矩阵论研究生复习题

矩阵论研究生复习题

矩阵理论及应用证明题复习题

正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等）

1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ，

证明：（1）1H n H x Ax

x x

λλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤.

2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。证明：(1)存在正定矩阵S 使得2

A S =；

（2）对任意n 维列向量,X Y ，有2

H

H H Y AX

X AX Y AY

≤，并且，等号成立当

且仅当,X Y 线性相关。

3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ，则A B +的特征值都大于a b +。

4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）H

nn A

G a ββ??

=

是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）H

nn A

G a ββ

=

正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：

2

46A A I -+是正定Hermite 矩阵

6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵

范数

1.设?为n n

C ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：m

m A λ

≤（m 为正整数）

2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数证明：1

1

A λ

-≥

3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()1

1A A

ρ-≥

4.A 是n 阶复矩阵，证明22

1A

A A

∞

≤

5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。证明：F

F

A

UAV

=，

22A UAV =。

6.设()

ij

n n

A a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij a

A ρ≤.

7.设A 为n 阶方阵,A 是从属于任何向量范数的矩阵范数, 证明:1)1I =; 2) 1A <时，I A -可逆，且

()1

1111I A A A

-≤-≤+-.

矩阵分解

1. A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵P ,使得H

A P P =∑,其中

1(0,1,2,,),H i r r i r P P λλλ??

∑=>== ?

I （其中r I 为r 阶单位矩阵） 2.设A 是n 正定Hermite 矩阵，利用矩阵的QR 分解证明：存在一个上三角形矩阵T ,使得

H A T T =

3.设矩阵,A B 都是m n ?矩阵，利用矩阵的满秩分解证明：()rank

A B ran kA rankB +≤+.

4.A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得H

A P P =∑,其中

1(0,1,2,,),H i r r i r PP I λλλ?? ?∑=>== ?

. 5.A 、B 都为n 阶Hermite 矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使

=H Q BQ E ,H Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）

6.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个酉矩阵与一个正定矩

阵的乘积

7.设m n A C ?∈，证明A 的秩为r 的充分必要条件是存在,m r

r m r

r F C G C ??∈∈，使得

A FG =.

8.设A 为n 阶可逆方阵，证明：存在酉矩阵,Q P 使得QAP 为对角线元素都是正数的对角矩阵.