第28章椭圆的性质及应用
类氢原子椭圆轨道及其能量
类氢原子椭圆轨道及其能量韩久松（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）指导老师：张青林摘要: 电子在原子核的库仑场中运动，正如行星绕太阳运动，是受着与距离的平方成反比的力。
本文介绍从比耐公式出发,结合玻尔——索末菲量子化条件,对类氢原子电子的量子化椭圆轨道,给出了一个简化的推导,并在此基础上,对轨道的稳定性进行进一步的讨论；根据电子受到平方反比引力作用的动力学经典理论,从椭圆轨道方程出发，结合有心力场中角动量守恒和索末菲量子化通则，简明的推出了类氢原子的量子化椭圆轨道和能级。
关键词：类氢原子，椭圆轨道，索末菲量子化通则，轨道稳定性。
1 引言类氢原子是原子核外边只有一个电子的原子体系，但原子核带有大于一个单元的正电荷，这些是具有类似氢原子的结构的离子。
这里有一次电离的氦离子 He +,二次电离的锂离子 Li + +，三次电离的铍离子 Be + + + 等。
对于氢原子和类氢原子中电子的轨道和能量,已有文献[1,2]进行了多次探讨,类氢原子椭圆轨道的能级及量子化半长轴、半短轴是原子物理学的一个重要内容。
本文利用能量守恒、角动量守恒、椭圆轨道几何性质，以及玻尔—索末菲量子化条件，在能级简并的情况下，对椭圆轨道与能量量子化公式给出一个简化的推导。
2 讨论类氢原子轨道关于类氢原子电子的量子化椭圆轨道及能量的讨论,在大学物理[2,3]刊物上已有多篇文章从椭圆的几何性质及角动量守恒等方面入手做了研究。
本文介绍以比耐公式[4]为出发点,推导出类氢原子的量子化椭圆轨道,比耐公式的表达式为：2222d u Fh uu d m θ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦（1） 其中2h r θ=为面积速度常数,u 为r 的倒数。
类氢原子体系中，电子与原子核之间存在引力22K F Ku r =-=- 20()4Ze K πε= （2）代入（1）式得：22222d u Ku h u u d m θ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦即： 222d u Ku d h mθ+= (3） 如令2ku h mζ=+则 （3）式为： 220d d ζζθ+= 其解为： ()0cos A ζθθ=-所以 022cos()K Ku A h m h mζθθ=+=-+ 其中，A ，0θ为积分常数，将极轴转动一个角度，可使00θ=，则 2211cos mh K r Amh uK ==+（4）将它和在极坐标下的标准圆锥曲线方程 1cos pr e θ=+ 比较，可知轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点，其中 2mh p K=。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题 含解析
选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。
高中数学人教B版教材目录
第二章 推理与证明
合情推理与演绎推理 直接证明与间接证明 数学归纳法
第三章 数系的扩充与复数的引入
数系的扩充和复数的概念
复数代数形式的四则运算
演 稿
示
文
1 2 3 后
等
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选修2-3
第一章 计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 排列与组合 探 二项式定理 第二章 随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列 二项分布及其应用 离散型随机变量的均值与方差 第三章 统计案例 回归分析的基本思想及其初步应用 独立性检验的基本思想及其初步应用
第一章 常用逻辑用语 命题与量词 基本逻辑联结词 充分条件、必要条件与命题的四种形式（一般会出选择 题） 第二章 圆锥曲线与方程 椭圆 双曲线 抛物线 第三章 导数及其应用 导数 导数的运算
高中数学（B版）选修1－2
第一章 第二章 第三章 第四章 统计案例 推理与证明 数系的扩充与复数的引入 框图
高中数学（B版）选修4－5
绝对值不等式的解法
绝对值的三角不等式 不等式证明的基本方法 第三章 数学归纳法与贝努利不等式
知识点分布表 表2：新课标新增部分内容课时数 与 在试卷中占分数比例对照表
高中数学（B版）必修三
第一章 算法初步
程序（主要是和必修五数列的内容结合考）
第二章 统计
茎叶图 和 ？？ 第三章 概率 古典概型 （文的重点）
高பைடு நூலகம்数学（B版）必修四
第一章 基本初等函(Ⅱ) 任意角的概念与弧度制 任意角的三角函数 三角函数的图象与性质（主要是以三角函数的图像） 第二章 平面向量 向量的线性运算 向量的分解与向量的坐标运算 平面向量的数量积（重点） 第三章 三角恒等变换 和角公式 倍角公式和半角公式 （诱导公式）
高二数学课本知识点总结归纳(8篇)
高二数学课本知识点总结归纳（8篇）高二数学课本知识点总结归纳（8篇）你知道哪些高二数学知识点是真正对我们有帮助的吗在平凡的学习生活中，大家都背过各种知识点吧知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
下面是小编给大家整理的高二数学课本知识点总结归纳，仅供参考希望能帮助到大家。
高二数学课本知识点总结归纳篇1高二数学知识点11、导数的定义：在点处的导数记作、2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0，f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3、常见函数的导数公式：4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导，如果，那么为增函数;如果，那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围，那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较，的为值，最小的是最小值。
高二数学知识点2等差数列：对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差，记为d;从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。
那么，通项公式为，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：将以上n—1个式子相加，便会接连消去很多相关的项，最终等式左边余下an，而右边则余下a1和n—1个d，如此便得到上述通项公式。
此外，数列前n项的和，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。
值得说明的是，前n项的和Sn除以n后，便得到一个以a1为首项，以d/2为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。
等比数列：对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比q;从第一项a1到第n项an的总和，记为Tn。
高二数学 2-1-2-2椭圆的简单几何性质
【解】 将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
当Δ＝0时，得m＝± 25，直线与椭圆相切；
当Δ>0时，得－
5 2 <m<
25，直线与椭圆相交；
当Δ<0时，得m<－ 25或m> 25，直线与椭圆相离．
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答案 C
第7页
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第二章·2.1 · 2.1.2·第二课时
2．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过两点
(4,0)和(0,2)，则该椭圆的离心率等于( )
3
1
A. 2
B.2
3
3
C.4
D. 4
第8页
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第二章·2.1 · 2.1.2·第二课时
解析 由题意可知a＝4，b＝2，∴c＝ a2－b2＝2 3，
c＝2，∴a＝
b2＋c2＝2
2，∴e＝ac＝2 2
＝ 2
2 2.
答案 B
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第二章·2.1 · 2.1.2·第二课时
3．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－
7 18
，若以A，B为焦
点的椭圆经过点C，求该椭圆的离心率e.
解 在△ABC中， ∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝295AB2， ∴AC＝53AB. ∵椭圆以A、B为焦点且经过点C，∴2c＝AB，
【解】 解法 1：∵直线 l 过椭圆x52＋y42＝1 的右焦点 F1(1,0)， 又直线的斜率为 2，∴直线 l 的方程为 y＝2(x－1)，
2x－y－2＝0， 即 2x－y－2＝0.由方程组x52＋y42＝1， 得交点 A(0，－2)，B53，43. |AB|＝ xA－xB2＋yA－yB2
数学人教A版(2019)选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程(共28张ppt)
2
2
+
2
2 − 2
=1
由椭圆的定义可知，2 > 2,即 > ,所以2 − 2 > 0
(1)
2
+ 2
第三章 圆锥曲线的方程
探究椭圆的标准方程
• 4.化简
– 观察右图可知
第三章
圆锥曲线的方程
3.1.1 椭圆及其标准方程
第三章 圆锥曲线的方程
一、教学内容分析
二、教学目标设置
三、教学重难点
四、学情分析
五、教学方法
六、教学过程
七、板书设计
第三章 圆锥曲线的方程
一、教学内容分析
• 解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代
数与几何等最基本对象之间的联系．由于教材以椭圆为重点
和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心．
第三章 圆锥曲线的方程
二、教学目标设置
•
•
•
•
4.学科素养：
（1）利用从实验中抽象出椭圆得定义，培养学生得数学抽象能力
（2）利用椭圆标准方程的推导，培养学生数学运算和数据分析能力；
（3）利用椭圆定义的获得和标准方程的推导，培养学生的直观想象和数学建模能
力。
三、教学重难点
• 讲授法
• 小组探究法
第三章 圆锥曲线的方程
新知引入
• 取一条定长的细绳，把它的
两端都固定在图版的同一点
处，套上铅笔，拉紧绳子，
移动笔芯 ，这时笔芯(动点)
画出的轨迹是一个圆。如果
把细绳的两端拉开一段距离，
分别固定在圆板的两点处，
套上铅笔，拉紧绳子，移动
笔尖，画出的轨迹是什么曲
外科学第八版纵隔肿瘤
第28章 原发性纵隔肿瘤
第28章 原发性纵隔肿瘤
第28章 原发性纵隔肿瘤
常见得纵隔肿瘤——其她肿瘤 • 间叶组织肿瘤(少见):
纵隔分区——四分区 • 胸骨角与第四胸椎下缘
得连线——上、下纵隔
• 下纵隔以心包为界分为 前、中、后三部分
第28章 原发性纵隔肿瘤
纵隔肿瘤好发部位
上纵隔
前纵隔
中纵隔
后纵隔
胸腺瘤
胸腺瘤
心包囊肿 神经原肿瘤
异位甲状腺肿 畸胎瘤
支气管囊肿 肠原性囊肿
淋巴源性肿瘤 淋巴源性肿瘤
淋巴源性肿瘤
甲状旁腺瘤
血管瘤 脂肪瘤
第28章 原发性纵隔肿瘤 纵隔肿瘤好发部位
第28章 原发性纵隔肿瘤
常见得纵隔肿瘤——神经源性肿瘤 ➢ 后纵隔,脊柱旁肋脊区 ➢ 多为单个,良性多于恶性 ➢ 压迫、恶性侵犯——疼痛
第28章 原发性纵隔肿瘤
常见得纵隔肿瘤——神经源性肿瘤
➢ 自主神经系统肿瘤(植物神经) 良性:1、 神经节细胞瘤(交感神经) 2、 神经纤维瘤(迷走神经,少见) 恶性:1、 神经母细胞瘤(交感神经) 2、 节细胞神经母细胞瘤(交感神经)
第28章 原发性纵隔肿瘤
常见得纵隔肿瘤——纵隔囊肿 ➢ 胚胎发育中胚细胞异位 ➢ 圆形或椭圆形、薄壁 ➢ 边界清楚
• 气管支气管囊肿 • 食管囊肿(前肠囊肿、肠源性囊肿) • 心包囊肿
第28章 原发性纵隔肿瘤
常见得纵隔肿瘤——纵隔囊肿 气管、支气管囊肿
中纵隔,隆突、支气管附近 内膜为假复层纤毛上皮、囊壁有平滑肌、软骨 囊液为糊状黏液
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)首页>生活常识 >正文关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)发布日期：2023-09-21 12:26:22 次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的'并、补、交、非'也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。
另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。
二次函数的零点的δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。
这一章主要讲斜率与直线的位置关系，只要搞清楚直线平行、垂直的斜率表示问题就错不了。
考试题中，通项公式、前n项和的内容出现频次较多，这类题看到后要带有目的的去推导就没问题了。
这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。
次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
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普通高中课程标准实验教科书教材目录数学（人教A版）语文（人教版）英语（人教版）物理（人教版）化学（人教版）生物（人教版）政治（人教版）地理（湘教版）历史（人民版）第 1 页共31 页（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文必修ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列第 2 页共31 页阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学选修2 （系列2由3个模块组成）选修2-1常用逻辑用语圆锥曲线空间中的向量与立体几何选修2-2导数及其应用推理与证明数系的扩充与复数的引入选修2-3计数原理统计案例概率（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学选修3 （系列3由6个模块组成）选修3-1 数学史选讲选修3-2 信息安全与密码选修3-3球面上的几何选修3-4对称与群选修3-5欧拉公式与闭曲面分类选修3-6三等分角与数域扩充（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学选修4 （系列4由10专题组成）选修4-1几何证明选讲选修4-2矩阵与变换选修4-3数列与差分选修4-4坐标系与参数方程（人教A版）普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5——不等式选讲第一章不等式的基本性质和证第 3 页共31 页明的基本方法第一节不等式的基本性质和一元二次不等式的解法第二节基本不等式第三节绝对值不等式的解法第四节绝对值的三角不等式第五节不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用第一节柯西不等式第二节排序不等式第三节平均值不等式（选学）第四节最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式第一节数学归纳法原理第二节用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式选修4-6初等数论初步选修4-7优选法与试验设计初步选修4-8统筹法与图论初步选修4-9风险与决策选修4-10开关电路与布尔代数（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文必修1第一单元1*、沁园春·长沙——毛泽东32、诗两首雨巷——戴望舒 6再别康桥——徐志摩 83、大堰河——我的保姆艾青10第二单元4、烛之武退秦师——《左传》165、荆轲刺秦王——《战国策》186、鸿门宴——司马迁 22第三单元7、记念刘和珍君——鲁迅278、小狗包弟——巴金 329*、记梁任公先生的一次演讲——梁实秋 36第四单元10、短新闻两篇别了，“不列颠尼亚”——周婷杨兴 39奥斯维辛没有什么新闻——罗森.塔尔 4111、包身工——夏衍 4412*、飞向太空的航程——贾永曹智白瑞雪 52（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文必修2第一单元1、荷塘月色——朱自清2、故都的秋——郁达夫3*、囚绿记——陆蠡第二单元4、《诗经》两首《氓》《采薇》5、离骚——屈原6*、《孔雀东南飞》（并序）7*、诗三首涉江采芙蓉——《古诗十九首》短歌行——曹操归园田居（其一）——陶渊明第三单元8、兰亭集序——王羲之9、赤壁赋——苏轼10*、游褒禅山记——王安石第四单元11、就任北京大学校长之演说——蔡元培12、我有一个梦想——马丁·路德·金13*、在马克思墓前的讲话——恩格斯（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文必修3第一单元1、林黛玉进贾府——曹雪芹2、祝福——鲁迅3 *、老人与海——海明威第二单元4、蜀道难——李白5、杜甫诗三首秋兴八首（其一）咏怀古迹（其三）登高6、琵琶行（并序）白居易7*、李商隐诗两首锦瑟马嵬（其二）第三单元8、寡人之于国也——《孟子》9、劝学——《荀子》10*、过秦论——贾谊第 4 页共31 页11*、师说——韩愈第四单元12、动物游戏之谜/周立明13、宇宙的边疆/卡尔·萨根14*、一名物理学家的教育历程/加来道雄（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文必修4第一单元1、窦娥冤/关汉卿2、雷雨/曹禹3*、哈姆莱特/莎士比亚第二单元4、柳永词两首望海潮（东南形胜）雨霖铃（寒蝉凄切）5、苏轼词两首念奴娇·赤壁怀古定风波（莫听穿林打叶声）6、辛弃疾词两首水龙吟·登建康赏心亭永遇乐·京口北固亭怀古7*、李清照词两首醉花阴（薄雾浓云愁永昼）声声慢（寻寻觅觅）第三单元8、拿来主义/鲁迅9、父母与孩子之间的爱/弗罗姆10*、短文三篇热爱生命/蒙田人是一根能思想的苇草/帕斯卡尔信条/富尔格姆第四单元11廉颇蔺相如列传/司马迁12苏武传/班固13*张衡传/范晔（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文必修5第一单元1、林教头风雪山神庙/施耐庵2、装在套子里的人/契诃夫3*、边城/沈从文第二单元4、归去来兮辞(并序/)陶渊明5、滕王阁序/王勃6*、逍遥游/庄周7*、陈情表/李密第三单元8、咬文嚼字 /朱光潜9*、说“木叶”/林庚10*、谈中国诗/钱钟书第四单元11、中国建筑的特征/梁思成12、作为生物的社会/刘易斯·托马斯13*、宇宙的未来/史蒂芬·霍金（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修1影视名作欣赏城南旧事——别样离愁，纯美格调魂断蓝桥——爱情地久天长阿甘正传——英雄源自凡人淘金记——含着眼泪的笑卧虎藏龙——侠与人，心与剑音乐之声——乘着歌声飞翔海底总动员——父子亲情的颂歌三国演义——历史是由人书写的故宫——中华文明的盛宴（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修2中国古代诗歌散文欣赏诗歌之部第一单元以意逆志，知人论世长恨歌/白居易5湘夫人/屈原9拟行路难（其四）/鲍照12蜀相/杜甫14书愤/陆游16咏怀八十二首（其一）/阮籍18杂诗十二首（其二）/陶渊明18越中览古/李白19一剪梅/李清照20今别离（其一）/黄遵宪20第二单元置身诗境，缘景明情春花江月夜/张若虚25夜归鹿门歌/孟浩然 28梦游天姥吟留别/李白30登岳阳楼/杜甫33菩萨蛮/（其二）/韦庄35积雨辋川庄作/王维36旅夜书怀/杜甫36新城道中（其一）/苏轼37扬州慢/姜夔37长相思/纳兰性德38第 5 页共31 页第三单元因声求气吟咏诗韵将进酒/李白41阁夜/杜甫43李凭箜篌引/李贺45虞美人/李煜47苏幕遮/周邦彦50国殇/屈原52燕歌行/高适53登柳州城楼寄漳汀封连四州/柳宗元54菩萨蛮/温庭筠55般涉调哨遍高祖还乡/睢景臣55中国古代诗歌发展概述散文之部第四单元创造形象诗文有别过小孤山大孤山/陆游68庖丁解牛/《庄子》71项羽之死/司马迁73阿房宫赋/杜牧77西门豹治邺/褚少孙80大铁椎传/魏禧81第五单元散而不乱，气脉中贯六国论/苏洵85伶官传序/欧阳修88祭十二郎文/韩愈91 文与可画筼筜谷偃竹记/苏轼94狱中杂记/方苞97陶庵梦忆序/张岱99第六单元文无定格，贵在鲜活种树郭槖驼传/柳宗元子路、曾晳、冉有、公西华侍坐/《论语》107春夜宴从弟桃花园序/李白110项脊轩志/归有光 111游沙湖/苏轼 114苦斋记/刘基 114中国古代散文发展概述117（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修3中国现当代散文鉴赏第一单元抨击时弊忧思家国1、灯下漫笔（节选）/鲁迅2、大连丸上/萧军3、道士塔/余秋雨第二单元峥嵘岁月挥斥方遒4、风景谈/茅盾5、娘子关前/周立波6、菜园小记/吴伯萧第三单元纵论快乐阐释哲理7、渐/丰子恺8、论快乐/钱钟书9、觅渡，觅渡，渡何处？/梁衡第四单元感悟自然陶冶性灵10、钓台的春昼/郁达夫11、荷塘月色/朱自清12、长江三日/刘白羽第五单元思亲忆友展示情怀13、我的母亲/老舍14、春联儿/叶圣陶15、应该有天堂/周国平第六单元天涯赤子心系中华16、听听那冷雨/余光中17、豆腐颂/林海音18、老家的/树郭枫（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修4中国文化经典研读第一单元入门四问今天为什么还要阅读经典?/刘梦溪（8）读《经典常谈》/叶圣陶（10）第二单元儒道互补1 《论语》十则（15）2 《老子》五章（16）孟子见梁惠王《孟子》（17）胠箧《庄子》（17）论中国文化梁漱溟（21）第三单元春秋笔法3 晋灵公不君《左传》（25）直书刘知几（26）怎样研究中国历史翦伯赞（30）第四单元修齐治平4 《大学》节选（35）《中庸》节选（36）院士谈做人（40）第五单元佛理禅趣5 《坛经》两则（43）《百喻经》六则（44）诗与禅（节选）/袁行霈（47）第六单元家国天下6 求谏吴兢（50）原君（节选）/黄宗羲（51）海瑞骂皇帝/吴晗（55）第七单元天理人欲7 《朱子语类》三则/朱熹（58）童心说/李贽（59）人生的境界/冯友兰（63）第八单元科学之光8 《天工开物》两则/宋应星（66）麻叶洞天/徐霞客（68）科学素养，你具备吗？/李将辉（71）第九单元经世致用第 6 页共31 页9 《日知录》三则/顾炎武（76）浙东学术/章学诚（77）鲁迅论读书王瑶（80）第十单元人文心声10 《人间词话》十则/王国维（85）红楼梦评论（节选）/王国维（87）人境庐诗草自序/黄遵宪（88）中国文化与现代化/张岱年（91）（每单元都由经典原文、相关读物、大视野组成）（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修5新闻阅读与实践第一章新闻是什么？第二章消息：带着露珠的新闻1 、动态消息两篇奥运会第一枚金牌为我夺得/孙杰（21）14名下岗工竞得道路保洁权/于晓波等（21）2、综合消息两篇课能否晚一点儿/邓兴军等（23）我国科学家首次确认雅鲁藏布江大峡谷为世界第一大峡谷/张继民（24）3、外国消息两篇东京宣布无条件投降美联社（26）周恩来总理逝世北京沉浸在悲痛之中/比昂尼克（26）4、广播电视消息两篇打工仔成为国家计委座上宾/邱建浩等（28）WTO第四次部长级会议审议通过中国加入WTO/肖振生等（29）第三章通讯：讲述新闻故事5、彭德怀印象/埃德加·斯诺（35）6 、世界选择北京/王军等（38）7 、中国市场：人人都想分享的蛋糕/吴晓东（42）8 、风雨入世路中国与WTO/郭亮等（46）第四章特写：镜头式的新闻片断9 、毛泽东先生到重庆/彭子冈（56）10、梦碎雅典杨明/马小林（59）11、漫步在无人区/理查德·克雷默（61）第五章新闻评论：媒体的观点12 社论两篇中华民族的百年盛事《人民日报》社论（68）时代的轴线在此拉开《大公报》社论（69）13短评两篇奴隶与盗贼/梁启超（72）台上他讲，台下讲他/王道衍（72）14 外国评论两篇车文明《朝日新闻》评论员（74）我们一定是疯了/理查德·艾里古德（74）第六章报告文学：交叉的新闻与文学15 儒学飞人/陈祖芬（82）16 澳星风险发射/李鸣生（88）（每章都由导引、阅读、实践组成）（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修6先秦诸子选读第一单元《论语》选读一、天下有道，丘不与易也二、当仁，不让于师三、知之为知之，不知为不知四、己所不欲，勿施于人五、不义而富且贵，于我如浮云*六、有教无类七、好仁不好学，其蔽也愚第二单元《孟子》选读一、王好战，请以战喻二、王何必曰利三、民为贵四、乐民之乐，忧民之忧*五、人和六、我善养吾浩然之气七、仁义礼智，我固有之第三单元《荀子》选读大天而思之，孰与物畜而制之第四单元《老子》选读有无相生第五单元《庄子》选读一、无端崖之辞二、鹏之徙于南冥*三、东海之大乐四、尊生五、恶乎往而不可第六单元《墨子》选读一、兼爱二、非攻*三、尚贤第七单元《韩非子》选读一、郑人有且买履者*二、子圉见孔子于商太宰第7 页共31 页（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修7中国现代诗歌散文欣赏诗歌部分第一单元生命的律动精读：天狗（郭沫若）（1）略读：井（杜运燮）（3）春（穆旦）（4）题（邹荻帆）（5）川江号子（蔡其矫）（7）走进诗的世界第二单元挚情的呼唤精读：贺新郎（毛泽东）（11）略读：也许——葬歌（闻一多）（12）一个小农家的暮（刘半农）（13）秋歌——给暖暖（痖弦）（15）妈妈（江非）（16）诗的发现第三单元爱的心语精读：蛇（冯至）（22）略读：预言（何其芳）（23）窗（陈敬容）（25）你的名字（纪弦）（27）神女峰（舒婷）（28）诗的意象第四单元大地的歌吟精读：河床（昌耀）（37）略读：金黄的稻束（郑敏）（39）地之子（李广田）（40）半棵树（牛汉）（42）边界望乡（洛夫）（43）诗的语言第五单元苦难的琴音精读：雪落在中国的土地上（艾青）（50）略读：老马（臧克家）（53）憎恨（绿原）（54）这是四点零八分的北京（食指）（56）雪白的墙（梁小斌）（57）诗的鉴赏散文部分第一单元那一串记忆的珍珠精读：动人的北平（林语堂）（64）略读：汉家寨（张承志）（67）特利尔的幽灵（梁衡）（70）现代散文的形与神第二单元心灵的独白精读：新纪元（李大钊）（78）略读：捉不住的鼬鼠——时间片论（周涛）（80）美（曹明华）（83）现代散文的情与理第三单元一粒沙里见世界精读：都江堰（余秋雨）（89）略读：Kissing the Fire（吻火）（梁遇春）（92）合欢树（史铁生）（93）现代散文的小与大第四单元如真似幻的梦境精读：森林中的绅士（茅盾）（99）略读：云霓（丰子恺）（101）埃菲尔铁塔的沉思（张抗抗）（103）现代散文的虚与实第五单元自然的年轮精读：葡萄月令（汪曾祺）（108）略读：光（杨必）（112）树（节选）（林燿德）（115）现代散文的疏与密（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修8中国民俗文化第一单元节日第二单元衣食住行第三单元琴棋书画第四单元风俗第五单元礼节第六单元神鬼故事第七单元传说故事（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修9中国小说欣赏第一单元历史与英雄1《三国演义》曹操献刀2《水浒传》李逵负荆第二单元谈神说鬼寄幽怀3《西游记》孙悟空大战红孩儿4《聊斋志异》香玉王六郎第三单元人情与世态5“三言”玉堂春6《红楼梦》情真意切释猜嫌第四单元从士林到官场7《儒林外史》匡超人8《官场现形记》兄弟阋墙第五单元家族的记忆9《家》祖孙之间10《白鹿原》家族的学堂第六单元女性的声音11《呼兰河传》小团圆媳妇之死12《长恨歌》围炉夜话第七单元情系乡土第8 页共31 页13《小二黑结婚》（节选）14《平凡的世界》做客第八单元人在都市15《子夜》吴老太爷进城16《骆驼祥子》高妈第九单元烽火岁月17《红旗谱》朱老巩护钟18《红高粱》罗汉大爷（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修10中外戏剧名作欣赏第一单元索福克勒斯与《俄狄浦斯王》第二单元莎士比亚与《罗密欧与茱丽叶》第三单元汤显祖与《牡丹亭》第四单元莫里哀与《伪君子》第五单元易卜生与《玩偶之家》第六单元契诃夫与《三姐妹》第七单元曹禺与《北京人》第八单元老舍与《茶馆》第九单元贝克特与《等待戈多》（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修11外国诗歌散文欣赏（每单元由导言、讲读、自主阅读思考与探究组成）诗歌欣赏第一单元诗歌是跳舞，散文是走路1、老虎/布莱克2、秋歌/魏尔伦3、三棵树米/斯特拉尔自主阅读1 我自己的歌（之一）/惠特曼2 严重的时刻/里尔克3 黑马布/罗茨基第二单元自然而然的情感流露1、故乡/荷尔德林2、西风/颂雪莱3、当你老了/叶芝自主阅读1秋颂/济慈2不是死，是爱/勃朗宁夫人3狗之歌/叶赛宁第三单元像闻玫瑰花一样闻到思想1、漫游者的夜歌/歌德292、石榴/瓦雷里303、雪夜林边驻脚/弗罗斯特31自主阅读1鲁拜六十六首（节选）/海亚姆322园丁集（节选）/泰戈尔343你无法扑灭一种火/狄金森35第四单元寻找文字的炼金术1、应和/波德莱尔392、刘彻/庞德403、窗前晨景/艾略特41自主阅读1元音/兰波422朦胧中所见的生活/帕斯433恋人/艾吕雅44散文欣赏第五单元让故事本身说话1、我与绘画的缘分/丘吉尔492、带着鲑鱼去旅游/艾柯52自主阅读1难忘的经历/茨威格542夜行的驿车巴/乌斯托夫斯基60第六单元准确把握人物精神1、自画像/蒙田712、贝多芬百年祭/萧伯纳73自主阅读1悼念乔治·桑/雨果772卡莱尔/爱默生79第七单元与自然为友1、英国乡村/欧文852、寂寞/梭罗89自主阅读1堤契诺秋日/黑塞952京都四季/水上勉98第八单元让生命沉思1、奴性/纪伯伦1042、懒惰哲学趣话/伯尔106自主阅读1、给罗曼罗兰的一封信/托尔斯泰1082、通向友人之路（节选）普里什文114（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修12语言文字应用第一课走进汉语的世界1第一节美丽而奇妙的语言——认识汉语第二节古今言殊——汉语的昨天和今天第三节四方异声——普通话和方言第二课千言万语总关“音” 16第一节字音档案——汉字的注音方法第9 页共31 页第二节耳听为虚——同音字和同音词第三节迷幻陷阱——“误读”和“异读”第四节声情并茂——押韵和平仄第三课神奇的汉字37第一节字之初，本为画——汉字的起源第二节规矩方圆——汉字的简化和规范第三节方块的奥妙——汉字的结构第四节咬文嚼字——消灭错别字第四课词语万花筒59第一节看我“七十二变”——多义词第二节词语的兄弟姐妹——同义词第三节每年一部“新词典”——新词语第四节中华文化的智慧之花——熟语第五课言之有“理” 80第一节“四两拨千斤”——虚词第二节句子“手牵手”——复句和关联词第三节有话“好好说”——修改病句第四节说“一”不“二”——避免歧义第六课语言的艺术97第一节语不惊人死不休——选词和炼句第二节语言表达的十八般武艺——修辞手法第三节淡妆浓抹总相宜——语言的色彩第四节入乡问俗——语言和文化（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修13外国小说欣赏（每单元由“阅读”、“话题”“思考与实践”组成）第一单元桥边的老人[美国]海明威（1）*墙上的斑点[英国]弗吉尼亚·伍尔芙（3）话题：叙述——叙述角度叙述人称 *叙述腔调 *速度控制第二单元炮兽[法国]雨果（11）*安东诺夫卡苹果[俄国]蒲宁（17）话题：场景——在场景中生活场景的功能 *风景的意义 *现代小说的场景观第三单元丹柯[苏联]高尔基（34）*炼金术士[巴西]保罗·戈埃罗（37）话题：主题——小说的灵魂主题的形成主题的实现*主题的选择与开掘 *主题观的演变第四单元娜塔莎 [俄国]列夫·托尔斯泰（49）*素芭[印度]泰戈尔（55）话题：人物——“贴着人物写”揣摩人物的心理描摹人物的语言与行动*“圆形人物”与“扁平人物” *人物在现代小说中的退隐第五单元清兵卫与葫芦[日本]志贺直哉（64）*在桥边 [德国]伯尔（67）话题：情节——以情节为主线的小说情节运行的方式 *情节运行的动力第六单元牲畜林[意大利]卡尔维诺（72）*半张纸[瑞典]斯特林堡（76）话题：结构——谋篇布局 *结构的“常”与“变”第七单元山羊兹拉特[美国]艾萨克·什维斯·辛格（80）*礼拜二午睡时刻[哥伦比亚]加西亚·马尔克斯（83）话题：情感——情感的魅力情感的处理 *情感是小说的动力 *现代小说：激情过后第八单元沙之书[阿根廷]博尔赫斯（91）*骑桶者 [奥地利]卡夫卡（94）话题：虚构——对虚构的确认虚构使我们富有 *事实与真实的区别（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修14演讲与辩论（每单元由范例学习、相关连接和综合实践组成）第一单元中国人民站起来了第10 页共31 页在岭南大学黄花岗纪念会的演说在葛底斯堡的演说第二单元爱国要培养完全的人格未有天才之前诺贝尔和平奖颁奖演说第三单元学做一个人书，知识的大厦在巴尔扎克葬礼上的演说第四单元演讲两篇数学的光彩走向社会毕业赠言告别演说第五单元支持物种起源的学说交朋友应多多益善还是少而精高中生出国利弊之辩第六单元蛊惑青年与鬼神的踪迹买刀的杀人要刀店负责吗？齐桓晋文之事（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修15中外传记作品选读精读第一课杜甫：“万方多难”中成就的“诗圣”冯至（1）第二课鲁迅：深刻与伟大的另一面是平和萧红（26）第三课毛泽东：忆往昔，峥嵘岁月稠埃德加·斯诺笔录（49）第四课贝多芬：扼住命运的咽喉罗曼·罗兰（67）第五课达尔文：兴趣与恒心是科学发展的动力欧文·斯通（86）第六课马克思：献身于实现人类理想的社会海因里斯·格姆科夫等（105）略读第七课沈从文：逆境也是生活的恩赐沈从文（126）第八课杨振宁：合壁中西科学文化的骄子学东等（141）课外阅读蒙哥马利：强者是不断挑战自己李政（154）比尔·盖茨：IT英雄的成功之道莫克李群（156）（人教版）普通高中课程标准实验教科书语文·选修16 文章写作与修改第一章写作的多样性与独特性第一节写出自己的个性第二节联想与想象第三节第三节学会沟通第二章材料的使用与处理第一节从素材到写作内容第二节材料的有机转化第三节材料的压缩与扩展第三章认识的深化与成篇第一节捕捉“动情点”第二节理性思维的深化第三节培养创新意识第四章文章的修改与完善第一节整体的调整第二节局部的完善第三节语言的锤炼[1]（人教版）普通高中课程标准实验教科书英语Book1Unit 1 Friendship（直接引语变间接引语1）it强调句结构Unit 2 English around the world（直接引语变间接引语2）even if引导的让步状语从句Unit 3 Travel journal （现在进行时态表将来1）主语+ be +形容词+动词不定式Unit 4 Earthquakes （现在进行时态表将来2）as if状语从句；It isno wonder that从句Unit 5 Nelson Mandela - a modernhero（关系副词when, where, why引导的定语从句）There was a timewhen从句（人教版）普通高中课程标准实验教科书英语Book2Unit 1 Cultural relics（非限制性定语从句）There is no doubtthat从句Unit 2 The Olympic Games （一般将来时的被动语态）the+adj.比较级，the+adj.比较级第11 页共31 页。
新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题 含解析
选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。
第28章 医学节肢动物
第二节 病媒节肢动物
二、蝇
形态：
成蝇体长5～10mm，体 色呈暗灰色、黑色或暗褐 色，有些种类带有金属光 泽，全身被有棕毛，头部 可见左右2个大的复眼，中 央有1对触角。大部分蝇类 的口器为舐吸式，末端有 膨大的唇瓣，用以舐吸食 物。唇瓣黏附大量的病原 体，与传病有关。有些蝇 类的口器为刺吸式，能叮 咬人畜吸血。胸部发达， 有 翅 1 对 ， 足 3 对 。
第一节 皮肤寄生节肢动物
一、疥 螨
生活史：
疥螨生活史为半变态，分为卵、幼虫、若虫和成虫 4个阶段。成虫以挖掘隧道方式寄生在人体皮肤角质层 内。疥螨雌雄成虫夜晚在人的皮肤表面交配，雄虫在 交配后不久死亡，雌虫在隧道内产卵，经3～5天孵化 为幼虫。幼虫蜕皮，经前若虫、后若虫发育为成虫。 从卵发育至成虫平均约需15天。
第二节 病媒节肢动物
一、蚊
防制：
1．环境防制 灭蚊的治本措施，包括消灭幼虫孳生地，清 除小容器积水以消灭白纹伊蚊。搞好城市生活污水的处理，疏通 下水沟以减少库蚊的孳生。改良稻田排灌方法，采用水稻种植新 技术，清除排灌沟渠的杂草可减少蚊虫的孳生。 2．物理防制 如装纱窗，挂蚊帐，安装电子诱蚊灯等。
3．生物防制 鱼类能捕食孑孓。稻田、河沟放养鱼类，公 园内小型水池可放养观赏鱼类等。目前生物杀虫剂已被应用于现 场，对我国常见蚊种有较好杀虫效果。生物防制方法避免了药物 带来的环境污染，具有良好的使用前景。 4．化学防制 和杀灭室内蚊虫。 常用菊酯类药物室内喷洒，亦可用蚊香驱赶
第二节 病媒节肢动物
二、蝇
防制：
防蝇灭蝇应采取综合防制措施：
1.环境防制 搞好环境卫生，及时清除或处理生活垃圾、粪便 腐败动植物、皮毛、骨、酒糟、浆渣等蝇类孳生物。 2.物理防制 隔绝孳生地使蝇不能产卵，如实行垃圾袋装化、 堆肥薄膜覆盖；使用纱门、纱窗、纱罩以防蝇类接触食物；安装 电子诱蝇灯诱杀成蝇等。 3.生物防制 采用自然界中蝇的天敌杀灭蝇类，如寄生蜂、苏 云金杆菌（H-9）等可分别杀灭家蝇和丝光绿蝇的幼虫。有些昆 虫是蝇蛆的捕食性天敌。 4.化学防制 生活区和室内灭蝇可使用菊酯类药物如氯氰菊酯 喷雾等。
椭圆极线定理的证明
椭圆的极线定理的证明 ---tobeenough圆锥曲线的极限定理超越了中学数学的范畴，因此许多同学都想要证明一下，看看它究竟成立不成立。
由于现在的中学数学，圆锥曲线是重头戏，了解和掌握极限定理，对于解决圆锥曲线的题目非常有利，所以在下努力一下，将极线定理证明给大家。
一、原题设椭圆方程为：2222x y 1a b+=，两条弦AB 与CD 相交于(,)000P x y ，交椭圆于,,,A B C D .则,,,A B C D 点的坐标满足椭圆方程：22i i 22x y 1a b+= （,,,i A B C D =）采用参数形式，则：设：cos sin A 1A 1x a y b θθ=⎧⎨=⎩，cos sin B 2B 2x a y b θθ=⎧⎨=⎩，cos sin C 3C 3x a y b θθ=⎧⎨=⎩，cos sin D 4D 4x a y b θθ=⎧⎨=⎩⑴ 求得000P x y (,)满足的方程组由于0ABP 三点共线，则ABP 0S 0∆=，即：AA BB 0x y 1x y 10x y 1= 即：()()A B 0A B 0A B B A y y x x x y x y x y --+-=- （1-1）由于0CDP 三点共线，则CDP 0S 0∆=，即： CC DD 0x y 1x y 10x y 1= 即：()()C D 0C D 0C D D C y y x x x y x y x y --+-=- （1-2） 联立（1-1）（1-2）得：()()A B A B 0A B B A C D C D 0C D D C y y x x x x y x y y y x x y x y x y ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1-3）⑵ 求（1-3）式的主行列式记：A B A B 12120C D C D 3434y y x x M ab y y x x ()(sin sin )cos cos ()(sin sin )cos cos θθθθθθθθ------==------1212121234343434222222ab222222cossinsinsincos sin sin sin θθθθθθθθθθθθθθθθ+-+---=+-+---121234123434224ab 2222cossinsinsincos sinθθθθθθθθθθθθ++--=++sinsin034124ab 22N --=θθθθ （1-4）cossincos sin sin cos cos sin1212343412120343422N 222222++++++==-++θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-5）⑶ 求0x 的分子行列式记：A B B AA B 12211220C D D CC D 344334x y x y x x X a bx y x y x x cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos cos θθθθθθθθθθθθ----==----121223434a bsin()cos cos sin()cos cos θθθθθθθθ---=---12121212234343434222222a b222222sincossinsinsin cos sin sin θθθθθθθθθθθθθθθθ--+---=--+---1212234123434224a b 2222cossinsinsincos sinθθθθθθθθθθθθ-+--=-+sinsin2341204a 2U b 2--=θθθθ （1-6）cossincos sin sin cos cos sin1212343412120343422U 222222-++--+==--+θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-7）⑷ 求0y 的分子行列式记：A B A B B A 12122120C D C D D C 343443y y x y x y Y ab y y x y x y ()(sin sin )cos sin cos sin ()(sin sin )cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ------==------ 121223434ab (sin sin )sin()(sin sin )sin()θθθθθθθθ----=----12121212234343434222222ab 222222cossinsincoscos sin sin cosθθθθθθθθθθθθθθθθ+-----=+-----1212234123434224ab 2222coscossinsincos cos θθθθθθθθθθθθ+---=+-sinsin2341204a 2V b 2--=θθθθ （1-8）coscoscos cos cos cos cos cos1212343412120343422V 222222+--++-==-+-θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-9）于是方程（1-3）的解为：000X x M =，000Y y M = （1-10） ⑸ 求得111P x y (,)满足的方程组设直线AC 与直线BD 相交于(,)111P x y则由于1ACP 三点共线，则1ACP S 0∆=，即：AA CC 11x y 1x y 10x y 1= 即：()()A C 1A C 1A C C A y y x x x y x y x y --+-=- （1-11）由于1BDP 三点共线，则1BDP S 0∆=，即：BB DD 11x y 1x y 10x y 1= 即：()()B D 1B D 1B D D B y y x x x y x y x y --+-=- （1-12） 联立（1-11）（1-12）得：()()A C A C 1A C C A B D B D 1B D D B y y x x x x y x y y y x x y x y x y ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1-13） ⑹ 求（1-13）式的主行列式记：A C A C13131B D B D2424y y x x M aby y x x ()(sin sin )cos cos ()(sin sin )cos cos θθθθθθθθ------==------1313131324242424222222ab222222cossinsinsincos sin sin sin θθθθθθθθθθθθθθθθ+-+---=+-+---131313242424224ab 2222cossinsinsincos sinθθθθθθθθθθθθ++--=++sinsin113244ab 22N --=θθθθ （1-14）cossincos sin cos sin cos sin1313131324241242422N 222222++++++==-++θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-15）⑺ 求1x 的分子行列式记：A C C A A C 13311321B D D BB D244224x y x y x x X a bx y x y x x cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos cos θθθθθθθθθθθθ----==----131322424a bsin()cos cos sin()cos cos θθθθθθθθ---=---13131313224242424222222a b222222sincossinsinsin cos sin sinθθθθθθθθθθθθθθθθ--+---=--+---1313213242424224a b 2222cossinsinsincos sin θθθθθθθθθθθθ-+--=-+sinsin2132414a b 2U 2--=θθθθ （1-16）cossincos sin cos sin cos sin 1313131324241242422U 222222-+-++-==--+θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-17）⑻ 求1y 的分子行列式记：A C A C C A13133121B D B D D B242442y y x y x y Y aby y x y x y ()(sin sin )cos sin cos sin ()(sin sin )cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ------==------(sin sin )sin()(sin sin )sin()131322424ab----=----θθθθθθθθ13131313224242424222222ab 222222cossinsincoscos sin sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ+-----=+-----1313213242424224ab 2222coscossinsincos cosθθθθθθθθθθθθ+---=+-sinsin2132414ab 2V 2--=θθθθ （1-18）coscoscos cos cos cos cos cos 1313131324241242422V 222222+-+--+==-+-θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-19）于是方程（1-13）的解为：111X x M =，111Yy M = （1-20） ⑼ 求得222P x y (,)满足的方程组设直线AD 与直线BC 相交于(,)222P x y则由于2ADP 三点共线，则2ADP S 0∆=，即：AA DD 22x y 1x y 10x y 1= 即：()()A D 2A D 2A D D A y y x x x y x y x y --+-=- （1-21）由于2BCP 三点共线，则2BCP S 0∆=，即：B B CC 22x y 1x y 10x y 1= 即：()()B C 2B C 2B C C B y y x x x y x y x y --+-=- （1-22） 联立（1-21）（1-22）得：()()A D A D A D D A 2B C B C B C C B 2y y x x x y x y x y y x x x y x y y ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1-23）⑽ 求（1-23）式的主行列式记：A D A D 14142B C B C 2323y y x x M aby y x x ()(sin sin )cos cos ()(sin sin )cos cos θθθθθθθθ------==------ 1414141423232323222222ab222222cossinsinsincos sin sin sinθθθθθθθθθθθθθθθθ+-+---=+-+---141423142323224ab 2222cossinsinsincos sinθθθθθθθθθθθθ++--=++sinsin223144ab 22N --=θθθθ （1-24）cossincos sin cos sin cossin1414232314142232322N 222222++++++==-++θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-25）⑾ 求2x 的分子行列式记：A D D A A D 14411422B C C BB C 233223x y x y x x X a bx y x y x x cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos cos θθθθθθθθθθθθ----==----141422323a b sin()cos cos sin()cos cos θθθθθθθθ---=---sincossinsinsin cos sin sin 14141414223232323222222a b222222θθθθθθθθθθθθθθθθ--+---=--+---cossinsinsincos sin1414223142323224a b 2222θθθθθθθθθθθθ-+--=-+sinsin2231424a 2U b 2--=θθθθ （1-26）cossincos sin cos sin cos sin1414232314142232322U 222222-++--+==--+θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-27）⑿ 求2y 的分子行列式记：A D A D D A 14144122B C B C C B 232332y y x y x y Y aby y x y x y ()(sin sin )cos sin cos sin ()(sin sin )cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ------==------ 141422323ab (sin sin )sin()(sin sin )sin()θθθθθθθθ----=----14141414223232323222222ab 222222cossinsincoscos sin sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ+-----=+-----1414223142323224ab 2222coscossinsincos cosθθθθθθθθθθθθ+---=+-sinsin2231424a 2V b 2--=θθθθ （1-28）coscoscos cos cos cos cos cos 1414232314142232322V 222222+--++-==-+-θθθθθθθθθθθθθθθθ （1-29）于是方程（1-23）的解为：222X x M =，222Yy M = （1-30）⒀ 求12P P ,点满足的直线方程直线12P P 的直线方程为: 112121x x y y x x y y --=--即：1121212121x y x y x x x x y y y y -=-----即：1121212121x y x yx x y y x x y y -=-----即：21211221y y x x x y x y x y ()()---=- 即：()()211212211221y y x x x y 1x y x y x y x y --+=-- （1-31）⒁ 要证明的极线定理与我们要证明的极线定理的极线方程：0022x x y y 1ab+=比较知：()02121221x y y x y x y a -=- （1-32）()01221221y x x x y x y b-=- (1-33)（1-32）式和(1-33)式，就是我们要证明的极线定理. 二、证明（1-32）式成立在上一章里，我们得到了关系式（1-32），要证明式子成立，可先将其简化. 将（1-10）（1-20）（1-30）代入（1-32）得：2021122121012X Y YX Y X Y a M M M M M ()()--= 即：20122101221a M M Y M Y X X Y X Y ()()-=-即：22012021012021a M M Y a M M Y X X Y X X Y -=- （2-1）将（1-4）（1-6）（1-8）（1-14）（1-16）（1-18）（1-24）（1-26）（1-28）代入（2-1）得：012012021021N N V U U V N N V U U V -=- （2-2）（2-2）等价于（1-32）式，所以要证明它是成立的. ⑴ 计算012N N V由（1-5）式：343412120N 2222cossinsincosθθθθθθθθ++++=- 由（1-15）式：131324241N 2222cos sin cos sin θθθθθθθθ++++=- 由（1-29）式：232314142V 2222coscoscoscosθθθθθθθθ-++-=-则共有8项. 记：012N N V =A1A2A3A4A5A6A7A8+++++++ （2-3）⑵ 计算012U U V由（1-7）式：343412120U 2222cossinsincosθθθθθθθθ+--+=- 由（1-17）式：131324241U 2222cos sin cos sin θθθθθθθθ-++-=- 由（1-29）式：232314142V 2222coscoscoscosθθθθθθθθ-++-=-则共有8项. 记：012U U V B1B2B3B4B5B6B7B8=+++++++ （2-4）⑶ 计算012012N N V U U V -先看一例:131312122222coscoscoscosθθθθθθθθ+-+--13131212122222[cos()cos()]θθθθθθθθ++++=++- 13131212122222[cos()cos()]θθθθθθθθ-----++- 232311222[cos()cos()]θθθθθ+-=++232311222[cos()cos()]θθθθθ+---+ 2323111222[cos()cos()]θθθθθθ++=+-- 2312sin sinθθθ+=-同样计算得到下表：故：012012N N V U U V C1C 2C 3C4C5C6C7C8-=+++++++ （2-5）⑷ 计算021N N V由（1-5）式：343412120N 2222cossinsincosθθθθθθθθ++++=- 由（1-25）式：232314142N 2222cos sincossinθθθθθθθθ++++=- 由（1-19）式：131324241V 2222coscoscoscosθθθθθθθθ+--+=-则共有8项. 记：021N N V D1D2D3D4D5D6D7D8=+++++++ （2-6）⑸ 计算021U U V由（1-7）式：343412120U 2222cossinsincosθθθθθθθθ+--+=- 由（1-27）式：232314142U 2222cos sin cos sin θθθθθθθθ+--+=- 由（1-19）式：131324241V 2222coscoscoscosθθθθθθθθ+--+=-则共有8项. 记：021U U V E1E2E3E4E5E6E7E8=+++++++ （2-7）⑹ 计算021021N N V U U V -再看一例:121412142222coscoscoscosθθθθθθθθ++---12141214122222[cos()cos()]θθθθθθθθ++++=++- 12141214122222[cos()cos()]θθθθθθθθ-----++- 242411222[cos()cos ]θθθθθ+-=++242411222[cos()cos ]θθθθθ+---+ 2424111222[cos()cos()]θθθθθθ++=+-- 2412sin sinθθθ+=-同样计算得到下表：故：021021N N V U U V F1F 2F 3F 4F5F6F7F8-=+++++++ （2-8）⑺ 比较（2-5）和（2-8）式：① 求C1C2+=：sin sin 123122C C θθθ+=-+342324142222sinsincoscosθθθθθθθθ+-++2312sin sinθθθ++342324142222sinsincoscosθθθθθθθθ+++-3423232414211432222222sinsin(co sin si scoscoscos)nθθθθθθθθθθθθθθθ++-+++-=--41232431222Q sinsi sin s nni θθθθθθθ+++=- 则：232314141222Q 2coscoscoscosθθθθθθθθ-++-=-cos c (cos cos )os 1234112334424123212222θθθθθθθθθθθθθθθθ+-+++--++---=-+- 1211Q Q =+ （2-9）其中，11Q 和12Q 应用和差化积公式可得：(cos cos )12341234111Q 222θθθθθθθθ+-+++-=-sin()sin()1234θθθθ=+- （2-10） (cos cos )12341234121Q 222θθθθθθθθ-++---=-sin()sin()1234θθθθ=--+ （2-11） ②求F1F2+=：sin sin 2412F1F 2θθθ+-+=342313242222sin sin cos cosθθθθθθθθ+++-2412sin sinθθθ++342313242222sinsincoscosθθθθθθθθ++-+3423131324221442222222sinsin(co sin si scoscoscosn)θθθθθθθθθθθθθθθ+++--++-=-41232341222R sinsi sin s nni θθθθθθθ+++=-则：1313242412222R coscoscoscosθθθθθθθθ+--+=-cos c (cos cos )os 1234112334424123212222θθθθθθθθθθθθθθθθ++-+-+-++---=-+- 1211R R =+ （2-13）其中，11R 和12R 应用和差化积公式可得：(cos cos )12341234111R 222θθθθθθθθ++-+-+=-sin()sin()1234θθθθ=+- （2-14） (cos cos )12341234121R 222θθθθθθθθ-++---=-sin()sin()1234θθθθ=--+ （2-15） ③证明（2-12）式成立由（2-10）式（2-14）式得：1111Q R = （2-16） 由（2-11）式（2-15）式得：1212Q R = （2-17） 于是：11Q R =即： C1C2F1F2+=+ （2-18） 同样得到：C3C4F3F4+=+；C5C6F5F6+=+；C7C8F7F8+=+故：由（2-5）和（2-8）式得：012012021021N N V U U V N N V U U V -=- 而这样就证明了（2-2）式是成立的. 三、证明（1-33）式成立在上一章里，我们得到了关系式（1-33），要证明式子成立，可先将其简化. 将（1-10）（1-20）（1-30）代入（1-33）得：2012122112012Y X X X Y X Y b M M M M M ()()--=。
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第二十八章 椭圆的性质及应用【基础知识】椭圆具有一般圆锥曲线的性质外，还具有如下有趣性质：性质1椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其上任意一点()00,P x y 处的两条焦半径长分别为10PF ex =+，20PF a ex =-（其中e 为椭圆离心率，1F ，2F 分别为左、右焦点．下均同）． 性质2以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切．证明设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，O 为中心，M 为2PF 的中点，则()1221112222MO PF a PF a PF ==-=-，即圆心距等于两圆半径之差，故M 与O （a ）相切．为叙述方便，定义椭圆上非顶点的某一点P 与两焦点1F ，2F 所构成的三角形为焦点三角形，且称顶点P 的内、外角平分线（即P 点处的法、切线）与长轴的交点分别为内点M 、外点N ．性质3椭圆焦三角形中，内点M 到一焦点之距离与该焦点为端点的焦半径之比为常数e ．证明设内点为M ，则1212121222MF MF MF MF ce PF PF PF PF a+====+． 性质4椭圆焦三角形中，（I ）其内心I 将内点M 与P 点连线段分成定比e ；（Ⅱ）半焦距为内点M 、外点N 到椭圆中心的距离的比例中项，即2c OM ON =⋅；（Ⅲ）椭圆中心到内点之距与内点到同侧焦点之距，半焦距与外点到同侧焦点之距成比例，即222OM OF MF F N=；（Ⅳ）半焦距、外点与椭圆中心连线段、内焦与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例，即122OF MF ONF N=；（V ）过一焦点2F 向P 点处外角平分线（即P 点处切线）引垂线，则椭圆中与垂足Q 连线必与另一焦半径1PF 所在直线平行（注意2F Q MP ∥）； （Ⅵ）OQ a =；（Ⅶ）22cos cos F PNe F NP∠=∠（设2F '为2F 关于PN 的对称点，则290F PN E '∠=︒-∠，22290F NP F F N '∠=︒-∠，注意12122212sin sin F F F FF F F F '=''∠∠，即证）．性质5椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点P ，（I ）()00,P x y 点处的两焦半径的乘积，其最大值为2a ，最小值为2b ；（Ⅱ）若122F PF θ∠=，则122tan PF F S b θ=△，且02t a n c y b θ=及两焦半径的乘积为定值22cos b θ．证明（Ⅰ）当P 点在短轴顶点时，212|||PF PF a ⋅=|；当P 点在长轴顶点时，22212PF PF a c b ⋅=-=； （Ⅱ）如图28-1，设12PF F △的内切圆半径为r ，注意切线长定理则可证明：()tan r a c θ=-⋅．又12PF F △的周长为22a c +，则12222122tan tan 2PF F S a c r a c b θθ+⋅=-⋅=△=（）（），图28-1从而1221222sin 2cos PF F S b PF PF θθ⋅==△．由2012tan 2c y b θ⋅⋅=⋅，得02tan c y b θ=．性质6设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则cos sec 22e αβαβ+-⋅=．证明由()121212sin sin sin sin sin F F PF PF PF PF αββααβ+===++，有()sin cos sec sin sin 22c a αβαβαβαβ++-==⋅+．即证． 性质7椭圆的焦点弦，（I ）两端点处的切线相交在焦点对应的准线上；（Ⅱ）两端点处的切线所成的角小于90︒；（Ⅲ）两端点处的法线相交于Q ，过Q 与长轴平行的直线平分焦点弦；（Ⅳ）其中点轨迹也是椭圆；（V ）垂直于两端点处切线交点与该焦点的连线．性质8设P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴顶点的一点，1F ，2F 是其左、右焦点，O 是中心，设OP d =，则22212||PF PF d b a ⋅+=+．证明在12PF F △中，由中线长公式，得222212222PF PF d OF +=+． 配方，得()2221212222PF PF d c PF PF +=++⋅，由椭圆定义，得22222122PF PF d a c b a ⋅+=-=+．性质9直线0Ax By c ++=与椭圆22221x y a b+=相交、相切、相离的充要条件是22222A a B b C +（A ，B 不同时为0，0a >，0b >）．证明仅证相切情形，当0B ≠时，有A Cy x B B=--，并代入椭圆方程消去y ，化简得()()222222222220A aB b x a ACx aC B b +-+-=，由其0∆=化简得22222A a B b C +=，这说明直线与椭圆有两个重合交点（即相切）的充要条件为22222A a B b C +=．当0B =，则直线必切椭圆于左或右顶点，x a =±，从而有0Aa C +=或0Aa C -+=，即有222A a C =，亦有22222A a B b C +=．反之222A a C =，推知x a =±，这表示一条过长轴顶点的切线． 推论直线0Ax By C ++=与椭圆()()()222210x m y n a b ab--+=>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b +()2Am Bn C ++．性质10设椭圆的一个焦点为F ，直线l 与过椭圆长轴的端点A '，A 的切线相交于M '，M ，则（1）0FM FM ⋅=⇔直线l 与椭圆相切； （2）0FM FM ⋅>⇔直线l 与椭圆相离； （3）0FM FM ⋅<⇔直线l 与椭圆相交．证明设椭圆方程()222210x y a b a b+=>>，(),0F c ，(),0A a '-，(),0A a ．直线l ：y kx m =+．()(),,FM FM a c m ka a c m ka ⋅=---⋅-+22222c a m k a =-+- 2222m b a k =--．由22221x y a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得 ()()2222222220ba k x a kmx a mb +++-=．()2222224a b b a k m ∆=+-．（1）2222000FM FM m b a k '⋅=⇔--=⇔∆=⇔直线l 与椭圆相切； （2）2222000FM FM m b a k '⋅>⇔-->⇔∆<直线l 与椭圆相离； （3）2222000FM FM m b a k '⋅<⇔--<⇔∆>⇔直线l 与椭圆相交．性质11设l 是过椭圆22221x y a a+=上异于长轴顶点的一点的切线，（I ）l 与过长轴顶点1A ，2A 的切线分别交于1P ，2P ，则21122PA PA b ⋅=；（Ⅱ）两焦点1F 、2F 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则212d d b ⋅=． 证明（Ⅰ）设()cos ,sin P a b θθ，过P 的切线方程为cos sin b x a y ab θθ⋅+⋅=，由x a =得221cos sin P A bθθ-=．同理，由x a =-得111cos sin P A bθθ+=．故21122P A P A b ⋅=．（Ⅱ）由(),0c -，(),0c 到直线cos sin 0b x a y ab θθ⋅+⋅-=的距离分别为1d =，2d =，故212d d b ⋅=．性质12设P ，Q 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上两点，（Ⅰ）设O 为中心，OP OQ ⊥，则22221111a bOPOQ+=+；（Ⅱ）设PQ 通过焦点F ，弦CD 也过点F ，且PQ CD ⊥，则 2221111a PQ CD ab ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）设PQ 通过焦点F ，Q 是椭圆上一点，且OQ PQ ⊥，则2222111a PQ a bOQ +=+． 证明（Ⅰ）设()cos ,sin P OP OP θθ⋅⋅，则()sin ,cos Q OQ OQ θθ-⋅⋅．分别代入椭圆方程，相加即证．（Ⅱ）设椭圆的极坐标方程为1cos epe ρθ=-，可求得222222221cos sin ep ab PQ PF QF e b c θα=+==-+． 同理，22222cos ab CD b c α=+，由此即可证．（Ⅲ）由（Ⅰ），（Ⅱ），知22222221cos sin a b a b OQαα+=，22221sin 2b c PQ ab α+=即证． 性质13设()00,M x y ，椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，对于直线l 的方程00221x x y y a b +=，则（1）当M 在椭圆上时，l 为椭圆的切线；（2）当M 在椭圆外时，l 为椭圆的切点弦直线；（3）当M 在椭圆内时，l 为以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上，这可由第二十五章的性质7推论后的注即得．这里，其实l 为点M 关于椭圆的极线． 【典型例题与基本方法】例1试确定m 的取值范围，使对直线4y x m =+，在椭圆22143x y +=上有不同两点A ，B 关于该直线对称．解设()00,P x y 是弦AB 的中点，由性质10，知曲线22143x y +=关于点P 对称的曲线为()()220022143x x y y --+=．两式相减整理得公共弦方程：22000024340x x y y x y +--=．而公共弦的斜率为14-，故有003144x k y =-=-，即003y x =．又()00,P x y 在44y x =+上，有004y x m =+，由此两方程求得0x m =-，03y m =-．因()00,P x y 在椭圆内部，故有2200143x y +<，即有()()223143m m --+<，故m << 例2P 是椭圆2214x y +=上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，试求12PF PF ⋅的最大值和最小值．（1996年“希望杯”竞赛题）解法1由性质5（I ），即知12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1． 解法2由性质8，知222212||||5PF PF b a d d ⋅=+-=-．又由椭圆的范围知222b d a ≤≤，即214d ≤≤，故知12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1．例3已知圆222x y r +=经过椭圆()22210x y a b a b+=>>２的两个焦点()1,0F c -，()2,0F c ，两曲线有四个交点，其中一个交点为P ．若12F PF △的面积为26，椭圆长轴长为15，试求a b c ++的值．（2000年“希望杯”竞赛题）解由题设，知1290F PF ∠=︒．由性质5（Ⅱ），知221222cos 45b PF PF b ⋅==︒． 又1212252sin 90F PF S PF PF ⋅==︒△，则b ． 而152a =，则112c =．故13a b c ++=例4求椭圆()()2223194x y -++=过已知点()5,1P 的切线方程．解令2x x '=-，3y y '=+，在新坐标系x O y ''下，P 点坐标变为()3,4P '，椭圆方程变为22194x y ''+=．设过点（3，4）的切线方程为0Ax By C ++=．由性质9，联立方程340A B C ++=与22294A B C +=，消去C 可得22B AB =-，于是0B =或2B A =-，从而求得3C A =或5C A =，故求得切线方程为30Ax A -=或250Ax Ay A +=-，即3x =与25x y -+即为所求．例5求证：椭圆()222210x y a b a b +=>>对中心张角的弦恒与圆222222a b x y a b +=+相切．证明设弦AB 对中心O 张直角，O 到AB 的距离为d ．由三角形面积公式，知 1122AB d OA OB ⋅=⋅．从而222222222111OA OB OA OB d AB OA OBOAOB⋅⋅===++．由性质11（Ⅰ），知22221111a b OAOB+=+，即知 2222222111a b d a b a b ==++，由此即证得弦AB 恒与圆222222a b x y a b +=+相切． 例6已知直线l 的斜率为12，且过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点与椭圆相交于A ，B 两点，椭圆的中心为O ，O 点到直线AB 的距离1d =，且弦AB 的长是椭圆长轴的45．求椭圆方程．解由题意可设AB 的方程为()12y x c =+，它到原点的距离d =1=，故25c =． 又425AB a =⋅，由性质11（Ⅲ），有222281115a a a b OP ⋅+=+，于是，得2221114b a OP=-． （*）又易知OP 的方程为2y x =-，将其代入椭圆方程，解得222224a b x a b =+，2222244a b y a b =+．于是222222254a b OP x y a b =+=+，并代入（*）式化简得2249a b =．再注意25c =，求得3a =，2b =．故所求椭圆方程为22194x y +=．例7设椭圆方程为22110036x y +=，25,4P ⎛ ⎝⎭，1F ，2F 是焦点，求12PF F △的内切圆方程． 解显然P 点在椭圆上．设12PF F △的内心为I PI 交x 轴于M ，易知()18,0F -，()28,0F ，可求得115PF =，25PF =．由11223PF F M PF MF ==，得4M x =．由性质4（Ⅰ），得45MI e PI ==． 于是2544455415I x +⋅==+，4045415Iy ==+．又内切圆半径I r y =，故所求圆的方程为()221353x y ⎛-+= ⎝⎭．注由此例，促使我们探求对于椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意异于长轴顶点的点P ，焦点12PF F △的内切圆圆心的方程为()()()()2220a c x a c y a c c y -++=-≠．事实上，可设12PF F α∠=，21PF F β∠=，内心(),I x y ，在12PF F △中由正弦定理可求得tantan 22a ca cαβα-⋅=+． 又1IF y k x c =+，()20IF y k y x c=≠-，从而 12tan tan 22IF IF y y a c k k x c x c a cαβ-⎛⎫⋅=⋅-⇒⋅=- ⎪+-+⎝⎭．整理得()()()()2220a c x a c y a c c y -++=-≠．例8已知0C ：221x y +=和1C ：()222210x y a b a b+=>>．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对1C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形？并证明你的结论．（2000年全国高中联赛题）解所求条件为22111a b +=． 必要性：易知圆外切平行四边形必是菱形，圆心即为菱形中心．假设结论成立，则对点(),0a ，有(),0a 为顶点的菱形与1C 内接，与0C 外切，(),0a 的相对顶点为(),0a -．由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在y 轴上且为()0,b 和()0,b -，菱形一条边的方程为1x ya b+=，即bx ay ab +=．由于菱形与0C1=，即为22111a b+=． 充分性：设22111a b +=，P 是1C 上任意一点，过P ，O 作1C 的弦PR ，再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为与1C 内接的菱形．设1OP r =，2OQ r =，则()11cos ,sin P r r θθ，()()()22cos 90,sin 90Q r r θθ+︒+︒．代入椭圆方程，得22221122cos sin 1r r a b θθ⋅+=，22222222sin cos 1r r a b θθ+=，于是22222222222222121111cos sin sin cos 111r r a b a b a b OP OQθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又在Rt POQ △中，设点O 到PQ 的距离为h ，则2221111h OP OQ =+=，故得1h =．同理O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1．故菱形PQRS 与0C 外切，证毕．例19作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（图略），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明；PAB △的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求PAB △的面积．（2012年全国高中联赛题）解（1）设直线l ：13y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．将13y x m =+代入22364x y +=中，化简整理得22269360x mx m ++-=．于是，有123x x m +=-，2129362m x x -=，AP k =，PB k ．则1221PAPBy x y xk k -+--+(()2293630m m m m-⋅+---==．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线平行于y 轴所在直线，所以PAB △的内切圆的圆心在直线x =在上．（2）若60APB ∠=︒，则由（1）知PA k PB k =．直线PA的方程为y x-，代入221364x y +=，消去y 得(214118130x x +-+-=．此方程的两根分别是1x 和，所以(1181314x -⋅=．于是)117PA x -=．同理)17PB =．所以1sin 602PAB S PA PB =⋅⋅︒=△为所求． 【解题思维策略分析】1．注意平面几何知识的综合运用例10设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴顶点1A ，2A 的任一点，过P 点的切线与分别过1A ，2A 的切线相交于1B ，2B ，则以12B B 为直径的圆必过两焦点1F ，2F ．证明如图28-2，设()cos sinP a b θθ，，则过P 的切线方程为cos sin 1x ya bθθ⋅⋅+=，它与y 轴交于点()0,csc C b θ，C 是线段12B B 的中点，从而12CF CF =图28-2联立x a =-，cos sin 1x y a b θθ+=，得()11cos ,sin b B a θθ+⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是12112B B BC ==从而121212CF CF B B ==，故1F ，2F 在以12B B 为直径的圆上． 2．注意三角知识的综合应用 例11在面积为1的PMN △中．1tan 2M =，tan 2N =-，建立适当的坐标系，求出以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程．解以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 一方面，()tan tan 3tan tan tan tan 14M N P M N M N +=-+==⋅-．另一方面，22tan2tan 1tan 2PP P=-，从而 22tan 3241tan 2PP =-，即23tan 8tan 3022P P +-=． 解得1tan23P =或tan 32P=-（舍去）． 由性质5（Ⅱ），知2cot1332PMN Pb S =⋅=⋅=△． 作PQ MN ⊥，垂足为Q ，设PQ h =，NQ m =，由1tan 22h Mc m ==+及tan 2hPNQ m∠==，易得43h c =．又142123PMN c S c =⋅⋅=△，得234c =，即有222154a b c =+=．故所求椭圆方程为2241153x y +=．3．注意代数知识的综合运用例12设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F ，则椭圆上存在在点P ，使得()120F PF θθ∠=<<π的充要条件是sin 2e θ≤（e 为椭圆的离心率）．证明设()1,0F c -，()2,0F c ，点P 的坐标为(),x y ，则1PF y k x c =+，2PF y k x c=-． 由对称性，仅考虑点P 在上半椭圆，则 21212222tan 1PF PF PF PF k k yck k x y cθ-==+⋅+-，即2222c o t x y c y c θ+-=⋅．（上述前式不适合斜率不存在或90θ=︒的直线，而后式则适合于些直线．）椭圆上存在点P ，使12F PF θ∠=的充要条件是方程组22222220,1,2cot y b xy a b x y c yc θ<⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⋅⎩≤有解，这又等价于方程()22222222cot cyc y b a y a b θ+⋅-+=，即22242cot 0c y yb c b θ+⋅-=在区间(]0,b 上有解．设()22242cot f y c y yb c b θ=+⋅-，则()400f b =-<，因此上述问题等价()22224202cot 02cot 10b bf b c b cb b c cθθ⇔+⋅-⇔-⋅-≥≥≤()cos 11cos 1cos 00sin sin sin b b c c θθθθθθθ-++⇔<<π⇔<≤≤≤()()222222221cos 21cos 01sin sin sin 2a c a c e c c aθθθθθ++-⇔<⇔<⇔=≤≤≤．注类似地，可以证明：椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴上两顶点为1A ，2A ，则椭圆上存在异于1A ，2A 的点P ，使得122A PA θθπ⎛⎫∠=<<π ⎪⎝⎭e ．4．注意解析几何知识的综合应用例13给定椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，O ：22x y b +=，自椭圆上异于其顶点的任意一点P 作O的２条切线，切点分别为M ，N ．若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：222222a b a n m b+=．证明设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则由圆的性质12，知PM 、PN 的方程分别为211x x y y b +=，222x x y y b +=．由于点P 在２条切线上，有21010x x y y b +=，22020x x y y b +=． 因此，直线MN 的方程为200x x y y b +=（此亦可由性质12即得）． 令0y =，得20b m x =；令0x =，得2b n y =．注意到()00,P x y 在椭圆上，有222222a yb x a b +=，故222222a b a n m b+=．注（1）由椭圆性质13，知点P 处的椭圆切线的斜率为20120b x k a y =-，此时直线MN 的斜率为020x k y =-，从而有21220b k k a-=．（2）若记上述例题中的椭圆为1C ，O 为2C ，且2C 为222x y a +=，点P 在2C 上，则类似于（1）有21220b k k a-=． （3）若将（2）中1C 改为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点P 在222x y a +=上，则类似地有21220b k k a +=． （4）在（3）中，若点P 在1C 即双曲线上，则类似地有21220b k k a+=．（5）在上述（2）中，若2C 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，类似地有120k k +=．此时，若点P 在1C 时，亦有120k k +=．例14如图28-3，经过椭圆()2222220b x a y a b a b +=>>的长轴左顶点A 的弦AB 交y 轴于C ，MN 是过左焦点1F 的弦．若MN AB ∥，则a MN AB AC =⋅．图28-3证明设平行弦AB 、MN 的倾斜角为α，则AB 的参数方程为cos ,sin x a t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入椭圆方程并整理，得()222222cos sin 2cos 0ba t ab t ααα+-⋅=，于是222222cos cos sin B ab AB t b a ααα==⋅+⋅．又在AB 的参数方程中，令0x =，得sec C AC t a α==．上述两式相乘，得2222222cos sin a b AB AC b a αα⋅=+⋅．以1F 为极点，1F x 为极轴建立极坐标系，则椭圆方程为1cos epe ρθ=-．从而211222222221cos cos sin ep ab MN NF MF e b a ααα=+==-+． 故a MN AB AC =⋅． 【模拟实战】习题A1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（1F ，2F 为椭圆焦点）．求离心率e 的取值范围．2．试问椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e 在什么范围内，椭圆上恒存在一点P ，使得点P 到两焦点的距离之积等于焦距的平方？3．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2，过左焦点的两条互相垂直的弦的长度之和为487．试求这两条弦的长度之积．4．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，PQ =（1991年全国高考题）5．试证：椭圆22220x y a b a b>>+=1（）． 6．试证：椭圆()222210x y a b a b+=>>内接矩形的面积的最大值为2ab ．7．设AB 是过椭圆22220x y a b a b>>+=1（）中心的弦，F 是焦点，则ABF △面积的最大值是()222bc c a b =-．8．设P 是椭圆的准线l 与对称轴的交点，F 是对应焦点，AB 是过F 的弦，则APB ∠的最大值为2arctan e （e 为离心率）．9．设椭圆()222210x y a b a b+=>>，两焦点()1,0F c -，()2,0F c ，点Q 为椭圆上异于长轴顶点的点，过焦点1F （或2F ）作12F QF ∠的外角平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆（除点(),0a -，(),0a ）．108．11．已知A ，B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上的两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点()00,P x y ．求证：22220a b a b x a a---<<．（1992年全国高考题）12．求函数y 的值域．13．求函数()23f x x =+习题B1．试证：从椭圆2222220b x a y a b a b +=>>（）上的点P 看焦点的视角的最大值为222arccos 1b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2．设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上任一点，12P P 是椭圆的任意一条弦，直线1PP ，2PP的斜率分别为1k ，2k ．若12P P 过中心O ，则2122b k k a⋅=-．3．设A ，B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A ，B的横坐标A x ，B x 满足2A B x x a ⋅=．（1）若过A 点引直线与椭圆相交于P ，Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 点引直线交椭圆于P ，Q ，则180PAB QAB ∠+∠=︒．4．设椭圆2222220b x a y a b a b +=>>（）的两条准线和x 轴相交于1E ，2E ，点P 在椭圆上，12E PE α∠=，e 为离心率，c 为半焦距，则α为钝角，且当)2112e >时有cot e α-≤，等号当且仅当22P ab y c=时取得．5．已知定点()1,1A ，F 为椭圆22184x y +=的左焦点，动点P 在椭圆上，试求PF PA +的最大值和最小值，并求取得最值时P 点的坐标．6．设AB ，A B ''分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆222x y a +=的弦，端点A 与A '，B 与B '的横坐标相同，纵坐标同号．试证：当AB 经过椭圆内的定点()M p q ，时，A B ''必经过定点,a M p q b ⎛⎫' ⎪⎝⎭．7．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心O 任作两条互相垂直的射线交椭圆于A ，B 两点．求证：AB ≤8．椭圆Γ中心为O ，直线l 不与Γ相交．P 为l 上任一点，射线OP 交Γ于R ，而点Q 在射线OP 上，且满足2OQ OP OR ⋅=．以Q 为中点的中点弦记为P l ．求证：P l 经过一定点．9．已知直线l ：0Ax By C ++=与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于P ，Q 两点，O 为椭圆中心．试证：当且仅当222222a A b B C +=时，OPQ △有最大面积12ab ．10．在椭圆()222210x y a b a b+=>>上任取两点()111,P x y ，()222,P x y ，点(),P x y 是以线段12P P 为直径的圆上任一点．求证：22223122x y a b ++≤． （《数学通报》问题1374题）11．设椭圆Γ的离心率为e ，1F ，2F 为其两焦点，P 为椭圆上任一点（除长轴两顶点外），r ，R 分别为12PF F △的内切圆、外接圆半径．求证：()21re e R-≤． 12．试找出离心率为m 的椭圆的特征量应满足的一些关系．。