北京理工大学2022-2022学年第二学期数学分析B期末试题(A卷)答案

2022-2022第二学期数学分析B(下)(A 卷)解答

一. 1. 4-, 3

6(2分, 2分) 2. z x -2, 32

2)

2()2(z x z -+- (2分, 2分) 3. ⎰⎰+1cos sin 1

22

01θθπ

ρρθd d , 22π- (2分, 2分)

4. x e

x y y 222-=+', )3(32x C e y x +=-(2分, 2分) 5. 34, )5

3,0( (2分, 2分) 6. π221-, 2

14--π, 0 (2分, 1分, 1分) 7. )1(82+R R π (4分)

二. },,{xy xz yz n = …………………….(2分)

切平面 0)()()(=-+-+-z Z xy y Y xz x X yz ……………………(4分) 即 xyz xyZ xzY yzX 3=++

三坐标轴截距 x 3, y 3, z 3……………………(6分) 22

929)3)(3)(3(61a xyz z y x V ===……………………..(8分) 三. 令21+=x t , 得级数(1)∑∞=1n n nt , 1lim 1=+∞→n

n n a a , 1=R ……………(2分) 1±=t 时, 级数(1)发散, 故(1)的收敛域为)1,1(-∈t ……………..(3分) 由12

11<+<-x , 得原级数收敛域 13<<-x ………………..(4分) 设 ∑∞=-=11)(n n nt

t S t

t t dt t S n n t -==∑⎰∞=1)(10…………………(6分) 2)

1(1)1()(t t t t S -='-=…………………(8分) 221)1()1(2)2

11(121)21(

-+=+-⋅+=+∑∞=x x x x x n n n ……………………..(9分)

四. ⎰⎰⎰

=ϕππϕϕθcos 2034020sin dr r d d I ………………………….(4分)

⎰=40

4cos sin 8πϕϕϕπd …………………………(7分) )8

21(58cos 58405-=-=πϕππ………………………….(9分) 五. xy f x 2='1322-+='y x f y ………………(2分)

令0='x f ,0='y f , 解得0=x , 31±

=y , 或1±=x , 0=y 得四点 )31

,0(1P , )31,0(2-P , )0,1(3P , )0,1(4-P ………………..(4分)

在点1P , 042>=-B AC , 032

>=

A )31

,0(1P 是极小点, 9

32)(1-=P f 是极小值………………..(6分) 在点2P , 042>=-B AC , 032<-

=A )31

,0(2-P 是极大点, 9

32)(2=P f 是极大值……………..(8分) 在点43,P P , 都有042<-=-B AC , 故43,P P 不是极值点…………(10分)

六. 由题意, 有 y

X x Y ∂∂=∂∂……………………….(1分) 即 )(2)(2y x y x -='+ϕy y 2)(-='ϕ…………………….(3分)

C y y +-=2)(ϕ…………………….(4分)

由1)0(=ϕ, 得1=C , 故 21)(y y -=ϕ…………………….(5分) ⎰⎰-+=2

0210)1(dy y dx ……………………(8分) 3

5321=+=……………………(10分) 七. ∑∞=--+=121

2)1(1)(n n n x n

x x x f …………………..(3分)

∑∑∞=--∞

=+--+-=1121

1121

)1()1(n n n n n n x n x n ………………….(4分) ∑∞

=---+=212)1()1(n n n

x n n x ………………………(6分)

收敛域为 ]1,1[-∈x ………………………(8分)

八. 设2:1=z S )4(22≤+y x , 1:2=z S )1(22≤+y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-++++--=

++2

121)1(33S S S S S dxdy z dzdx y dydz x I ………………..(1分) ⎰⎰-++++++21)1(33S S S dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰⎰++=V

dV y x )133(22……………..(3分) ⎰⎰⎰+=z d d dz 022021)13(ρρρθπ

π30

349=….………….(5分, 6分) πππ102232-=+⋅-=…………….(8分)

π30

49=

I ……………..(9分) 九. 由 a x

x f x =→)(lim 0, 得 0)(lim )0(0==→x f f x ………………..(1分) a x

f x f f x =-='→)0()(lim )0(0……………….(2分) 假设0=a , 那么)(2)0()(22x o x f x f +''=, )1(12)0()1(22n o n f n f +''= 由于∑∞=121n n 收敛, ∑∞=--∴11)1()1(n n n f 收敛, ∑∞=--11)1()

1(n n n

f 绝对收敛 …...(5分) 假设0>a , 有 a n

n f n n f n n n ==-∞→-∞→1

)1(lim 1)1()1(lim 1 由于 ∑∞

=11n n 发散, ∑∞=--∴11)1()1(n n n f 发散…………….(7分) 但由于0)0(>'f 及)(x f '的连续性, 在0=x 的某邻域内有

0)(>'x f , )(x f 单调增, 故当n 充分大时)1(n f 单调减少, 且0)1(→n

f 故 ∑∞=--11)1()1(n n n f 收敛, 且为条件收敛……………(9分)