第九章 方差分析

1
P
N
C
X 2 330 135 90 555
X 40 25 20 85
(X )2 852 481.67
N
15
X
n
2
1600
625 5
400
525.00
1.计算平方和
SS X 2 T
X
nk
2
555 481.67
X 2 X 2
SS B n nk 525.00 481.67 43.33
24
9
2.67
总变异 282.67 11
课堂练习
A
B
C
3
5
5
2
3
6
1
4
7
1.计算SST，SSB，SSW 2.计算MSB，MSW 3.检验F
三、方差分析的基本假定
1. 总体正态分布 2. 变异的相互独立性 3. 各实验处理内方差要一致（最重要）
四、方差分析中的方差齐性检验
方差齐性检验就是检验各总体方差是否一致的统计方 法。其虚无假设是假设各个总体的方差相等（即无显 著差异）或是各个样本方差来自相同的总体，其表达 方式记为：
/
4
5
S
2 B
102
20 2 4 1
/4
0.66
S
2 C
18 82 / 4 4 1
0.66
3.计算Fmax的值和决策
Fm a x
5 0.66
7.5
当k 3, df n 1 3(因为两组样本相同）
查附表5Fm a（x 0.05） 15.5 取df 4时的值，因为附表没有df 3
dfT=12-1=11
组间自由度为组数（k）减1，本例有3个组，所以：
dfB=3-1=2
组内自由度为总容量减组数或用总自由度减去组间自
由度，即有：dfW=dfT-dfB=11-2=9
（三）计算均方 均方是平方和除以自由度 组间均方：MSB=SSB/dfB=258.67 / 2=129.34 组内均分：MSw=SSw/dfw=24 / 9=2.67 （四）计算F值 F= MSB / MSW=129.34 / 2.67=48.44
H0
:
2 1
2 2
2 3
2 n
方差齐性检验的方法——哈特莱（Hartley）检验法
Fm a x
S
2 max
S
2 max
df nmax 1
对表9-1的方差齐性的检验 1．建立假设
H0
:
2 1
2 2
2 3
H1 : 至少有两个总体的方差 存在差异
2.计算各组的方差
S
2 A
696
52 2 4 1
2.组内变异不是我们研究的目的，但是需要分解它， 借助它分析实验是否成功。组内变异其实是实验的误 差。它越小越好！
3.问题来了：组间差异多大，组内差异多小才好？
（二）数据变异的数学层面的分解
1.数学上如何表示变异？
总变异的数学意义是每一原始分数（X
）与总平均数
ij
（
X
）的离差，记为：(
t
X
ij
解：建立虚无假设和备择假设
H :
0
1
2
3
H :
1
1
2
3
下表是原始数据及计算的中间结果：
n
X 2
光强等级 1
C
X2
150
22500
220
48400
190
36100
170
28900
240
57600
200
40000
180
32400
看一个例子9-1：不同噪音强度下解数学题犯错频次
噪音（分贝） K=3
强（100（A) 中（50）（B） 无（C）
16
4
1
n=4
14
5
2
12
5
2
10
6
3
Xj
13
5
2
X t 6.67
图9-1 数据变异示意图
X j 13
强噪音组 中噪音组 无噪音组
X j 5
Xt 6.67 Xj2
（一）数据变异文字层面上的分解
差异）造成的误差。
在SST一定的情况下，SSB所占比例越大，则SSW的 值就越小，相应的SSB与SSW的比值就会越大，如果 足够大到某个临界值的话我们就可以认为总平方和 SST的变异主要是来自SSB，即组间变异。
如果变异主要来自组间，则可以认为实验条件的不同 确实造成了被试错误的频次的不同。这就是方差分析 的基本原理。
（五）查F分布临界值做出判断 当dfB=2, dfW=9，设定p=0.01， 查表F0.01（2,9）=8.02，检验值是F=48.44>8.02
F0.01（2,9）=8.02
（六）陈列方差分析表
变异来源 平方和 自由度 均方
F
p
组间
258.67 2
129.34 48.44 0.01
组内
816 802 816 6400 282.67
12
12
SSB
X2
n
X
nk
2 ( 2704 400 64) (52 20 8)2
4 44
3 4
792 6400 258.67 12
SSW
X 2
X
n
2
816 792 24
（二）自由度的分解
总自由度为总容量减去1。本例有12个数据，所以：
Fmax Fm , a（x 0.05） 接受虚无假设H 0，即方差齐性。
第二节 完全随机设计的方差分析
简介： 完全随机设计方差分析就是对单因素组间设计的方差
分析。 在这种实验设计中，只有一个实验变量，这个实验变
量有多个水平，每个被试只接受一种实验处理。
一、各实验处理组样本容量相同
各个样本容量相等时意味着对于每一种实验处理它们 的被重复次数相同，或者说被试相同。
以表9-1为例
（一）求平方和
总平方和： SST k
n
2
X ij X t
j 1 i1
X2
X2 nk
组间平方和：SSB n k
2
X j Xt
j 1
X2
n
X2 nk
组内平方和：SSW k
n
2
X ij X j SST SSB
j 1 i 1
从数据可知：不仅组与组之间数据存在不同，而且同 一组被试内部也存在着不同。
1.前者称组间变异，因听了不同的噪音而不同。 2.后者称组内变异，因个案本身的不同而造成的不同。 3.而每个数据之间的差异叫做总变异。 可以知道：总变异=组间变异+组内变异
一般而言:
1.组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作 用才会令各组之间的数值存在差异。它越大越好！
4.如何检验比值的差异（F）
方差分析中组内方差和组间方差分别可以表示为：
MSB=SSB/dfB
MSw=SSw/dfw
其中：dfB为组间自由度=k-1
dfw为组内自由度=k(N-1)
dfT=dfB+dfw
因为主要关心MSB是否显著大于MSW，当MSB小于 MSW时，无需检验。因此总是将组间方差放在分子位 置，进行单侧检验，即：
平均数（X
）的差。即：
t
X ij X t X ij X j X j X t
例如：X 41 10, X j 13, X t 6.67, 代入公式
10 - 6.67 （10 -13）（13 - 6.67）
3.再看总变异的分解及计算
根据变异的可加性，任何一个原始分数都有：
Xij Xt Xij X j X j Xt
X
2
X
n
2
表格9-1的计算
噪音k=3
强
中
无
X
X2
X
X2
X
X2
16
256
4
16
1
1
n=4
14
196
5
25
2
4
12
144
5
25
2
4
10
100
6
36
3
9
52
696
20
102
8
18
X 2
2704
400
64
以表9-1为例
SST
X2
X
nk
2
(619 102 18) (52 20 8)2 3 4
F= MSB / MSW
F<1，说明组间方差比例很小；
F=1，说明组间方差和组内的方差比例差不多；
F>1, 且落入到临界区域，说明组间方差够大了。
二、方差分析的基本过程与步骤
（一）求平方和 （二）计算自由度 （三）计算均方（方差） （四）计算F值 （五）查F表进行F检验并做决断 （六）列方差分析表
5.列出方差分析表
变异来源 平方和 自由度 均方 F
p
组间效应 43.33 2
21.67 8.67 <0.05
组内效应 30.00 12
2.50
总变异 73.33 14
二、各实验处理组样本容量不相同
例9-3： 用不同强度的光做视觉反应时（毫秒）实验，光照强
度分别为1、2、3三个等级，被试随机分成三组，随 机分配分别做某一种光强的反应时实验。由于某些原 因，各组人数没能相同。下表是不同光强被试视反应 时测试结果。试问从表中结果能否得出不同强度光的 反应时有显著不同？(p275)
如例9-1，每一种学习方法均重复了4次。
例题：9-2
有人研究自尊与对个人表现的反馈类型之间的关系。 让15名被试参加一项知识测验，每组各5个被试。在 积极反馈组，不管被试在测验中实际表现如何，都告 诉他们水平很高。对消极反馈组的被试，告诉他们表 现很差。对控制组的被试，不管测验分数如何，都不 提供任何反馈信息。最后让所有的被试都参加一个自 尊测验，测验总分为10分，得到的分数越高，表示自 尊心越强。实验结果如下表所示，试检验不同反馈类 型与自尊之间的关系如何？(p273)
SS b df
43.33 2
21.67
b
MS w
SS w df
30.00 12
2.50
w
4．计算 F 比值，进行 F 检验，做出决断
F MSb 21.67 8.67 MSw 2.50
F 查 F 表，
3.88 ，算得的 F 值大于临界值，p<0.05，
0.05(2,12)
可以拒绝虚无假设，下结论认为在反馈类型与自尊之间存在 着某种关系。
原始数据与计算的中间结果如下表
(X )2
积极反馈组
X
X2
8
64
7
49
9
81
10
100
6
36
40
330
1600
消极反馈组
X
X2
5
25
6
36
7
49
4
16
3
9
25
135
625
控制组
X
X2
2
4
4
16
5
25
3
9
6
36
20
90
400
设虚无假设和备择假设分别如下：
H 0 : P N C
H : （P、N、C 分别表示积极反馈组、消极反馈组和控制反馈组）
一、方差分析的基本原理：综合的F检验
方差分析主要处理两个以上的平均数之间的差异检查 问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数” 之间是否有显著性差异，因此虚无假设为，样本所属 的所有总体的平均数都相等。
一般把这个假设称为“综合虚无假设“,表达式为：
H 0 : 1 2 3
方差分析最关键的步骤就是变异的分解。
k
令SST
n
2
k
X ij X t ; SSW
n
2
X ij X j
j 1 i 1
j 1 i 1
k
令SSB n
2
X j Xt
j 1
则SST SSB SSW
SS表示平方和，SST表示总平方和，指实验产生的
总变异；SSB表示组间平方和，指不同实验处理造成
的变异；SSW表示组内平方和，指实验误差（个体
第九章 方差分析
李金德
第一节 方差分析的基本原理和步骤
思考： 1.如果想要分析A总体和B总体平均数的差异，可以
用什么方法来检验？ 2.如果想要分析A、B、C三个总体平均数的差异，又
该用什么方法来证明？ 如果是两个总体，用Z和t检验。 那是不是三个总体A、B、C的比较就是拿A和B做比
较，然后那A与C做比较，然后再拿B和C做比较？
对容量为n的某一小组而言，则有：
n
n
X ij X t
X ij X j X j X t
i 1
i 1
为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有：
n
2
n
2
X ij X t
X ij X j X j X t
i 1
i 1
对公式做整理
n
2
n
2
Xij Xt Xij X j X j Xt
利i用1 平均数离差i1和等于零，上式可以简化为
n
2
n
2
2
X ij X t
X ij X j n X j X t
对i于1 K组数据，把开i组1 相加，可得：
k n
2
kn
2
k
2
X ij X t
X ij X j n
X j Xt
j 1 i1
j 1 i1
j 1
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Xt )
组间变异的数学意义是每一组的平均数（X
）与总平
j
均数的离差，记为： X j X t
组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组
平均数（X j ）的离差，记为：X ij X j
2. 先看某一个数据的情况
分析可知，任一个数据（X ij）与总平均数的差异等
于他与本组平均数（ X j ）之差加上小组平均数与总
SSW X 2
X
n
2
555 525.00 30
或者SSW SS T SS B 73.33 43.33 30
2.计算自由度
df N 1 15 1 T
df k 1 3 1 2 B
df k (n 1) 3 (5 1) 12 W
3.计算均方
MS b