A、极坐标图上的实轴对应于波德图上的-180°线 B、极坐标图上的负实轴对应于波德图上的-180°线 C、极坐标图上的正实轴对应于波德图上的-180°线 D、极坐标图上的单位圆对应于波德图上的 0 分贝线 E、极坐标图上的（-1，j0）点对应于波德图上的 0 分贝线 分析与提示：极坐标图上的负实轴对应于波德图上的-180°线；极坐标图上的单位圆对 应于波德图上的 0 分贝线。 答案： B、D 习题二 题型：填空题 题目：Bode 图稳定判据为：系统稳定的充要条件是在 Bode 图的 的范围内，开环 对数相频特性曲线 在 上正负穿越次数之差等于开环右极点数的 。 分析与提示：系统稳定的充要条件：在 Bode 图的 L()>0dB 的范围内，开环对数相频 特性曲线 在-180 线上正负穿越次数之差等于 P/2。（P 为开环右极点数）
解得
K 14
结合（1） ， （2） ，要保证系统稳定，要求 0 K 14 习题五 题型：填空题 题 目 ： 胡尔维兹判 据不 仅可 以判 断系 统是 否稳 定， 还可 以根 据稳 定性 条件 ，确 定 。 分析与提示：胡尔维兹判据不仅可以判断系统是否稳定，还可以根据稳定性条件，确定 系统参数的允许范围。 答案：系统参数的允许范围 习题一 题型：综合题 题目：设系统特征方程为 s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。 分析与提示：根据劳斯（Routh）判据，计算劳斯阵列。 答案：该系统劳斯表为
B． G B ( s ) 的极点与 F ( s ) 1 G K ( s ) 的零点相同 C． G B ( s ) 的极点与 F ( s ) 1 G K ( s ) 的极点相同 D． G B ( s ) 的零点与 F ( s ) 1 G K ( s ) 的极点相同 分 析 与 提 示 ： 三 者 关 系 为 G B (s)
分析与提示： G K ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数就是 F ( s ) 1 G K ( s ) 绕原点的圈数。 答案： C 习题四
题型：综合题 题目：单位负反馈系统的开环传递函数为 G ( s ) 系统的稳定性。 分析与提示：首先由频率特性绘制 Nyquist 图，再由 Nyquist 图判断闭环系统的稳定 性。 答案：系统频率特性为：
分析与提示： 系统稳定的充要条件是特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一
题型：填空题 题目： 当ω从 0 到＋∞变化时， 开环传递函数的 Nyquist 轨迹 包围 点 的圈数 N 与其的右极点数 P 具有 关系时，则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 分析与提示：根据劳斯（Routh）判据，计算劳斯阵列。 答案：逆时针、(-1，j0)、N=P/2 习题二 题型：选择题 题目：关于开环传递函数 G K ( s ) 、闭环传递函数 G B ( s ) 和辅助函数 F ( s ) 1 G K ( s ) ， 三者之间的关系是【 A．三者的零点相同 】
u (w) 0 , v(w) 0
w
Re
系统含积分环节 1 个，作辅助线如上图， 开环右极点 P=0，包围（-1，j0）点 N=0， 故 N=P/2，系统稳定。 习题五 题型：综合题 题目： 单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=50(0.6s+1)/s2 (4s+1)， 由其开环 Nyquist 图，判断闭环系统的稳定性。 分析与提示：同习题四。 答案：系统频率特性为：
则称该系统是稳定的 分析与提示：若系统在初始状态的影响下（零输入） ，响应随着时间的推移，逐渐衰减 并趋向于零(回到平衡位置)，则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系 统是不稳定的。 答案：初始状态 习题五 题型：填空题 题目：系统的稳定决定于 答案：特征方程
的解。
分析与提示：系统的稳定决定于特征方程的解。
0 .1 0 . 01 1
o
,
v(w)
1
( 0 . 01 w
2
1)
当 w=0 时， G ( jw ) ， G ( jw ) -90 ， u ( w ) 0 . 1 , v ( w ) 当 w 时， G ( jw ) 0 , G ( jw ) -180o , Nyquist 图为： Im -0.1
G K s 1 G K s G K s F s
， 故 G B (s) 的 极 点 与
F ( s ) 1 G K ( s ) 的零点相同。
答案： B 习题三 题型：选择题 题目：关于开环传递函数 G K ( s ) 、闭环传递函数 G B ( s ) 和辅助函数 F ( s ) 1 G K ( s ) ， 三者之间的关系是【 】
各阶子行列式都 。 分析与提示：胡尔维兹判据系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为正；各阶 子行列式都大于零。 答案：正、大于零 习题三 题型：计算题 题目：系统的特征方程为
2s
4
s 3s
3
2
Leabharlann Baidu
5 s 10 0
用胡尔维兹判据判别系统的稳定性。 分析与提示：利用胡尔维兹判据，其各阶系数均大于零，计算子行列式。 答案： （1）特征方程的各项系数为
即
0 . 025 s 0 . 35 s
3 2
s K 0
其各阶系数为
a 3 0 . 025 , a 2 0 . 35 , a 1 1, a 0 K
根据胡尔维兹判据条件 （1） a i 0 ，即要求 K 0 （2）只需检查 2 0 ，即
2 a2 a3 a0 a1 a 2 a 1 a 3 a 0 0 . 35 0 . 025 K 0
3
2 2
,
G ( jw ) arctan 0 . 6 w arctan 4 w
u (w)
50 120 w w
2
2 4
16 w
, v(w)
170 w w
2
16 w
4
当 w=0 时， G ( jw ) ， G ( jw ) -180o ， u ( w ) , v ( w )
G ( jw ) 1 ( jw )( 0 . 1 jw 1) 0 .1 0 . 01
2
1 s (1 0 . 1 s )
，试由 Nyquist 图判断闭环
1
j
1 w ( 0 . 01 w
2
1)
其中 G ( jw )
u (w)
1 0 . 01 w
2
,
1
2
G ( jw ) / 2 arctan 0 . 1 w
A． G K ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数就是 G K ( s ) 绕原点的圈数 B． G K ( s ) 绕原点的圈数就是 G B ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数 C． G K ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数就是 F ( s ) 1 G K ( s ) 绕原点的圈数 D． G K ( s ) 绕原点的圈数就是 F ( s ) 1 G K ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数
3 2
特征方程式为
s 3s 2 s K 0
3 2
劳斯阵列为
s s s s
3 2 1
1 3 6K 3 K
2 K
0
由稳定条件得
K 0 6 K 0 3
因此 K 的稳定范围为
u 6 u 3 u (18 K 10 ) 0
3 2
劳斯阵列为
s s s s
3 2 1
1 6 14 9 K 3 18 K - 10
3 18 K - 10
0
所以
5/9<K<14/9 闭环特征方程式的根的实部均小于-1。
习题四 题型：填空题 题目：劳斯判据为： 系统稳定的充要条件是特征方程系数所组成的 则系统稳定。 致。 答案：劳斯阵列第一列元素符号一致 习题五 题型：填空题 题目：劳斯阵列第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的 答案：右根 习题一 数目。 分析与提示：第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。 ，
0 K 6
习题三 题型：综合题 题目：设单位反馈系统的开环传递函数为
G (s)
K s s s 1 1 3 6
若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问 K 值应取在什么范围。 分析与提示： 令 u=s+1， 则原闭环特征方程式的根的实部均小于-1 对应为关于 u 的特征 方程的根的实部均小于 0（即系统稳定） ；同习题二。 答案：其单位反馈系统的闭环传递函数为
G s K s 0 . 1 s 1 0 . 25 s 1
利用胡尔维兹判据求使系统稳定的 K 值范围。 分析与提示：利用胡尔维兹判据，其各阶系数均大于零，计算子行列式，反求出 K 的范 围。 答案：系统的闭环特征方程为
s 0 . 1 s 1 0 . 25 s 1 K 0
1
3
5
2
4
0
5
0
5 由于劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统不稳定。 习题二 题型：综合题 题目：设单位反馈控制系统的开环传递函数为
G (s) K s ( s 1)( s 2 )
试确定 K 值的闭环稳定范围。 分析与提示：首先得到系统闭环传递函数，从而得到闭环特征方程，根据劳斯（Routh） 判据，计算劳斯阵列。 答案：其单位反馈系统的闭环传递函数为
G ( jw ) 50 ( j 0 . 6 w 1) ( jw ) ( 4 jw 1)
50 w
2 2 2
2
50 j 30 w j4w w
3 2
50 120 w w 16 w
2
2 4
j
170 w w 16 w
2 4
其中 G ( jw )
30 w 4(w )
a 4 2 , a 3 1, a 2 3 , a 1 5 , a 0 10
均为正值。 （2）
1 a3 1 0
2
a3 a4
a1 a2
a 3 a 2 a 4 a1 7 0
不满足胡尔维兹行列式全部为正的条件，所以系统不稳定 习题四 题型：计算题 题目：单位反馈系统的开环传递函数为
K s s s 1 1 Y (s) G (s) 3 6 K X (s) 1 G (s) 1 s s s 1 1 3 6
特征方程式为
s 9s
3 2
18 s 18 K 0
令 u=s+1 得如下 u 特征方程
习题一 题型：选择题 题目：关于系统稳定的说法错误的是【 A．线性系统稳定性与输入无关 B．线性系统稳定性与系统初始状态无关 C．非线性系统稳定性与系统初始状态无关 D．非线性系统稳定性与系统初始状态有关 分析与提示：线性系统稳定性与输入无关；非线性系统稳定性与系统初始状态有关。 答案： C 习题二 题型：填空题 题目：判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为 或为具有负实 部的复数，即系统的特征根必须全部在 是系统稳定的充要条件。 分析与提示： 判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为负实数或为具有负实 部的复数，即系统的特征根必须全部在复平面的左半平面是系统稳定的充要条件。 答案：负实数、复平面的左半平面 习题三 题型：选择题 题目：一个线性系统稳定与否取决于【 A．系统的结构和参数 B．系统的输入 C．系统的干扰 D．系统的初始状态 分析与提示：线性系统稳定与否取决于系统本身的结构和参数。 答案： A 习题四 题型：填空题 题目：若系统在 的影响下，响应随着时间的推移，逐渐衰减并回到平衡位置， 】 】
习题一 题型：填空题 题目：胡尔维兹（Hurwitz）判据、劳斯（Routh）判据又称为 判据。 分析与提示：胡尔维兹（Hurwitz）判据、劳斯（Routh）判据，又称为代数稳定性判据。 答案：代数稳定性 习题二 题型：填空题 题目：利用胡尔维兹判据，则系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为 ；
o 当 w 时， G ( jw ) 0 , G ( jw ) -180 ,
u (w) 0 , v(w) 0
Nyquist 图为：
Im
w
Re
系统含积分环节 2 个，作辅助线如图，开环右极点 P=0，包围（-1，j0）点 N=-1， 故 N≠P/2，系统不稳定。 习题一 题型：多项选择题 题目：极坐标图与波德图之间对应关系 A、极坐标图上的实轴对应于波德图上的-180°线 B、极坐标图上的负实轴对应于波德图上的-180°线 C、极坐标图上的正实轴对应于波德图上的-180°线 D、极坐标图上的单位圆对应于波德图上的 0 分贝线 E、极坐标图上的（-1，j0）点对应于波德图上的 0 分贝线 分析与提示：极坐标图上的负实轴对应于波德图上的-180°线；极坐标图上的单位圆对 应于波德图上的 0 分贝线。 答案： B、D 习题二 题型：填空题 题目：Bode 图稳定判据为：系统稳定的充要条件是在 Bode 图的 的范围内，开环 对数相频特性曲线 在 上正负穿越次数之差等于开环右极点数的 。 分析与提示：系统稳定的充要条件：在 Bode 图的 L()>0dB 的范围内，开环对数相频 特性曲线 在-180 线上正负穿越次数之差等于 P/2。（P 为开环右极点数）
解得
K 14
结合（1） ， （2） ，要保证系统稳定，要求 0 K 14 习题五 题型：填空题 题 目 ： 胡尔维兹判 据不 仅可 以判 断系 统是 否稳 定， 还可 以根 据稳 定性 条件 ，确 定 。 分析与提示：胡尔维兹判据不仅可以判断系统是否稳定，还可以根据稳定性条件，确定 系统参数的允许范围。 答案：系统参数的允许范围 习题一 题型：综合题 题目：设系统特征方程为 s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。 分析与提示：根据劳斯（Routh）判据，计算劳斯阵列。 答案：该系统劳斯表为
B． G B ( s ) 的极点与 F ( s ) 1 G K ( s ) 的零点相同 C． G B ( s ) 的极点与 F ( s ) 1 G K ( s ) 的极点相同 D． G B ( s ) 的零点与 F ( s ) 1 G K ( s ) 的极点相同 分 析 与 提 示 ： 三 者 关 系 为 G B (s)
分析与提示： G K ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数就是 F ( s ) 1 G K ( s ) 绕原点的圈数。 答案： C 习题四
题型：综合题 题目：单位负反馈系统的开环传递函数为 G ( s ) 系统的稳定性。 分析与提示：首先由频率特性绘制 Nyquist 图，再由 Nyquist 图判断闭环系统的稳定 性。 答案：系统频率特性为：
分析与提示： 系统稳定的充要条件是特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一
题型：填空题 题目： 当ω从 0 到＋∞变化时， 开环传递函数的 Nyquist 轨迹 包围 点 的圈数 N 与其的右极点数 P 具有 关系时，则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 分析与提示：根据劳斯（Routh）判据，计算劳斯阵列。 答案：逆时针、(-1，j0)、N=P/2 习题二 题型：选择题 题目：关于开环传递函数 G K ( s ) 、闭环传递函数 G B ( s ) 和辅助函数 F ( s ) 1 G K ( s ) ， 三者之间的关系是【 A．三者的零点相同 】
u (w) 0 , v(w) 0
w
Re
系统含积分环节 1 个，作辅助线如上图， 开环右极点 P=0，包围（-1，j0）点 N=0， 故 N=P/2，系统稳定。 习题五 题型：综合题 题目： 单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=50(0.6s+1)/s2 (4s+1)， 由其开环 Nyquist 图，判断闭环系统的稳定性。 分析与提示：同习题四。 答案：系统频率特性为：
则称该系统是稳定的 分析与提示：若系统在初始状态的影响下（零输入） ，响应随着时间的推移，逐渐衰减 并趋向于零(回到平衡位置)，则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系 统是不稳定的。 答案：初始状态 习题五 题型：填空题 题目：系统的稳定决定于 答案：特征方程
的解。
分析与提示：系统的稳定决定于特征方程的解。
0 .1 0 . 01 1
o
,
v(w)
1
( 0 . 01 w
2
1)
当 w=0 时， G ( jw ) ， G ( jw ) -90 ， u ( w ) 0 . 1 , v ( w ) 当 w 时， G ( jw ) 0 , G ( jw ) -180o , Nyquist 图为： Im -0.1
G K s 1 G K s G K s F s
， 故 G B (s) 的 极 点 与
F ( s ) 1 G K ( s ) 的零点相同。
答案： B 习题三 题型：选择题 题目：关于开环传递函数 G K ( s ) 、闭环传递函数 G B ( s ) 和辅助函数 F ( s ) 1 G K ( s ) ， 三者之间的关系是【 】
各阶子行列式都 。 分析与提示：胡尔维兹判据系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为正；各阶 子行列式都大于零。 答案：正、大于零 习题三 题型：计算题 题目：系统的特征方程为
2s
4
s 3s
3
2
Leabharlann Baidu
5 s 10 0
用胡尔维兹判据判别系统的稳定性。 分析与提示：利用胡尔维兹判据，其各阶系数均大于零，计算子行列式。 答案： （1）特征方程的各项系数为
即
0 . 025 s 0 . 35 s
3 2
s K 0
其各阶系数为
a 3 0 . 025 , a 2 0 . 35 , a 1 1, a 0 K
根据胡尔维兹判据条件 （1） a i 0 ，即要求 K 0 （2）只需检查 2 0 ，即
2 a2 a3 a0 a1 a 2 a 1 a 3 a 0 0 . 35 0 . 025 K 0
3
2 2
,
G ( jw ) arctan 0 . 6 w arctan 4 w
u (w)
50 120 w w
2
2 4
16 w
, v(w)
170 w w
2
16 w
4
当 w=0 时， G ( jw ) ， G ( jw ) -180o ， u ( w ) , v ( w )
G ( jw ) 1 ( jw )( 0 . 1 jw 1) 0 .1 0 . 01
2
1 s (1 0 . 1 s )
，试由 Nyquist 图判断闭环
1
j
1 w ( 0 . 01 w
2
1)
其中 G ( jw )
u (w)
1 0 . 01 w
2
,
1
2
G ( jw ) / 2 arctan 0 . 1 w
A． G K ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数就是 G K ( s ) 绕原点的圈数 B． G K ( s ) 绕原点的圈数就是 G B ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数 C． G K ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数就是 F ( s ) 1 G K ( s ) 绕原点的圈数 D． G K ( s ) 绕原点的圈数就是 F ( s ) 1 G K ( s ) 绕（-1，j0）点的圈数