哈密顿正则方程
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拉格朗日方程和哈密顿正则方程
重要性
这两个方程的数学结构和原理具有普适性， 可以应用于各种不同的领域。它们为解决复 杂系统的运动和控制问题提供了重要的理论 框架和方法。
05
总结与展望
对拉格朗日方程和哈密顿正则方程的总结
拉格朗日方程
拉格朗日方程是经典力学中的基本方程，用于描述一个质点系的运动。它基于拉格朗日 函数，通过最小化或最大化的原则，确定质点系在给定初始条件下的运动轨迹。拉格朗
拉格朗日方程的应用实例
总结词
拉格朗日方程在物理学、工程学等领域有广泛的应用 。
详细描述
拉格朗日方程是经典力学中描述系统运动的基本方程 之一，具有广泛的应用价值。在物理学中，它可以用 于分析各种力学系统的运动规律，如行星运动、振荡 器等。在工程学中，拉格朗日方程也被广泛应用于各 种实际问题，如控制理论、机器人学、航天器轨道力 学等。通过求解拉格朗日方程，我们可以得到系统的 运动轨迹和状态演化，从而为实际应用提供重要的理 论支持。
与其他理论的结合
拉格朗日方程和哈密顿正则方程作为经典力学的基本理论，可以与其他理论进行结合，例 如相对论、量子力学等。这种结合将有助于更深入地理解物质的运动规律，推动物理学和 其他学科的发展。
THANKS
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总结词
拉格朗日函数是描述系统运动状态的函数，具有特定的物理 意义和数学性质。
详细描述
拉格朗日函数是描述系统运动状态的函数，通常表示为L(q, ,t)， 其中q是系统的广义坐标，t是时间。它具有一些重要的性质， 如时间无关性、对称性、最小作用量等。这些性质对于理解和 应用拉格朗日方程非常重要。
拉格朗日方程的推导和证明
03
哈密顿正则方程
哈密顿函数的定义和性质
哈密顿函数
哈密顿正则方程
间有干涉。
间没有干涉。
2. 算符的系综平均值： 考虑任意厄密算符 纯粹系综： 混合系综： ，其系综平均值为： 各 间有干涉。 各 间没有干涉。
统计算符
统计算符对应于经典统计物理里的概率密度函数，其在任意表象中的矩阵 形式称为密度矩阵。 对混合系综，我们定义统计算符为： 交归一的基矢（ 若 为完全正
• 经过相空间的任何一点只能有一条相轨道;
• 如果一条相轨道不能占满相空间的话，由不同初态出发的不同相轨道 彼此之间不可能相交。
这对我们如何从（微观量的平均值 ---〉宏观量）有很大影响： 仅依赖经典力学规律而且没有随机性介入,做微观量的时间平均可行否？ 历史上进行过这样的尝试。一个很明显的缺陷是平均只在一条相轨道上, 因此平均值可能依赖于初始点的选取。这样我们还需要额外的假定。历 史上波尔兹曼等人曾提出了（强和弱的）各态历经假说： 对孤立的保守力学系统，经过足够长时间后，从任一初态出发都将经过 能量曲面上的一切微观状态（的邻域）。 但在数学上已经证明这不成立！
• 经典统计物理和量子统计物理：粒子遵从经典（量子） 力学规律。
9.1 经典和量子统计系综，刘维尔定理
经典力学规律：
一般系统的动力学状态可用系统的广义坐标q和与之共轭的广义动量p来确定。
由 N 个自由度为 r 的全同粒子组成的系统自由度为 f=Nr。在任意时刻，可记：
这里(q,p)是 2f 维的相空间(Γ 空间)的一个代表点，它代表系统的一个微观状态。 代表点在相空间的运动反映系统微观状态的演化，其轨迹称为相轨道。 系统的运动方程（哈密顿正则方程，H为系统的哈密顿量）：
第九章 系综理论
这一章是平衡态统计物理的核心内容，我们的理论是一般性 的理论，可应用的对象包括了有相互作用粒子组成的系统
哈密顿正则方程与稳恒电流电路
ｆｒｅ ｒｉｇｏ ｓａｃ ｂｅｔＴ ｉ ｌ，ｈ ｍｉ ｏ ａ ｏ ｉ ｌ ｑ ａｉｎｉ ｏ ｌ ａ ｐｉａ ｌ ｔｄ ｎ ｒｙｓ ｔ ｏ ｃ ｋｎ ｎｒ ｅｒｈｏｊｃ． ｈｒ ｙ ｔｅ ｗｏ ｅ ｄ Ｈａ ｌ ｎｃ ｎ ｎｃ ｕ ｔ ｎｙ ｐ ｌ ｂｅ ｏｓ ｙｅ ｅｇ ａｅ ｔ ａｅ ｏ ｓ ｃ ｔ ｕ ｔ ａ ｄｉ ｈ ｎ ｅ ｆ ｅｅｒｈｏｊｃ ｉ ｏ ｅｃ ｎｅｖｔ ｅｆｒｅｆ ｌ． ｏ ｔ ｅ ｐｏｅｔｅｗｏｋｎ ｒｅｏ ｅｅ ｔｒａ ｎ ｓ ａ ｇ ｓ ｓａｃ ｂｅｔｎ ｎ ｏ ｓｒａｉ ｃ ｅｄ Ｓ ，ｏ ｘ ｌｒ ｈ ｒ ｉｇｆ ｃ ｆｈ ｘｅｎ ｔｃ ｏｒ ｖ ｏ ｉ ｏ ｔ ｌ
Ａｕ ． ０ ０ ｇ ２ １
哈密顿正则方程 与稳恒 电流 电路
岳 小 萍
（ 乡 医学 院 生命 科 学技 术 系物理 教研 室 ，河 南 新 乡 ４ ３ ０ 新 ５ ０ ３）
摘
要 ：用 完整 系哈 密顿正则 方程研 究 了稳 恒电路 中的 能量转 换 问题 ，认 为在 多种 保 守力作 用的 体 系中研
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ｔ ｄ ，ｔ ｏ ｖ ｈ ｒ ｂ ｅ ｏ ｎ ｒ ｙ ｃ ｎ ｅ ｓｏ ，ｈ ｏ ｏ ｃ ｓ ｓ ｅ ｏ ｍｉ ｏ ａ ｏ ｉａ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｓｕ ｙ ｏ ｓ ｌ ｅ ｔ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｅ ｅ ｇ ｏ ｖ ｒ ｉ ｎ ｏｌｎ ｍｉ ｙ ｔ ｍ ｆ Ｈａ ｌ ｎ ｃ ｎ ｎ ｃ ｌ ｔ
中图 分 类号 ：Ｏ４ １ ４ 文献 标 志码 ：Ａ 文章 编号 ： ｌ ７ — ３ ６２ １ ） ４ ０ ３ － ４ ６ ４ ３ ２ （０ ０ ０ － ０ ２ ０
Ｈａ ｌｏ ｎ ｎｉａ ｕ ｔｏ ｎ ｔａ ｙＣｕ ｒ ｎ ｒ ｕ ｔ ｍｉ ｎ Ｃａ ｏ ｃ ｌ ｔ Ｅｑ ａ ｉｎ ａ ｄ Ｓ ｅ ｄ ｒ ｅ ｔＣｉｃ ｉ
哈密顿正则方程
=
V
(r0
)+
∂V ∂r
r0 (r − r0 )
+ 1 ∂2V 2 ∂r 2
r0 (r − r0 )2 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
r0
r
V
(r)
=
1 2
k
r2
r = r − r0
L
=T
−V
=
1 2
m ( x& 2
+
y& 2
+
z&
2
)
−
1 2
k
r
2
+
1 2
μ (r&2
+
r
2θ& 2
+
r
2ϕ&
2
sin
2
θ
)
L
=T
=
1 ml2θ&2 (1+ cos2 θ ) + mgl sinθ
4
= E0
= mgl
θ& θ = 0 =
2g l
y m1
m1x1 + m2x2 = 0
坐标数 约束数
3 x1 = −x2 2
m2 θ
自由度数 1
x
取如图所示 θ 为广义坐标
yc
=
l 2
sin θ
y
y& c
=
l 2
θ&
cos
θ
yc
根据柯尼西定理
T
=
1 2
2my&c2
+
1 2
I cθ& 2
T = 1 ml2θ&2 (1+ cos2 θ )
第五章5分析力学5.5 哈密顿正则方程.ppt
v2 s2 r2 r22 r2 sin 2 2
T 1 m(r2 r 22 r 2 sin 2 2 )
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin 2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
qi=const
H qi
p i
0
pi =const
哈密顿介绍
哈密顿，W.R. William Rowan Hamilton (1805～1865) 英国数学家、物理学家、力学家。1805年8月4日生 于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁 入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉 丁文欧几里得《几何原本》,13岁开始研究I.牛顿和P.S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教 授，兼任学校天文台台长。
例 自由2: 质分点别在用势笛场卡V儿(r坐)中标的、哈柱密面顿坐标函和数球H。面坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数 s＝3
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，
则拉格朗日函数 L 为
L T V 1 m(x 2 y 2 z 2 ) V (x, y, z)
py
y
pz
z
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V (x,
y,
z)
（2）在柱面坐标系中
T 1 m( 2 2 2 z 2 )
2
L T V 1 m( 2 2 2 z2 ) V (,, z)
2
p
T 1 m(r2 r 22 r 2 sin 2 2 )
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin 2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
qi=const
H qi
p i
0
pi =const
哈密顿介绍
哈密顿，W.R. William Rowan Hamilton (1805～1865) 英国数学家、物理学家、力学家。1805年8月4日生 于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁 入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉 丁文欧几里得《几何原本》,13岁开始研究I.牛顿和P.S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教 授，兼任学校天文台台长。
例 自由2: 质分点别在用势笛场卡V儿(r坐)中标的、哈柱密面顿坐标函和数球H。面坐标写出一个
解: 体系为质点，自由度数 s＝3
（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，
则拉格朗日函数 L 为
L T V 1 m(x 2 y 2 z 2 ) V (x, y, z)
py
y
pz
z
H
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V (x,
y,
z)
（2）在柱面坐标系中
T 1 m( 2 2 2 z 2 )
2
L T V 1 m( 2 2 2 z2 ) V (,, z)
2
p
哈密顿正则方程课件
解析解的意义
解析解能够精确地描述系统的运 动状态，对于理解和分析物理现 象具有重要意义。
哈密顿正则方程的物理意义
系统能量守恒
哈密顿正则方程描述了系统的能量守恒关系，即系统的总能量保持 不变。
运动状态演化
哈密顿正则方程描述了系统运动状态的演化过程，即随着时间的推 移，系统的运动状态会发生怎样的变化。
广义哈密顿正则方程
广义哈密顿正则方程是经典哈密顿正则方程的扩展，它允许系统具有非保守力和非完整约束。
广义哈密顿正则方程的形式为：$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial q'} - frac{partial L}{partial q} = Q$， 其中$L$是系统的拉格朗日函数，$q'$和$q$是系统的广义坐标，$Q$是非保守力。
在统计物理中的应用
描述系统微观状态
哈密顿正则方程在统计物理学中用于描述系统的微观 状态和能量。
分析系统宏观性质
通过哈密顿正则方程，可以分析系统的宏观性质，如 温度、压强和熵等。
研究相变和临界现象
哈密顿正则方程可以用来研究相变和临界现象，包括 对称性破缺和标度律等。
05
CATALOGUE
哈密顿正则方程的扩展与深化
广义哈密顿正则方程在分析力学、动力学和控制系统等领域有广泛应用。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程
非完整约束系统是指具有非完整约束的力学系 统，这些约束不能由牛顿第三定律完全确定。
在非完整约束系统中，哈密顿正则方程需要考 虑约束对系统运动的影响，其形式与完整约束 系统中的哈密顿正则方程有所不同。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程在机器人 学、航天器和车辆动力学等领域有重要应用。
分析力学第七章正则方程
知 必须满足条件：
由此得出重要推论：
当不显含t时， 为运动常数的充要条件是：
3. 泊松定理
如果函数
和函数
分，则函数[f , g]也是正则方程的初积分。
证：由于是f和g正则方程的初积分，得
是正则方程的两个初积
由雅克比恒等式： 得 于是有 即得到:
因此[f,g]=C也是正则方程的初积分.
泊松定理指出: 由正则方程的两个已知的初积分, 可不断地求出新的初 积分.
那么有
；于是得到：
(即在该四种正则变换中哈密顿量保
持不变).
此时正则变换条件变为下列形式：
。
例1.寻求常数 ,使变换
解：由于此变换不显t，有
是正则变换。
即
, 由于q的任意性，得
因此有变换：
该变换被彭家莱应用于天体力学中
例2. 证明变换 关的四类母函数。 解：
是正则的，并求出与该变换相
因此该变换是正则的。其母函数为：
，其中
是n+1个任意常数。
另外，如果我们已知
，其中
是n+1个任意常数。同样可以得到哈密顿—雅克比偏微
分方程：
——这是哈密顿在当时推证所用的方法。 利用哈密顿—雅克比方程求出
---这样就能得到正则方程的全部积分。
由
及哈密顿正则方程
若力学体系的哈密顿函数H中不显函时间t，即 (h是积分常数)。
；则
当约束又是稳定的，则动能可表示为
2n个代数方程是相互独立的，所以可以解出逆变换为：
若通过变量的变换，使得正则方程的形式保持不变，即：
我们把这种变换叫做正则变换。 当取第二类母函数 则正则变换的条件： 变为：
令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
哈密顿正则方程
/ 2m
m
x
2
由正则方程，得 x＝ H p p / m， p － H x m
2
x
由 上 两 式 削 去 p， 得 x 积分，得
2
x 0
x A c o s ( t ) p － m A s in ( t )
表明谐振子的相轨道为沿顺时针方向的 封闭椭圆。 物理与光电工程学院
第五章 分析力学
§5.5 哈密顿正则方程
知识回顾 • 基本形式的拉氏方程
d T d t q T q Q
• 保守系的拉氏方程
d L d t q L q 0
• 拉氏方程的应用
a. 确定自由度 b. 选取广义坐标 c. 写出体系的拉氏函数 d. 解拉氏方程并讨论
2 2
由 定 义 求 p ， 并 进 而 求 哈 密 顿 函 数 H : L ， p L m r 2 sin 2 pr m r， p m r r p 1 m ( r 2 r 2 2 r 2 sin 2 2 ) H L p r r p 2 r 1 2 m ( pr
g
二、正则方程
y
v,
g u
x
（正则形式）
前面提过，用 P代换L函数的 q有一定的优越性， q P 但只用 代换 而不改变函数的形式，则原函数 对新变量无正则形式，给计算带来麻烦.
下面把L函数: L ( q , q , t ) 和 f ( x , y ) 比较
a o
5 g sin ( R r ) 7
19
物理与光电工程学院
第八章经典力学的哈密顿理论
第八章经典力学的哈密顿理论一．正则坐标和哈密顿函数二．三种不同形式的哈密顿动力学方程1．哈密顿正则方程2．哈密顿原理3．哈密顿-雅可比方程一．正则坐标和哈密顿函数为表述空间的位置，引入坐标。
常用坐标：<1）直角坐标；<2）平面极坐标；<3）柱坐标；<4）球坐标等功能：<1）用三个坐标值表示空间的一点的位置<2）确定空间一组相互正交的单位矢量<有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示）区别：<1）直角坐标与物体的运动无关，是固定不变的<2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的， <3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标1．广义坐标：设拉格朗日方程为：又设：拉格朗日方程为：令：上式中是变量的任意函数，则：而所以由：可以得到：即：通过拉格朗日方程，对于两个不同的拉格朗日量可以解得同一个广义坐标。
经典力学中，一个力学体系的拉格朗日函数不是唯一的，不同的拉格朗日函数可以相差一项：由于是任意函数，因此，一个力学体系的拉格朗日函数可以有无穷多个。
2．广义动量:若拉格朗日函数是唯一的，则与广义坐标相对应的广义动量也是唯一的，两者一一对应。
但是，由于拉格朗日函数都包含有广义速度因此和将是两个不同的力学量，由于是任意函数的，因此，与广义坐标对应的广义动量也有无穷多个。
用数学语言表述为：广义动量和广义坐标是完全独立的。
b5E2RGbCAP若取，只是时间的函数，则和就一一对应了。
但是，这是一个规范条件，这个规范条件并非理论本身所必需的。
条件：<1）保留广义坐标的概念不变<2）保留广义动量的定义不变，<3）对不做任何限制，问题：若使和保持独立地位：（A）力学理论如何？（B）是否会带来经典力学和拉格朗日理论中没有的优点？回答上述问题的理论即为哈密顿理论！3．两个变量的勒让德变换一组独立变数变为另一组独立变数的变化称为勒让德变换。
第七章哈密顿正则方程
t1 k
H p q j dt 0 j t0 j1 q j
t1 k
对于完整系统，由于δqj 是相互独立的，且可取任何值， 则 H
j p
j
即得关于变量
q , p , t
j
q j
的Hamilton正则方程
t1
k t1 k k j H Qj q j dt L Qj q j dt p j q t0 t0 j j j 1
H H j p j p j q j q qj p j Qj q j dt t0 q j p j j 1
H j p Q j q j
j
1,2, ,k
其中Qj 为系统的非有势力对应于广义坐标 qj 的广义力。
例7-1 试用Hamilton正则方程求出水平弹簧质量振动 系统的运动微分方程 解：单自由度系统， x为广义坐标
L T V
1 2 1 2 1 2 kx L mx V kx 2 2 2 px L x mx 构造H函数 p x m x 1 2 1 2 L px x mx kx H Px x 2 2 px 2 1 2 kx H x, px 2m 2
t1 t1
对上式进行变分运算，得
H H p q q p p q dt 0 j j j j j j t0 p q j 1 j j
t1 k
将上式中的第一项改写成
d j p j q j p j q dt j 1 j 1
j H p j q j H q j p
H p q j dt 0 j t0 j1 q j
t1 k
对于完整系统，由于δqj 是相互独立的，且可取任何值， 则 H
j p
j
即得关于变量
q , p , t
j
q j
的Hamilton正则方程
t1
k t1 k k j H Qj q j dt L Qj q j dt p j q t0 t0 j j j 1
H H j p j p j q j q qj p j Qj q j dt t0 q j p j j 1
H j p Q j q j
j
1,2, ,k
其中Qj 为系统的非有势力对应于广义坐标 qj 的广义力。
例7-1 试用Hamilton正则方程求出水平弹簧质量振动 系统的运动微分方程 解：单自由度系统， x为广义坐标
L T V
1 2 1 2 1 2 kx L mx V kx 2 2 2 px L x mx 构造H函数 p x m x 1 2 1 2 L px x mx kx H Px x 2 2 px 2 1 2 kx H x, px 2m 2
t1 t1
对上式进行变分运算，得
H H p q q p p q dt 0 j j j j j j t0 p q j 1 j j
t1 k
将上式中的第一项改写成
d j p j q j p j q dt j 1 j 1
j H p j q j H q j p
王振发版-分析力学-课件-第3章-哈密顿正则方程
d L L Qk k qk dt q
L k p Qk qk
(k 1,2, N )
H qk pk (k 1,2, , N ) H k p Qk qk
③Hamiltonian函数H的物理意义
对哈密顿函数定义式微分得
k dpk pk dq k dL dH q
k 1 k 1
N
N
上式中
N L L L k dt dL dqk dq k t k 1 qk k 1 q N
由
得
L pk k q
N
k p
L qk
H H (q k , pk , t )
两方程组完全等价。 处理思路：将微分方程降阶以便于求解。 特点： ①简单对称 ②正则变换不变性
1. 哈密顿正则方程
1.哈密顿变量(正则变量) 设有一完整约束系统，N个自由度，受有势力作用，其 Lagrange 方程：
d L L 0 k qk dt q
第三章 哈密顿正则方程
3-1 哈密顿正则方程 3-2 正则方程的初积分 3-3 泊松括号、泊松定理 3-4 相空间(了解）
3-5 刘维定理（了解）
Lagrange 方程：一组N个广义坐标表示的二阶常微分方程
k , t ) L L( q k , q
Hamiltonian方程：引入一组2N个广义动量表示的一阶常微分方程
H T2 T0 V C 广义保守系统 H (qk , pk ) C 广义能量积分
2. H不显含时间t，且约束为定常的，则系统为保守系统
H T V C
机械能量积分
3. H不显含某个广义坐标
q j 的情况
分析力学基础(9)
哈密顿正则方程——广义坐标和广义 哈密顿正则方程——广义坐标和广义 动量的一阶微分方程组
哈密顿正则方程
哈密顿函数
系统的拉格朗日函数和广义动量分别是
ɺ ɺ ɺ L = L(q1, q2 ,⋯qN ; q1, q2 ,⋯qN ;t)
∂L ɺ ɺ ɺ pi = = pi (q1, q2 ,⋯qN ; q1, q2 ,⋯qN ; t), (i =1 2,…, N) , ɺ ∂qi
拉格朗日方程可写成
d pi ∂L = dt ∂qi
(i =1 2,…, N) ,
从广义动量方程中解出广义速度， 从广义动量方程中解出广义速度，它是广义坐标和广 义动量的函数， 义动量的函数，即
哈密顿正则方程
ɺ ɺ qi = qi (q1, q2 ,⋯qN ; p1, p2 ,⋯pN ;t), (i =1 2,…, N) ,
不含时间 t，所以有广义能量积分
p2 k 2 + q = E(常数 ) 2m 2
哈密顿正则方程
例 题 3 y m
θ
半径为 a 的圆环以匀角速度 ω 绕 O 轴在水 平面内运动，环上有一质量为m的质点。 平面内运动，环上有一质量为m的质点。写出 质点的哈密顿正则方程及其首次积分 解：拉格朗日函数为
L =T = m 2 m ɺ ɺ ɺ ɺ (x + y2 ) = a2θ 2 + ma2ω(θ +ω)(1+ cosθ ) 2 2
~ q(t) = q(t) +δq(t) = q(t) +αη(t)
其中η(t)的定义域是[t0, t1]，且η(t0) = η(t1) = 0 的定义域是[ 这个集合称为函数 这个集合称为函数q(t)的“邻域” 函数q 邻域”
分析力学讲义-哈密顿正则方程
∂H j = q ∂p j ∂H p j = (j= 1, 2, , k ) − q ∂ j
因此更便于在计算机上作数值积分。 例 4.1 半径为 r 的圆环管绕垂直轴以匀角速度 Ω 转动，如图示，质量为 m 的小球 P 可在管内无摩擦 地滑动。试写出圆环管内小球运动的正则方程。
(4.7)
再将 H 对 p j 求偏导数，得到
f i ∂H ∂L ∂q j + ∑ pi − j q q = = i ∂p j ∂p j ∂q i =1
(4.8)
则拉格朗日方程(3.2)可改写作
j − p
∂L = 0 ∂q j
(4.9)
从式(4.7)，(4.8)和(4.9)导出以下正则变量的一阶微分方程组，称为哈密顿正则方程：
质点运动的正则方程为：
(c)
= ϕ
pϕ
2
mR p = z z m
∂H ϕ = p − = 0 ∂ϕ ∂H z = p − = −kz ∂z
(d)
H 中不显含ϕ，因此ϕ是循环坐标，对应的循环积分为
= pϕ
∂H 2 Cϕ = mR= ϕ ∂ϕ
（Cϕ为常数）
z = −kz ， 因此有 ，以及 p 由于 pz = mz
例 4.3 图 解：系统自由度：2。取广义坐标：ϕ，z。 系统的动能： T =
1 1 2 1 1 2 + z 2 ) ， 势能： V m ( R 2ϕ = kr = k ( x2 + y 2 + z 2 = k ( R2 + z 2 ) ) 2 2 2 2 1 1 2 + z 2 ) − k ( R2 + z 2 ) m ( R 2ϕ 2 2
哈密顿正则方程
§6.哈密顿正则方程引言：哈密顿正则方程是与拉氏方程：0=∂∂-∂∂a a q L qL dt d 等价的动力学方程。
s q L q L dt d a a ,....2,10==∂∂-∂α ，这组拉氏方程是s 个关于广义坐标a q 的二阶常微分方程。
在这组拉氏方程中的拉氏函数L 它是广义坐标q ，广义速度q以及时间t 的函数：),,(t qq L L =。
如果我们把拉氏函数中的广义速度a q 变换成→广义动量αp ，即),,(t p q L L =那么就可以将上面的s 个拉氏方程①化成2s 个一阶常微分方程，而且这2s 个一阶常微分方程还具有一定的很漂亮的对称性②具有一定的对称性。
要想把拉氏函数：),,(t qq L L =变成是广义坐标、广义动量P 及时间t 的函数→),,(t p g L L =，以及将s 个拉氏方程化成2s 个一阶常微分方程。
将会用到勒襄特变换这一数学工具。
∴得先介绍一下：一．勒襄特变换（只作了解，不作要求，大纲不要求讲这部分内容）现在先讨论两个变量的勒襄德变换，假设所给的函数是两个变量x 1 和x 2的函数，即：),(21x x f f =。
则由高等数学的知识可得此函数的全微分：2211dx x f dx x f df ∂∂+∂∂=在此我们令11x f u ∂∂=,22x f u ∂∂=,[ii x f u ∂∂=(i=1,2)]……①并以1u 和2u 为新的变量定义一个新函数g: ∑=-+=-≡212211i i if u x u x f u xg ……②如果我们从变换方程①解出i x ，使i x 是i u 的函数，即)(i i i u x x =，再代入上式②中去，那么，g 就是只含新变量i u 的函数了，即：),(21u u g g =。
我们先对②式两边进行微分，则得：∑∑∑∑=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∂∂-+=∂∂-+=21212121)()(i i i i i i i i i i i i i i i i i du x dx x f u du x dx x f dx u du x dg 又∵将旧变量i x 换成新变量i u 之后，新函数g 就是新变量i u 的函数：),(21u u g g =那么对它微分就有：2211du u g du u g dg ∂∂+∂∂=……*′，将这个等式与上一等式进行比较就可得到变换关系：11u g x ∂∂=，222du u g x ∂∂=……③前面我们利用变换方程①把旧的变量x 1,x 2及旧的函数),(21x x f 变为新的变量21,u u 及新的函数),(21u u g g =的方法，就称为勒让德变换。
哈密顿正则方程例题
& (m '+ m sin 2 θ)l&& + ml θ2 sin θ cos θ + (m '+ m) g sin θ = 0 θ
典型例题3 典型例题
经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触， 经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触，使之 竖直地稳定转动是很困难的，一长为 竖直地稳定转动是很困难的，一长为10cm、直径为 、直径为0.8cm的 的 铅笔，即使以角速度ω0=100rot/s高速转动，也不能稳定地 铅笔，即使以角速度 高速转动， 高速转动 竖直转动，试用分析力学方法解释 竖直转动， 分析： 分析： 铅笔是否能稳定地竖直转动
从拉格朗日函数的表达式知： ψ，ϕ为循环坐标，故： 从拉格朗日函数的表达式知： ， 为循环坐标，
& & & pϕ = ∂L = J*ϕ sin 2 θ + J z cos θ (ϕ cos θ + ψ ) = C1 & ∂ϕ & & pψ = ∂L = J z (ϕ cos θ +ψ ) = C2 & ∂ψ
J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) (1 − cos θ) cos θ J *&& = θ [ − 1] + mgrOC sin θ 2 J* sin θ sin θ & d J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) 2 dθ & [ ] + mgrOC cos θ} = J *θ =− { d θ 2 J* sin θ dθ 1 & 2 J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) 2 + mgrOC cos θ = E 积分有： 积分有： J *θ + 2 2 2 J * sin θ
典型例题3 典型例题
经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触， 经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触，使之 竖直地稳定转动是很困难的，一长为 竖直地稳定转动是很困难的，一长为10cm、直径为 、直径为0.8cm的 的 铅笔，即使以角速度ω0=100rot/s高速转动，也不能稳定地 铅笔，即使以角速度 高速转动， 高速转动 竖直转动，试用分析力学方法解释 竖直转动， 分析： 分析： 铅笔是否能稳定地竖直转动
从拉格朗日函数的表达式知： ψ，ϕ为循环坐标，故： 从拉格朗日函数的表达式知： ， 为循环坐标，
& & & pϕ = ∂L = J*ϕ sin 2 θ + J z cos θ (ϕ cos θ + ψ ) = C1 & ∂ϕ & & pψ = ∂L = J z (ϕ cos θ +ψ ) = C2 & ∂ψ
J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) (1 − cos θ) cos θ J *&& = θ [ − 1] + mgrOC sin θ 2 J* sin θ sin θ & d J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) 2 dθ & [ ] + mgrOC cos θ} = J *θ =− { d θ 2 J* sin θ dθ 1 & 2 J z 2 ω0 2 (1 − cos θ) 2 + mgrOC cos θ = E 积分有： 积分有： J *θ + 2 2 2 J * sin θ
哈密顿正则方程
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r1'
r
r2'
m2 rm1' 1
r2'
r2'
m1
m1 m2
r
2' 1'
m1
m1 m2
m2
m1 m2
S
r S'
m1 r1' c
r2m' 2
'2 2
m1 m1 m2
2
2
'2 1
m2 m1 m2
2
2
T 1 m1m2 2 1 2
2 m1 m2
z p z
m
H L p p p z z
H
1 2m
p
2
p2
2
p
2 z
V
(
,
,
z)
（3）在球面坐标系中
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T 1 m(r2 r 2 2 r 2 2 sin 2 ) ,V=V（r，，）
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
mr 2, p
L
mr 2 sin 2
r pr , p ,
p
m
mr 2
mr 2 sin 2
H
1 2m
p
2 r
p2 r2
p2
r 2 sin 2
V（r，，）
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[例10] 求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设两 原子之间相互作用的弹性力为 F = －k（r－r0） 其中r为两原子间距离，r0为两原子处在平衡时的距离。
解: 为了求出拉格朗日函数，应先求分子的动能。 从寇尼格定理可知，分子动能
r1'
r
r2'
m2 rm1' 1
r2'
r2'
m1
m1 m2
r
2' 1'
m1
m1 m2
m2
m1 m2
S
r S'
m1 r1' c
r2m' 2
'2 2
m1 m1 m2
2
2
'2 1
m2 m1 m2
2
2
T 1 m1m2 2 1 2
2 m1 m2
z p z
m
H L p p p z z
H
1 2m
p
2
p2
2
p
2 z
V
(
,
,
z)
（3）在球面坐标系中
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T 1 m(r2 r 2 2 r 2 2 sin 2 ) ,V=V（r，，）
2
L 1 m(r2 r 22 r 2 2 sin2 ) V（r，，）
2
pr
L r
mr,
p
L
mr 2, p
L
mr 2 sin 2
r pr , p ,
p
m
mr 2
mr 2 sin 2
H
1 2m
p
2 r
p2 r2
p2
r 2 sin 2
V（r，，）
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[例10] 求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设两 原子之间相互作用的弹性力为 F = －k（r－r0） 其中r为两原子间距离，r0为两原子处在平衡时的距离。
解: 为了求出拉格朗日函数，应先求分子的动能。 从寇尼格定理可知，分子动能
3-2哈密顿函数和正则方程
H p
p 2 mr
2 2
V r
2m
H ,
由正则方程
q
,
p
q
得
H
1
2
q p L p r r p L
H p
pr
2
p 2 mr
2 2
V r
2m
H q ,
由正则方程
§3-2 哈密顿函数和正则方程
一、哈密顿函数
定义广义动量： pj L q j ； q j， p j 称为正则共轭坐标。
拉氏方程变为：
L q j
d L dt q j
pj
qj
( j 1，， s ) 2L
拉格朗日函数
L : 广义坐标
q j，广义速度
方程为二阶微分方程组
:
x 0
xdx
g l
x l 2
xdx
gl 4
x l,
此时绳的速度为
x
1 2
3 gl
例6: 轴为竖直而顶点在下的抛物线 金属丝，以匀角速ω绕轴转动，一 质量为 m 的小环，套在此金属丝 上，并可沿着丝滑动。求小环在 x 方向的运动微分方程。已知抛物线 方程为 x2 = 4ay ，式中 a 为常数。
2 2 2 2 解： T m ( x y x ) / 2 ,
y
ω
x
mg
o x
V mgy
y
x
2
y
xx 2a
4a
L T V
1 2
2 2 2 2 2 m x ( 1 x / 4 a ) x mgx
p 2 mr
2 2
V r
2m
H ,
由正则方程
q
,
p
q
得
H
1
2
q p L p r r p L
H p
pr
2
p 2 mr
2 2
V r
2m
H q ,
由正则方程
§3-2 哈密顿函数和正则方程
一、哈密顿函数
定义广义动量： pj L q j ； q j， p j 称为正则共轭坐标。
拉氏方程变为：
L q j
d L dt q j
pj
qj
( j 1，， s ) 2L
拉格朗日函数
L : 广义坐标
q j，广义速度
方程为二阶微分方程组
:
x 0
xdx
g l
x l 2
xdx
gl 4
x l,
此时绳的速度为
x
1 2
3 gl
例6: 轴为竖直而顶点在下的抛物线 金属丝，以匀角速ω绕轴转动，一 质量为 m 的小环，套在此金属丝 上，并可沿着丝滑动。求小环在 x 方向的运动微分方程。已知抛物线 方程为 x2 = 4ay ，式中 a 为常数。
2 2 2 2 解： T m ( x y x ) / 2 ,
y
ω
x
mg
o x
V mgy
y
x
2
y
xx 2a
4a
L T V
1 2
2 2 2 2 2 m x ( 1 x / 4 a ) x mgx
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2
r
(1)代入(2)可得
H
1 2m
pr2
p2 r2
p2
r sin2
r
正则方程
例题 2
(2) (3)
p r
H r
p2 mr3
p2
mr3 sin2
p
H
p2 cos mr2 sin3
p
即一维弹簧振子的 运动微分方程
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
例 2 用哈密顿正则方程建立质点在有心力势场
V
(r)
r
中的运动微分方程.
解：采用球坐标 (r, ,) 描述 位矢 r rer
质点的速度
v
d dt
(rer )
rer
re
r sine
拉氏函数 L T V 1 m(r2 r22 r2 sin2 2 )
.
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p
常数
即相应的广义动量守恒。
注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的 能量积分和循环积分，结果是一样的。
.
5.5 哈密顿正则方程
例题 1
例1 试用哈密顿正则方程建立图示一维弹簧振子的
2
广 义 动
pr
L r
mr
p
L
mr2
量
p
L
mr2 sin2
.
r
pr m
p mr2Βιβλιοθήκη pmr2 sin2
r
(1)
5.5 哈密顿正则方程
哈密顿量
H T V 1 m(r2 r22 r2 sin2 2 )
dH
s 1
H p
dp
H q
dq
H t
dt
(4)
(3)(4)比较可得哈密顿正则方程
q p
H p H
q
, 1, 2,...,s
.
以及 H L
t t
若L不显含t, 则H也 不显含t.
哈密顿函数
H px x L xpx m
px
px m
1 2
m
px m
2
1 2
kx2
px2 1 kx2 2m 2
.
正则方程
例题 1
x
H px
px m
(1)
p x
H x
kx
(2)
(1)(2)联立可得
x k x 0 m
H
H ( p,q,t) dH dt
s 1
H p
p
H q
q
H t
正则方程
s 1
H p
H q
H q
H p
H t
dH H dt t
H t
若H不显含t, 则H守恒。
H
0
r2
.
(4) (5) (6)
r
H
pr
pr m
H p
p mr2
H p
p
mr2 sin2
(7) (8) (9)
5.5 哈密顿正则方程
分析：一、动量矩守恒
例题 2
由(6)(9)可得 p mr2 sin2 C(常数)
运动微分方程。
解：以平衡位置(即
平衡位置
弹簧原长位置)为原 点，建立一维x轴。
动能 T 1 mx2
2
m 光滑水平面
O
x
弹簧劲度系数为k
势能 V 1 kx2
2
拉氏函数
L T V 1 mx2 1 kx2
2
2
广义动量
px
L x
mx
x px m
.
5.5 哈密顿正则方程
(3)
定义另外一个函数，称为哈密顿函数
H H ( p1, p2 ,..., ps;q1,q2 ,..., qs;t)
s
p q L 1
其中的q 要 用(3)代换。
.
5.5.1 勒让德变换
哈密顿函数的物理含义
s
若L不显含t, 则 H p q L 常数 1
5.5.2 正则方程
相空间 s个广义坐标，和s个广义动量，统称为正则变量， 它们作为相互独立的变量，张开一个2s维空间， 称为相空间。
相空间的一点，代表系统可能存在的一个状态， 称为相点。
随时间变化，相点在相空间移动，划出一条曲 线，代表系统状态的演化路径。
.
5.5.3 能量积分与循环积分
能量积分
5.5 哈密顿正则方程
.
5.5.1 勒让德变换
哈密顿函数的定义式
拉氏函数 L L(q1,q2 ,..., qs;q1,q2 ,..., qs;t)
(1)
广义动量
p
L q
p (q1,q2 ,..., qs;q1,q2 ,..., qs;t)
(2)
由(2)解得 q q ( p1, p2,..., ps;q1,q2,..., qs;t)
对于稳定约束系统，H即系统总能量
H T V
对于不稳定约束系统，H是广义能量
H T2 T0 V
.
5.5.1 勒让德变换
勒让德变换的规则 以上从L(q,q,t)到 H( p,q,t) 的变换称为勒让德变换。
s
H p q L 1
规则： 把要消去的变量(q )乘以原函数(L)对该变量的 偏导( p L q )后，再减去原函数。
s
( p dq
1
p dq
)
L t
dt
(2)
(2)代入(1)可得
dH
s
(q dp
1
p dq
)
L t
dt
(3)
.
5.5.2 正则方程
正则方程的推导
dH
s
(q dp
1
p dq
)
L t
dt
(3)
另一方面
H
H ( p,q,t)
.
5.5.2 正则方程
正则方程的推导
s
s
H p q L dH ( p dq q dp ) dL
(1)
1
1
L
L(q, q, t )
dL
s
1
L q
dq
L q
dq
L t
dt
(10)
另一方面计算可得 J z (r mv) ez mr 2 sin2